ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραφική λύση συστημάτων 1. Δίνονται τα σημεία Α(-1, 0),Β(0, 1),Γ, 1 και Α, 1.Να βρείτε ποιο από αυτά y 1 επαληθεύει το σύστημα y 5. Να επιλύσετε γραφικά τα συστήματα: y 1 y 1 y y 1 y. Να επιλύσετε γραφικά τα συστήματα: y 0 y y 1 y 4y 1 1 1 y 1 4. Να επιλύσετε γραφικά τα συστήματα: y 1 y y 4 y y 4 y 6 5. Να επιλύσετε γραφικά τα συστήματα: y 10 4 4 y 10 y 4 6y 1 1 1 y 4 1 y 6. Να επιλύσετε γραφικά τα συστήματα: y 1 y 5y y 5 7. Να επιλύσετε γραφικά τα συστήματα: y 6 y 10 5 y y 7 y
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 8. Να λύσετε τα συστήματα: y 5 ( y 1) y 5 7 10 4y 1 y 1 8 y 1 1 9 δ) 1 y 4 1 1 y 4 ε) y 1 z 1 5 y 5 z 1 4 στ) a 1 1 1 4 5 1 ζ) y y y y 1 15 1 4 9. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 y 19 y 5 5 y 15 1 1 y 5 5 a 1 7 1 δ) 1 4 17 ε) 1 1 0 y 1 1 8 y στ) 1 5 y 1 7 y 10. Να λύσετε τα συστήματα: 5( )( y 11) 14 y 7 9( y 4) 8 y y 5 4 7 y 4 1 ( 5) y 5 4()(5 y ) 0 y ( 7) y ( 9) y1 δ) () () y 15 y () () y 5 y ε) ( y 5) () y ( y 7) ( y ) 0 στ) 7() 5( y 4) y 0 0 59y ) 6( y ) 11. Να λυθούν τα συστήματα : 5 4 ii y y y y y
1. Να λυθούν τα συστήματα : 1. Να λυθούν τα συστήματα : y y y 0 ii y 4 y 4y 15 0 y y ii iv 4y 5 y 1 5 14. Να λυθούν τα συστήματα : 1 1 ii 4 () 4 y y y y y y y 15. Να λυθούν τα συστήματα: 1 1 y 1 y 7 y y y 8 4 5 1 1 1 y y y 16. Να λυθούν τα συστήματα : 41 5 ii y 41 y 7 y y ii y y 5 y 6 iv 17. Να λυθούν τα συστήματα : 7 y 1 y y 5 y y 11 ii y y y 5 7 y 9 y y 9 ii iv y 7 0 y 7 18. Να λυθούν τα συστήματα : 9 15 y 1 y 7 ii 4 19 5 y y 1 19. Να λυθούν τα συστήματα : 1 1 i) 7) ii 6 7 5 1 8 iii) 4 5) 1iv 5 1
0. Να λυθούν τα συστήματα : 4 5 5 i) ) 5 ii 7 () 1. Να λυθούν τα συστήματα : 4 5 0 i) 5 ) 4 ii 5 10 5 8 7 6 10. Να λυθούν τα συστήματα : 0 0 0 i) 4 5 0) ii 0) iii 0 7 8 9 0 0 4 0. Να λυθούν τα συστήματα: 5 4y y 14 y 1 8y 4 0 4y 15 6y 18 y 0 4y 8 0 y 7 0 4. Αν y y 5 y y 6,να βρεθεί η τιμή της παράστασης : B y 5. Να υπολογιστούν οι παρακάτω ορίζουσες : 11 8 0 5 5 ) ii iii 1 4 0 1 0 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 6. Να υπολογιστούν οι παρακάτω ορίζουσες : a 1 1 a ) ii iii 1 1 1 1
7. Να λυθούν οι εξισώσεις : 1 i) 0) ii 1 1 1 4 1 1 1 1 5 ii iv 1 4 6 1 1 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: 1 4 4 i) 0 ii) 1 ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 9. Να λυθούν τα συστήματα για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου μ 5 ii 1 4 9 4 ii iv 5 8 9 9 5 1 v)) vi 10 1 0. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου να λυθεί το σύστημα: y y Για τη μοναδική λύση ( o,y o ) να βρεθεί ώστε να ισχύει : o + y o = 0. 1. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α να λυθεί το σύστημα: a ay a a y a Για τη μοναδική λύση ( o,y o ) να βρεθεί α ώστε να ισχύει: o + y o = 1.. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ R το σύστημα είναι i) αδύνατο ii)αόριστο 1. Δίνεται το σύστημα ( 1). ( 1) 4 6
Να βρεθεί για ποιες τιμές των α,β R το σύστημα είναι αόριστο και στην συνέχεια να βρεθεί η λύση του συστήματος. 4. Να βρείτε για ποιές τιμές των α,β R τα συστήματα : 4 ( ) είναι συγχρόνως αδύνατα. 5. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε τα συστήματα Σ 1 και Σ να είναι συγχρόνως αδύνατα: a 1 y y 1 Σ 1 : Σ : a y 0 ay 6. Δίνονται τα συστήματα: Σ 1 : a 1 y 1 y 1 Σ : y a a 1 y 1 7. Να λυθούν τα συστήματα για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου μ 5 ( 1)( 4) 1 ii ( 1)( 4) ( 4) 1 1 1 ii 1 iv 5 8 y 1 8. Δίνεται το σύστημα. y Να βρείτε για ποια τιμή του λ το σύστημα έχει μοναδική λύση ( 0,y 0 ) για την οποία ισχυει 7 η σχέση : 0 y0 y Για την τιμή του λ που βρήκατε,να λύσετε το σύστημα : y y ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 9. Σε ένα σύστημα δυο γραμμικών σύστημα εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: D D D 8D 6D 5. y D 4 D D 0. Να δειχθεί ότι: Να βρεθούν τα και y. y 40. Σε ένα σύστημα δυο γραμμικών σύστημα εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: D D D 16D 4D 68. y y Να λύσετε το σύστημα.
41. Σε ένα σύστημα δυο γραμμικών σύστημα εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: D D D y και y D D D.Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση,να βρεθεί η λύση αυτή. 4. Σε ένα σύστημα δυο γραμμικών σύστημα εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: ( )D( 1)D y D. D D( y 4)D Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ,αν το σύστημα έχει μοναδική λύση,τη (,y)=(-5,1) 4. Σε ένα σύστημα δυο γραμμικών σύστημα εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: D 4Dy 4DDy και 4D Dy 7D.Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση,να βρεθεί η λύση αυτή. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5 1 (5) : 5 5 : 50 6 44. Δίνονται οι επόμενοι αριθμοί : και 6 9 (4 8 : 4) : 5 4 Να βρείτε τους αριθμούς α και β y Να λύσετε το σύστημα : y 0 1 5 4 45. Δίνεται η ορίζουσα 6 ( 5 ) Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας α Να βρείτε τα λ,μ R,ώστε το σύστημα του ερωτήματος y ( 5)y 5,όπου α η ορίζουσα 46. Η εξίσωση ( ) 5 0 έχει ρίζες 1, για τις οποίες ισχύει 1 5 και 1 6. Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση 47. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() διέρχεται από τα σημεία Α(1,6) και Β(-1,1).Να βρείτε : Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες 48. Δίνεται η συνάρτηση f() με β,γ R,της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Μ(1,-5) και Ν(,7).Να βρείτε τις τιμές των β και γ την κορυφή της C f
τα διαστήματα για τα οποία η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ 49. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι : 11 p(a) p(b ) 1. 5 p(a) p(b) 1 Να βρείτε τις πιθανότητες p(α), p(β), p(α ) και p(b ) Επιπλέον γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι ίση με 1 1. i)να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β ii)να λύσετε το σύστημα : p(a B)( 5) 8 p[(a B)(B A)](y 1) y p() 8 p() y(1 ) 5 (y 1) 50. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν ) και το σύστημα : ( ) y(y 1) 6(y 1) οποίο έχει τη λύση (,y)=(α 5 + α 7,α 1 +α 4 ) Να βρείτε τον πρώτο όρο α 1 και τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου(α ν ) Να βρείτε ποιος όρος της (α ν ) ισούται με 500 Να λύσετε το σύστημα : 15( y)( 1 y 6) S 15 y 6 y,όπου S 15 το άθροισμα των πρώτων 15 όρων της (α ν ) 1 4 το 51. Δίνεται το σύστημα ( 1) y το οποίο έχει ορίζουσα D.Επίσης η εξίσωση ( 1)y 1 (D 5) 4(D 1) 0 έχει μία διπλή ρίζα Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης να λύσετε το σύστημα 5. Δίνεται ο δειγματικός χώρος : {,, 1,0,1, } με ισοπίθανα απλά ( 1)y 1 ενδεχόμενα.θεωρούμε το σύστημα ( )( )y και τα ενδεχόμενα Α={λΩ/το σύστημα (Σ) έχει μοναδική λύση} Β ={ λω/το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο} Να βρείτε τις πιθανότητες p(α), p(β),p(ab) και p(a -B) 5. Για τις ορίζουσες D,D και D y ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους,ισχύουν οι σχέσεις: D D y D D.Να βρείτε τη λύση (,y) του γραμμικού συστήματος y D D 8 54. Δίνεται η συνάρτηση f() με α,β,γ R,της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(1,-5) και τέμνουν τον άξονα χ χ στο σημείο με τετμημένη. Επιπλέον ισχύει f(-)-f(0)=.να βρείτε : τις τιμές των α,β,γ.
τις συντεταγμένες της κορυφής της C f τα διαστήματα μονοτονίας της f δ)το διάστημα στο οποίο η C f βρίσκεται κάτω από τον χ χ 55. Δίνεται η συνάρτηση f(1)=6,f(-1)=-8 και f(-)=1. τις τιμές των α,β,γ f() να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες να λύσετε την εξίσωση f() f( 1) 0 56. Η εξίσωση : με α,β,γ R για την οποία ισχύουν: () 0 έχει ρίζες 1,.Ισχύουν οι σχέσεις : 1, 1 και 1. Να βρείτε τους αριθμούς λ,μ και ν 57. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι : p(a) p(b) p(a B) p(a) p(b) p(a B) 1 7 p(a B) 8 Να βρείτε τις πιθανότητες p(α), p(β),p(ab) Να λύσετε το σύστημα : y p(a) y p() p[(a B)(B A)] y 7 58. Δίνεται το σύστημα :. 7 y 11 Να βρείτε τη λύση ( 0,y 0 ) του συστήματος Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() έχει κορυφή το σημείο Κ( 0,y 0 ) i)να βρείτε τους αριθμούς β και γ ii)να λύσετε την ανίσωση f() 0 iii)να λύσετε το σύστημα y f() y 6 ( 1) 8y 4 59. Το σύστημα έχει τη μοναδική λύση ( 0,y 0 ) για την οποία ισχύει ( )y 1 0 y0 1. Να βρείτε τον αριθμό λ Δίνεται η συνάρτηση f() 6 i. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από τον χ χ y f() ii.να λύσετε το σύστημα : y f( 1) 10 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 60. Να βρεθούν τα κοινά σημεία της παραβολής y και της ευθείας y 61. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ R η παραβολή y και η ευθεία y έχουν :
i) ένα κοινό σημείο ii) δύο κοινά σημεία iii)δεν έχουν κοινά σημεία 6. Μια επιχείρηση καταθέτει 500 σε δύο τράπεζες, στην Α με επιτόκιο 6% και στην Β με επιτόκιο 8%. Αν ο συνολικός ετήσιος τόκος είναι 50 να βρείτε το ποσό που κατέθεσε σε κάθε τράπεζα. 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ,με ˆ ˆ B,η εξωτερική της γωνίας ˆ είναι 10 και η διαφορά των γωνιών ˆ και ˆ είναι 0.Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. 64. Το άθροισμα δύο ακεραίων είναι 6,ενώ αν διαιρέσουμε τον μεγαλύτερο με τον μικρότερο βρίσκουμε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 1.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς 65. Μία τάξη έχει 4 μαθητές.σήμερα,που είναι παρόντες στην τάξη τα 4 των αγοριών και τα των κοριτσιών,ο αριθμός των αγοριών είναι ίσος με τον αριθμό των κοριτσιών.να βρείτε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η τάξη. 66. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 48cm,Αν αυξήσουμε συγχρόνως τη μια πλευρά κατά 5 cm και την άλλη κατά 1 cm,τότε το εμβαδόν του αυξάνει κατά 65 cm.να βρείτε τις αρχικές διαστάσεις του ορθογωνίου. 67. Διαθέτουμε 60 χαρτονομίσματα των 5,10 και 0 συνολικής αξίας 800.Τα χαρτονομίσματα των 5 και των 10 μαζί είναι ίσα σε πλήθος με τα χαρτονομίσματα των 0.Να βρείτε πόσα είναι τα χαρτονομίσματα των5,πόσα είναι των 10 και πόσα των 0. 68. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1 8 του χρόνου της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1 του χρόνου της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε.νωρίτερα 69. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(-,6) και Β(,-4). 70. Σε ένα σύμπλεγμα αγαλμάτων που απεικονίζονται ο Ζήθος, ο αδελφός του Αμφίονας και η μητέρας τους, υπάρχει επιγραφή που δίνει την παρακάτω πληροφορία για την αξία των τριών αγαλμάτων με τα λόγια του Ζήθου: <<Εγώ, ο αδελφός μου και η μητέρα μου μαζί κοστίσαμε 6 μνας, ενώ εγώ και ο αδελφός μου μαζί 0 μνας. Αν πάρεις το 1/ της δικής μου αξίας και το 1/4 της αξίας του Αμφίονα, θα έχεις την αξία του αγάλματος της μητέρας μας.>> Πόσο κόστισε καθένα από τα τρία αγάλματα; Να βρεθεί ένας τριψήφιος φυσικός αριθμός αν : Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 1 Ο αριθμός ελαττώνεται κατά 9,στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο τελευταίων ψηφίων του Ο αριθμός ελαττώνεται κατά 90,στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο πρώτων ψηφίων του