ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2x 1 5

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) iii) iv) 4 9 v) 7 4 vi). Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ( ) 4 ii) ( ) ( ) iii) 4( ) ( ) ( ) iv) ( ) ( ) 7( ) v) 4 9 ( ). Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να παρασταθούν οι λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών: i) ( ) 4 ii)0 ( ) 4 iii) 7( ) iv) () v) 6 (7 ) ( ) vi) ( ) ( ) 4. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους. i) ( 7) 4( ) 9 ii) (4 ) ( ) 9( ) iii) 6( ) ( ) 9() iv) (7 ) (8 7 ) ( ) v) ( ) ( ) ( ) vi) 4 ( ) 8 ( )( ). Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους. i) 7 7 ii) 8 iii) iv) v) vi) 4 6. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις,και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους. 4 i) ii) 6 iii) 7 iv) 4 6 v) vi) 4 7. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις, να παρασταθούν οι λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν: 9 i) ii) iii) iv) v) ( ) vi)

2 8. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 4 (4 ) ii) 6( + 7) < ( + ) 8 6 iii) 7(4-) -(8-7) > iv) 4 v) 9. Να λυθούν οι ανισώσεις: 4 7 i) ii) iii) Να λύστε τις εξισώσεις : i) ( ) ( ) ( ) ( ) ii) iii). Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 7 ii) iii) iv) 4 v) 7 ( 4) vi) Να λυθούν οι ανισώσεις: ( ) i) 4 4 ( ) ( 9 ) ii). Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες : i)η παράσταση ( ) είναι μεγαλύτερη του - ii) η παράσταση B ( ( ) είναι μικρότερη του 6 iii) η παράσταση 4( ) δεν υπερβαίνει το iv) η παράσταση v) η παράσταση () ( ) γίνεται τουλάχιστον ίση με ( )( ) ( ) βρίσκεται στο διάστημα (-,]. Ανισώσεις που αληθεύουν για κάθε R-Αδύνατες ανισώσεις 4. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 0 0 ii) 0 > 0 iii) 0 - iv) 0 <- v) 0 > vi) 0 0 vii) 0 >-7. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 0 4 ii) 0 - iii) 0-0 iv) 0 6 v) 0 > 7 vi) 0 0 vii) 0 >40 6

3 6. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 0 ii) 0 > - iii) 0 iv) 0 <-4 v) 0 > vi) 0 < 0 vii) 0 >-9 7. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να παρασταθούν οι λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών: i) 4( ) ii) 4( 6) ( ) 6( ) iii) 6( ) 4( ) iv)( 4) 4( ) ( ) v) ( ) 4 ( ) ( ) vi) ( ) 4( ) 7( ) 8. Να λυθούν οι ανισώσεις: 4 9 i) ( ) ii) iii) iv) 4 0 v) 7 vi) Να λυθούν οι ανισώσεις: ( ) ( ) i) (4 ) ( ) ( ) ii) Κοινές λύσεις ανισώσεων-διπλές ανισώσεις 0. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν: i) (-)+ < + και (+)- ii) -(-) > +7 και - -(7 ) iii) -4(+) 6-(-) και -(-4)) 7 (+) iv)-(-)>-4 και --(--) v) -4(-)<-(-) και 8-(-) -6(-) vi) -(-)+8 9-4(-) και -(-) < 9-(6-). Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν: 4 i) 0 και 4 4 ii) και iii) και iv) 4 6 και 4 4 v) και ( 4) 0 4 vi) και. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν: i) -4 > 0 και 4 0 < 0 ii) + > 0 και - > 0 iii) (+)-9 - > -6( + ) και (+ ) < 7 - (-8) 64

4 iv) και - > v) 7 και Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν: i) +<7 και -6 και -4 ii) - + < και -<9 και -+ iii) 6 4 και και iv) και και - - > - 4 v) -(-)- - και -(-) - και -7>0 vi) και --<0 και 4. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν: i) < - και ii) - < < και > 0. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν : i) 4-6 > 0 και -+ > 0 ii) 7 + < 0 και 7 - < 0 iii) > και Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν: i) 4 και ( 4) 6 4 ii) 4 8 και 7. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν: i) και ( ) ( ) ii) 4 και iii) ( ) 7 και ( 4) ( ) iv) και 4( ) 4 v) και vi) 4 ( ) 6 και ( ) ( ) 7 8. Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του όταν: i) 0 ii) 6 9. Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς που είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων 6

5 ( ) i) και ii) και ( ) 0. Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς που είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων i) ( ) και ( ) ii) 9 ) 4( ) 6( ) και ( ) 4() ( ) ( ) iii) και Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους. i) 9 ii) 6 8 iii) ( ) 9 7 iv) 4 9) (4 ) v) vi) Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους. i) 7 ii) ( ) ( ) iii) 4( ) ( ) ( ) 4 iv) 4 ( ) ( ) ( ) v) vi) ( ) 6. Δίνονται οι ανισώσεις : i) ( ) ( ) () ii) iii) () 4 Να βρείτε τις κοινές λύσεις : α)των () και () β) των () και () γ) των (),() και () Παραμετρικές ανισώσεις 66 ( ) 4 () 4 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. i) 6 ii) ( ) ( 4) iii) ( ) ( ) iv) ( ) ( 4). Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. i) ( ) ( ) ii) ( 4) ( )( ) 4( ) iii) ( ) ( ) iv) [ ( )] ( ) 6. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. i) ( ) ( ) ii) ( ) 4 iii) iv) ( ) 4 6 6

6 7. Δίνεται η ανίσωση : ( ) ( ) ( ).Να βρείτε για ποιες τιμές των λ και μ η ανίσωση είναι αδύνατη. 8. Δίνεται η ανίσωση : ( ) ( ).Να βρείτε για ποιες τιμές των λ και μ η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματικό αριθμό. Ανισώσεις με απόλυτα 9. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) < ii) <0 iii) <0 iv) + < Να λυθούν οι ανισώσεις: i) > ii) 8 iii) - > iv) +4 v) -6 >9 vi) - 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) - -<0 ii) iii) +7 ->0 iv) v) vi) - 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) <7 ii) 6 iii) -<7 iv) - v) + < vi) Να λυθούν οι ανισώσεις: i) < ii) - 0 iii) +<0 iv)4-8 < Να λυθούν οι ανισώσεις: i) >7 ii) -7 0 iii) +>0 iv)- +6 < 0 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) d(,0) ii) - <0 iii) +>0 iv) - > Να λυθούν οι ανισώσεις: i) < 6 ii) < < iii) < - < iv) -< < Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 8 ii) 6 iii) 7 iv) 0 v) 0 vi) 48. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 4 0 ii) iii) 4 iv) 7 v) 7 vi) Να λυθούν οι ανισώσεις: 67

7 i) 6 4 ii) 4 iii) 7 iv) 4 v) 4 4 vi) Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 7 ii) iii) 4 iv) 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 7 0 ii) 9 0 iii) 6 0 iv) 0. Να λυθούν οι ανισώσεις: 4 4 i) 4 ii) iii) 4 8 iv) v) 7 vi) 6 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 6 ii) iii) iv) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων : i) και 4 ii) και iii) 6 9 και iv) και. Να λυθεί η ανίσωση: 6. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) ii) iii) 4 7. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) ii) iii) 8 iv) Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) 6 iii) 4 iv) 4 8 v) 4 vi) 9. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) 4 iii) iv) v) 4 0 vi) Να λυθούν οι ανισώσεις: i) d(,) ii) d (, 4) iii) d(, ) 7 68

8 iv) d(, ) 9 v) d(,) d(, ) vi) d(, ) d(,4) 6. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) > ii) iii) >- iv) - v) < vi) - 6. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) iii) 4 7 iv) 6 4 v) vi) Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) 64. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) iii) 4 iv) 4 6. Να λύσετε την ανίσωση : Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει : i) ii) Να λυθούν οι ανισώσεις: i) d(,) d(, ) ii) 4 d(,) 70. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 9 ii) 7 iii) 4 4 iv) Να λύσετε την ανίσωση : 4 7. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 8 ii) 7. Να λύσετε την ανίσωση : 69

9 74. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) ii) 7. Να λυθούν τα συστήματα : i) 4 και ii) και iii) 8 και iv) 6 και 76. Αν και y,να αποδείξετε ότι : i) y 8 ii) 4 y 9 iii) y Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε ένα άξονα τους αριθμούς -6 και αντίστοιχα και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. i) Να βρείτε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σημείο Μ. ii) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της ανίσωσης - +6 και να βρείτε τις λύσεις της iii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματα σας. 78. Να συμπληρωθεί ο πίνακας: ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ d (,) d (,4) 6 6 Προβλήματα 79. Το πάγιο ποσό στο λογαριασμό κατανάλωσης του νερού είναι, ευρώ, και το κάθε m νερού κοστίζει 0, ευρώ. Πόσα το πολύ m μπορούμε να καταναλώσουμε, για να πληρώσουμε το πολύ 40. Συνδυαστικά θέματα ( ) ( ) 80. Δίνεται η εξίσωση : και η ανίσωση :.Να βρείτε για ποιες 4 0 τιμές του μ,η λύση της εξίσωσης επαληθεύει την ανίσωση. 8. Δίνεται η εξίσωση : ( ) ( ) () i) Να λύσετε την εξίσωση () για τις διάφορες τιμές του λ ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ,η εξίσωση () έχει μοναδική λύση που είναι μεγαλύτερη του αριθμού Δίνεται η εξίσωση : ( )( ) ( ) ( ) () Να βρείτε για ποιες τιμές του λ,η εξίσωση () έχει μοναδική λύση,η οποία ανήκει στο διάστημα [-,) 8. Δίνεται η εξίσωση : () ( )( ) 4 ( ) ().Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα,να βρείτε: i) τον αριθμό λ 70

10 4 ( ) ii) τις κοινές λύσεις των ανισώσεων : 6 7 ( ) ( ) 4 () 4 6 () και 84. Δίνεται ο αριθμός : i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός λ είναι ακέραιος ( ) () 7 ii) Να λύσετε την ανίσωση : 4 8. Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει : ( ) να λύσετε τις ανισώσεις: 6 i) 4 8 ii) ( ) 86. Δίνεται η ανίσωση -α <β με α,β R, της οποίας η λύση είναι το διάστημα (,7). i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β ii) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε, να λύσετε την ανίσωση: a 87. Δίνεται η παράσταση : i)να απλοποιήσετε την παράσταση Α ii) Να λύσετε την εξίσωση Α = 0 iii) Να λύσετε την ανίσωση Δίνεται η εξίσωση 4 0 και έστω, οι ρίζες της. i) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α) S β) P γ) A ii) Για τις τιμές των παραστάσεων που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση: A P S 89. Δίνονται οι αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει : 0. i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β ii) Να λύσετε την ανίσωση : iii) Να λύσετε την εξίσωση : iv) Να λύσετε την ανίσωση : 90. Δίνεται η εξίσωση 4 ( ) 0 (). i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μία διπλή ρίζα για κάθε πραγματικό αριθμό λ. ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η διπλή ρίζα της εξίσωσης είναι : α)ίση με 8 β) μικρότερη του γ)ανήκει στο διάστημα [4,6] 9. Δίνεται η εξίσωση 4 0 (). i) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση () να έχει πραγματικές ρίζες. ii) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης (),να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύουν: 7

11 α) β) 4 9. Δίνεται η εξίσωση 6 0 (). i) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση () να έχει πραγματικές ρίζες. ii) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης (),να βρείτε το λ, ώστε να ισχύει : Έστω Ω={0,,,,,9} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) A = {λω/η εξίσωση 6 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες} ii) Β = {λω/το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης γινόμενο των ριζών της} 0 είναι μικρότερο από το 94. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,για τα οποία ισχύει ότι : η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 8 η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α καιβ είναι 4 i) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α),Ρ(Β) και Ρ(ΑΒ) ii) Να λύσετε την ανίσωση : ( ) X P(B ) (( ) ( )) 7