ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

Transcript

1 ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο λέγεται σταθερό και πότε μηδενικό; Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο φύλλο των απαντήσεών σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που ακολουθεί σε κάθε πρόταση: α Η συνάρτηση f() = ημ είναι περιοδική με περίοδο π β Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού γ Η συνάρτηση f() = συν έχει πεδίο ορισμού [ 1, 1] δ Για κάθε > ισχύει e ln = ε Η συνάρτηση f() = α με <α<1 είναι γνησίως φθίνουσα στο I Δίνεται το πολυώνυμο P() = 4 +α 3 +β + 4, όπου α, β I Το P() έχει παράγοντα το 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το + 1 είναι το 6 Β1 Να δείξετε ότι α = 1 και β = Β Να λύσετε την εξίσωση P() = Β3 Να λύσετε την ανίσωση P() > Β4 Να λύσετε την εξίσωση συν 4 συν 3 + ημ συν + = στο διάστημα [ π, π) ΘΕΜΑ Γ Υπάρχουν τιμές του ώστε το σύστημα Γ1 έχει μοναδική λύση και να την υπολογίσετε 4 µy 9 µ 18y 7 Γ έχει άπειρες λύσεις και να τις υπολογίσετε εφόσον υπάρχουν Γ3Στην περίπτωση που έχει μοναδική λύση, y να βρείτε για ποιες τιμές του μ ώστε να ισχύει ΘΕΜΑ Δ e 7 e 3 9 y Δίνεται η συνάρτηση f() = log(4 ) Δ1 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 log5 4 να

2 Δ Να λύσετε την ανίσωση Δ3 Να λύσετε την εξίσωση f() + f( 1 ) = 1 + log Δ4 Να λύσετε την εξίσωση ημ = f( 5 ) + f(1) f( 3 ) Θ Ε Μ Α Α ο δείγμα Α Να αποδείξετε ότι: Ένα πολυώνυμο P ( ) έχει παράγοντα το αν και μόνο αν το είναι ρίζα του P, ( ) δηλαδή αν και μόνο αν P ( ) Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη «Σωστό» ή «Λάθος» δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α 1 θ log, 1 ln 1 β ln, θ1, θ > ln γ Ένας αριθμός ρ, λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου ( ) ( ) δ Η συνάρτηση f ( ) ( ) έχει περίοδο αν και μόνο αν, ισχύει Γ Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τα παρακάτω : α β log a a όπου, α 1 και γ H συνάρτηση f () e, είναι γνησίως δ log a όπου α >, α 1, και Δίνεται το πολυώνυμο : 3 P( ) 4 όπου, α Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Ρ() και () 3, να βρείτε τους αριθμούς α και β β Αν και 5, να λυθεί η εξίσωση ( ) 1+13 Θ Ε Μ Α Γ Δίνεται το πολυώνυμο 3 P( ) ln( ) ln(1 ) 8,

3 όπου, i Να αποδείξετε ότι το είναι ρίζα του ( ) ii Αν, να λύσετε την εξίσωση ( ) 13+1 Θ Ε Μ Α Δ Δίνεται η συνάρτηση f( ) για κάθε 1 α Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα β Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και f () 4, i Nα υπολογίσετε το α ii Για a να λύσετε την ανίσωση f( 1) 8 3 ο δείγμα Α Να δείξετε ότι, το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P με το είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για, δηλαδή P Β Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισοδυναμίες, που μας δίνουν τις λύσεις των αντίστοιχων τριγωνομετρικών εξισώσεων 1, k, k 3, k Γ Θεωρούμε τη εκθετική συνάρτηση: f ( ) e, Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας τη λέξη «Σωστό» ή «Λάθος», δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση α Η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το, β Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο γ Το σημείο 1, ανήκει στην γραφική παράσταση της f Δίνεται το πολυώνυμο: 3 ( ) 6 11, 3

4 Α Να βρεθεί το ώστε η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου ( ) για 1 να είναι ίση με 4 Β Για 6 να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου ( ) με το πολυώνυμο 1 Γ Να λυθεί η ανίσωση: ( ) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση: f e 1 ln e 1 Α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Β Να λυθεί η εξίσωση: f Γ Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα ' ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το πολυώνυμο: ln 1,,,, Α Αν το πολυώνυμο είναι 3 ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1, να βρεθούν τα, 3 Β Αν 1, να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες ισχύει: Γ Να λυθούν: Ι) η εξίσωση, ό, ΙΙ) η ανίσωση ln 4 ο δείγμα ΑαΑν α> με α 1,να αποδείξετε ότι για κάθε θ> και κє ισχύει log α θ κ =κlog α θ βη συνάρτηση f() = log α χ,α>,α 1 είναι:

5 1για α>1 γνησίως για <α<1 γνησίως Να συμπληρώσετε τα παραπάνω κενά Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη (Σ) ή (Λ) αν είναι σωστές ή λάθος αντίστοιχα αγια κάθε χ> ισχύει e ln =χ β Η συνάρτηση f() = α, <α 1 έχει σύνολο τιμών το (,+ ) γ Για κάθε χ ισχύει :ln =ln δοι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()=ln και g() = e έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=-χ εαν το πολυώνυμο P(χ) είναι v βαθμού με v N*τότε το πολυώνυμο P(χ)(χ -4) έχει βαθμό v+ στη εξίσωση ημχ=log1 +συν1 είναι αδύνατη Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [-3,3],η οποία είναι περιττή και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-3,3] i Αν είναι f(-)=15,να υπολογίσετε το f() ii Αν η f παρουσιάζει μέγιστο για =-3 το f(-3)=35 να δείξετε η f παρουσιάζει ελάχιστο για =3 και να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της iii Να λυθεί η ανίσωση f(-)<f() 3 iv Aν είναι f()= 5,να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g που προκύπτει από μετατόπιση της C κατά μονάδες αριστερά και 5 μονάδες προς τα κάτω f ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=ασυν( όπου α,β Αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(,-) και Β(,β) τότε: α να αποδείξετε ότι α=- και β= βνα βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της γ Να λύσετε την εξίσωση f(χ)= ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=ln(3e e χ -) 5

6 α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln και να βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ χ γ Να λυθεί η εξίσωση f(χ)=3χ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα Πότε ένα κυρτό πολύγωνο λέγεται κανονικό; 3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν α, β, γ πλευρές τριγώνου ΑΒΓ με α < β + γ τότε β Σε ένα κανονικό ν γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ισχύει: α ν +λ ν =, όπου λ ν η πλευρά και α ν το απόστημα του γ Το μήκος τόξου μ ενός κύκλου (Ο, ) ισούται με: 9 18 δ Η πλευρά ενός κανονικού τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο, ) ισούται με 4 ε Ένας τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού τριγώνου ΑΒΓ είναι και ο Ε = τ ρ, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και τ, η ημιπερίμετρος του Μονάδες1+5+ 5=1 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 6, β = 14, γ = 1 1 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι ( ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου (Ι, ρ) του τριγώνου ΑΒΓ 4 Να υπολογιστεί το μήκος της διαμέσου μβ Μονάδες =5 6

7 ΘΕΜΑ Γ Σε κύκλο (Ο, ) προεκτείνουμε την διάμετρο ΑΒ κατά τμήμα ΒΓ = και κατά τμήμα ΑΔ = Φέρνουμε τέμνουσα ΔΕΜ τέτοια ώστε 7 1 Να αποδείξετε ότι 3 Να αποδείξετε ότι το ΓΜ είναι εφαπτόμενο τμήμα 3 Να υπολογίσετε την ΔΕ σε συνάρτηση του 4 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μικτόγραμμου τριγώνου ΜΒΓ Μονάδες =5 ΘΕΜΑ Δ Στο διπλανό σχήμα δίνονται: 3, 3 4 Μ μέσο της ΑΓ και ΜΗ // ΑΒ Να αποδείξετε ότι: 1 (ΗΜΕ) = (ΗΕΓ) (ΗΜΑ)= (ΑΒΗ) 3, ( ) 1 ( ) 3 Μονάδες 8+8+9=5 ο δείγμα Α1 Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του, είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα Μονάδες 1 Α Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος Μονάδες 5 Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση 7

8 α Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει τότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο β Η δύναμη ενός σημείου ως προς κύκλο (O,) δίνεται από τον τύπο (O,) O γ Το εμβαδόν τριγώνου, δίνεται από τον τύπο (ΑΒΓ) 4ρ, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου δ Για την κεντρική γωνία κάθε κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές ισχύει o 36 ε Σε κάθε κανονικό πολύγωνο με πλευρές, εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ισχύει 4 Μονάδες 5=1 αχ 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α = Χγ και μα = Β1 Να δείξετε ότι β = γχ 7 Β Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του ΧΧ γ 7 Β3 Αν ΒΔ το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι: ΑΔ = 7 Β4 Βρείτε το λόγο των εμβαδών: ( ΒΔΜ ), όπου Μ το μέσο της πλευράς β ( ΑΒΓ ) Μονάδες =5 ΘΕΜΑ Γ o Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο Α ΒΓ, ( Α 9 ) με = και τον κύκλο που διέρχεται από τα, και τέμνει τις προεκτάσεις των και στα σημεία και αντίστοιχα ώστε 1,8, και 15 Γ1 Να αποδείξετε ότι =1 Γ Να υπολογίσετε το μήκος της Γ3 Αν το μέσο της και το μέσο της, να αποδείξετε ότι 3(Α Γ)=8( ) Μονάδες 9+7+9=5 8

9 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται κύκλος (K,5),η διάμετρος του και ένα σημείο του Γ διαφορετικό των Α και Β Η εφαπτόμενη του κύκλου στο Γ τέμνει,τις κάθετες στα άκρα Α και Β της διαμέτρου ΑΒ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα Έστω Μ το μέσο της ΕΖ Δ1 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΚΖ είναι ορθογώνιο Δ Να αποδείξετε ότι : AE ΧBZ = 5 Δ3 Να υπολογίσετε την τιμή της Ε Ζ παράστασης: Δ( ) ΔΧ Κ, ( Κ,) Δ4 Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου ( AB ZE) = AB ΧK M Μονάδες =5 3 ο δείγμα Ι Αν, οι βάσεις τραπεζίου και το ύψος του, να δείξετε ότι το εμβαδόν του ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του, δηλαδή: ΙΙ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας την λέξη «Σωστό» ή «Λάθος» δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα τότε ισχύει: β Αν διάμεσος τριγώνου τότε ισχύει: γ Σε δύο κανονικά ν-γωνα ισχύει: δ Η πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, είναι 6 3 ΙΙΙ Να αντιστοιχίσετε τις τιμές της δύναμης του σημείου ως προς τον κύκλο,, της στήλης Α, με την θέση του σημείου, ως προς τον κύκλο,, της στήλης Β ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α, 1 Το σημείο είναι εσωτερικό του κύκλου, 9

10 Β, Το σημείο ταυτίζεται με το κέντρο του κύκλου, Γ, 3 Το σημείο είναι εξωτερικό του κύκλου, Δ, 4 Το σημείο ανήκει στον κύκλου, Δίνεται τρίγωνο με και 3 Ι Να δείξετε ότι: 3 ΙΙ Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του ΙΙΙ Να δείξετε ότι η προβολή της διαμέσου στην πλευρά είναι ίση με ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με Στις πλευρές,, παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία,, τέτοια ώστε: 1 1 1,, 3 3 3, όπως στο σχήμα Να δείξετε ότι: Ι ΙΙ 9 ΙΙΙ 1 3 IV Όπου το εμβαδό του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο 1

11 πλευράς με,, τα μέσα των πλευρών του,, αντίστοιχα Εξωτερικά του τριγώνου είναι τα δύο ημικύκλια με διαμέτρους, και εσωτερικά τα τόξα, των κύκλων,,, αντίστοιχα Να βρεθούν, ως συνάρτηση του : Ι Η περίμετρος της γραμμοσκιασμένης «καρδούλας» ΙΙ Το εμβαδό της γραμμοσκιασμένης «καρδούλας» ΙΙΙ Το εμβαδό του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου