ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Ειδικές μέθοδοι κλίσης - Τεχνικές φραγής/ποινής - Σύνθετα προβλήματα
ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ Απορία: Πως επιλύονται με τις αριθμητικές μεθόδους κλίσης τα προβλήματα που έχουν περιορισμούς? Υπολογισμός του min(f) και έλεγχος αν ικανοποιεί τους περιορισμούς ΝΑΙ ΟΧΙ Λύση! Υπολογισμός min(l) Συνθήκες KKT Αναζήτηση βέλτιστου = «Απαιτητική» διεργασία! Ειδικές μέθοδοι για τα προβλήματα με περιορισμούς Τροποποιημένοι αλγόριθμοι κλίσης. Τεχνικές με συναρτήσεις ποινής/φραγής. 2
ΕΙΔΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΛΙΣΗΣ Μέθοδος των συζυγών κλίσεων: Επιλογή κατεύθυνσης: Ο γραμμικός συνδυασμός του D = f στο τρέχον και το προηγούμενο σημείο. Προσέγγιση f με σειρά Taylor 2 ης τάξης. Ελαχιστοποίηση f Γραμμικό σύστημα. Ταχύτερη από τη μέθοδο Newton! Μέθοδος των εφικτών κατευθύνσεων: Επιλογή αρχικού σημείου: Εντός της εφικτής περιοχής. Επιλογή κατεύθυνσης/βήματος: Έλεγχος τιμών (ανά βήμα) ώστε να μη παραβιάζονται οι περιορισμοί. 3
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΟΙΝΗΣ/ΦΡΑΓΗΣ Ορίζω βοηθητικές συναρτήσεις P(X), B(X) 0 για την (αριθμητική) «απαλοιφή» των περιορισμών W(X). Penalty functions (ποινή): P(X) = 0 όταν W(X) 0 P(X) > 0 όταν W(X) > 0 Barrier functions (φραγή): Β(X) ϵ R όταν W(X) 0 Β(X) ꝏ όταν W(X) 0 Ορίζεται ισοδύναμο πρόβλημα χωρίς περιορισμούς! min φ X s. t. W(X) 0 φ Χ = f X + [P X ή Β(Χ)] Ομοιότητα με τις αναλυτικές μεθόδους: Άρση περιορισμών με το φορμαλισμό Lagrange. 4
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Εξετάστε αν οι p 1 (x) = 8U(3-2x), p 2 (x) = 4x 2-9 είναι κατάλληλες για penalty function και η b(x) = log(2x-3) barrier function προβλήματος CM με w(x) = 3-2x. Ανάλυση του περιορισμού: w(x) (>) 0 όταν x (<) 3/2. Για την p 1 παρατηρούμε πως όταν x 3/2 είναι p 1 (x) = 0 και όταν x < 3/2 είναι p 1 (x) = 8 > 0. Συνεπώς, η p 1 είναι κατάλληλη για συνάρτηση ποινής του προβλήματος. Για την p 2 είναι p 2 (x) = 0 μόνο όταν x = 3/2, οπότε η p 2 δε μπορεί να είναι penalty function του προβλήματος. Για την b είναι b(x) ꝏ μόνο όταν x 3/2, οπότε είναι δυνατό να αποτελεί barrier function του προβλήματος. ΜAΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΟ 5
ADVANCED TOOLS IN MATLAB Εργαλεία τα οποία έχουν επιλογή χρήσης κάποιων από τις ειδικές μεθόδους για προβλήματα CM: fmincon Συζυγείς κλίσεις, εφικτές κατευθύνσεις. lsqnonlin Εφικτές κατευθύνσεις. Συμπέρασμα: Πολλά εργαλεία Less efficient in advanced problems του optimtool ακολουθούν την κλασσική οδό min(f) min(l). Αδυναμία απευθείας εισαγωγής συναρτήσεων ποινής ή φραγής. Λύση στο θέμα? Εισαγωγή του ισοδύναμου προβλήματος CM. 6
ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ποια είναι τα είδη συνθετότητας ενός προβλήματος που ίσως επηρεάσουν την απόδοση των εργαλείων? Μη κυρτότητα της αντικειμενικής συνάρτησης. Επιλογή αρχικού σημείου πολύ κοντά στη βέλτιστη λύση. Ακαταλληλότητα μεθόδου για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Κακή επιλογή για τα επίπεδα της αριθμητικής ακρίβειας. Ποιες μπορεί να είναι οι αρνητικές συνέπειες λόγω της κακής απόδοσης των εργαλείων/μεθόδων? Μη δυνατότητα εξεύρεσης (υπολογισμού) της λύσης. Μη κατανοητή απόκριση (output) του εργαλείου. 7
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Να λυθεί το πρόβλημα ελαχιστοποίησης συνάρτησης 2 μεταβλητών με τύπο f(x 1,x 2 ) = 5x 1 + 8x 2 34. Πρόβλημα NCM 2 μεταβλητών. Επίλυση με το fminsearch. H μέθοδος δε βρίσκει ελάχιστο, προτείνει αύξηση των iterations! Συνοπτικά στοιχεία: Υπολογίζονται πολύ μεγάλες τιμές για τα x* και f(x*). Δεν παίζει ρόλο η ακρίβεια ή η επιλογή του αρχικού σημείου. ΜAΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΟ 8
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ (συν.) Να λυθεί το πρόβλημα ελαχιστοποίησης συνάρτησης 2 μεταβλητών με τύπο f(x 1,x 2 ) = 5x 1 + 8x 2 34. Αλλαγή μεθόδου ( fminunc): Στην 1 η επανάληψη η μέθοδος προειδοποιεί ότι the problem appears unbounded. Οριοθέτηση λύσης (A X* B): Υπολογίζεται ως λύση πάντα η κατώτατη τιμή Α = [α 1 α 2 ]. Αίτιο της αστοχίας ( θεωρία): Η f(x) είναι ψευδοκυρτή! ΜAΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΟ 9
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 1 άσκηση προς επεξεργασία: Αριθμητική επίλυση προβλήματος CM με αλγορίθμους κλίσης. Ανάλυση διαδικασίας επίλυσης. Λύση με διαφορετικές μεθόδους. Σύγκριση με τη λύση NCM. Παράδοση της άσκησης 4/6/18. Διορία για την παράδοση: 2 εβδομάδες! Επικοινωνία με e-mail αν έχετε απορίες (εκτός της περιόδου 25/5/18 28/5/18). 10
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ειδικές μέθοδοι κλίσης Τεχνικές φραγής/ποινής Σύνθετα προβλήματα 11