ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Αναλυτικές τεχνικές - Ειδικά θέματα θεωρίας - Λύση ασκήσεων πράξης

2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Να επιλύουμε προβλήματα βελτιστοποίησης με «χαρτί και μολύβι» όταν υπάρχει μαθηματικός τύπος για την αντικειμενική συνάρτηση (π.χ. f(x 1,x 2 ) = 3x 12-5x 23 +4). όταν εκφράζονται αναλυτικά οι περιορισμοί (π.χ. x<2). Βήματα για την αναλυτική επίλυση προβλημάτων: Αντιστοίχιση δεδομένων/ζητούμενων σε μεταβλητές. Ορισμός της αντικειμενικής συνάρτησης. Διατύπωση των σχέσεων περιορισμών (αν υπάρχουν). Εφαρμογή των συνθηκών ελαχιστοποίησης. 2

3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ελαχιστοποίηση χωρίς περιορισμούς: Ανάλυση κυρτότητας στα κρίσιμα σημεία. Ελαχιστοποίηση με περιορισμούς ισότητας: Ορισμός της συνάρτησης Lagrange. Θεώρηση ως πρόβλημα χωρίς περιορισμούς. Ελαχιστοποίηση με μικτούς περιορισμούς: Καθορισμός του εφικτού χώρου λύσεων. Εύρεση ενεργών περιορισμών (και μηδενισμός των αντίστοιχων πολλαπλασιαστών). Διατύπωση και επίλυση των συνθηκών ΚKΤ. 3

4 ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Εφαρμογή συνθήκων ΚΚΤ στις ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων βελτιστοποίησης: Απουσία περιορισμών Η 2 η συνθήκη ισχύει (L=f). Περιορισμοί ισότητας (πρόβλημα ECM H(X)=0). Περιορισμοί ανισότητας (πρόβλημα NECM G(X)<0). Ανάλυση της διαδικασίας απαλοιφής περιορισμών μέσω της μεθόδου Lagrange και των συνθηκών ΚΚΤ: Πολλαπλασιαστές Lagrange και ύπαρξη βέλτιστης λύσης. Σύνδεση της βέλτιστης λύσης που υπολογίζεται με βάση τις συνθήκες KKT με την ελάχιστη τιμή της f. 4

5 ΚΚΤ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ECM Εφαρμογή συνθήκων ΚΚΤ στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε μόνο περιορισμούς ισότητας: Λ 0 Η 1 η συνθήκη (M 0) ισχύει. L Χ, Λ = 0 Η 2 η συνθήκη ( L Χ, Μ = 0) ισχύει. Η Χ = 0 Η 3 η συνθήκη (M W(Χ ) = 0) ισχύει. Συμπέρασμα: Οι συνθήκες KKT ισχύουν ως έχουν!!! Όλοι οι περιορισμοί ισότητας λειτουργούν ως ενεργοί περιορισμοί ενός (γενικότερου) προβλήματος ICM. Το πρόβλημα ECM «ενσωματώνεται» στο πρόβλημα ICM. Ερώτημα: Πότε οι πολλαπλασιαστές EC είναι μηδενικοί? 5

6 ΚΚΤ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ NECM Εφαρμογή συνθήκων ΚΚΤ στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε περιορισμούς «καθαρές» ανισότητες: L Χ, Κ = 0 Η 2 η συνθήκη ισχύει. G Χ < 0 Η 3 η συνθήκη ισχύει μόνο αν Κ = 0. Όταν Κ = 0, τότε και η 1 η συνθήκη ισχύει. Συμπέρασμα: Οι συνθήκες KKT ισχύουν ως έχουν!!! Οι περιορισμοί με ανισότητες λειτουργούν ως μη ενεργοί περιορισμοί ενός (γενικότερου) προβλήματος ICM. Το πρόβλημα ΝECM «ενσωματώνεται» στο πρόβλημα ICM. Προσοχή: Οι πολλαπλασιαστές ΝEC πρέπει να είναι όλοι 0! 6

7 ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ Πιθανά ερωτήματα σχετικά με το πως μεταβαίνουμε σε πρόβλημα NCM μέσω των συνθηκών ΚΚΤ: Οι πολλαπλασιαστές υποδεικνύουν την ύπαρξη λύσης? Ποια η σχέση του βέλτιστου σημείου που προκύπτει από τις συνθήκες KKT με τα κρίσιμα σημεία της f? Απάντηση: Οι συνθήκες ΚΚΤ λειτουργούν (και) σαν κριτήρια για την επιλογή της βέλτιστης τιμής της f. Απουσία περιορισμών Το βέλτιστο είναι το min(f)! Με περιορισμούς Αν το min(f) τους ικανοποιεί, τότε είναι το βέλτιστο, αλλιώς (με τη χρήση των πολλαπλασιαστών) επιλέγεται το κοντινότερο σημείο που τους ικανοποιεί. 7

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Είναι το ελάχιστο της f(x 1,x 2 ) = x 12-2x 1 + x λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης της f υπό τους περιορισμούς x 1 + x 2 0 και x ? Υπολογίζουμε τα κρίσιμα σημεία της f: f(χ ) = f x 1 f x 2 = 2x 1 2 2x 2 = 0 (x 1, x 2 ) = (1,0). 2 f Χ = 2Ι > 0 Το (x 1, x 2 ) είναι τοπικό ελάχιστο. Το (x 1, x 2 ) ικανοποιεί το 2 ο περιορισμό (1 2-4 = -3 < 0), αλλά όχι και τον 1 ο περιορισμό (1-0 = 1 > 0). Τα ακρότατα της f δεν είναι λύσεις του προβλήματος! Λύση που δίνουν οι συνθήκες ΚΚΤ (x 1, x 2 ) = (2,-2). 8

9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ (συν.) Στο ίδιο πρόβλημα, τι θα συμβεί στην περίπτωση που ο 1 ος περιορισμός αντικατασταθεί με τον -x 1 + x 2 0? Το (x 1, x 2 ) ικανοποιεί τον 1 ο περιορισμό (- 1-0 = -1 < 0). Το ελάχιστο της f είναι λύση του προβλήματος, οπότε θα πρέπει να προκύπτει και από τις συνθήκες ΚΚΤ! Αριθμητική επίλυση των συνθηκών ΚΚΤ (MATHEMATICA): Αποδεκτή λύση (με βάση την 1 η συνθήκη) μόνο το min(f). 9

10 ΟΡΙΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Σε πολλές περιπτώσεις δεν είναι δυνατή η εφαρμογή των αναλυτικών τεχνικών (πχ. συνθήκες ΚΚΤ): Όταν δεν υπάρχει η δυνατότητα αναλυτικής περιγραφής της αντικειμενικής συνάρτησης ή/και των περιορισμών. Όταν οι εξισώσεις που δημιουργούνται από τις συνθήκες ελαχιστοποίησης δε λύνονται αναλυτικά. Λύση: Οι αριθμητικές τεχνικές! Προσεγγιστική λύση προβλημάτων. Αλγόριθμοι αριθμητικής ανάλυσης. Επίλυση με τη βοήθεια Η/Υ. 10

11 ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ Επίλυση 2 ασκήσεων πράξης από τη 2 η σειρά. Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση: f 4 (x 1,x 2 ) = 7x 1 + x 1 x x 2 x 1, για x 1, x 2 μη μηδενικούς (πραγματικούς) αριθμούς. Να υπολογιστούν: (α) τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου παραλληλογράμμου (ίσα με a και b), και (β) το μήκος της ακτίνας κύκλου (ίση με r), έτσι ώστε η περίμετρος Π του καθενός σχήματος να είναι η ελάχιστη δυνατή (το εμβαδό είναι σταθερό και ίσο με Ε 0 ). 11

12 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Αναλυτικές τεχνικές Ειδικά θέματα θεωρίας Λύση ασκήσεων πράξης 12