Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: Τηλ: Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο Βιβλιοθήκης, 1 ος όροφος. Ώρες Γραφείου: Πέμπτη , Παρασκευή

2 Αριστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής Τι σημαίνει αριστοποίηση; Τι είναι τα ακρότατα; -Η αριστοποίηση αφορά την εύρεση τιμών των ανεξαρτήτων μεταβλητών για τις οποίες η εξαρτημένη μεταβλητή αποκτά τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της. πχ Για 5 μονάδες αγαθού (ανεξάρτητη μεταβλητή) το κέρδος (εξαρτημένη μεταβλητή) είναι μέγιστο. Σε γενική μορφή: y f ( x) x ( ) - Ζητάμε την τιμή που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση. x f ( x) - Η τιμή ονομάζεται ακρότατο της. f x

3 Αριστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής Ορισμοί: Ολικό και Τοπικό Μέγιστο f ( x) Ορισμός 1 (Ολικό μέγιστο): Έστω η συνάρτηση το σημείο είναι ολικό μέγιστο όταν f ( x ) f ( x) για κάθε x x f ( x) Ορισμός (Τοπικό μέγιστο): Έστω η συνάρτηση το σημείο είναι τοπικό μέγιστο όταν f ( xˆ ) f ( x) για κάθε xˆ x xˆ ˆx για κάθε x σε ένα (μικρό) διάστημα γύρω από το ˆx

4 Αριστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής Αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη (existence) ακροτάτου Θεώρημα (Αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ακρότατων): διαφορίσιμη συνάρτηση τότε f ( x ) 0 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ f ( x) έχει τοπικό μέγιστο/ελάχιστο στο σημείο Αν η x Η αναγκαία αυτή συνθήκη είναι γνωστή ως συνθήκη πρώτης τάξης (first-order condition).

5 Αριστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής Παραδείγμα για το Θεώρημα: (Συνθήκη πρώτης τάξης) y f ( x) Παράδειγμα : Έστω και ότι στο έχει την μέγιστη τιμή της. Αυτό σημαίνει ότι είναι αδύνατο να αυξήσουμε το y σε κάποιο διάστημα. Θα δείξουμε γιατί η συνθήκη πρώτης τάξης είναι αναγκαία. Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μας δείχνει πως μεταβολές στο x επηρεάζουνε το y. f ( x ) 0 Αν και dx 0 dy 0 η συνάρτηση αυξήθηκε άρα δεν είναι μέγιστο. Αν f( x ) 0 και dx 0 dy 0 η συνάρτηση αυξήθηκε άρα δεν είναι μέγιστο. f ( x ) 0 Επομένως μόνο αν οποιαδήποτε μεταβολή στο x αφήνει ανεπηρέαστο το y, οπότε το είναι ακρότατο. x x ' dy f ( x ) dx

6 Αριστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής Παραδείγματα για το Θεώρημα: (Συνθήκη πρώτης τάξης) Παράδειγμα : f x ( ) x 4 lim x lim x f ( x) x f x x ( ) 0 στο σημείο όπου 0. Παράδειγμα 3: f ( x) 4 x lim x lim x f ( x) x f x x ( ) 0 στο σημείο όπου 0. Ελάχιστο Η ευθεία που εφάπτεται στο ακρότατο είναι οριζόντια. Μέγιστο

7 Αριστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής Πως ξεχωρίζουμε ένα σημείο σε μέγιστο/ελάχιστο, σημείο καμπής; ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - Έστω ότι η συνάρτηση είναι διπλά παραγωγίσιμη, οι δεύτερες παράγωγοι μας βοηθούν να ξεχωρίζουμε τα ακρότατα από τα σημεία καμπής. Θεώρημα (Συνθήκη δεύτερης τάξης): Έστω η συνάρτηση f ( x) είναι διπλά παραγωγίσιμη: (Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) f ( x) 0 και f ( x) 0 τότε έχουμε τοπικό μέγιστο στο x f ( x) 0 και f ( x) 0 τότε έχουμε τοπικό ελάχιστο στο x f ( x) 0 και f ( x) 0 τότε το κριτήριο αποτυγχάνει (έχουμε σημείο καμπής στο x εαν η πρόσημο εκατέρωθεν του x ) f αλλάζει

8 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Κυρτότητα μονομετάβλητης συνάρτησης Η κυρτότητα των συναρτήσεων παίζει σημαντικό ρόλο στα προβλήματα αριστοποίησης Η ιδιότητα που προσδιορίζει μία κυρτή συνάρτηση είναι ότι η γραμμή που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία πάνω στη συνάρτηση,βρίσκεται πάνω από την συνάρτηση: f ( x) f ( x ) (1 ) f ( x ) όπου low high x x (1 ) x, [0,1] Η ιδιότητα που προσδιορίζει μία κοίλη συνάρτηση είναι ότι η γραμμή που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία πάνω στη συνάρτηση,βρίσκεται κάτω από την συνάρτηση: low high f ( x) f ( x ) (1 ) f ( x ) low high όπου x x (1 ) x, [0,1] low high Για συναρτήσεις μιας μεταβλητής, στις κυρτές συναρτήσεις η β παράγωγος είναι θετική. Στις κοίλες συναρτήσεις η β παράγωγος είναι αρνητική.

9 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριστοποίηση συναρτήσεων με πολλές μεταβλητές Ορισμός (Μερική παράγωγος β τάξης - Hessian): Η μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της συνάρτησης x f x 1 1 f 11 y f ( x, x ) 1 x f x 1 δίνονται απο: f x f f1 x1x Ο πίνακας που εκφράζει τις δεύτερες μερικές παραγώγους μιας πολυμεταβλητής συνάρτησης ονομάζεται Hessian μήτρα. x f 1 f Όπως και με τις κανονικές παραγώγους, μπορούμε να παραγωγίσουμε ξανά για να βρούμε τις μερικές παραγώγους β τάξης. Κάθε συνάρτηση με n ανεξάρτητες μεταβλητές έχει n παραγώγους α τάξης. Κάθε μία απο αυτές τις μερικές παραγώγους μπορεί να παραγωγιθεί ως προς οποιαδήποτε από τις n μεταβλητές. Οπότε έχουμε nxn παραγώγους β τάξης.

10 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριστοποίηση συναρτήσεων με πολλές μεταβλητές Οι συνθήκες για το σημείο στασιμότητας των συναρτήσεων με πολλές μεταβλητές είναι παρόμοιες με αυτές των συναρτήσεων μιας μεταβλητής Θεώρημα (Αναγκαία Συνθήκη) Έστω μια πολυμεταβλητή, παραγωγίσιμη συνάρτηση στο πραγματικό χώρο. Το σημείο είναι σημείο στασιμότητας αν και μόνο αν 1 3 n ( x, x,..., x ) 1 n f f f f... 0 x x x x Στην περίπτωση των συναρτήσεων μιας μεταβλητής, τα σημεία στασιμότητας είναι είτε ακρότατα είτε σημεία καμπής. Στην περίπτωση των πολυμεταβλητών συναρτήσεων υπάρχει επίσης ένα διαφορετικό σημείο στασιμότητας, το σαγματικό σημείο.

11 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριστοποίηση συναρτήσεων με πολλές μεταβλητές Όπως και στις συναρτήσεις με μια μεταβλητή, χρειαζόμαστε τις παραγώγους β τάξης για να ταξινομήσουμε τα σημεία στασιμότητας σε μέγιστα/ελάχιστα κ σημεία σέλας. Θεώρημα. Έστω μια πολυμεταβλητή, παραγωγίσιμη συνάρτηση στο πραγματικό χώρο και ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες: (Ι) (Αναγκαία Συνθήκη) f f f f... 0 x x x x 1 3 n (ΙΙ) (Ικανή Συνθήκη) Ο Ηessian της f στο σημείο στασιμότητας είναι θετικά (αρνητικά) ορισμένος Τότε το ( x, x,..., x ) 1 n είναι τοπικό ελάχιστο (μέγιστο). (ΙΙΙ) (Ικανή Συνθήκη) Ο Ηessian της f είναι θετικά (αρνητικά) ορισμένος τότε ολικό ελάχιστο (μέγιστο) ( x, x,..., x ) 1 n

12 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Γεωμετρική απεικόνιση Μέγιστο Σαγματικό Σημείο

13 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Εφαρμογή: Σημεία στασιμότητας. Εφαρμογη (Μονοπώλιο): Μια επιχείρηση παράγει δυο αγαθά i=1,. Η συνάρτηση p 100 q ζήτησης για το 1 είναι για το και μηδενικό κόστος. 1 1 p 60 q Συνάρτηση κερδών: p q p q 100q q 60q q Βήμα 1: Σημεία στασιμότητας q 1 0 q q 0 q q 50 και q 15 1 p 50 και p 30 1 Βήμα : Είναι μέγιστα; 11, 4 και 1 = 1=0 0 H, 1 0 και 8 0 ολικό max 0 4

14 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριστοποίηση πολυμεταβλητών με ισοτικούς περιορισμούς. Γενική μορφή προβλημάτων: Προβλημάτα με δύο μεταβλητές: max/min f ( x1, x,..., x n ) ( x, x ) g( x, x,..., x ) 0 1 Θεώρημα 13: Έστω ότι 1 είναι η λύση του προβλήματος υπό τον περιορισμό τότε το ικανοποιεί τις: g( x, x ) 0 1 n ( x, x ) 1 max/min f ( x1, x ) (Ι) (ΙΙ) f ( x, x ) g ( x, x ) f ( x, x ) g ( x, x ) g( x, x ) 0 1

15 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριστοποίηση πολυμεταβλητών με ισοτικούς περιορισμούς. Συνθήκες α Τάξης Ορισμός: Η μέθοδος Lagrange για την εύρεση του μεγίστου (ή ελαχίστου) του προβλήματος s.t. f ( x, x,..., x ) 1 max/min 1 n g( x, x,..., x ) 0 Συνίσταται στην εύρεση των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης και στη συνέχεια των σημείων στασιμότητας της εξίσωσης Lagrange: Συνθήκες Α Ταξης L( x, x, ) f ( x, x ) g( x, x ) L( x1, x, ) f1 x1 x g1 x1 x x1 0 (, ) (, ) 0 L( x1, x, ) f x1 x g x1 x x 0 (, ) (, ) 0 L( x1, x, ) g x1 x 0 (, ) 0 n Το λ ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange και στο σημείο αριστοποιήσης μας δείχνει τις επιπτώσεις στην άριστη τιμή της συνάρτησης απο μια ελάχιστη μεταβολή του περιορισμού.

16 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριστοποίηση πολυμεταβλητών με ισοτικούς περιορισμούς Παράδειγμα 14. Να βρεθούν τα σημεία στασιμότητας της f ( x, x ) x x, s.t. 100 x 4x Βήμα 1: Φτιάχνουμε τη συνάρτηση L. Βήμα : Συνθήκες α τάξης: L( x, x, ) x x (100 x 4 x ) L( x1, x, ) x1 x x1 0 (0.5) 0 L( x1, x, ) x1 x x 0 (0.75) 4 0 L( x1, x, ) x 1 x (0.5) x x (0.75) x x ( ) 0 x1 x1 1 x 3 x x x (1.5) 18.75

17 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριστοποίηση πολυμεταβλητών με ισοτικούς περιορισμούς. Συνθήκες β Τάξης L( x, x, ) f ( x, x ) g( x, x ) ( x, x, ) Θεώρημα 14. Το σημείο στασιμότητας της εξίσωσης Lagrange είναι : 1 (Ι) Μέγιστο αν η ορίζουσα του επαυξημένου πίνακα Hessian είναι θετική. (ΙΙ) ) Ελάχιστο αν η ορίζουσα του επαυξημένου πίνακα Hessian είναι αρνητική. Ο επαυξημένος πίνακας Hessian δίνεται ώς: 0 g g 1 H g1 L11 L1 g L L 1

18 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Αριστοποίηση πολυμεταβλητών με πολλές μεταβλητές και πολλούς περιορισμούς. Το πρόβλημα για την εύρεση του μεγίστου (ή ελαχίστου) με πολλούς περιορισμούς δίνεται: 1 max/min f x1, x,..., xn s.t. 1 n g x, x,..., x 0,,,...,,,..., 1 1,,..., 1 j,,..., n m n j 1 n L x x x f x x x g x x x n + m συνθήκες πρώτης τάξης m g x1 x xn g j,,..., 0,..., (...) L x1, x,..., xn, j i 1 n j i 1 n xi j f x, x,..., x g x, x,..., x 0, i 1,..., n. L x1, x,..., xn, j 1 n j g x, x,..., x 0, j 1,..., m.

19 Αριστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Συνθήκες β τάξης με πολλές μεταβλητές ( περιορισμούς) Παράδειγμα 16. Να βρεθούν τα σημεία στασιμότητας της f ( x, x ) x x x, s. t. 100 x 3x 0, 0 x 4x Βήμα 1: Φτιάχνουμε τη συνάρτηση Lagrange. Βήμα : Συνθήκες α τάξης: L( x, x, x,, ) x x x (100 x 3 x ) (0 x 4 x ) L( x1, x, x3, 1, ) x1 x x 3 1 x (0.5) 0 L( x1, x, x3, 1, ) x1 x x 3 1 x x,, ) L x x x,, ( (0.) (0.) x x x L( x1, x, x3, 1, ) x 1 x L( x1, x, x3, 1, ) x x 3 0 (0 4 ) εξισώσεις με 5 αγνώστους ( x, x, x,, ) (40.8,6.1,3.47,0.07,0.17)

20 Βέλτιστος Έλεγχος (Συνοπτικά) Δυναμική βελτιστοποίηση σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Αν η max J f [ x( t), y( t), t] dt 0 0 s. t. x=g[ x( t), y( t), t] x(0) x T Βήμα 1: Ξεχωρίστε τη μεταβλητή κατάστασης με την μεταβλητή ελέγχου: x y Κατάστασης Ελέγχου Βήμα : Φτιάξτε την Hamiltonian: α) Αντικειμενική συνάρτηση + β) Περιορισμός (δεξιά του ). Βήμα 3: Αναγκαίες συνθήκες Ως προς τη μεταβλητή ελέγχου: Ως προς τη μεταβλητή κατάστασης: Ως προς τη σκιώδη τιμή (πολλαπλασιαστή): H f [ x( t), y( t), t] g[ x( t), y( t), t] H 0 y H x Αρχική συνθήκη: x(0) 0 Τερματική συνθήκη: ( T ) 0 H x x g [ x ( t ), y ( t ), t ] (1) () (3) x (4) (5) x

21 Βέλτιστος Έλεγχος (Συνοπτικά) Παραδείγματα : Δυναμική βελτιστοποίηση σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Παράδειγμα : s.t. x 1 ( ) J x y dt 0 y, x(0). Φτιάξτε την Hamiltonian: H x y y Αναγκαίες συνθήκες Ως προς τη μεταβλητή ελέγχου: H () t 0 y 0 y( t) y Ως προς τη μεταβλητή κατάστασης: H 1 x Ως προς τη σκιώδη τιμή (πολλαπλασιαστή): Αρχική συνθήκη: x(0) x0 Τερματική συνθήκη: (1) 0 H x x (1) () (3) (4) (5)

22 Βέλτιστος Έλεγχος (Συνοπτικά) Παραδείγματα : Δυναμική βελτιστοποίηση σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Παράδειγμα συνέχεια: Από (): () t C t 1 Από (5): Η (1) γίνεται: H (3) γίνεται: Από (4): (1) 0 ( t) 1 t 1 t y 1 t 1 t x λύνοντας την μη αυτόνομη Δ.Ε. x t C 4 1 t x(0) C x( t) t 4 Χρονική διαδρομή της μεταβλητής επιλογής: 1 1 y(0), y(1) 0, y Κάθε χρονική στιγμή μειώνουμε το y.