ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ - Καμπυλότητα συνάρτησης - Γενικές συνθήκες (NC) - Παραδείγματα

2 Κατηγορίες των συνόλων: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Το τμήμα που ενώνει κάθε Κυρτό ζεύγος σημείων βρίσκεται όλο εντός του συνόλου. Μη κυρτό Κάθε άλλο σύνολο. Πράξεις ανάμεσα στα κυρτά σύνολα: Τομή κυρτών συνόλων Κυρτό σύνολο. Ένωση κυρτών συνόλων Κυρτό σύνολο??? Κυρτός συνδυασμός Αν S R n κυρτό σύνολο, X ι S και λ ι 0 (ι = 1,, k) με σk ι=1 λ ι = 1, τότε και σk ι=1 λ ι Χ ι S. 2

3 ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός καμπυλότητας (παρόμοια με τα σύνολα): Η f είναι κυρτή όταν το τμήμα που ενώνει τυχαίο ζεύγος σημείων δε βρίσκεται ποτέ κάτω από το γράφημά της. Η f είναι κοίλη στην ακριβώς αντίθετη περίπτωση. Ορισμός κυρτότητας: Έστω κυρτό S R n και f: S R. (X 1,X 2 ) S και λ [0,1], η f είναι κυρτή (κοίλη) αν f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) ( ) λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ). Αν δεν ισχύει το =, το είδος καμπυλότητας λέγεται γνήσιο. 3

4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Kάθε συνάρτηση v: R n R λέγεται νόρμα αν είναι μη αρνητική στο R n, θετική στο R n {0} και ικανοποιεί τις σχέσεις v(ax) = a v(x) και v(x+υ) v(x) + v(υ). Δείξτε ότι η νόρμα είναι κυρτή συνάρτηση. Για X 1, X 2 R n και λ [0, 1], από τη 2 η ιδιότητα της νόρμας: v λx λ X 2 v λx 1 ) + v( 1 λ X 2. Με βάση τώρα την 1 η ιδιότητα της νόρμας: v λx λ X 2 v λx 1 ) + v( 1 λ X 2 = λv X 1 ) + 1 λ v(x 2. Ισχύει το κριτήριο κυρτού συνδυασμού v(x) κυρτή. 4

5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ f κοίλη (κυρτή) - f κυρτή (κοίλη). Αν λ ι 0, σk ι=1 λ ι = 1 και f ι κυρτές συναρτήσεις, τότε f Χ) = σk ι=1 f ι (X κυρτή και f σk ι=1 λ ι X ι σk ι=1 λ ι f(x ι ). Αν f 1, f 2 είναι κυρτές και f 2 (γνησίως) αύξουσα, τότε η σύνθεση [f 2 f 1 ](Χ) = f 2 (f 1 (Χ)) είναι (γνήσια) κυρτή. f κυρτή f X 1 X 2 X 1 f X 2 f X 1. Αν ο 2 f 0 (> 0), τότε η f είναι (γνήσια) κυρτή. Κάθε κρίσιμο σημείο (γνήσια) κυρτής συνάρτησης f είναι και (το μοναδικό) ολικό ελάχιστο της f. 5

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Δείξτε ότι οι συναρτήσεις f 1 X = ln e x 1 + e x 2 και f 2 X = x 1 2 4x 1 x 2 + 5x 2 2 ln x 1 x 2 είναι κυρτές. Για την f 1 αρκεί να δείξουμε ότι 2 f 1 0: 2 f 1 = ex 1+x2 e x 1+e x f 2 = g 3 + g 4, με g 3 X = x 1 2 4x 1 x 2 + 5x 22 και g 4 X = ln x 1 x 2. Αρκεί να είναι οι g 3, g 4 κυρτές. Για τις ιδιοτιμές του 2 g 3 : 2 g 3 = γ 3Ι 2 g 3 = γ γ 3 10 = γ γ = 0. Θετικές ρίζες (s = 12, p = 4) 2 g 3 0 g 3 κυρτή. g 5 (y) = ln(y) κυρτή ( 2 g 5 y = y 2 > 0) g 4 κυρτή. 6

7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Υπάρχουν συναρτήσεις κυρτές σε υποσύνολο του συνόλου στο οποίο αναζήτουμε βέλτιστη λύση. Σχεδόν κυρτή Ενδεχόμενη αλλαγή καμπυλότητας. Ψευδοκυρτή Σαγματικά σημεία εντός του συνόλου. Κριτήριο προσεγγιστικά κυρτών συναρτήσεων: Για κάθε ζεύγος (X 1, X 2 ) του κυρτού συνόλου S R n και κάθε λ [0, 1], η συνάρτηση f: S R θα καλείται σχεδόν κυρτή αν ισχύει η σχέση f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) max{f(x 1 ), f(x 2 )}. Στην περίπτωση όπου ισχύει f(x 1 ) (X 2 -X 1 ) 0, η f θα καλείται ψευδοκυρτή εάν συγχρόνως ισχύει ότι f(x 2 ) f(x 1 ). 7

8 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Εύρεση τοπικών ακροτάτων: Έλεγχος για κρίσιμα σημεία σε όλο το σύνολο τιμών? Εν γένει, αρκετά χρονοβόρο! Στην περίπτωση που η f έχει συγκεκριµένες ιδιότητες, η διαδικασία απλοποιείται. Κατηγορίες των συνθηκών ελαχιστοποίησης Ικανές: Aρκεί να ισχύουν για να υπάρχει το ακρότατο. Aναγκαίες: Απαραίτητες προϋποθέσεις για το ακρότατο. 8

9 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΝΟΤ CONSTRAINED Οι συνθήκες ελαχιστοποίησης για προβλήματα που έχουν περιορισμούς δεν είναι ίδιες με εκείνες για προβλήματα απουσία περιορισμών. Στα προβλήματα χωρίς περιορισμούς, οι συνθήκες εκφράζονται με βάση τις παραγώγους της f. Δυο αναγκαίες συνθήκες εξασφαλίζουν ότι για σηµείο που είναι τοπικό ελάχιστο ισχύουν συγκεκριµένες ιδιότητες. Μια ικανή συνθήκη εξασφαλίζει την ύπαρξη ελαχίστου. Οι συνθήκες χαρακτηρίζονται ως 1 ης ή 2 ης τάξης (ανάλογα με την τάξη της εμπλεκόμενης παραγώγου). 9

10 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Αναγκαία συνθήκη ΝC 1 ης τάξης: Έστω f: S R n R συνεχώς διαφορίσιµη. Αν το X* S είναι τοπικό ελάχιστο της f, τότε ισχύει f(x*) = 0. Αναγκαία συνθήκη ΝC 2 ης τάξης: Έστω f: S R n R συνεχώς διαφορίσιµη με παραγώγους 1 ης και 2 ης τάξης. Αν το X* S είναι τοπικό ελάχιστο της f, τότε f(x*) = 0 και ο πίνακας 2 f(x*) είναι θετικά ημιορισμένος. Ικανή συνθήκη ΝC 2 ης τάξης: Έστω f: S R n R συνεχώς διαφορίσιµη με παραγώγους 1 ης και 2 ης τάξης, και X* S. Αν f(x*) = 0 και ο 2 f(x*) είναι θετικά ημιορισμένος, τότε το X* είναι τοπικό ελάχιστο της f. 10

11 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Χρήση του θεωρήματος Sylvester: Αν η f: S R n R έχει κρίσιμο σημείο X* S και D i είναι η i-υποορίζουσα του 2 f(x*), τότε: - D i (X*) > 0 για κάθε i Χ* τοπικό ελάχιστο. - D i (X*) < 0 για κάθε i X* τοπικό μέγιστο. - D i (X*) <> 0 ανά το i X* σημείο καμπής. - D i (X*) = 0 X* ιδιάζον ( Συνθήκες 3 ης τάξης). Εύρεση ακροτάτων με χρήση μόνο των f, 2 f!!! Αν η f είναι κυρτή, για να βεβαιώσουμε την ύπαρξη ενός ελαχίστου αρκεί το πρώτο τμήμα της ικανής συνθήκης. Υπενθύμιση: f κυρτή Kρίσιμο σημείο = Oλικό ελάχιστο. 11

12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΡΙΤΟ Να ελαχιστοποιηθεί η f X = x 1 2 x 1 x 2 + x 2 2 3x 2. Οι αναγκαίες συνθήκες 1 ης τάξης: f x 1 = 2x 1 x 2 = 0, f x 2 = x 1 + 2x 2 3 = 0. Λύση συστήματος Χ*=(x 1 *,x 2 *)=(1,2). Ικανή συνθήκη (υποορίζουσες του 2 f): f f 2 f = x 1 x 2 x 1 f x 1 x 1 x 2 x 2 D f 1 = D 2 = 2 > 0. x 2 Και οι δύο θετικές Χ* τοπικό ελάχιστο. 12

13 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΜΕ CONSTRAINTS Ιδιαιτερότητες των προβλημάτων με περιορισμούς: H λύση, πλέον του ότι οφείλει να είναι ακρότατο της f, θα πρέπει να ικανοποιεί και τους περιορισμούς. Οι περιορισμοί (ισοτικοί ή/και ανισοτικοί) θα πρέπει να «ενσωματωθούν» κατάλληλα στις συνθήκες. Επιπτώσεις στη μεθοδολογία? Αλλαγές στις συνθήκες ή/και τις αντικειμενικές συναρτήσεις??? Starting point? Οι (όποιες) λύσεις βρίσκονται εντός των λύσεων του προβλήματος χωρίς περιορισμούς. 13

14 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Καμπυλότητα συνάρτησης Γενικές συνθήκες (ΝC) Παραδείγματα 14