Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού"

Παναγιωτάκης Ακρίδας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016 1

2 Γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων ΓΠ Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων ΓΠ βοηθά στην κατανόηση της φύσης των προβλημάτων ΓΠ και της μεθοδολογίας επίλυσης τους Μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα ΓΠ με 2 μεταβλητές με σχεδίαση στο καρτεσιανό επίπεδο (δυσκολότερα σε προβλήματα με 3 μεταβλητές) Για μεγαλύτερο αριθμό μεταβλητών από 3 δεν εφαρμόζεται η γραφική μέθοδος και τα προβλήματα αυτά επιλύονται με μεθόδους επίλυσης προβλημάτων ΓΠ όπως η Simplex 2

3 Παράδειγμα 1: ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ x1: αριθμός από τραπέζια που θα παραχθούν x2: αριθμός από καρέκλες που θα παραχθούν ΞΥΛΟΥΡΓΕΙΟ ΒΑΦΕΙΟ ΣΤΙΛΒΩΤΗΡΙΟ 3

4 Εφικτές Λύσεις- Βέλτιστη Λύση Μια λύση καλείται εφικτή όταν δεν παραβιάζει κανέναν από τους περιορισμούς του προβλήματος. Σε επιχειρηματικούς όρους, Μια εφικτή λύση αντιπροσωπεύει μία από τις εναλλακτικές επιλογές τιμών για τις μεταβλητές απόφασης, η οποία είναι δυνατόν να υλοποιηθεί με τους πόρους που διαθέτουμε Βέλτιστη λύση είναι η εφικτή λύση που βελτιστοποιεί (μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί) την αντικειμενική συνάρτηση

5 Μεθοδολογία Επίλυσης Η γραφική μέθοδος περιλαμβάνει τα εξής βήματα: Βήμα 1: Προσδιορισμός του χώρου των εφικτών λύσεων Βήμα 2: Προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης 5

6 Γραφική Μέθοδος-Βήμα 1 Προσδιορισμός του χώρου των εφικτών λύσεων Κάθε περιορισμός θεωρείται αρχικά ως ισότητα και παριστάνεται γραφικά με μία ευθεία ( ή με ένα επίπεδο σε προβλήματα τριών διαστάσεων) Ανάλογα με τον τύπο του περιορισμού ( ή ) προσδιορίζεται το ημι-επίπεδο που τον ικανοποιεί Προσδιορίζεται η τομή όλων των ημι-επιπέδων η οποία επαληθεύει έναν προς έναν όλους τους περιορισμούς (περιοχή εφικτών λύσεων) 6

7 Γραφική Μέθοδος-Βήμα 2 Προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης Σχεδιάζουμε μια ευθεία αντικειμενικής συνάρτησης, η οποία απεικονίζει τις τιμές των μεταβλητών απόφασης που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (ισοσταθμική ευθεία). Με παράλληλη μετατόπιση της ευθείας βρίσκουμε το σημείο που μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση Οποιαδήποτε εφικτή λύση επί της γραμμής της αντικειμενικής συνάρτησης με την υψηλότερη τιμή (χαμηλότερη για προβλήματα ελαχιστοποίησης) αποτελεί βέλτιστη λύση. 7

8 Παράδειγμα 1: ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ x1: αριθμός από τραπέζια που θα παραχθούν x2: αριθμός από καρέκλες που θα παραχθούν ΞΥΛΟΥΡΓΕΙΟ ΒΑΦΕΙΟ ΣΤΙΛΒΩΤΗΡΙΟ 8

Απεικόνιση περιορισμών γραφικά Οι περιορισμοί μη αρνητικότητας x1 0, x2 0 περιορίζουν τις μεταβλητές στο πρώτο τεταρτημόριο (έστω ότι ή x1 αντιστοιχεί στον άξονα των τετμημένων και ότι η x2

9 Απεικόνιση περιορισμών γραφικά Οι περιορισμοί μη αρνητικότητας x1 0, x2 0 περιορίζουν τις μεταβλητές στο πρώτο τεταρτημόριο (έστω ότι ή x1 αντιστοιχεί στον άξονα των τετμημένων και ότι η x2 αντιστοιχεί στον άξονα των τεταγμένων) Ο περιορισμός του ξυλουργείου 8x1 + 8x2 960 με απλοποίηση μπορεί να γραφεί ως x1 + x2 <= 120 Η ευθεία x1 + x2 = 120 χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα με ένα μόνο από αυτά να ικανοποιεί την ανισότητα x1+ x2 <= 120 Ομοίως για τους άλλους δύο περιορισμούς (βαφείου και στιλβωτηρίου) ορίζονται εξισώσεις, κάθε μια από τις οποίες χωρίζει το επίπεδο σε ημιεπίπεδα Η τομή των ημιεπιπέδων που ικανοποιούν όλες τις ανισότητες και τους περιορισμούς μη αρνητικότητας αποτελούν την εφικτή περιοχή του προβλήματος 9

ικανοποιεί ταυτόχρονα όλους τους περιορισμούς Η εφικτή περιοχή στο παράδειγμα

10 Βήμα 1: Προσδιορισμός της Εφικτής περιοχής Η εφικτή περιοχή (feasible region) ενός προβλήματος ΓΠ είναι η περιοχή της απεικόνισης του προβλήματος που ικανοποιεί ταυτόχρονα όλους τους περιορισμούς Η εφικτή περιοχή στο παράδειγμα ορίζεται από το πολύγωνο με κορυφές τα σημεία A,B,C,D,E ΞΥΛΟΥΡΓΕΙΟ ΒΑΦΕΙΟ ΣΤΙΛΒΩΤΗΡΙΟ 10

Βήμα 2: Προσδιορισμός της Βέλτιστης Λύσης Η αντικειμενική συνάρτηση (κέρδος για προβλήματα μεγιστοποίησης) αναπαρίσταται από ένα σύνολο ευθειών, η κλίση των οποίων καθορίζεται από τους συντελεστές

11 Βήμα 2: Προσδιορισμός της Βέλτιστης Λύσης Η αντικειμενική συνάρτηση (κέρδος για προβλήματα μεγιστοποίησης) αναπαρίσταται από ένα σύνολο ευθειών, η κλίση των οποίων καθορίζεται από τους συντελεστές των μεταβλητών x1 και x2 ΙΣΟΣΤ1: 140x x2 = x1 + 5x2 = 420 ΙΣΟΣΤ2: 140x x2 = x1 + 5x2 = 560 ΙΣΟΣΤ3: 140x x2 = x1 + 5x2 = 740 Στο παράδειγμα η συνάρτηση κέρδους είναι η 140x x2 και η κλήση της ευθείας που αντιστοιχεί στην επίτευξη ενός συγκεκριμένου κέρδους είναι = 7 5 Για κάθε τιμή b που επαληθεύει την εξίσωση 140x x2 = b ορίζεται μια ευθεία παράλληλη με τις ευθείες που ορίζονται για διαφορετικές τιμές του b (ισοσταθμικές ευθείες) Η βέλτιστη λύση βρίσκεται σε κάποια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής και ειδικότερα στην κορυφή εκείνη που «ακουμπά» η συνάρτηση κέρδους μόλις πριν εξέλθει από την εφικτή περιοχή στην κατεύθυνση αύξησής της 11

12 Βήμα 2 (συνέχεια) Παρατηρούμε ότι το σημείο της βέλτιστης λύσης βρίσκεται στην τομή των περιορισμών βαφείου και στιλβωτηρίου. Δηλαδή, η βέλτιστη λύση βρίσκεται ταυτόχρονα επί της γραμμής βαφείου: 4x 1 + 3x και της γραμμής στιλβωτηρίου: 4x 1 + 2x Επιλύοντας το σύστημα δύο εξισώσεων δύο αγνώστων λαμβάνουμε το ακριβές σημείο της βέλτιστης λύσης: x 1 = 90, x 2 = 20 12

13 Ακραία Σημεία και Βέλτιστη Λύση Οι κορυφές ή «γωνίες» της εφικτής περιοχής ονομάζονται ακραία σημεία Η βέλτιστη λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού εντοπίζεται σε ένα από τα ακραία σημεία της εφικτής περιοχής. Συνεπώς για τον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης δεν απαιτείται η εξέταση του συνόλου των σημείων της εφικτής περιοχής, αλλά μόνο των ακραίων σημείων. 13

14 Δεσμευτικοί και μη-δεσμευτικοί περιορισμοί Αντικαθιστώντας τις τιμές της βέλτιστης λύσης (x 1 = 90, x 2 = 20) στους περιορισμούς του γραμμικού προβλήματος λαμβάνουμε τις απαιτούμενες ώρες εργασίας και συνεπώς και τις αχρησιμοποίητες ώρες ανά τμήμα. Περιορισμός Απαιτούμενες ώρες εργασίας Διαθέσιμες ώρες Ώρες Εργασίας που δεν χρησιμοποιούνται Είδος Περιορισμού Ξυλουργείου 8*(90)+8*(20)= Μη δεσμευτικός Βαφείου 4*(90)+2*(20)= Δεσμευτικός Στιλβωτηρίου 4*(90)+3*(20)= Δεσμευτικός 14

15 Ιστοσελίδα με δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων ΓΠ

Παράδειγμα 2: Γραφική μέθοδος επίλυσης σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης Μια εταιρεία που παράγει δημητριακά πρόκειται να παραγάγει ένα νέο προϊόν που θα αποτελείται από καλαμπόκι και βρώμη.

16 Παράδειγμα 2: Γραφική μέθοδος επίλυσης σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης Μια εταιρεία που παράγει δημητριακά πρόκειται να παραγάγει ένα νέο προϊόν που θα αποτελείται από καλαμπόκι και βρώμη. Μια μερίδα δημητριακών θα πρέπει να παρέχει τουλάχιστον 8 γραμμάρια πρωτεΐνες, 12 γραμμάρια υδατάνθρακες και 3 γραμμάρια λιπαρά Μια ουγκιά (28,3945 γραμμάρια) καλαμποκιού παρέχει 4, 3 και 2 γραμμάρια από πρωτεΐνες, υδατάνθρακες και λιπαρά αντίστοιχα Καλαμπόκι Βρώμη Κατώτατο όριο Πρωτεΐνες 4 γρ 2 γρ 8 γρ Υδατάνθρακες 3 γρ 4 γρ 12 γρ Λιπαρά 2 γρ 1 γρ 3 γρ Κόστος 6 λεπτά/ουγκιά 4 λεπτά/ουγκιά Μια ουγκιά βρώμης παρέχει 2, 4 και 1 γραμμάρια από πρωτεΐνες, υδατάνθρακες και λιπαρά αντίστοιχα Το καλαμπόκι μπορεί να αγοραστεί προς 6 λεπτά η ουγκιά και η βρώμη προς 4 λεπτά η ουγκιά Ζητείται να βρεθεί ποια μίξη δημητριακών θα δώσει το καλύτερο αποτέλεσμα δηλαδή το ελάχιστο κόστος (έστω ότι δεν μας απασχολεί το γευστικό αποτέλεσμα) 16

17 Γραφική επίλυση του παραδείγματος 2 στο PHPSimplex στο Geogebra 17

18 Επίλυση στο Excel και στο LPSolve IDE του παραδείγματος 2 /* Objective function */ min: 6x + 4y; 4x + 2y >= 8; 3x + 4y >= 12; 2x + y >= 3; 18

19 Παράδειγμα γραφικής επίλυσης 2Δ 19

20 Παράδειγμα γραφικής απεικόνισης προβλήματος 3Δ 20

21 Παράδειγμα 3: Γραφική επίλυση προβλήματος ΓΠ χωρίς λογισμικά Πρόβλημα Reddy Mikks 21

Σχετικά έγγραφα

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016 1 Γραφική μέθοδος