A = x x 1 + 2x 2 + 4

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A = x x 1 + 2x 2 + 4"

Ἕκτωρ Παχής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Επιχειρησιακή Ερευνα η Σειρά Ασκήσεων Ενδεικτικές Λύσεις 1. (α ) Η συνάρτηση f(x 1, x ) = x 1 + x x 1 x + x μπορεί να γραφεί ως f( x) = x A x + b x όπου x = x 1 A = x b = 0 Θα χρειαστούμε το διάνυσμα κλίσης και την Εσσιανή της συναρτήσης f( x). Για το διάνυσμα κλίσης έχουμε: f( x) = A x + b = 1 x = x 1 x 1 1 x 1 + x + x Για την Εσσιανή έχουμε: H(f, x) = A = Εχοντας αρχικό σημείο το x 0 = [0, 0], το επόμενο σημείο σύμφωνα με τον αλγόριθμο Newton υπολογίζεται ως εξής: x 1 = x 0 H(f, x 0 ) 1 f( x 0 ) = = 0 = (β ) Αρχικά θέτουμε t = 1. Επειτα υπολογίζουμε τη διεύθυνση δ για x 0 = [0, 0] : δ = f( x0 ) = = Υπολογίζουμε το επόμενο σημείο ως εξής: x 1 = x 0 + t δ = = 0 0 και στη συνέχεια, την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτο: f( x 1 ) = [ ] =

2 Επειτα, υπολογίζουμε την τιμή της παράστασης f( x 0 ) + c f( x 0 )( x 1 x 0 ): f( x 0 ) + c f( x 0 )( x 1 x 0 ) = [ ] [ ] ( ) = και τέλος, συγκρίνουμε τα δυο παραπάνω. Ισχύει: f( x 1 ) > f( x 0 ) + c f( x 0 )( x 1 x 0 ) Συνεπώς, το σημείο x 1 δεν ικανοποιεί τη συνθήκη Armijo-Goldstein οπότε ο αλγόριθμος συνεχίζει με t = 1 /. Οπως και παραπάνω, υπολογίζουμε το επόμενο σημείο ως εξής: x 1 = x 0 + t δ = = 0 0 Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο νέο σημείο: f( x 1 ) = [ ] = 1 1 Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την παράσταση f( x 0 ) + c f( x 0 )( x 1 x 0 ): f( x 0 ) + c f( x 0 )( x 1 x 0 ) = [ ] [ ] ( ) = και τέλος ξανασυγκρίνουμε τα δυο παραπάνω. Βλέπουμε ότι: f( x 1 ) = f( x 0 ) + c f( x 0 )( x 1 x 0 ) Άρα, το επόμενο σημείο είναι το x 1 = [0, ].. (α ) Αρχικά μετατρέπουμε το πρόβλημά μας σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης: min(x y) έτσι ώστε x y 1 x +y 1 x, y R Επειτα μετατρέπουμε τους ανισοτικούς περιορισμούς σε ισοτικούς, εισάγωντας μια μεταβλητή χαλαρότητας

3 για κάθε περιορισμό ως εξής: min(x y) έτσι ώστε x y + z 1 = 1 x + y + z = 1 z 1, z 0, x, y R Προκύπτει η παρακάτω Λαγκραντζιανή: L(x, y, z 1, z ; λ 1, λ ) = x y + λ 1 (x y + z 1 + 1) + λ (x + y + z 1) Εδώ βλέπουμε ότι θα πρέπει να ισχύει λ 1 0 και λ > 0 γιατί σε διαφορετική περίπτωση L καθώς z 1, z αντίστοιχα. Άρα Λ = {(λ 1, λ ) R : λ 1 0, λ > 0}. Εχουμε τις παρακάτω εξισώσεις μερικών παραγώγων της Λαγκραντζιανής ως πρός x και y: x L(x, y, z 1, z ; λ 1, λ ) = 0 x( λ) = λ λ y L(x, y, z 1, z ; λ 1, λ ) = 0 y( λ) = λ 1 + λ Για να ελαχιστοποιήσουμε τη Λαγκραντζιανή ως προς z 1, λύνουμε το πρόβλημα min z1 0 λ 1 z 1. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: 1. Εάν λ 1 > 0, η βέλτιστη λύση είναι z 1 ( λ) = 0.. Εάν λ 1 = 0, τότε κάθε z 1 ( λ) 0 είναι βέλτιστο. Συνεπώς, για τη λύση των εξισώσεων x( λ) y( λ) + z 1 ( λ) = 1 x( λ) + y( λ) + z ( λ) = 1 θεωρούμε δύο περιπτώσεις ανάλογα εάν λ 1 > 0 ή λ 1 = 0: 1. Εάν λ 1 > 0, τότε z 1 ( λ) = 0 και λύνοντας το σύστημα: λ λ 1 + = 1 λ λ λ 1 + λ λ + λ 1 + λ 1 + 8λ = 1 προκύπτει λ ή λ 1 0.1, τα οποία όμως και τα δυο έρχονται σε αντίθεση με την υπόθεση λ 1 > 0. Άρα δεν υπάρχει λ Λ όπου η βέλτιστη λύση της Λαγκραντζιανής είναι εφικτή, όταν λ 1 > 0.. Εάν λ 1 = 0 λαμβάνουμε το σύστημα εξισώσεων: λ + z 1 = 1 όπου z 1 0 η απροσδιόριστη τιμή z 1 ( λ). Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων και αγνώστων λ = 1

4 βρίσκουμε λ = /, z 1 = 1. Παρατηρήστε ότι (λ 1, λ ) = (0, /) Λ καθώς και η λύση x( λ), y( λ), z 1 ( λ) είναι εφικτή, άρα δίνουν τη βέλτιστη λύση του προβλήματος x = / και y = /. (β ) Οπως είδαμε παραπάνω, η βέλτιστη λύση ικανοποιούσε τον 1ο περιορισμό χωρίς ισότητα. Εάν ο περιορισμός γινόταν x y 1.5, η βέλτιστη λύση θα παρέμενε η ίδια, καθώς βλέπουμε ότι: = < 1.5 οπότε ικανοποιείται και πάλι ο περιορισμός, ενώ ταυτόχρονα δεν μπορούμε να οδηγηθούμε σε καλύτερη λύση. 1. (α ) Παρακάτω ακολουθεί υλοποίηση της μεθόδου εσωτερικού σημείου (με λογαριθμικές συναρτήσεις φραγμού (barrier) και τη μέθοδο Newton με συντελεστή οπισθοδρόμησης c = 0.5) για την εύρεση της βέλτιστης λύσης στο πρόβλημα. Η υλοποίηση που δίνεται είναι σε γλώσσα Matlab. Αρχικά, ορίζουμε τη συνάρτηση η οποία θα ελαχιστοποιηθεί όπως παρακάτω. 1 f u n c t i o n val = f ( e p s i l o n, x ) val = x x e p s i l o n ( l o g ( x ( 1 )+x ( ) 1)+l o g (6 x ( 1 ) x ( ) ) ) ; end Επειτα, ορίζουμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης αυτής. 1 f u n c t i o n df = Df ( e p s i l o n, x ) df = x+e p s i l o n [/( x ( 1 )+x ( ) 1)+/(6 x ( 1 ) x ( ) ), 1/( x ( 1 )+x ( ) 1)+/(6 x ( 1 ) x ( ) ) ] ; 5 end Και στη συνέχεια την Εσσιανή της. 1 f u n c t i o n h = Hessian ( e p s i l o n, x ) h= eye ( ) +[, ;,1] e p s i l o n /( x ( 1 )+x ( ) 1) ˆ + [, 6 ; 6, 9 ] e p s i l o n /(6 x ( 1 ) x ( ) ) ˆ ; 5 end Παρακάτω δίνεται η υλοποίηση της μεθόδου Newton η οποία χρησιμοποιεί τις παραπάνω συναρτήσεις. 1 f u n c t i o n x s t a r = Newton ( e p s i l o n, t o l, x ) while true d = inv ( Hessian ( e p s i l o n, x ) ) Df ( e p s i l o n, x ) ; 5 % backtracking c =0.5: 6 c =0.5; 7 t =1; 8 while true 9 i f f ( e p s i l o n, x+t d )<=f ( e p s i l o n, x ) t c Df ( e p s i l o n, x ) d 10 break ;

5 11 end 1 t = c t ; 1 end 1 t 15 x = x+t d i f ( t s q r t ( d ( 1 ) ˆ+d ( ) ˆ)<t o l ) 18 break 19 end 0 end 1 x s t a r = x ; end Τέλος, ορίζουμε τη μέθοδο εσωτερικού σημείου η οποία στο βασικό βρόχο της χρησιμοποιεί τη μέθοδο Newton που ορίστηκε παραπάνω. 1 f u n c t i o n x s t a r = i n t p o i n t ( e p s i l o n, x, i n t o l ) while true x = Newton ( e p s i l o n, i n t o l, x ) ; 5 e p s i l o n = e p s i l o n 0. 5 ; 6 i f ( e p s i l o n < 1e 5 ) 7 break ; 8 end 9 end 10 x s t a r = x 11 end (β ) Αρχικά, μετατρέπουμε τους ανισοτικούς περιορισμούς σε ισοτικούς, εισάγωντας μια μεταβλητή χαλαρότητας για κάθε περιορισμό ως εξής: min(x 1 + x ) έτσι ώστε x 1 x + z 1 = 1 x 1 + x + z = 6 z 1, z 0, x 1, x R Η Λαγκραντζιανή που προκύπτει είναι η ακόλουθη: L(x 1, x, z 1, z ; λ 1, λ ) = x 1 + x + λ 1 (x 1 x + z 1 + 1) + λ (x 1 + x + z 6) Θα πρέπει λ 1, λ 0 γιατί σε διαφορετική περίπτωση L καθώς z 1, z αντίστοιχα. Άρα Λ = {(λ 1, λ ) R : λ 1 0, λ 0}. Εχουμε τις παρακάτω εξισώσεις μερικών παραγώγων της Λαγκραντζιανής 5

6 ως πρός x 1 και x : L(x 1, x, z 1, z ; λ 1, λ ) = 0 x 1 ( x λ) = λ 1 λ 1 L(x 1, x, z 1, z ; λ 1, λ ) = 0 x ( x λ) = λ 1 λ Για να ελαχιστοποιήσουμε τη Λαγκραντζιανή ως προς z 1, λύνουμε το πρόβλημα min z1 0 λ 1 z 1. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: 1. Εάν λ 1 > 0, η βέλτιστη λύση είναι z 1 ( λ) = 0.. Εάν λ 1 = 0, τότε κάθε z 1 ( λ) 0 είναι βέλτιστο. Επιπλέον, για να ελαχιστοποιήσουμε τη Λαγκραντζιανή ως προς z, λύνουμε το πρόβλημα min z 0 λ z. Διακρίνουμε και εδώ δυο περιπτώσεις: 1. Εάν λ > 0, η βέλτιστη λύση είναι z ( λ) = 0.. Εάν λ = 0, τότε κάθε z ( λ) 0 είναι βέλτιστο. Συνδυάζοντας τα παραπάνω, προκύπτουν τέσσερις περιπτώσεις. Συνεπώς, για τη λύση των παρακάτω εξισώσεων: x 1 ( λ) x ( λ) + z 1 ( λ) = 1 x 1 ( λ) + x ( λ) + z ( λ) = 6 θεωρούμε κάθε μια από τις τέσσερις περιπτώσεις ξεχωριστά: 1. Για λ 1 = 0 και λ = 0, έχουμε x 1 ( λ) = x ( λ) = 0, συνεπώς z 1 = 1 το οποίο όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι z Για λ 1 > 0 και λ > 0, ισχύει z 1 ( λ) = 0 και z ( λ) = 0, και λαμβάνουμε το σύστημα: λ 1 λ + λ λ 1 λ 1 λ + λ 1 9λ = 1 Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων και αγνώστων βρίσκουμε λ = 1 / το οποίο όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι λ > 0. = 6. Για λ 1 = 0 και λ > 0, ισχύει z ( λ) = 0, και λαμβάνουμε το σύστημα: λ + z 1 = 1 1λ όπου z 1 0 η απροσδιόριστη τιμή z 1 ( λ). Λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε λ = 1 /1 το οποίο όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι λ > 0. = 6. Για λ 1 > 0 και λ = 0, ισχύει z 1 ( λ) = 0, και λαμβάνουμε το σύστημα: 5λ 1 = 1 λ 1 + z = 6 6

7 όπου z > 0 η απροσδιόριστη τιμή z ( λ). Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει λ 1 = /5 και z = 1 /5. Παρατηρήστε ότι (λ 1, λ ) = ( /5, 0) Λ καθώς και η λύση x 1 ( λ), x ( λ), z 1 ( λ) είναι εφικτή, άρα δίνουν τη βέλτιστη λύση του προβλήματος x 1 = /5 και x = /10. 7

Σχετικά έγγραφα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα