Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα Παρατήρηση ενός μόνο σημείου Παρατήρηση δύο σημείων 4 Παρατήρηση τριών σημείων 5 Το ο θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων 005 Εγκαταστήστε στον υπολογιστή σας το σχετικό λογισμικό Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0

Εισαγωγή Επίπεδο απλό αρμονικό κύμα διαδίδεται παράλληλα στον άξονα x Πέραν τούτου δε γνωρίζουμε τίποτε άλλο για το κύμα όπως πχ: Το πλάτος του A Τη συχνότητά του f ή ισοδύναμα την περίοδό του T Την ταχύτητα διάδοσής του Τη φορά διάδοσής του Από πού και πότε ξεκίνησε Το μήκος κύματος ή τον κυματαριθμό του k Έχουμε όμως τη δυνατότητα να μελετούμε την ταλάντωση ενός ή περισσότερων σημείων του Το ζητούμενο είναι να προσδιορίσουμε όσο το δυνατόν περισσότερα από τα προαναφερθέντα χαρακτηριστικά στοιχεία του κύματος αντλώντας πληροφορίες από την ταλάντωση των σημείων του Παράδειγμα Από κάτω από μια προβλήτα διαδίδεται ένα επίπεδο αρμονικό κύμα Δε βλέπουμε το κύμα Η προβλήτα έχει μία ή περισσότερες τρύπες Από τις τρύπες ρίχνουμε στο νερό μικρές σημαδούρες με ιστούς Ενώ οι σημαδούρες επιπλέουν στο νερό και ταλαντώνονται πάνω κάτω εμείς μελετούμε την κίνησή τους παρακολουθώντας τους ιστούς τους που ξεμυτούν από τις τρύπες Παράδειγμα Ένα επίπεδο αρμονικό ηχητικό κύμα διαδίδεται ευθύγραμμα σε εξωτερικό χώρο Με μικρόφωνα (μανόμετρα) μετρούμε σε ένα ή περισσότερα σημεία την ταλάντωση της πίεσης Τα σήματα από τα μανόμετρα μεταφέρονται με ισομήκη καλώδια στην αίθουσα εργαστηρίου και προβάλλονται στην οθόνη παλμογράφου Εμείς δεν ακούμε τον ήχο αλλά γνωρίζουμε τις θέσεις των μανομέτρων και την πληροφορία από τις ταλαντώσεις της πίεσης Παράδειγμα Σε τεντωμένο νήμα απείρου μήκους (;) διαδίδεται ένα απλό αρμονικό κύμα Είναι πήχτρα σκοτάδι και δε βλέπουμε τίποτε εκτός κάποια σημεία του σκοινιού που από κατασκευής του σκοινιού είναι φωσφορίζοντα Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0

Παρατήρηση ενός μόνον σημείου Μπορούμε να διαλέξουμε την αρχή συντεταγμένων στο σημείο που παρατηρούμε Επίσης επιλέγουμε ως χρονική στιγμή t 0 εκείνη κατά την οποία το σημείο που παρατηρούμε περνάει από τη θέση ισορροπίας του με κατεύθυνση προς τα πάνω Με άλλα λόγια επιλέγουμε να περιγράψουμε τη χρονική εξέλιξη της θέσης του σημείου με την εξίσωση: t At y Εξ() Όπου A είναι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου και η γωνιακή του συχνότητα ταλάντωσης Η γωνιακή συχνότητα σχετίζεται με τη συχνότητα και την περίοδο ταλάντωσης: f T Το κύμα για το οποίο δε γνωρίζουμε τίποτε άλλο εκτός από το ότι διαδίδεται παράλληλα στον άξονα των x θα έχει το ίδιο πλάτος και την ίδια γωνιακή συχνότητα με το σημείο και θα περιγράφεται γενικά από την εξίσωση: x t At kx y Εξ() Όπου είναι ο κυματαριθμός και 0 Ο κυματαριθμός σχετίζεται με το μήκος κύματος: k και είναι θετικός για κύμα που διαδίδεται προς τα θετικά και αρνητικός για κύμα που διαδίδεται προς τα αρνητικά k μια σταθερή φάση στο διάστημα Η Εξ() περιγράφει ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις όλων των σημείων του μέσου και κατ επέκταση και του σημείου που παρακολουθούμε Επομένως κάθε χρονική στιγμή θα πρέπει να ισχύει: y x 0 t y t At At Εξ() Η τριγωνομετρία προτείνει δύο κατηγορίες λύσεων: t n t n Z και Εξ(4) t n t n Z Εξ(5) Η δεύτερη κατηγορία λύσεων Εξ(5) δεν είναι δεκτή γιατί δεν ικανοποιείται για όλες τις χρονικές στιγμές Από την πρώτη κατηγορία λύσεων Εξ(4) η σταθερή φάση του κύματος είναι: n n Z και στο διάστημα 0 0 Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0

Η παρακολούθηση της ταλάντωσης ενός μόνον σημείου του κύματος ΔΕΝ μας έδωσε τη δυνατότητα να υπολογίσουμε τον κυματαριθμό k Αυτά που δεν μπορέσαμε να μάθουμε για το κύμα: Δε μάθαμε αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά Δεν μπορέσαμε να προσδιορίσουμε το μήκος κύματός του Δεν μπορέσαμε να προσδιορίσουμε την ταχύτητα διάδοσής του κύματος Δε μάθαμε που είναι η πηγή του κύματος Δε μάθαμε πότε άρχισε η πηγή του κύματος να λειτουργεί Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 4

Παρατήρηση δύο σημείων Ας διαλέξουμε την αρχή συντεταγμένων στο ένα σημείο που παρατηρούμε και μάλιστα σε αυτό που βρίσκεται αριστερότερα Το δεύτερο σημείο θα βρίσκεται σε θετική θέση x Επίσης ας επιλέξουμε ως χρονική στιγμή t 0 εκείνη κατά την οποία το σημείο στην αρχή των αξόνων περνάει από τη θέση ισορροπίας του με κατεύθυνση προς τα πάνω Με άλλα λόγια επιλέγουμε να περιγράψουμε τη χρονική εξέλιξη της θέσης του σημείου αυτού με την εξίσωση: t A t y Εξ() Όπου A είναι το πλάτος ταλάντωσης και η γωνιακή συχνότητα Το δεύτερο σημείο ταλαντώνεται απαραιτήτως με το ίδιο πλάτος και την ίδια γωνιακή συχνότητα αλλά πιθανά παρουσιάζει διαφορά φάσης με το πρώτο Με άλλα λόγια η χρονική εξέλιξη της θέσης του δεύτερου σημείου πρέπει να περιγράφεται από την εξίσωση: t At 0 y Εξ() Τα μεγέθη που μπορούμε να μετρήσουμε είναι τα: A και Το κύμα για το οποίο δεν γνωρίζουμε τίποτε άλλο εκτός από το ότι διαδίδεται παράλληλα στον άξονα των x θα έχει το ίδιο πλάτος και την ίδια γωνιακή συχνότητα με εκείνα των δύο σημείων και θα περιγράφεται γενικά από την εξίσωση: x t At kx y Εξ() Όπου k είναι ο κυματαριθμός και μια σταθερή φάση στο διάστημα 0 Η εξίσωση του κύματος Εξ() περιγράφει ταυτόχρονα τη χρονική εξέλιξη των θέσεων όλων του σημείων του μέσου και κατ επέκταση και των δύο σημείων που παρακολουθούμε Επομένως για κάθε χρονική στιγμή θα πρέπει να ισχύει: y y x 0 t y t At At x x t y t A t kx A t Εξ(4) Εξ(5) Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 5

Για την πρώτη εξίσωση Εξ(4) η τριγωνομετρία προτείνει δύο κατηγορίες λύσεων: t n t n Z και Εξ(6) t n t n Z Εξ(7) Η δεύτερη κατηγορία λύσεων Εξ(7) δεν είναι δεκτή γιατί δεν ικανοποιείται για όλες τις χρονικές στιγμές Οπότε από την πρώτη κατηγορία λύσεων Εξ(6) η σταθερή φάση του κύματος είναι: n n Z 0 : και στο διάστημα 0 Εξ(8) Με το αποτέλεσμα αυτό η Εξ(5) ξαναγράφεται: A t kx At Εξ(5 ) Η τριγωνομετρία πάλι προτείνει δύο κατηγορίες λύσεων: t kx n t n Z και Εξ(9) t kx n t n Z Εξ(0) Η κατηγορία λύσεων Εξ(0) απορρίπτεται γιατί δεν ισχύει για όλες τις χρονικές στιγμές Λύνοντας την Εξ(9) ως προς τον κυματαριθμό του κύματος έχουμε: kx n n Z Θέτοντας n n για ομορφότερη γραφή του αποτελέσματος γράφουμε: n k x n Z Εξ() Το αποτέλεσμα αυτό σημαίνει ότι ένα από άπειρα κύματα που διαδίδονται προς τα δεξιά ( k 0 ) ή ένα από άπειρα κύματα που διαδίδονται προς τα αριστερά ( k 0 ) θα μπορούσε να δημιουργήσει τις ταλαντώσεις και y y Αυτά που δεν μπορέσαμε να μάθουμε για το κύμα: Δε μάθαμε αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά Δεν μπορέσαμε να προσδιορίσουμε το μήκος κύματός του Δεν μπορέσαμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα διάδοσής του Δε μάθαμε που είναι η πηγή του κύματος Δε μάθαμε πότε άρχισε η πηγή του κύματος να λειτουργεί Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 6

Αυτά που μπορέσαμε να μάθουμε για το κύμα: Πλάτος συχνότητα σταθερή φάση και ότι Ο κυματαριθμός του κύματος δεν έχει οποιαδήποτε τιμή αλλά μία από τις παρακάτω τιμές: k n n x n Z Εξ() Ερώτηση Ποιο είναι το κύμα του οποίου παρακολουθούμε την ταλάντωση δύο σημείων του με το μεγαλύτερο μήκος κύματος; Απάντηση Αφού k θα αναζητήσουμε από τις λύσεις Εξ() εκείνη με το ποιο μικρό k 0 Ισοδύναμα αφού το x 0 πρέπει να προσδιορίσουμε τον ακέραιο n για τον οποίο η ποσότητα n γίνεται ελάχιστη αλλά όχι μηδέν Ας μην ξεχνούμε ότι 0 Στο κυνήγι της λύσης που μας ενδιαφέρει απορρίπτουμε όλους τους αρνητικούς ακεραίους γιατί παράγουν τιμές n μεγαλύτερες από τη μη-μηδενική τιμή n που παράγει η n Επίσης απορρίπτουμε όλους τους θετικούς ακεραίους n γιατί παράγουν τιμές n μεγαλύτερες από τη μη-μηδενική τιμή που παράγει η n Επομένως μένει να επιλέξουμε το μεγαλύτερο μήκος κύματος (όχι άπειρο) από τις τρεις περιπτώσεις: Ενός κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά με κυματαριθμό: k x και μήκος κύματος x ενός κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά με κυματαριθμό: k0 x και μήκος κύματος 0 x (μόνο αν 0 ) και ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά με κυματαριθμό k x μήκος κύματος x και Στην ειδική περίπτωση που τα δύο σημεία που παρακολουθούμε ταλαντώνονται σε φάση 0 η ταλάντωσή τους μπορεί να οφείλεται είτε σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά είτε και σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά με το ίδιο μεγαλύτερο δυνατό μήκος κύματος: x Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 7

Στην ειδική περίπτωση που τα δύο σημεία που παρακολουθούμε ταλαντώνονται εκτός φάσης η ταλάντωσή τους μπορεί να οφείλεται είτε σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά είτε και σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά με το ίδιο μεγαλύτερο δυνατό μήκος κύματος: x Οι ειδικές περιπτώσεις του προηγούμενου ερωτήματος μας προτρέπει σε ένα νέο παρεμφερές ερώτημα: Ερώτηση Μπορεί οι ταλαντώσεις των δύο σημείων που παρακολουθούμε να οφείλονται είτε σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά είτε σε άλλο κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά και τα δύο κύματα να έχουν ακριβώς το ίδιο μήκος κύματος; Απάντηση Αν το πρώτο κύμα έχει κυματαριθμό Από την Εξ() έχουμε: k τότε το δεύτερο κύμα θα έχει κυματαριθμό k k n x και k n με n n Z x Προσθέτοντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη έχουμε: n n x x 0 n Δεδομένου ότι η φάση ανήκει στο διάστημα 0 τότε θα πρέπει απαραίτητα ή 0 ή n Με άλλα λόγια: όταν τα σημεία ταλαντώνονται σε φάση οι ταλαντώσεις τους θα μπορούσε να οφείλονται ισοδύναμα είτε σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά είτε και σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά με τα δύο κύματα να έχουν ακριβώς το ίδιο μήκος κύματος: x n n N όταν τα σημεία ταλαντώνονται εκτός φάσης οι ταλαντώσεις τους θα μπορούσε να οφείλονται ισοδύναμα είτε σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά είτε και σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά με τα δύο κύματα να έχουν ακριβώς το ίδιο μήκος κύματος: x n n N0 όταν τα σημεία ταλαντώνονται με διαφορά φάσης 0 και τότε η ταλάντωσή τους μπορεί να οφείλεται είτε σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά είτε και σε ένα κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά αλλά τα δύο κύματα θα έχουν διαφορετικά μήκη κύματος Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 8

4 Παρατήρηση τριών σημείων Ας επιλέξουμε την αρχή συντεταγμένων στο ένα σημείο που παρατηρούμε και μάλιστα σε αυτό που βρίσκεται αριστερότερα Το δεύτερο σημείο το ενδιάμεσο θα βρίσκεται σε θετική θέση το τρίτο σημείο το δεξιότερο θα βρίσκεται σε θετική θέση x x x Επίσης ας επιλέξουμε ως χρονική στιγμή t 0 εκείνη κατά την οποία το σημείο στην αρχή των αξόνων περνάει από τη θέση ισορροπίας του με κατεύθυνση προς τα πάνω Με άλλα λόγια επιλέγουμε η χρονική εξέλιξη της θέσης του πρώτου σημείου να περιγράφεται από την εξίσωση: t A t y Εξ(4) Όπου A είναι το πλάτος ταλάντωσης και η γωνιακή συχνότητα Το άλλα δύο σημεία ταλαντώνονται απαραιτήτως με το ίδιο πλάτος και την ίδια γωνιακή συχνότητα αλλά πιθανά εμφανίζουν διαφορά φάσης και με το πρώτο αντίστοιχα Επομένως η χρονική εξέλιξη των θέσεών τους θα περιγράφεται από τις εξισώσεις: t At 0 y Εξ(4) t At 0 y Εξ(4) Τα μεγέθη που μπορούμε να μετρήσουμε είναι τα: A και Το κύμα για το οποίο δεν γνωρίζουμε τίποτε άλλο εκτός από το ότι διαδίδεται παράλληλα στον άξονα των x θα έχει το ίδιο πλάτος και την ίδια γωνιακή συχνότητα με εκείνα των τριών σημείων και θα περιγράφεται γενικά από την εξίσωση: x t At kx y Εξ(44) Όπου k είναι ο κυματαριθμός και μια σταθερή φάση στο διάστημα 0 Η εξίσωση του κύματος περιγράφει ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις όλων του σημείου του μέσου Επομένως για κάθε χρονική στιγμή θα πρέπει να ισχύει: y y y x 0 t y t At At x x t y t A t kx A t x x t y t At kx At Εξ(45) Εξ(46) Εξ(47) Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 9

Όπως και στην προηγούμενη ενότητα η Εξ(45) συνεπάγεται για τη σταθερή φάση της ε- ξίσωσης του κύματος: 0 Οπότε οι εξισώσεις Εξ(46) και Εξ(47) απλοποιούνται: A A t kx At t kx At Εξ(46 ) Εξ(47 ) Επιλύοντας τις τριγωνομετρικές εξισώσεις όπως και στην προηγούμενη ενότητα για τον κυματαριθμό του κύματος γράφουμε: n n k n n Z x x Εξ(48) Δηλαδή για να υπάρχει κύμα που προκαλεί τις ταλαντώσεις των τριών σημείων θα πρέπει απαραιτήτως να υπάρχουν ακέραιοι και n τέτοιοι ώστε: n n n n n Z x x Παρατήρηση Το παραπάνω αποτέλεσμα σημαίνει ότι στα μαθηματικά παιχνίδια μας αν διαλέξουμε τυχαίες θέσεις και τυχαίες σταθερές φάσεις για τα σημεία που παρακολουθούμε τότε ΔΕΝ είναι απαραίτητο οι ταλαντώσεις των τριών σημείων να οφείλονται στη διέλευση ενός κύματος Παρατήρηση Τα παραπάνω εύκολα μπορούν να γενικευθούν σε τέσσερα ή και περισσότερα σημεία παρακολούθησης Έστω ότι παρακολουθούμε την ταλάντωση με ίδιο πλάτος και συχνότητα N σημείων με θέσεις 0 x x x N και σταθερές φάσεις 0 N αντίστοιχα που οφείλεται στη διέλευση ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος Τότε θα υπάρχουν ακέραιοι n n n N ώστε να ικανοποιούνται οι σχέσεις: n n nn N n nn x x x N N Z Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 0

και ο κυματαριθμός του κύματος θα ισούται με: n k x Ή ισοδύναμα με: nij ij k x Όπου: είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων i και j ij i j ij x x x j ij i j είναι η διαφορά στη θέση των σημείων i και n ij είναι θετικός ή αρνητικός ακέραιος διαφορετικός για κάθε ζεύγος σημείων i και j Αυτά που μπορέσαμε να μάθουμε για το κύμα: Το πλάτος τη συχνότητα και τη σταθερή φάση Τον κυματαριθμό του κύματος που υπολογίζεται από τη σχέση: n k x n x Όπου οι ακέραιοι n και n είναι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης με πραγματικούς n n συντελεστές: n n Z Υπάρχει περίπτωση να έχουμε περισσότερες από μία λύσεις ή και καμία x x Από την απόλυτη τιμή του κυματαριθμού μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος κύματος k και από το πρόσημο του κυματαριθμού ξέρουμε τη φορά διάδοσης του κύματος Τέλος μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής: f Αυτά που δεν μπορέσαμε να μάθουμε για το κύμα: Δε μάθαμε που βρίσκεται η πηγή του κύματος ούτε πότε ξεκίνησε να λειτουργεί Πρέπει να έγινε φανερό ότι στα πλαίσια ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος αυτή η πληροφορία δεν μπορεί να προσδιοριστεί από τη μελέτη των ταλαντώσεων σημείων του μέσου Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0

5 Σχέση του θέματος αυτού με θέματα των Πανελληνίων εξετάσεων ο Θέμα Πανελληνίων Εξετάσεων 005 Στα πλαίσια της ιδέας αυτής κινήθηκε το ο θέμα των πανελληνίων εξετάσεων Φυσικής Κατεύθυνσης του 005 όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα Η συζήτησή μας θα περιοριστεί μόνο στο ερώτημα (α) για το οποίο ο εξεταστής πρότεινε από τις 5 μονάδες του θέματος και στο ε- ρώτημα (β) για το οποίο ο εξεταστής πρότεινε 6 μονάδες Πρώτα για το (α) ερώτημα: το γεγονός ότι πρόκειται για το πρώτο ερώτημα ενός ου θέματος σε συνδυασμό με την πρόταση τριών () μόνο μονάδων για την αξιολόγησή του μας κάνει να πιστεύουμε ότι ο εξεταστής είχε μάλλον κατά νου την παρακάτω λύση: Η φάση της ταλάντωσης των σημείων του μέσου ελαττώνεται κατά τη φορά διάδοσης του κύματος Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης η φάση της ταλάντωσης του είναι μεγαλύτερη από τη φάση της ταλάντωσης του Επομένως το κύμα πρέπει να διαδίδεται από το προς το δηλαδή προς τ αριστερά Ποια όμως είναι η ανησυχία του εξεταστή που τον αναγκάζει να προσθέσει τη διευκρίνιση «Η απόσταση μεταξύ των σημείων Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0

και είναι μικρότερη από ένα μήκος κύματος»; Ας αφήσουμε αυτή τη απορία για αργότερα και ας προχωρήσουμε με το ερώτημα (β) Φαντάζομαι ότι η παρακάτω απάντηση (μάλλον) θα εθεωρείτο πλήρης: t x Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο η εξίσωση του κύματος είναι: y A T Αντιπαραβάλλοντας με την εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου βλέπω ότι το σημείο βρίσκεται στη θέση 0 οπότε και το σημείο θα βρίσκεται στη θέση x 6 cm με εξίσωση ταλάντωσης: x t 6 cm y A T Αντιπαραβάλλοντας με την εξίσωση ταλάντωσης του βλέπω ότι πρέπει: 6cm 7 cm 6 Δεδομένου ότι 0 rad s f 5 Hz Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής: f 0 8 m s είναι μικρό- Πού χρειάστηκε η συνθήκη «Η απόσταση μεταξύ των σημείων και τερη από ένα μήκος κύματος»; Οι απαντήσεις που δώσαμε (και που φαίνεται να ήταν οι αναμενόμενες από τους μαθητές) αντιστοιχούν στην παρακάτω άσκηση: Κατά μήκος του άξονα X X εκτείνεται ελαστική χορδή Στη χορδή διαδίδεται ε- γκάρσιο αρμονικό κύμα τέτοιο ώστε τη χρονική στιγμή t 0 το σημείο του μέσου στη θέση x 0 να διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα Σύμφωνα με την εξίσωση του κύματος η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου της χορδής περιγράφεται από την εξίσωση: y A 0t SI ενώ η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου που βρίσκεται 6 cm δεξιά του σημείου περιγράφεται από την εξίσωση: y A0t SI Η απόσταση 6 Όπου διαγράψαμε τη συνθήκη για την απόσταση των δύο σημείων γιατί δε χρειάζεται Ο εξεταστής όμως ήταν σαφής (;) Δεν ανέφερε κάτι ειδικό για το τρέχον κύμα και επιπλέον πρόσθεσε και μία συνθήκη για το ότι το μήκος κύματος είναι μεγαλύτερο από 6 cm Η συνθήκη υπονοεί ότι αν στα πλαίσια της οδηγίας #4 ότι δηλαδή κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή λαμβάναμε υπόψη την ασάφεια ολόκληρων κύκλων στην εξίσωση ταλάντωσης τότε θα βρίσκαμε πολλές λύσεις για το μήκος κύματος και θα κρατούσαμε μόνο την 6 cm Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0

Πρέπει να ομολογήσω ότι μου αρέσει περισσότερο αυτός ο τρόπος αντιμετώπισης του θέματος και για το λόγο αυτό θα εκφωνήσω ξανά την άσκηση συμβατά με τον τρόπο αυτό σκέψης: Κατά μήκος του άξονα X X εκτείνεται ελαστική χορδή Στη χορδή διαδίδεται ε- γκάρσιο αρμονικό κύμα Μελετούμε την ταλάντωση δύο σημείων του μέσου του και του που βρίσκεται 6 cm δεξιά του σημείου Θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή t 0 το σημείο περνάει από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα οπότε η εγκάρσια απομάκρυνση του σημείου περιγράφεται από την εξίσωση: y A 0t SI ενώ η εγκάρσια απομάκρυνση του σημείου περιγράφεται από την εξίσωση: y A0t SI όπου για τη σταθερή φάση εφαρμόσαμε τη συνθήκη ότι ανήκει στο διάστημα 0 και ισχύει 6 Η α- πόσταση Λύση Για τη λεπτομερή αντιμετώπιση του προσδιορισμού ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις δύο σημείων του ανατρέξτε στην αντίστοιχη ενότητα Εμείς εδώ απλά θα χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα εκείνης της ανάλυσης για τον κυματαριθμό του κύματος: k n n n 6 x 6 cm n Z Εξ() Πρέπει όμως 6 cm οπότε: 6 cm 6 cm 6 cm kn n n n k 6 n n n Z Δηλαδή ο ακέραιος n επιτρέπεται να είναι n 0 ή n Με τις τιμές αυτές έχουμε δύο δυνατότητες για τον κυματαριθμό Περίπτωση η n 0 k cm που αντιστοιχεί σε κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά με μήκος κύματος k 7 cm Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος αυτού είναι 6 f 080cm s 0 8 m s Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 4

Περίπτωση η n k cm που αντισ τοιχεί σε κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά με μήκος 6 κύματος k 7 cm 6 55 cm Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος αυτού είναι f 080 cm s 98cm s 0 98 m s Συνοψίζοντας τα δεδομένα του προβλήματος ικανοποιούνται από δύο περιπτώσεις κυμάτων: x x t A t y 5 7cm ή x x t A t y 5 7cm Επιβεβαίωση αποτελέσματος Η εξίσωση κύματος περιγράφει ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις όλων των σημείων του μέσου Οι εξισώσεις των κυμάτων που προσδιορίσαμε υποθέτουν ότι η αρχή των αξόνων βρίσκεται εκεί όπου είναι το σημείο Οπότε για το σημείο Και για το σημείο : y : y y x 0 t y x 0 t A 0t 6cm y y x 6cm t A 5t A 0t και 7cm 6 6cm y 7cm y A 0t A 0t 6 6 x 6cm t A 5t A 5 t Σχολιασμός αποτελέσματος Γνώμη μου είναι ότι έχουμε να διαλέξουμε ανάμεσα σε δύο εκδοχές: ή η άσκηση αυτή των Πανελληνίων Εξετάσεων 005 ήταν κακογραμμένη ή η προτεινόμενη λύση της επιτροπής ήταν λάθος Ο εξεταστής είχε μια πολύ ωραία ιδέα για εξετάσεις που θα έπρεπε να την αποτείνει σε φοιτητές για να φανεί η ομορφιά της αλλά δυστυχώς την κακόγραψε για μαθητές Λυόλο θέ- κείου Πάντως δεν παύει να ήταν μια ωραία ιδέα Η αλήθεια βέβαια είναι ότι το μα πέρασε στη σκιά του 4 ου θέματος αυτών των εξετάσεων το οποίο εξάλλου έχει α- φήσει εποχή Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων Ιούνιος 0 5