Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 1 / 110

Περιεχόμενα 1 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 2 / 110

Περιεχόμενα 1 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 3 / 110

Ενα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών (ή κόμβων) οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους με ακμές. Ενα γράφημα είναι στην ουσία ένα σύνολο μαζί με μία διμελή σχέση επί του συνόλου αυτού. Ο όρος γράφημα οφείλεται στο ότι συνήθως η απεικόνιση της σχέσης γίνεται με γραφικό τρόπο (σχεδιάζεται σε μορφή διαγράμματος). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 4 / 110

Υπάρχουν δύο μεγάλες κατηγορίες γραφημάτων, τα μη κατευθυνόμενα, στα οποία οι ακμές δεν έχουν κατεύθυνση και τα κατευθυνόμενα, στα οποία οι ακμές έχουν κατεύθυνση. Σε κάθε κατηγορία υπάρχουν διάφορες παραλλαγές, οι οποίες επιτρέπουν βρόχους, παράλληλες ακμές, ανάθεση βαρών ή ετικετών στις ακμές, στις κορυφές ή και στα δύο κλπ. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 5 / 110

Στη συνέχεια ο όρος γράφημα χωρίς άλλο προσδιορισμό θα αναφέρεται σε μη κατευθυνόμενο γράφημα Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 6 / 110

Μη κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Ενα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος G = (V, E) όπου: V είναι ένα πεπερασμένο, μη κενό σύνολο κορυφών E είναι ένα σύνολο διμελών υποσυνόλων του V που ονομάζεται σύνολο ακμών. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 7 / 110

Αν e = {u, v} E τότε: Οι κορυφές u και v ονομάζονται γειτονικές Η e λέμε ότι προσπίπτει στη u και στη v και ότι συνδέει τις u και v. Οι κορυφές u και v ονομάζονται άκρα της e Μία κορυφή v που δεν είναι άκρο καμίας ακμής ονομάζεται μεμονωμένη. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 8 / 110

Παρατηρήσεις: Κάθε ακμή ενός γραφήματος είναι ένα σύνολο αποτελούμενο από δύο κορυφές. Επειδή τα στοιχεία ενός συνόλου δεν έχουν προκαθορισμένη διάταξη, οι ακμές δεν έχουν κατεύθυνση. Σε ένα γράφημα δεν επιτρέπεται μία κορυφή να συνδέεται με τον εαυτό της. Μία ακμή που συνδέει μία κορυφή με τον εαυτό της ονομάζεται βρόχος και η παραλλαγή της έννοιας του γραφήματος που επιτρέπει τέτοιες ακμές ονομάζεται γράφημα με βρόχους. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 9 / 110

Συνήθως ένα γράφημα το σχεδιάζουμε, αναπαριστώντας τις κορυφές του με μικρούς κύκλους (ή τετράγωνα ή αλλά σχήματα) και τις ακμές του με ευθύγραμμα τμηματα (ή τεθλασμένες γραμμές ή καμπυλόγραμμα τμήματα) που συνδέουν τις κορυφές. Οι θέσεις των κορυφών στο επίπεδο και η μορφή των ακμών μπορεί να είναι οποιεσδήποτε, έτσι ώστε ο σχεδιασμός να αποτυπώνει όσο το δυνατόν καλύτερα τη δομή του γραφήματος. Συνεπώς υπάρχουν άπειρες διαφορετικές απεικονίσεις για το ίδιο γράφημα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 10 / 110

Υπάρχουν οι εξείς περιορισμοί κατά το σχεδιασμό ενος γραφήματος: Διαφορετικές κορυφές αντιστοιχούν σε διαφορετικά σημεία του επιπέδου. Η γραμμή που αναπαριστά μία ακμή ενώνει τα σημεία που αντιστοιχούν στα δύο άκρα τη ακμής και δεν επιτρέπεται να περιέχει σημεία που αντιστοιχούν σε άλλες κορυφές του γραφήματος. Οι γραμές που αναπαριστούν δύο ακμές επιτρέπεται να τέμνονται, ωστόσο αν αυτό συμβαίνει θα πρέπει να έχουν ένα μόναδικό κοινό σημείο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 11 / 110

Παράδειγμα Το γράφημα G = (V, E) με V = {a, b, c, d, e, f } και E = {{a, b}, {a, d}, {c, d}, {c, f }, {e, d}, {e, b}} μπορεί να αναπαρασταθεί μέ οποιονδήποτε από τους παρακάτω τρόπους a c e a b f c b d f e d Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 12 / 110

Ορισμός Βαθμός μίας κορυφής v σε ένα γράφημα G, ο οποίος συμβολίζεται με d G (v), ονομάζεται το πλήθος των ακμών του G που προσπίπτουν στη v. Αν είναι σαφές από τα συμφραζόμενα σε ποιο γράφημα αναφερόμαστε, τότε συμβολίζουμε το βαθμό της v απλά με d(v). Αν G = (V, E) τότε d G (v) = {u V {v, u} E}. Ορισμός Βαθμός ενός γραφήματος G, ο οποίος συμβολίζεται με (G), ονομάζεται ο μέγιστος βαθμός ανάμεσα σε όλες τις κορυφές του. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 13 / 110

Ορισμός Γειτονιά μίας κορυφής v σε ένα γράφημα G, η οποίο συμβολίζεται με N G (v), ονομάζεται το σύνολο των κορυφών του G που συνδέονται με ακμή με τη v. Αν G = (V, E) τότε N G (v) = {u V {v, u} E}. Ορισμός Κλειστή γειτονιά μίας κορυφής v σε ένα γράφημα G, η οποίο συμβολίζεται με N G [v], ονομάζεται το σύνολο κορυφών N G (v) {v}. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 14 / 110

Παράδειγμα Στο παρακάτω γράφημα G έχουμε d G (v 1 ) = 2, d G (v 5 ) = 0, d G (v 7 ) = 5, d G (v 8 ) = 1 και (G) = 5. Επίσης N G (v 1 ) = {v 2, v 6 }, N G (v 5 ) =, N G (v 7 ) = {v 2, v 3, v 4, v 6, v 8 }, N G (v 8 ) = {v 7 } N G [v 1 ] = {v 1, v 2, v 6 }, N G [v 5 ] = {v 5 }, v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 15 / 110

Παρατηρούμε ότι για κάθε γράφημα G = (V, E) και κάθε κορυφή v V ισχύουν τα παρακάτω: d G (v) V 1 N G (v) = d G (v) και N G [v] = d G (v) + 1 N G (v) = {u v N G (u)} Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 16 / 110

Θεώρημα Σε κάθε γράφημα G = (V, E), ισχύει d G (v) = 2 E v V Απόδειξη Για να αποδείξουμε την παραπάνω ισότητα, ας θεωρήσουμε ότι κόβουμε κάθε ακμή σε δύο κομμάτια, έτσι ώστε το κάθε ένα από αυτά να παραμείνει συνδεδεμόνο με διαφορετικό άκρο της ακμής. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 17 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Μετράμε τα κομμάτια εξετάζοντας τις κορυφές. Το πλήθος των κομματιών που είναι συνδεδεμένα με μία κορυφή v είναι d G (v). Συνεπώς το συνολικό πλήθος των κομματιών είναι v V d G (v). Στη συνέχεια μετράμε τα κομμάτια εξετάζοντας τις ακμές. Επειδή κάθε ακμή χωρίζεται σε δύο κομμάτια το πλήθος των κομματιών είναι 2 E. Επειδή το πλήθος των κομματιών είναι μονοσήμαντα ορισμένο και ανεξάρτητο από τον τρόπο μέτρησης θα πρέπει να ισχύει d G (v) = 2 E v V Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 18 / 110

Παράδειγμα Παρακάτω φαίνεται ο χωρισμός των ακμών σε δύο κομμάτια, που περιγράφεται στην προηγούμεν απόδειξη. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 19 / 110

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε ένα γράφημα με χρήση πινάκων. Εστω ένα γράφημα G = (V, E), με V = n και E = m, μία διάταξη v 1, v 2,..., v n των κορυφών του και μία διάταση e 1, e 2,..., e m των ακμών του Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 20 / 110

Ο πίνακας γειτνίασης A του γραφήματος G είναι ο πίνακας διάστασης n n, όπου: { 1 αν {vi, v a ij = j } E 0 αλλιώς Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 21 / 110

Παράδειγμα Εστω το παρακάτω γράφημα G: v 1 v 2 v 3 e 1 e 3 e 2 e 5 e 4 e 6 e 7 v 5 v 4 Ο πίνακας γειτνίασης του G είναι: A = 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 22 / 110

Ιδιότητες του πίνακα γειτνίασης είναι συμμετρικός ως προς τη διαγώνιο. όλα τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι 0. το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής ή στήλης του είναι ο βαθμός της αντίστοιχης κορυφής. Το συνολικό πλήθος των 1 είναι 2 E. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 23 / 110

Ο πίνακα πρόσπτωσης B του γραφήματος G είναι ο πίνακας διάστασης n m, όπου: b ij = { 1 αν vi e j 0 αλλιώς Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 24 / 110

Παράδειγμα (συνέχεια) Εστω το παρακάτω γράφημα G: v 1 v 2 v 3 e 1 e 3 e 2 e 5 e 4 e 6 e 7 v 5 v 4 Ο πίνακας προσπτωσης του G είναι: B = 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 25 / 110

Ιδιότητες του πίνακα πρόσπτωσης Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής είναι ο βαθμός της αντίστοιχης κορυφής. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης είναι 2. Το συνολικό πλήθος των 1 είναι 2 E. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 26 / 110

Θεώρημα Εστω A και B οι πίνακες γειτνίασης και πρόσπτωσης ενός γραφήματος G. Τότε ισχύει BB T = A + C όπου c ij = { dg (v i ) αν i = j 0 αλλιώς Απόδειξη Εστω S = BB T. Συνεπώς s ij = m k=1 b ik b jk. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 27 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Αν i j και οι κορυφές v i και v j είναι γειτονικές, τότε υπάρχει κάποια ακμή e l τέτοια ώστε e l = {v i, v j } και άρα b il = b jl = 1. Οποιαδήποτε άλλη ακμή του γραφήματος θα πρέπει να μην έχει ως άκρο τουλάχιστον μία από τις v i, v j και άρα για κάθε k l ισχύει b ik = 0 ή b jk = 0. Άρα σε αυτή την περίπτωση s ij = m l 1 b ik b jk = ( b ik b jk )+b il b jl +( k=1 k=1 m k=l+1 b ik b jk ) = 0+1+0 = 1. Επιπλέον, a ij = 1 επειδή οι v i και v j είναι γειτονικές και c ij = 0 επειδή i j. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 28 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Αν i j και οι κορυφές v i και v j δεν είναι γειτονικές, τότε για κάθε k ισχύει b ik = 0 ή b jk = 0. Άρα σε αυτή την περίπτωση s ij = m b ik b jk = 0. k=1 Επιπλέον, a ij = 0 επειδή οι v i και v j δεν είναι γειτονικές και c ij = 0 επειδή i j. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 29 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Αν i = j τότε m m s ij = b ik b ik = b ik = d G (v i ) k=1 k=1 Επιπλέον, a ij = 0 και c ij = d G (v i ) επειδή i = j. Συνεπώς σε για κάθε i, j ισχύει s ij = a ij + c ij. Άρα BB T = S = A + C Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 30 / 110

Ορισμός Το γράφημα G = (V, E ) ονομάζεται υπογράφημα του το G = (V, E) αν V V και E E. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 31 / 110

Παράδειγμα Γράφημα G: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Υπογραφήματα του G: v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 5 v 6 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 32 / 110

Εστω G = (V, E ) υπογράφημα του G = (V, E). Το G ονομάζεται συνδετικό ή επικαλύπτον υπογράφημα του G αν V = V παραγόμενο από το V υπογράφημα του G αν το E περιέχει όλες τις ακμές του E με άκρα κορυφές του V Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 33 / 110

Παράδειγμα Γράφημα G: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Αριστερά: συνδετικό υπογράφημα του G. Δεξιά: παραγόμενο υπογραφήματα του G από το σύνολο κορυφών {v 2, v 3, v 5, v 6 }. v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 5 v 6 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 34 / 110

Ορισμός Εστω G = (V, E) ένα γράφημα και E E ένα υποσύνολο των ακμών του G. Συμβολίζουμε με G E το γράφημα που προκύπτει από το G αν διαγράψουμε όλες τις ακμές του E. Ισχύει G E = (V, E E ). Αν E = {e} τότε το G E συμβολίζεται πιο απλά με G e. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 35 / 110

Παράδειγμα Γράφημα G: v 1 v 2 v 3 e 1 e 3 e 2 e 5 e 4 e 6 e 7 v 5 v 4 Αριστερά: το γράφημα G {e 1, e 4, e 6 }. Δεξιά: το γράφημα G e 7. v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 e 3 e 1 e 3 e 2 e 5 e 2 e 5 e 4 e 6 e 7 v 5 v 4 v 5 v 4 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 36 / 110

Ορισμός Εστω G = (V, E) ένα γράφημα και V V ένα υποσύνολο των κορυφών του G. Συμβολίζουμε με G V το γράφημα που προκύπτει από το G αν διαγράψουμε όλες τις κορυφές του V καθώς και τις προσπίπτουσες σε αυτές ακμές. Ισχύει G V = (V V, E {{u, v} u V ή v V }). Αν V = {v} τότε το G V συμβολίζεται πιο απλά με G v. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 37 / 110

Παράδειγμα Γράφημα G: v 1 v 2 v 3 v 5 v 4 Αριστερά: το γράφημα G {v 1, v 3 }. Δεξιά: το γράφημα G v 2. v 2 v 1 v 3 e 5 e 4 e 2 e 6 e 7 v 5 v 4 v 5 v 4 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 38 / 110

Ορισμός Ονομάζουμε συμπλήρωμα ενός γραφήματος G = (V, E) το γράφημα G = (V, E), όπου το E περιέχει όσες ακμές δεν περιέχονται στο E (πιο αυστηρά: όλα τα διμελή σύνολα με στοιχεία από το V που δεν ανήκουν στο E). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 39 / 110

Παράδειγμα Γράφημα G: v 1 v 2 v 3 v 5 v 4 Το συμπλήρωμα G του G. v 1 v 2 v 3 e 6 v 5 v 4 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 40 / 110

Ορισμός Ονομάζουμε διαδρομή ή περίπατο στο γράφημα G = (V, E) μία ακολουθία κορυφών w = x 1, x 2,..., x k, όπου k 1, τέτοια ώστε {x i, x i+1 } E, για κάθε i με 1 i k 1.. Ο αριθμός k 1 ονομάζεται μήκος της διαδρομής. Οι κορυφές x 0 και x k ονομάζονται άκρα της διαδρομής και οι κορυφές x 2,... x k 1 ονομάζονται εσωτερικές κορυφές της διαδρομής. Λέμε ότι η διαδρομή w συνδέει τις κορυφές x 1 και x k και ότι περνάει από τις κορυφές x 2,... x k 1 και από τις ακμές {x 1, x 2 }, {x 2, x 3 },..., {x k 1, x k }. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 41 / 110

Παράδειγμα Η ακολουθία w = v 1, v 2, v 5, v 3, v 6, v 5, v 2, v 1, v 4 αποτελεί μία διαδρομή στο γράφημα G. Το μήκος της w είναι 8. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 42 / 110

Ορισμός Μία διαδρομή w = x 1, x 2,..., x k ονομάζεται κλειστή αν k > 1 και x 1 = x k ανοικτή αν k = 1 ή x 1 x k. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 43 / 110

Μία διαδρομή μήκους 0 αποτελείται από μία μόνο κορυφή. Η διαδρομή w = x 1 μήκους 0 θεωρούμε ότι συνδέει την κορυφή x 1 με τον εαυτό της. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 44 / 110

Αν w = x 1, x 2,..., x k είναι μία διαδρομή στο γράφημα G, τότε οι ακμές {x 1, x 2 },... {x k 1, x k } θα λέμε ότι είναι οι ακμές της διαδρομής ή ότι περιέχονται στη διαδρομή. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 45 / 110

Ορισμός Μία ανοιχτή διαδρομή w = x 1, x 2,..., x k σε ένα γράφημα G ονομάζεται ίχνος αν για κάθε i, j με 1 i < j k 1, ισχύει {x i, x i+1 } {x j, x j+1 }. Ορισμός Μία ανοιχτή διαδρομή w = x 1, x 2,..., x k σε ένα γράφημα G ονομάζεται μονοπάτι αν για κάθε i, j με 1 i < j k, ισχύει x i x j. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 46 / 110

Παράδειγμα Η ακολουθία t = v 1, v 2, v 5, v 3, v 6, v 5, v 4 είναι ένα ίχνος στο γράφημα G. Η ακολουθία p = v 1, v 2, v 6, v 3, v 5, v 4 είναι ένα μονοπάτι (και ίχνος) στο G. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 47 / 110

Παρατηρήσεις: Σε ένα ίχνος και σε ένα μονοπάτι με μήκος μεγαλύτερο από 0, τα δύο άκρα πρέπει να είναι διαφορετικές κορυφές. Σε ένα ίχνος επιτρέπεται μία κορυφή να εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές, αλλά δεν επιτρέπεται μία ακμή να εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές. Σε ένα μονοπάτι κάθε κορυφή και κάθε ακμή επιτρέπεται να εμφανίζεται το πολύ μία φορά. Κάθε μονοπάτι είναι ίχνος, ενώ το αντίστροφο προφανώς δεν ισχύει. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 48 / 110

Θεώρημα Αν σε ένα γράφημα G υπάρχει διαδρομή με άκρα τις κορυφές v και u τότε υπάρχει και μονοπάτι με άκρα τις v και u. Απόδειξη Θα αποδείξουμε το θεώρημα με ισχυρή επαγωγή στο μήκος n της διαδρομής. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 49 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Για n = 0 ο ισχυρισμός ισχύει, καθώς μία διαδρομή μήκους 0 είναι μονοπάτι (περιέχει μία μόνο κορυφή και άρα δεν μπορεί κάποια κορυφή να εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές). Εστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει για κάθε διαδρομή με μήκος το πολύ n. Εστω μία διαδρομή w = x 1, x 2,..., x n+2 μήκους n + 1. Αν x i x j για κάθε i, j με 1 i < j n + 2, τότε η ίδια η w είναι μονοπάτι. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 50 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Σε αντίθετη περίπτωση ισχύει x i = x j για κάποιες τιμές i, j με 1 i < j n + 2. Η ακολουθία w = x 1, x 2,..., x i, x j+1,... x n+2 που προκύπτει από την w αν διαγραφούν οι κορυφές x i+1... x j είναι επίσης διαδρομή με άκρα τις κορυφές x 1 και x n+2 και έχει μήκος το πολύ n. Από την επαγωγική υπόθεση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι υπάρχει μονοπάτι στο G με άκρα τις κορυφές x 1 και x n+2. Συνεπώς ο ισχυρισμός ισχύει και για n + 1 και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 51 / 110

Πόρισμα Αν δύο κορυφές σε ένα γράφημα G συνδέονται με διαδρομή, τότε συνδέονται και με διαδρομή μήκους n 1, όπου n είναι το πλήθος των κορυφών του γραφήματος. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 52 / 110

Ορισμός Μία κλειστή διαδρομή w = x 1, x 2,..., x k, x k+1 (x k+1 = x 1 ) σε ένα γράφημα G ονομάζεται κύκλωμα αν για κάθε i, j με 1 i < j k, ισχύει {x i, x i+1 } {x j, x j+1 }. Ορισμός Μία κλειστή διαδρομή w = x 1, x 2,..., x k, x 1 με k 3 σε ένα γράφημα G ονομάζεται κύκλος αν για κάθε i, j με 1 i < j k, ισχύει x i x j. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 53 / 110

Παράδειγμα Η ακολουθία t = v 1, v 2, v 3, v 6, v 2, v 5, v 4, v 1 είναι ένα κύκλωμα στο γράφημα G. Η ακολουθία p = v 1, v 2, v 6, v 5, v 4, v 1 είναι ένας κύκλος (και κύκλωμα) στο G. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 54 / 110

Παρατηρήσεις: Σε ένα κύκλωμα οποιαδήποτε κορυφή επιτρέπεται να εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές, αλλά δεν επιτρέπεται μία ακμή να εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές. Σε ένα κύκλο κάθε κορυφή και κάθε ακμή επιτρέπεται να εμφανίζεται το πολύ μία φορά. Κάθε κύκλος είναι κύκλωμα, ενώ το αντίστροφο προφανώς δεν ισχύει. Κάθε κύκλωμα έχει μήκος τουλάχιστον 3. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 55 / 110

Η απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος αφήνεται ως άσκηση. Θεώρημα Αν σε ένα γράφημα G υπάρχει κύκλωμα τότε υπάρχει και κύκλος. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 56 / 110

Ορισμός Ενα γράφημα G = (V, E) ονομάζεται συνεκτικό αν για οποιεσδήποτε κορυφές u, v V υπάρχει μονοπάτι με άκρα τις u, v. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 57 / 110

Παράδειγμα Το παρακάτω γράφημα είναι συνεκτικό: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 58 / 110

Παράδειγμα Το παρακάτω γράφημα δεν είναι συνεκτικό (δεν υπάρχει για παράδειγμα μονοπάτι με άκρα τις v 1 και v 2 ούτε μονοπάτι με άκρα την μεμονωμένη κορυφή v 4 και οποιαδήποτε άλλη κορυφή): v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 59 / 110

Παράδειγμα Το παρακάτω γράφημα δεν είναι συνεκτικό (δεν υπάρχει για παράδειγμα μονοπάτι μονοπάτι με άκρα τις v 1 και v 2 ούτε μονοπάτι με άκρα τις v 4 και v 8 ): v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 60 / 110

Η απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος αφήνεται ως άσκηση. Θεώρημα Εστω ένα συνεκτικό γράφημα G = (V, E) και έστω U V. Τότε υπάρχουν κορυφές u U και v (V U) τέτοιες ώστε {u, v} E. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 61 / 110

Ενα γράφημα το οποίο δεν είναι συνεκτικό μπορεί να διαμεριστεί σε υπογραφήματα, καθένα από τα οποία είναι συνεκτικό. Ορισμός Εστω G = (V, E) ένα γράφημα και V V ένα υποσύνολο των κορυφών του. Το υπογράφημα G = (V, E ) του G το οποίο παράγεται από το σύνολο κορυφών V ονομάζεται συνεκτική συνιστώσα του G αν το G είναι συνεκτικό για κάθε υποσύνολο κορυφών V του G τέτοιο ώστε V V, το υπογράφημα του G που παράγεται από το V δεν είναι συνεκτικό. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 62 / 110

Με βάση τον παραπάνω ορισμό τα σύνολα κορυφών που παράγουν συνεκτικές συνιστώσες, είναι τα μεγιστικά σύνολα, ανάμεσα σε αυτά που παράγουν συνεκτικά υπογραφήματα. Ενα γράφημα είναι συνεκτικό αν αποτελείται από μία μόνο συνεκτική συνιστώσα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 63 / 110

Παράδειγμα Το παρακάτω υπογράφημα έχει τρεις συνεκτικές συνιστώσες που παράγονται από τα σύνολα κορυφών {v 1, v 5 }, {v 2, v 3, v 6, v 7, v 8 } και {v 4 }. Το υπογράφημα που παράγεται από το σύνολο {v 1, v 3, v 4, v 5 } δεν είναι συνεκτική συνιστώσα επειδή δεν είναι συνεκτικό. Το υπογράφημα που παράγεται από το σύνολο {v 6, v 7, v 8 } δεν είναι συνεκτική συνιστώσα, επειδή υπάρχει υπερσύνολο του συνόλου αυτού που παράγει συνεκτικό υπογράφημα. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 64 / 110

Το παρακάτω θεώρημα μπορεί να αποδειχτεί εύκολα και περιγράφει τη βασική ιδιότητα των συνεκτικών συνιστωσών (η απόδειξη αφήνεται σαν άσκηση). Θεώρημα Εστω G = (V, E) ένα γράφημα. Τότε κάθε κορυφή στο σύνολο V και κάθε ακμή στο σύνολο E ανήκει σε μία ακριβώς συνεκτική συνιστώσα του G. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 65 / 110

Εχουμε δει ότι μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα γράφημα με πολλούς (στην πραγματικότητα άπειρους) τρόπους. Από την άλλη είναι δυνατόν δύο σχεδιασμοί που φαίνονται πανομοιότυποι να απεικονίζουν διαφορετικά γραφήματα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 66 / 110

Τα παρακάτω γραφήματα είναι διαφορετικά παρότι σχεδιάζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, καθώς έχουν διαφορετικά σύνολα κορυφών: 1 2 a b 3 4 c d Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 67 / 110

Τα παρακάτω γραφήματα είναι διαφορετικά παρότι σχεδιάζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο και έχουν το ίδιο σύνολο κορυφών, καθώς έχουν διαφορετικά σύνολα ακμών: 1 2 1 2 3 4 4 3 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 68 / 110

Ορισμός Δύο γραφήματα G 1 = (V 1, E 1 ), G 2 = (V 2, E 2 ) ονομάζονται ισομορφικά αν υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση f από το V 1 στο V 2, τέτοια ώστε για οποιεσδήποτε κορυφές u, v V 1, ισχύει {u, v} E 1 αν και μόνο αν {f (u), f (v)} E 2. Διαισθητικά, δύο γραφήματα είναι ισομορφικά αν μπορούμε να μετονομάσουμε κατάλληλα τις κορυφές του ενός έτσι ώστε να προκύψει το άλλο και αντίστροφα. Δύο ισομορφικά γραφήματα μπορούν να σχεδιαστούν με τον ίδιο τρόπο με εξαίρεση τα ονόματα των κορυφών. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 69 / 110

Τα παρακάτω γραφήματα είναι ισομορφικά (ορίζουμε f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c, f (4) = d): 1 2 a b 3 4 c d Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 70 / 110

Τα παρακάτω γραφήματα είναι ισομορφικά (ορίζουμε f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 4, f (4) = 3): 1 2 1 2 3 4 4 3 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 71 / 110

Είναι αναμενόμενο δύο ισομορφικά γραφήματα να έχουν παρόμοιες ιδιότητες. Διασθητικά οτιδήποτε δεν εξαρτάται από τα ονόματα των κορυφών θα πρέπει να έχει την ίδια συμπεριφορά και στα δύο γραφήματα. Μία παράμετρος που ορίζεται για γραφήματα ονομάζεται αναλλοίωτη αν έχει την ίδια τιμή σε ισομορφικά γραφήματα. Για παράδειγμα είναι εύκολο να αποδειχτεί ότι το πλήθος των κορυφών, το πλήθος των ακμών, ο βαθμός του γραφήματος, το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών, το μέγιστο μήκος μονοπατιού, το πλήθος κορυφών με βαθμό d για κάθε d είναι αναλλοίωτες. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 72 / 110

Για να δείξουμε ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά αρκεί να βρούμε μία αναλλοίωτη που έχει διαφορετικές τιμές στα δύο γραφήματα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 73 / 110

Στη συνέχεια θα ορίσουμε μερικές ειδικές κατηγορίες γραφημάτων. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 74 / 110

Ορισμός Ενα γράφημα G = (V, E) ονομάζεται διμερές αν το σύνολο V μπορεί να χωριστεί σε δύο ξένα σύνολα κορυφών V 1 και V 2 έτσι ώστε για κάθε ακμή e το ένα άκρο της να ανήκει στο V 1 και το άλλο στο V 2. Σε ένα διμερές γράφημα, ισχύει E {{v, u} v V 1 και u V 2 }, για κάποια σύνολα V 1 και V 2 με V 1 V 2 =. Συμβολίζουμε ένα διμερές γράφημα με διαχωρισμό κορυφών V 1 και V 2 ως G = (V 1, V 2, E). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 75 / 110

Παράδειγμα Τα παρακάτω γραφήματα είναι διμερή: v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 4 v 5 v 6 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 76 / 110

Παράδειγμα Τα παρακάτω γραφήματα είναι διμερή: v 1 v 2 v 11 v 12 v 13 v 14 v 15 v 21 v 22 v 23 v 24 v 25 v 3 v 6 v 31 v 32 v 33 v 34 v 35 v 5 v 4 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 77 / 110

Ορισμός Ονομάζουμε πλήρες γράφημα με n 1 κορυφές, το οποίο συμβολίζεται με K n, το γράφημα (V, E) όπου V = {v 1, v 2,..., v n } και E = {{v i, v j } 1 i < j n}. Στο πλήρες γράφημα υπάρχει ακμή ανάμεσα σε οποιοδήποτε ζεύγος διαφορετικών κορυφών. Κατ επέκταση ονομάζουμε πλήρες γράφημα οποιοδήποτε γράφημα ισομορφικό με το K n. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 78 / 110

Παράδειγμα Παρακάτω εικονίζονται τα γραφήματα K 1, K 2, K 3 και K 8 : v 1 v 2 v 1 v 1 v 2 v 3 v 7 v 3 v 1 v 2 v 8 v 4 v 6 v 5 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 79 / 110

Ορισμός Ονομάζουμε γράφημα-κύκλο (ή απλά κύκλο) με n 3 κορυφές, το οποίο συμβολίζεται με C n, το γράφημα (V, E) όπου V = {v 1, v 2,..., v n } και E = {{v i, v i+1 } 1 i < n} {{v n, v 1 }}. Στο γράφημα-κύκλο όλες οι ακμές σχηματίζουν έναν κύκλο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 80 / 110

Παράδειγμα Παρακάτω εικονίζονται τα γραφήματα C 3, C 6 και C 8 : v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 8 v 3 v 6 v 3 v 1 v 2 v 7 v 4 v 5 v 4 v 6 v 5 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 81 / 110

Ορισμός Ονομάζουμε γράφημα-μονοπάτι (ή απλά μονοπάτι) με n 1 κορυφές, το οποίο συμβολίζεται με P n, το γράφημα (V, E) όπου V = {v 1, v 2,..., v n } και E = {{v i, v i+1 } 1 i < n}. Στο γράφημα-μονοπάτι όλες οι ακμές σχηματίζουν ένα μονοπάτι. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 82 / 110

Παράδειγμα Παρακάτω εικονίζονται τα γραφήματα P 1, P 2 και P 5 : v 1 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 83 / 110

Ορισμός Ενα γράφημα G = (V, E) ονομάζεται δέντρο αν είναι συνεκτικό δεν υπάρχει κύκλος στο G. Παρατηρούμε ότι κάθε γράφημα μονοπάτι είναι δέντρο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 84 / 110

Παράδειγμα Τα παρακάτω γραφήματα είναι δέντρα: v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 4 v 5 v 6 v 7 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 85 / 110

Παράδειγμα Τα παρακάτω γραφήματα είναι δέντρα: v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 v 12 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 86 / 110

Ορισμός Ενα γράφημα G = (V, E) ονομάζεται δάσος αν δεν υπάρχει κύκλος στο G. Ενα γράφημα είναι δάσος αν και μόνο αν κάθε συνεκτική συνιστώσα του είναι δέντρο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 87 / 110

Παράδειγμα Το παρακάτω γράφημα είναι δάσος: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 v 12 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 88 / 110

Ορισμός Ονομάζουμε αστέρι βαθμού n, το οποίο συμβολίζεται με S n, το γράφημα (V, E) όπου V = {v 0, v 1, v 2,..., v n } και E = {{v 0, v i } 1 i n}. Τα αστέρια είναι δέντρα στα οποία υπάρχει μόνο μία κορυφή με βαθμό μεγαλύτερο από 1. Η κορυφή αυτή συνδέεται με όλες τις υπόλοιπες κορυφές του αστεριού. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 89 / 110

Παράδειγμα Παρακάτω εικονίζονται τα γραφήματα S 0, S 2, S 3 και S 5 : v 3 v 4 v 0 v 1 v 0 v 2 v 0 v 5 v 3 v 0 v 1 v 2 v 1 v 2 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 90 / 110

Ορισμός Ονομάζουμε πλήρες διμερές γράφημα με m, n 1 κορυφές, το οποίο συμβολίζεται με K m,n, το διμερές γράφημα (U V, E) όπου U = {u 1, u 2,..., u m }, V = {v 1, v 2,..., v n } και E = {{u i, v j } 1 i m, 1 j n}. Στο πλήρες διμερές γράφημα K m,n υπάρχει ακμή ανάμεσα σε κάθε κορυφή του U και κάθε κορυφή του V. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 91 / 110

Παράδειγμα Παρακάτω εικονίζονται τα γραφήματα K 3,3, K 2,4, και K 1,6 : u 1 v 1 u 1 u 2 v 1 v 2 u 2 v 2 u 1 v 3 v 4 u 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 3 v 5 v 6 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 92 / 110

Ορισμός Ονομάζουμε (m n)-πλέγμα το γράφημα (V, E) όπου V = {v ij 1 i m, 1 j n} και E = {{v ij, v i j } 1 i, i m, 1 j, j n, i i + j j = 1}. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 93 / 110

Παράδειγμα Παρακάτω εικονίζονται τα πλέγματα (2 2), (3 5) και (4 4): v 11 v 12 v 13 v 14 v 15 v 11 v 12 v 13 v 14 v 11 v 12 v 21 v 22 v 21 v 22 v 23 v 24 v 25 v 31 v 32 v 33 v 34 v 35 v 21 v 22 v 23 v24 v 31 v 32 v 33 v 34 v 41 v 42 v 43 v 44 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 94 / 110

Ορισμένα γραφήματα που ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες ανάμεσα σε αυτές που περιγράψαμε είναι ισομορφικά μεταξύ τους. Τα γραφήματα που δίνονται παρακάτω στη ίδια γραμμή είναι ισομοριφικά μεταξύ τους: K 1, P 1, S 0, (1 1)-πλέγμα K 2, P 2, S 1, K 1,1, (1 2)-πλέγμα, (2 1)-πλέγμα P 3, S 2, K 1,2, K 2,1 K 3, C 3 C 4, K 2,2, (2 2)-πλέγμα S n, K 1,n, K n,1 (n 1). P n, (1 n)-πλέγμα, (n 1)-πλέγμα (n 1). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 95 / 110

Η απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος αφήνεται ως άσκηση. Θεώρημα Ενα γράφημα G είναι διμερές αν και μόνο αν κάθε συνεκτική συνιστώσα του G είναι διμερές γράφημα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 96 / 110

Θεώρημα Αν ένα γράφημα G δεν είναι διμερές, τότε υπάρχει ένας κύκλος με περιττό μήκος στο G. Απόδειξη Αν το G δεν είναι διμερές τότε υπάρχει μία συνεκτική συνιστώσα G = (V, E ) του G η οποία δεν είναι διμερές γράφημα. Θα δείξουμε ότι υπάρχει ένας κύκλος περιττού μήκους στην G. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 97 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Θα σχηματίσουμε μία ακολουθία V 1, V 2,..., V k από σύνολα κορυφών, η οποία θα αποτελεί μία διαμέριση του V. Επιλέγουμε μία οποιαδήποτε κορυφή x του V και θέτουμε V 1 = {x}. Η υπόλοιπη ακολουθία σχηματίζει με τον παρακάτω τρόπο: Αν i j=1 V j V, τότε το V i+1 περιέχει όλους του γείτονες των κορυφών του V i, που δεν περιέχονται σε κάποιο από τα V 1,..., V i. Αν i j=1 V j = V, τότε η κατασκευή της ακολουθίας έχει ολοκληρωθεί (k = i). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 98 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Επειδή το γράφημα είναι συνεκτικό, αν i j=1 V j V, τότε υπάρχει κάποια κορυφή v V ( i j=1 V j) η οποία συνδέεται μέ καποια κορυφή u του ( i j=1 V j). Η u θα πρέπει να ανήκει στο V i, καθώς αν ίσχυε u V i με i < i θα ίσχυε v V i +1, συνεπώς θα ήταν v V ( i j=1 V j) (άτοπο). Συνεπώς V i+1. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 99 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Επειδή τα σύνολα της ακολουθίας είναι μη κενά και το V πεπερασμένο, η κατασκυή της ακολουθίας ολοκληρώνεται πάντα. Κάθε κορυφή του V ανήκει σε ένα σύνολο V i+1 μόνο αν δεν ανήκει στα V 1,..., V i, συνεπώς τα σύνολα της ακολουθίας είναι αν δύο ξένα μεταξύ τους. Άρα η ακολουθία V 1,..., V k είναι μία διαμέριση του συνόλου κορυφών V. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 100 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Θεωρούμε το διαχωρισμό του V στα σύνολα U και W, όπου U είναι η ένωση των V i με περιττό i και W η ένωση των V i με άρτιο i. U = W = k 2 j=1 k 2 j=1 V 2j 1 V 2j Επειδή τα σύνολα U και W είναι ξένα μεταξύ τους και η συνιστώσα (V, E ) δεν είναι διμερές γράφημα, θα πρέπει να υπάρχει μία ακμή που συνδέει δύο κορυφές του U ή δύο κορυφές του V. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 101 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Σε οποιαδήποτε από τις δύο περιτώσεις θα πρέπει οι αυτές οι δύο γειτονικές κορυφές να ανήκουν στα σύνολα V l και V l+2d για κάποια l 1 και d 0. Ομως οι γείτονες των κορυφών του V l τοποθετούνται στο V l+1 εκτός αν ανήκουν σε προηγούμενα σύνολα της ακολουθίας. Άρα θα πρέπει l + 2d l + 1 που συνεπάγεται d = 0. Συνεπώς υπάρχει κάποιο σύνολο V l και δύο κορυφές v l κσι u l τέτοιες ώστε v l, u l V l. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 102 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Από τον τρόπο κατασκευής της ακολουθίας V 1,..., V k, για κάθε κορυφή v που ανήκει σε κάποιο V i, με 2 i k, υπάρχει τουλάχιστον ένας γείτονας της v που ανήκει στο V i 1. Επιλέγουμε (αυθαίερετα) έναν τέτοιο γείτονα και τον συμβολίζουμε μέ p(v). Σχηματίζουμε τα μονοπάτια v l, v l 1,... v 2, v 1 και u l, u l 1,... u 2, u 1, όπου v i = p(v i+1 ) και u i = p(u i+1 ), για 1 i l 1. Οι κορυφές u i και v i, 1 i l ανήκουν στο σύνολο V i. Ειδικότερα v 1 = u 1 = x. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 103 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Εστω r = max{i 1 i l v i = u i }. Ο αριθμός r είναι καλά ορισμένος, καθώς το σύνολο δεξιά του ίσον περιέχει τουλάχιστον το στοιχείο 1. Επίσης r < l καθώς οι v l και u l συνδέονται με ακμή και άρα δεν ταυτίζονται. Η ακολουθία κορυφών c = v r, v r+1,... v l, u l... u r+1, u r είναι κύκλος. Πράγματι, λόγω του τρόπου επιλογής του r, ισχύει v r = u r και για κάθε i, r < i l, ισχύέι v i u i. Επίσης οποιοδήποτε για αλλο ζεύγος κορυφών, οι δύο κορυφές του ανήκουν σε διαφορετικά σύνολα της διαμέρισης και άρα είναι διαφορετικές. Το μήκος του κύκλου c είναι 2(l r) + 1, που είναι περιττός αριθμός Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 104 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Συνεπώς η συνεκτική συνιστώσα G, άρα και το γράφημα G, περιέχει κύκλο περιττού μήκους. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 105 / 110

Θεώρημα Ενα γράφημα G = (V, E) είναι διμερές αν και μόνο αν κάθε κλειστή διαδρομή στο G έχει άρτιο μήκος. Απόδειξη Εστω ότι το G δεν είναι διμερές. Τότε υπάρχει ένας κύκλος περιττού μήκους στο G, ο οποίος είναι κλειστή διαδρομή. Συνεπώς δεν έχουν όλες οι κλειστές διαδρομές στο G άρτιο μήκος. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 106 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Εστω ότι το G είναι διμερές και εστω V 1 και V 2 δύο σύνολα κορυφών τέτοια V = V 1 V 2 και κάθε ακμή του G να συνδέει μία κορυφή του V 1 με μία κορυφή του V 2. Εστω w = x 1, x 2,..., x k, x k+1 μία οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή στο G. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι x 1 V 1. Τότε θα ισχύει x 2 V 2, x 3 V 1, x 4 V 2 και γενικότερα x i V 1, αν i είναι περιττός αριθμός και x i V 2, αν i είναι άρτιος αριθμός. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 107 / 110

Απόδειξη (συνέχεια) Επειδή η w είναι κλειστή διαδρομή, ισχύει x k+1 = x 1 V 1, που συνεπάγεται ότι k + 1 είναι περιττός αριθμός. Άρα το μήκος της διαδρομης w, το οποίο είναι το k, είναι άρτιος αριθμός. Συνεπώς αν το G είναι διμερές, τότε κάθε κλειστή διαδρμή στο G έχει άρτιο μήκος. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 108 / 110

Θεώρημα Κάθε δέντρο είναι διμερές γράφημα. Απόδειξη Εστω G ένα δέντρο. Ας υποθέσουμε ότι το G δεν είναι διμερές διμερές. Τότε υπάρχει κύκλος περιττού μηκους στο G. Αυτό είναι άτοπο καθώς το G είναι δέντρο και άρα εξ ορισμού δεν περιέχει κύκλο. Άρα το G είναι διμερές. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 109 / 110

Η απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος αφήνεται ως άσκηση. Θεώρημα Κάθε πλέγμα είναι διμερές γράφημα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 110 / 110