ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 26
1
H metaptuqiak aut ergasða pragmatopoi jhke sto tm ma Majhmatik n tou PanepisthmÐou Kr thc, sta plaðsia tou Progrˆmmatoc Metaptuqiak n Spoud n << Majhmatikˆ kai Efarmogèc touc >> sthn kateôjunsh << Epiqeirhsiakˆ Majhmatikˆ >>. Epiblèpwn kajhght c tan o k. G. KOSIWRHS. Thn epitrop axiolìghshc apotèlesan oi k.k. G.Zourˆrhc G.Kosi rhc M.Loulˆkhc. 2
Duo lìgia... Jewr upoqrews mou na euqarist sw ton kajhght tou tm matoc MajhmatikoÔ tou PanepisthmÐou Kr thc k. G.Kosi rh gia thn epðbleyh thc ergasðac aut c, to endiafèron tou kai thn en gènei bo jeiˆ tou. EpÐshc, euqarist ton kajhght tou tm matoc Efarmosmènou MajhmatikoÔ tou PanepisthmÐou Kr thc k. M. Loulˆkh gia thn polôtimh prosforˆ tou sthn diìrjwsh thc ergasðac. Tèloc, euqarist ton kajhght tou PanepisthmioÔ Kr thc kai prìedrou tou MetaptuqiakoÔ Progrˆmmatoc Spoud n k. N.Tzanˆkh gia tic polôtimec sumboulèc tou kai gia thn hjik uposthrix....kai fusikˆ EUQARISTW thn oikogèneiˆ mou, gia thn ousiastik st rixh kai bo jeiˆ touc, sthn prospˆjeiˆ mou aut kai kurðwc touc goneðc mou, Ant nh kai GewrgÐa. 3
PERIEQOMENA EISAGWGH...6 KEFALAIO 1: OrismoÐ......13 To upìdeigma dunamik c...16 Amerikanikì qreìgrafo...17 Je rhma 1.1...19 Prìblhma BeltÐstou Elègqou...27 KEFALAIO 2 : Idiìthtec sunˆrthshc dikai matoc p lhshc...29 Dihnekèc amerikanikì dikaðwma p lhshc...33 Idiìthtec sunˆrthshc eleujèrou sunìrou...39 Prìblhma arqik n kai sunoriak n tim n...41 Anˆptugma Doob Mayer...47 'Uparxh kai monadikìthta bèltisthc timhc kai bèltistou qrìnou ˆskhshc....54 KEFALAIO 3 : PARARTHMA...57 BIBLIOGRAFIA...65 4
Abstract In this paper, we show that the problem of pricing the American put is equivalent to solving an optimal stopping problem. T he optimal stopping problem gives rise to a parabolic free boundary problem. W e show there is a unique solution to this problem which has a lower boundary. W e identify an integral equation solved by the boundary and show that it is the unique solution to this equation satisfying certain, natural, additional conditions. KEYWORDS : AMERICAN OP T ION, P UT, OP T IMAL ST OP P ING, F REE BOUNDARY P ROBLEM, MART INGALE. 5
PERILHYH JewroÔme to prìblhma timolìghshc tou AmerikanikoÔ dikai matoc p lhshc. Ja deðxoume oti eðnai isodônamo me thn epðlush enìc probl matoc beltðstou elègqou, to opoðo anˆgetai sthn epðlush tou parabolikoô probl matoc eleôjerou sunìrou. Sthn epðlush tou probl matoc autoô ja qrhsimopoi soume mia oloklhrwtik exðswsh, h lôsh thc opoðac brðsketai sto sônoro kai eðnai h monadik lôsh pou ikanopoieð tic katˆllhlec sunj kec.1 EISAGWGH Arqikˆ ja parajèsoume merikoôc orismoôc gia ta qrhmatooikonomikˆ megèjh pou ja qrhsimopoihjoôn sto ˆrjro autì. Parˆgwga qreìgrafa (derivative securities or contingent claims) eðnai qrhmatooikonomikˆ sumbìlaia, h axða twn opoðwn exartˆtai apì thn axða tou upokeðmenou agajoô (p.q. metoq c) sto opoðo eðnai eggegrammèna. Tètoia sumbìlaia eðnai ta projesmiakˆ, ta sumbìlaia mellontik c eklp rwshc( forwards, futures ) kai ta dikai mata epi metoq n (options). Ta sumbìlaia dikaiwmˆtwn proaðreshc ( options) jewroôntai wc sumbˆseic kai èqoun eureða qr sh apì diˆforec epiqeir seic, trˆpezec kai alloô. Sugkekrimèna, ìtan milˆme gia dikaðwma ( option) anaferìmaste se sômbash metaxô duo sumballìmenwn mer n pou epitrèpei ston èna ek twn duo, ston agorast tou na agorˆsei na poul sei èna upokeðmeno proðìn (qreìgrafo) se mia prokajorismènh tim se sugkekrimènh hmeromhnða sto mèllon. To ˆllo mèroc eðnai o pwlht c suggrafèac tou dikai matoc. O agorast c plhr nei èna asfˆlistro, dhlad èna tðmhma gia thn agorˆ qrhmatooikonomikoô dikai matoc kai lambˆnei to dikaðwma na agorˆsei na poul sei to qreìgrafo gia mia sugkekrimènh perðodo, pou telei nei me thn wrðmansh tou dikai matoc. 'Otan èna dikaðwma qrhsimopoieðtai gia thn agorˆ p lhsh enìc qreogrˆfou lègetai ìti èqei askhjeð. 'Ena dikaðwma pou qorhgeð to dikaðwma thc agorˆc onomˆzetai call, en ìtan qorhgeð to dikaðwma thc pwl sewc onomˆzetai put. Akìmh èna dikaðwma pou mporeð na askhjeð opoted pote prin apo th l xh tou, anafèretai wc amerikanikì dikaðwma, en an mporeð na askhjeð mìno sth l xh tou tìte onomˆzetai eurwpaðkì dikaðwma. Genikˆ, ta parˆgwga qreìgrafa qrhsimopoioôntai eðte gia kerdoskopða, ( speculation) eðte gia antistˆjmish kindônou ( hedging). KerdoskopÐa eðnai h agorapwlhsða qreogrˆfwn, gia ta opoða to kèrdoc den eðnai dedomèno, opìte enèqei kðnduno ton opoðo o kerdoskìpoc eðnai diatejimènoc, bˆsei twn apokleistik n plhrofori n pou pisteôei pwc èqei, na analˆbei. En antistˆjmish kindônou onomˆzetai h diadikasða pou perilambˆnei tautìqronh katoq duo ependutik n jèsewn pou parèqoun thn eggôhsh ìti oi pijanèc zhmièc apì th mia jèsh ja antistajmistoôn apì ta kèrdh thc ˆllhc. ApoteleÐ mia strathgik ependôsewn sqediasmènh ètsi ste na apofeuqjeð elaqistopoihjeð o kðndunoc 6
ap leiac twn ependôsewn. Amerikanikì dikaðwma p lhshc (American put option) eðnai mia sumfwnða (sumbìlaio) pou parèqei ston kˆtoqo tou to dikaðwma kai ìqi thn upoqrèwsh na poul sei mia metoq se opoiad pote qronik stigm mèqri mia sugkekrimènh hmeromhnða pou kaleðtai hmerom nia l xhc qrìnoc wrðmanshc kai se mia sugkekrimènh tim pou onomˆzetai tim ˆskhshc tou sumbolaðou. Anˆloga me tic sunj kec pou èqoun diamorfwjeð sthn agorˆ o kˆtoqoc tou dikai matoc mpìrei na probeð se qr sh autoô tou dikai matoc ìqi ( dhlad na to af sei na ekpneôsei). Epomènwc an h tim thc metoq c eðnai mikrìterh apì thn tim ˆskhshc tìte endeqomènwc sumfèrei ton katoqì tou na to ask sei, an ìqi to af nei na ekpneôsei qwrðc na pragmatopoi sei kˆpoia sunallag. Gia ta Amerikanikˆ dikai mata prèpei na gnwrðzoume ìqi mìno thn tðmh touc allˆ kai na kajorðsoume pìte eðnai h katˆllhlh qronik stigm ˆskhshc tou dikai matoc (agorˆc p lhshc) H jèsh twn ependut n apènati sta Amerikanikˆ parˆgwga èqei wc ex c. Sto qrìno t = duo ependutèc << mpaðnoun >> se mia sumfwnða. O ènac apì autoôc, pou onomˆzetai pwlht c,prèpei na parèqei ston deôtero to posì Y (τ(.),.)=(q S τ ) + ston qrìno t = τ(.), ìpoutoy eðnai mia tuqaða metablht kai o τ ènac qrìnoc stˆshc sthn diˆjesh tou agorast. Antistrìfwc, o deôteroc, pou kaleðtai agorast c sumf nei na plhr sei ston pwlht èna sugkekrimèno posì x sto qrìno t =. Ta erwt mata pou prokôptoun eðnai, poio prèpei na eðnai to posì autì, dhlad h << dðkaia tim >> ston arqikì qrìno t =, gia na lˆboume to posì Y (.) sthn l xh T kai poia eðnai h katˆllhlh qronik stigm gia na gðnei autì. Profan c o pwlht c upoqreoôtai na xekin sei me èna posì x pou to lambˆnei gia t =, gia na brei èna bèltisto sunduasmì qartofulakðou kai esìdwn ( π, C) pou ja tou d sei th dunatìthta na ekplhr sei th dèsmeush tou dhlad na mhn èqei kanèna prìblhma ìtan apofasðsei na zht sei thn plhrwm dhlad prèpei na isqôei X(.) Y,ìpouX eðnai h anèlixh euhmerðac tou. 'Ara h tim tou dikai matoc orðzetai na eðnai p = inf{x, (π, C) τ ɛτoιo ώστ X(τ) Y (τ) σ.β.} Apì thn ˆllh, h upoqrèwsh tou agorast eðnai na xekin sei me arqikì posì x kai na brei èna bèltisto sunduasmì qartofulakðou kai asfˆlistrou ( π, L) ìpwc epðshc kai èna qrìno stˆshc τ tètoion ste h pl rwmh pou ja lˆbei sto qrìno autì na tou epitrèpei na kalôyei to qrèoc pou dhmioôrghse arqikˆ agorˆzontac to Amerikanikì qreìgrafo. Parakˆtw ja jewr soume ìti èqoume mia qrhmatagorˆ apoteloômenh apì èna kefˆlaio ˆneu kindônou kai apì mia metoq. Ta oikonomikˆ autˆ megèjh èqoun suneqeðc timèc se suneq qrìno. H tim tou kefalaðou metabˆlletai suneq c kai to montèlo pou upojèsame na melet soume proseggðzei thn pragmatikìthta. Upojètoume ìti h metoq den èqei <<phd mata>> kˆti pou eðnai isodônamo me to ìti den upˆrqoun <ákpl xeic>> sthn agorˆ, dhlad h tim thc metoq c sto qrìno t mporeð na problefjeð tèleia apì thn gn sh thc tim c thc se qrìnouc austhrˆ prin to t. 7
kðnhsh 'Eqoume, loipon, ènan pl rh q ro pijanìthtac (Ω,F,P) ston opoðo dðnetai h Brown {W (t), t T, W() = σ.β.}. 'Olh h oikonomik aut drasthriìthta jewreðtai ìti sumbaðnei se èna peperasmèno qrìno sto [,T], ìpou T> stajerˆ kai orðzetai epðshc h F W (t) =σ{w (s), s t}, t [,T] paragìmenh apì to W (.). Epiplèon jewroôme ìti : σ >,δ >,r > stajerèc kai to prìblhma enìc AmerikanikoÔdikai matoc p lhshc ( american put option) se mia metoq, me tim S, pou akoloôjei thn ekjetik kðnhsh Brown me stajerì epitìkio r. H tim thc metoq c dðnetai apì th sqèsh S(t) =S()H(t) (.1) ìpou H(t) = exp{σw t +(r δ σ2 2 )t} T [, ),x (, ) ìpou h {W t ; t } eðnai h tupik kðnhsh Brown. Basizìmenoi sthn arq thc mh epithdeiìthtac, prèpei arqikˆ na broôme èna isodônamo martingale mètro pijanìthtac Q tètoio ste na douleôoume sto q ro (Ω,F,Q), me thn parapˆnw s-ˆlgebra (H diadikˆsia aut gðnetai analutikˆ sto kef.1 sthn parat rhsh 1.2). IsodÔnama me ta parapˆnw èqoume ìti h S(t) pou dðnetai apì thn (.1) eðnai h monadik lôsh thc stoqastik c diaforik c exðswshc ds(t) =σs(t)dw t +(r δ)s(t)dt (.2) ìpou S() = arqik tim tou S(t),stajer r = stajerì epitìkio metoq c σ = astasða. Parousiˆzei thn astˆjeia thc tim c tou dikai matoc. O pio sunhjismènoc trìpoc mètrhshc thc eðnai h tupik apìklish. 'Oso megalôtero eðnai to σ tìso megalôterh eðnai h axða enìc dikai matoc. Megˆlh tupik apìklish shmaðnei aôxhsh thc pijanìthtac h tðmh thc metoq c na kleðsei makruˆ apì thn tðmh ˆskhshc kata thn qronik perðodo wrðmanshc tou dikai matoc. δ = <<merismˆtiko epitìkio>>, o deðkthc pou parousiˆzei th merismatik apìdosh miac metoq c stajmðzontac to mèrisma pou èqei dianemhjeð me thn qrhmatisthriak axða thc metoq c. 8
Parat rhsh.1 Gia na xèroume pìsa ja plhr soume t ra gia na lˆboume èna posì K se qrìno T me stajerì epitìkio akoloujoôme ta ex c.ean kˆpoioc daneðzetai Keurw gia èna qronikì diˆsthma t me epitìkio r tìte to posì pou ja plhr sei sto tèloc autoô tou qronikoô diast matoc ja eðnai K + rk = K(1 + r) Gia èna et sio epitìkio pou oi tìkoi apodðdontai se n qronikˆ diast mata to kefˆlaio K ja eðnai lim K(1 + r n n )n = K lim (1 + r n n )n = K exp{r} MetonÐdiosullogismìfjˆneikaneÐcstosumpèrasmaìtianèqeiènakefˆlaio K me suneq anatokismì tìte metˆ apì qrìno t ja gðnei K exp{rt}. Opìte èqontac arqikì kefˆlaio K() tìte K(t) =K() exp{rt}. To fainìmeno autì onomˆzetai qronik axða tou qr matoc kai sundèei th shmerin axða tou qr matoc K() me thn mellontik K(t). Opìte h sunˆrthsh apoplhr mhc gia to Amerikanikì dikaðwma p lhshc (american put option) ja eðnai K(t) =K() exp{rt} Epiplèon, apodeiknôetai ìti h axða tou dikai matoc p lhshc me arqik tim, gia th metoq, S() = x dðnetai apì ton tôpo [ ( ) ] + p(t,x)= sup E o τ S,T exp( rτ) q xh(τ) (.3) x, T ìpou S,T = eðnai to sônolo twn qrìnwn stˆshc pou lambˆnei timèc sto [, T]. EpÐshc isqôei ìti p(,x)=(q x) +. ApodeiknÔetai, epðshc, apì to Je rhma 2.1 ìti o bèltistoc qrìnoc ˆskhshc tou AmerikanikoÔ dikai matoc p lhshc ( put option ) me arqik tim thc mètoqhc S() = x dðnetai apì ton tôpo : τ x = inf{t [,T]:p(T t, S(t)) = (q S(t)) + } (.4) o opoðoc eðnai qrìnoc stˆshc kai paðrnei timèc sto [,T]. To meionèkthma pou parousiˆzei o parapˆnw tôpoc gia thn axða tou AmerikanikoÔ dikai matoc p lhshc eðnai ìti prèpei na pˆroume suppremum pˆnw se mia mh arijm simh oikogèneia qrìnwn stˆshc. Gia to lìgo aôto eðnai dôskolo na upologisteð ap' eujeðac me th qr sh thc sqèshc (.3). 'Omwc, sto ˆrjro autì ja apodeðxoume ìti h axða p(t, x) tou sugkekrimènou dikai matoc mporeð na qarakthrisjeð wc h lôsh tou probl matoc eleujèrou sunìrou gia mia diaforik exðswsh ìpwc aut pou orðzetai apì th sqèsh (.2). 9
H bèltisth aut sunˆrthsh axðac p(t,x) eðnai h monadik lôsh sto sônolo C tou probl matoc arqik n kai sunoriak n tim n pou perigrˆfetai apo tic parakˆtw sqèseic Lf = στo C = {(t, x) ((, )) 2,x>c(t)} f(t, c(t)) = q c(t) t<+ f(,x)=(q x) + c() x<+ (.5) lim max f(t, x) = T (, ) x + t T ìpou Lf = 1 2 σ2 x 2 f xx +(r δ)xf x rf f t O kˆtoqoc tou AmerikanikoÔ dikai matoc p lhshc gia èna peperasmèno qrìno l xhc prèpei na perimènei ewc ìtou h tim thc metoq c <<pèsei>> se èna sugkekrimèno epðpedo mikrìtero Ðso tou q prin to ask sei alli c to kratˆei. Autì to epðpedo exartˆtai apì to qrìno l xhc kai den upˆrqei gnwstìc tôpoc gia th sunˆrthsh tou, allˆ mporeð ìmwc na kajorisjeð arijmhtikˆ apì ton analutikì prosdiorismì thc tim c tou amerikanikoô dikai matoc p lhshc Tupikˆ se kˆje qrìno t upˆrqei mia tim tou S pou shmei nei to sônoro anˆmesa se duo perioqèc, apì thn mia prèpei kˆpoioc na kratˆei to dikaðwma kai apì thn ˆllh prèpei kˆpoioc na to ask sei. OrÐzoume to sônoro ˆskhshc c(t) =S,ìpou to c(t) eðnai autì pou emfanðzetai sto prìblhma (.5). SÔmfwna me to sônoro autì, to dikaðwma prèpei na askhjeð an S<c(t) kai na krathjeð an S>c(t). H dðkaia tim gia to dikaðwma eðnai mia sunˆrthsh thc twrin c tim c thc metoq c kai tou qrìnou T. 1
Epiplèon, to zeugˆri twn sunart sewn (p(.),c(.)) apoteleð th monadik lôsh tou probl matoc eleôjerou sunìrou. To prìblhma autì perigrˆfetai apo tic sqèseic: L(t, x) = στo C f(t, x) (q x) + (t, x) [, ) 2 f(t, x) =(q x) t [, ), x c(t) (.6) f(,x)=(q x) + x [c(), ) lim max f(t, x) = T (, ) x + t T f x (t, c(t)+) = 1 t (, ), t c(t)+ Sto kefˆlaio pou akoloujeð ja apodeðxoume ìti h axða tou amerikanikoô dikai matoc p lhshc mporeð na upologisteð wc h lôsh tou probl matoc arqik n kai sunoriak n tim n me to Je rhma 2.2. EpÐshc ja deðxoume me to Je rhma 2.4 ìti to zeugˆri (p(.,.), c(.)) eðnai h monˆdikh lôsh tou probl matoc tou eleujèrou sunìrou. Gia thn apìdeixh twn basik n aut n jewrhmˆtwn ja qreiasteð na apodeðxoume kˆpoiec idiìthtec tìso gia thn sunˆrthsh p(.) ìso kai gia th sunˆrthsh tou sunìrou c(.). Sthn Prìtash 2.3 kaj c kai sto Je rhma 2.1 ja asqolhjoôme me thn timolìghsh tou dihnekoôc amerikanikoô dikai matoc kaj c, epðshc, kai me ton legìmeno fˆkelo tou Snell pou gia to Amerikanikì dikaðwma p lhshc dðnetai apì thn sqèsh ξ(t) = sup τ S,T E(Y (τ)/f (t)) = exp rτ p(t t, S(t))). kai apoteleð basikì ergaleðo gia thn apìdeixh tou Jewr matoc 2.4, kaj c mporeð na a- nalujeð se mia martingale kai se mia mh fjðnousa anèlixh. QrhsimopoioÔme thn anˆlush aut gia na qarakthrðsoume bèltistouc qrìnouc stˆshc. 11
Sto kefˆlaio 1 parajètoume touc orismoôc orismènwn basik n stoqastik n ennoi n kai jewrhmˆtwn pou qrhsimopoioôntai sthn ergasða aut. Perigrˆfoume to amerikˆniko parˆgwgo qreìgrafo kai eidikìtera tic basikèc sqèseic pou qrhsimopoioôme gia to Amerikanikì dikaðwma p lhshc. ApodeiknÔoume pwc katal xame ston tôpo (.3) kai ton fˆkelo tou Snell. Epiplèon dðnetai h apìdeixh tou jewr matoc, bˆsh tou opoðou upˆrqei o bèltistoc qrìnoc stˆshc, ìpou lambˆnetai h mègisth tim gia to dikaðwma. Sto parˆrthma, dðnoume tic diatup seic twn jewrhmˆtwn Girsanov kai Bèltistou DeigmatikoÔ Jewr matoc. EpÐshc apodeiknôontai merikèc Protˆseic, pou apoteloôn aparaðthta ergaleða gia tic apodeðxeic twn Jewrhmˆtwn, autoô tou ˆrjrou. 12
Kefˆlaio 1 Orismìc 1.1 Di jhsh (filtration) eðnai mia oikogèneia apì s-ˆlgebrec F t tètoia ste s t F s F t JewreÐtai wc mia plhroforða h opoða eðnai diajèsimh mèqri thn qronik stigm t Orismìc 1.2 Mia oikogèneia tuqaðwn metablht n X t onomˆzetai prosarmosmènh sthn σ-ˆlgebra F t an h X t eðnai F t - metr simh gia kˆje t. Orismìc 1.3 'Estw (Ω,F,P) ènac q roc pijanìthtac,f t mia oikogèneia apì s-ˆlgebrec sthn F (F t F ) kai X t mia oikogèneia pragmatik n, oloklhr simwn (E[ X t ] < ) tuqaðwn metablht n pou eðnai prosarmosmènh sthn s-ˆlgebra F t. i) H oikogèneia X t eðnai mia martingale an : E[X t F s ]=X s σ.β. s t ii) H oikogèneia X t eðnai mia supermartingale an : E[X t F s ] X s σ.β. s t iii) H oikogèneia X t eðnai mia submartingale an : E[X t F s ] X s σ.β. s t Orismìc 1.4 Qrìnoi stˆshc (Stopping T imes). 'Estw (F t ) t T mia oikogèneia s-algebr n se èna sônolo Ω, ìpou I eðnai èna sônolo deikt n. 'Enac qrìnoc stˆshc ( stopping time) sqetikˆ me thn F t aut eðnai mia apeikìnish T :Ω I tètoia ste : {T t} F t, t I 13
Apì ton orismì autì eðnai fanerì ìti h T eðnai mia tuqaða metablht. stˆshc τ<, σ.β. tìte lème ìti o τ eðnai peperasmènoc c.b. An epiplèon isqôei ìti An o qrìnoc t T< tìte lème ìti o qrìnoc stˆshc τ eðnai fragmènoc Orismìc 1.5 Qartofulˆkio π n (t) orðzetai to ginìmeno η n (t)s n (t) 'Opou to η n (t) eðnai arijmìc twn metoq n pou perièqei to qartofulˆkio kai to S n (t) eðnai htim thckˆjemetoq c.to π (t) eðnai to diˆnusma (π 1 (),..., π n ()) Orismìc 1.6 H anèlixh kerd n ( gain process), pou apoteleð to posì pou kerdðzei o ependut c ston qronikì diˆsthma [,t m ], orðzetai apì thn sqèsh G(t) = + t t [π o (s)+π (s)1]r(s)ds + t π (s)[δ(s) r(s)1]ds π (s)σ(s)dw (s), t T. (1.1) H anèlixh qartofulakðou π o (.),π(.)) onomˆzetai autoqrhmatodotoômeno ( self financed) an G(t) =π o (t)+π (t)1, t [,T] (1.2) Dhlad h axða tou qartofulakðou se kˆje qrìno eðnai Ðsh me ta kèrdh apì tic ependôseic se autì ton qrìno. Orismìc 1.7 Mia F (t) prosarmosmènh anèlixh π(.) pou ikanopoieð tic sqèseic T π (t)(δ(t) r(t)1) dt < T σ (t)π(t) 2 dt < onomˆzetai martingale generating,anupìtomètropijanìthtacp o,htopik martingale Mo π (.) = G(t) eðnai mia martingale. An (π S o(t) o(.),π(.)) eðnai mia anèlixh qartofulakðou kai π(.) eðnai martingale generating, tìteto(π o (.),π(.)) onomˆzetai martingale generating qartofulˆkio. 14
Orismìc 1.8 Ajroistik anèlixh esìdwn Γ(t), t T eðnai hmð-martingale dhlˆdh to ˆjroisma miac fragmènhc kômanshc anèlixh kai mia topik martingale. H Γ(t) ermhneôetai wc to sunolikì kèrdoc pou lambˆnetai apì ton ependut sto qronikì diˆsthma [,t]. Orismìc 1.9 'Estw Γ(t) ajroistik anèlixh esìdwn kai ( π o (.),π(.)) anèlixh qartofulakðou. H anèlixh euhmerðac pou sqetðzetai me (Γ(t),π o (.),π(.)) eðnai X(t) =Γ(t)+G(t) ìpou G(.) eðnai h anèlixh kerd n. To qartofulˆkio π o (.),π(.)) lègetai Γ(.) qrhmatodotoômeno an X(t) =π o (t)+π (t)1, t [,T] Orismìc 1.1 'Estw M mia qrhmatagorˆ kai B mia F (T ) metr simh tuqaða metablht tètoia ste na isqôei B S o(t na eðnai kˆtw fragmènh sqedìn bebaðwc. JewroÔme, ) epðshc, thn B x = E o [ ] <. (1.3) S o (T ) Tìte lème ìti i) To B na eðnai qrhmatodotoômeno ( f inancable) an upˆrqei mia omal anèlixh qartofulakðou (π o (.),π(.)) tou opoðou h sqetik anèlixh euhmerðac ikanopoieð thn sqèsh X(T )=B dhlad isqôei B T S o (T ) = x + 1 S o (u) π (u)σ(u)exp{δt}dw o (u) σ.β. (1.4) ii) H qrhmatagorˆ M eðnai pl rhc an kˆje F (T ) metr simh tuqaða metablht B me eðnai kˆtw fragmènh, ikanopoieð thn sqèsh (1.3) kai eðnai qrhmatodotoômenh. B S o(t ) Orismìc 1.11 'Ena auto-qrhmatodotoômeno qartofulˆkio onomˆzetai eukairða arbitrage an h diadikasða kerd n G(.) ikanopoieð thn sqèsh G(T ) σ.β. kai G(T ) > me jetik pijanìthta. Mia qrhmatagorˆ, sthn opoða upˆrqoun eukairðec arbitrage, lègetai bi simh. 15
Parat rhsh 1.1 Sugkekrimèna, arbitrage onomˆzetai h tautìqronh agìra kai p lhsh tou Ðdiou isodônamou qreogrˆfou, h opoða gðnetai gia lìgouc antistˆjmishc tou kindônou gia kajarˆ kerdoskopikoôc lìgouc.me thn diadikasða aut epidi ketai mia prospˆjeia ekmetˆlleushc twn diafor n metaxô diaforetik n tôpwn qreogrˆfwn, twn tim n twn dh genìmenwn agor n kai twn sugkritikwn pleonekthmˆtwn pou upˆrqoun stic diejn c agorèc. Oi prˆxeic arbitrage apoteloôn (jemit ) kerdoskopða. 'Ena tètoio qartofulˆkio ousiastikˆ parˆgei kèrdoc qwrðc kðnduno. To arbitrage antistoiqeð se mia mh stajer katˆstash h opoða antibaðnei sthn katˆstash issoropðac. H ènnoia tou arbitrage èqei megˆlh sunˆfeia me thn idiìthta martingale twn proexoflhmènwn tim n akìma kalôtera me thn Ôparxh enìc mètrou pijanìthtac kˆtw apì to opoðo oi proexoflhmènec timèc twn abèbaiwn tðtlwn S(t) eðnai martingale. EpÐshc h ènnoia tou arbitrage eðnai anexˆrthth apì thn sugkekrimènh kanonoikopoðhsh twn tim n twn tðtlwn. Me ˆlla lìgia èna qartofulˆkio eðnai èna arbitrage gia tic timèc twn tðtlwn S(.) an kai mìno an eðna arbitrage kai gia tic kanonikopoihmènec timèc twn tðtlwn S. Parat rhsh 1.2 To upìdeigma pou upojètoume gia thn dunamik thc metoq c dðnetai apì th S.D.E. ds t =(µ δ)s t + σs t dβ t ìpou h β t eðnai mia anèlixh W iener. Hparˆmetrocµ onomˆzetai <<trop >> (drift) thc tim c thc metoq c kai ekfrˆzei thn anamen menh apìdosh thc metoq c. H parˆmetroc δ eðnai o rujmìc apìdoshc merðsmatoc thc metoq c stouc katìqouc thc, en h parˆmetroc σ onomˆzetai metablhtìthta ( volatility) thc metoq c kai ekfrˆzei to mègejoc twn diakumˆnsewn thc tim c thc gôrw apì thn anamen menh tim. 'Ena tètoio montèlo gia opoiad pote tim tou µ mporoôme na to kataskeuˆsoume san èna metasqhmatismì Girsanov tou upodeðgmatoc ìpou h <<trop >> thc tim c thc metoq c eðnai Ðsh me to ˆneu kindônou epitìkio r. Sugkekrimèna, jewroôme èna q ro pijanìthtac sto q ro twn suneq n sunart sewn sto [,T] efodiasmèno me èna mètro pijanìthtac P kai mia anèlixh W iener W t kˆtw apì to P, kai èstw S t h lôsh thc S.D.E. Tìte me ton metasqhmatismì Girsanov ds t =(r δ)s t + σs t dw t. (1.5) ìpou dp µ dp = M T M t =exp µ r σ W t 1 2 ( ) 2 µ r t σ 16
paðrnoume èna mètro pijanìthtac P µ to opoðo eðnai amoibaða apolôtwc suneqèc c proc to opoðo h W t = W t + µ r σ t eðnai mia anèlixh W iener. Hdunamik exðswshgðnetait ra: ds t =(µ δ)s t + σs t [d W t (µ r) dt] =µs t δs t + σs t d σ W t S t (µ r) = µs t δs t + σs t d W t + rs t µs t =(r δ)s t + σs t d W t H parat rhsh aut eðnai shmantik giatð ìpwc ja doôme parakˆtw (orismìc 1.14) h axða tou amerikˆnikou dikai matoc p lhshc prosdiorðzetai apì mia sqèsh pou jèloume na isqôei sq.b. wc proc to mètro pijanìthtac tou upodeðgmatoc pou jewroôme. Efìson ta P µ (gia opoiad pote tim tou µ) kai P eðnai amoibaða apolôtwc suneq h sqèshaut isqôeip µ σ.β. tìte kai mìno ìtan isqôei P σ.β. Giatolìgoautìhtim tou amerikˆnikou dikai matoc p lhshc eðnai anexart twc thc <<trop c>> µ kai parakˆtw ja ergastoôme upojètontac ìti µ = r. EÐnai eôkolo na deð kaneðc ìti sto upìdeigma autì h e (r δ)t S t eðnai mia martingale. Orismìc 1.12 'Ena Amerikanikì qreìgrafo ( American contingent claim) apoteleðtai apì mia sunˆrthsh ajroistik n esìdwn C(.), pou ikanopoieð thn C() = σ.β. kai apì mia {F (t)} prosarmosmènh, dexiˆ suneq me aristerì ìrio anèlixh efˆpax dikanonosmoô L(.) (lump setlement). JewroÔme thn anèlixh apoplhrwm c wc ex c dc(u) Y (t) = S o (u) + L(t) S o (t), t T (1.6) (,t] H Y (t) eðnai kˆtw fragmènh, omoiìmorfa wc proc t [,T], suneq c kai ikanopoieð thn upìjesh [ ] E o sup Y (t) < (1.7) t T Orismìc 1.13 H Y (t) eðnai h sunˆrthsh apoplhrwm c kai orðzetai apì ton tôpo (1.3) eðnai mh arnhtik, dexiˆ suneq c me Y (T ) lim t T Y (t) σ.β. orismènh ston q ro pijanìthtac (Ω,F,P) kai prosarmosmènh sthn s-ˆlgebra {F } t T, h opoða ikanopoieð th dexiˆ sunèqeia kai eðnai prosauxhmènh apì mhdenikˆ sônola tou F. Upojètoume ìti to F () perièqei mìno sônola pijanìthtac 1kai epðshc ìti isqôei Y ( ) =lim t Y (t). OrÐzoume,epiplèon,tosÔnolo S [,T ] pou perièqei touc {F (t)} qrìnouc stˆshc me tðmec sto [,T]. 17
Parat rhsh 1.3 O agorast c enìc amerikanikoô qreogrˆfou jewreð mia long jèsh (dhladh èqei jetik jèsh sto sumbìlaio ) kai plhr nei kˆpoio mh tuqaðo posì γ ston arqikì qrìno,h opoða apoteleð thn arqik anèlixh esìdwn tou. O pwlht c upojètei mia short jèsh (dhlad èqei arnhtik jèsh sto sumbìlaio ),lambˆnei γ sto qrìno mhdèn kai parèqei C(.) ston agorast. O agorast c epilègei,epðshc,ènan F (t) qrìno stˆshc τ : Ω [,T], oopoðoc onomˆzetai qrìnoc ˆskhshc. Sto qrìno τ,o agorast c paraiteðtaiapì ta mellontikˆ èsoda C() kai lambˆnei antð autoô L(τ).'Otan to τ epilègetai h ajroistik anèlixh esìdwn gia ton pwlht eðnai Γ(t) =γ C(t τ) L(τ)1 {t τ}, t T (1.8) Eidikìtera,ìtan {τ =},o pwlht c lambˆnei γ() = γ L() ston arqikì qrìno kai èpeita tðpota. O agorast c èqei ajroistik anèlixh esìdwn Γ(.). Gia ta perissìtera Amerikanikˆ qreìgrafa isqôei C(.). SÔmfwnamethnupìjeshaut,toAmerikanikì dikaðwma p lhshc dðnei ston kˆtoqo tou to dikaðwma na poul sei èna mèroc twn metoq n, se opoiod pote qrìno prin to T kai se mia sugkekrimènh tim ˆskhshc q >.htim tou dikai matoc tìte dðnetai apì ton tôpo L(t) =(q S(t)) + O pwlht c prèpei,epðshc,na epilèxei èna qartofulˆkio gia na antistajmðsei ton kðnduno sqetikˆ me thn jèsh tou. H antistˆjmish aut periplèketai apì to kata pìso eðnai sðgouroc gia to qrìno ˆskhshc τ thc sqèshc (1.8). H aploôsterh upìjesh eðnai ìtan τ = T,giatÐ tìte h antistˆjmish kai timolìghsh eðnai ìpwc ta dikai mata eurwpaikoô tôpou. Sˆut n thn perðptwsh,h ajroistik anèlixh esìdwn tou pwlht dðnetai apì thn γ C(t) L(T )1 {t=t }, t T kai eˆn to π(.) eðnai martingale generate qartofulˆkio,h anèlixh euhmerðac dðnetai apì thn sqèsh X(t) S o (t) = γ dc(u) (,t] S o (u) L(T ) t S o (T ) 1 1 {t=t } + S o (u) π (u)σ(u)dw o (u), t T (1.9) O pwlht c jèlei X(T ) isodônama Y (T )= (,T ] dc(u) S o (u) + L(T ) S o (T ) γ + T 1 S o (u) π (u)σ(u)dw o (u), σ.β. (1.1) GianaexasfalÐseiìtimporeÐnakatèqeitoposìtouefˆpaxdiakanonismoÔ,ano agorast c stamat sei th sumfwnða,jèlei epðshc X(t) L(t)σ.β. gia t T. H upìjesh aut mazð me thn sqèsh (1.1) odhgoôn sthn Y (t) = (,t] dc(u) S o (u) + L(t) S o (t) 18
t 1 γ + S o (u) π (u)σ(u)dw o (u), σ.β. για κὰθ t [,T] (1.11) JewroÔme thn sqèsh (1.11),epeid kai oi duo pleurèc eðnai suneqeðc wc proc t h pijanìthta tou mhdenikoô endeqomènou katˆ to opoðo den isqôei h anisìthta, mporeð na epilegeð na mhn exartˆtai apì to t.epiplèon, h anisìthta isqôei an to t antikatastajeð apì kˆje tuqaðo qrìno τ, o opoðoc paðrnei timèc sto [,T] dc(u) Y (τ) = S o (u) + L(τ) τ S o (τ) γ + (,τ] 1 S o (u) π (u)σ(u)dw o (u), σ.β. (1.12) Aut eðnai aplˆ mia parat rhsh ìti o pwlht c, me anèlixh esìdwn pou dðnetai apì thn (1.8), èqei mh arnhtik euhmerða ìtan askhjeð to dikaðwma se opoiond pote qrìno τ pou epilèxei o agorast c Orismìc 1.14 JewroÔme to (C(.),L(.)) amerikanikì qreìgrafo. Tìte orðzetai h axða tou sto qrìno t =apì thn sqèsh V ACC () = inf{γ R; ένα martingale χαρτoφυλάκιo π(.)} (1.13) pou ikanopoieð thn (1.11). 'Ena antistajmistikì qartofulˆkio gia to (C(.),L(.)) eðnai èna martingale generate qartofôlakio ˆπ(.) ìtan Je rhma 1.1 'Eqoume thn γ = V ACC () V ACC () = sup τ S,T E o Y (τ), (1.14) ìpou S,T = eðnai to sônolo twn qrìnwn stˆshc pou paðrnoun timèc sto [,T]. Akìmh upˆrqei ènac qrìnoc stˆshc τ ìpou lambˆnetai autì to sup kai èna antistajmðstiko qartofulˆkio π() tètoio ste : τ Y (τ )=V ACC 1 () + S o (u) π(u)σ(u)dw o(u) σ.β. (1.15) Apìdeixh: 1.H Y (.) eðnai mh arnhtik, dexiˆ suneq csthn s-ˆlgebra F,h opoða eðnai prosauxhmènh apì mhdenikˆ sônola F. ToF () perièqei mìno sônola mètrou 1 kai epðshcosqôei ìti Y ( ) =lim t Y (t).h sqèsh ξ() = Z() eðnai h mègisth anamen menh << antamoðbh >> kai isqôoun oi sqèseic Z() = sup EY (τ) τ S 19
kai <Z() < + Gia na qarakthrðsoume touc qrìnouc stˆshc meletˆme thn oikogèneia tuqaðwn metablht n {Z(u)} u S twn Z(u) =ess sup τ S u E[Y (τ)/f (u)], u S pou eðnai h bèltisth anamen menh antamoib gia qrìnouc stˆshc megalôterouc Ðsouc tou u. Apì thn Protˆsh 3.1 èqoume thn E(Z(τ)) = sup ρ S τ EY (ρ) Z() < +. Epeid gia kˆje kajorismèno qrìno stˆshc t [,T] h Z(u) =ess sup E[Y (t) F (u)] t S eðnai mh arnhtik kai prosarmosmènh anèlixh {Z(t); F (t); t T } kai isqôei h E[Z(t) F (u)] Z(u) σ.β. h Z(t) eðnai supermartingale kai epeid t EZ(t) eðnai dexiˆ sunèqhc upˆrqei mia supermartingale {Z o (t); F (t) t T } me RCLL b mata pou ikanopoieð thn P [Z(t) =Z o (t)] = 1 t [,T]. Akìmh epeid èqoume thn Y (τ) =lim t Y (t) lambˆnoume thn Z o ( ) =Z( ) =lim t Y (t) σ.β. Epiplèon h mh arnhtik Z o () onomˆzetai Snell fˆkeloc tou Y (t) kai eðnai h mikrìterh supermartingale pou kuriarqeð sthn Y (t) dhlˆdh P [Z o () Y (t), t T ]=1 Apì thn Prìtash 3.2 gnwrðzoume ìti upˆrqei prˆgmati mia tropopoðhsh {Z o (t),f(t) t T } thc {Z(t),F(t) t T } dhlad tètoio ste P [Z o (t) =Z(t)] = 1 Z(u) =Z o (u) t [,T] P σ.β. 2
Dhlad upˆrqei mia P o supermartingale {ξ(t),f(t), t T } me RCLL b mata pou kaleðtai fˆkeloc Snell tou Y () tètoio ste ξ(t) Y (t) gia ìla ta t [,T] c. b. kai isqôei h ξ(u) =ess sup E[Y (τ)/f (u)] σ.β.(1.16) τ S,τ u S,T ìpou kai S,τ = {τ S,T,u τ T ξ() = sup τ S,τ E o [Y (τ)] σ.β.} 2. Gia na epalhjeôsoume thn Ôparxh bèltistwn qrìnwn stˆshc, kataskeuˆzoume mia oikogèneia apì qrìnouc stˆshc pou eðnai perðpou bèltisth. Gia l (, 1) kai u S orðzoume ton qrìno stˆshc D λ (u) = inf{t (u, T ); λz o (t) Y (t)} T sto S u. Apì thn dexiˆ sunèqeia tou Y (.) kai tou Z o (.) h {D λ (u) : t T} eðnai dexiˆ sunèqhc. Akìmh epeid u S èqoume λz o (D λ (u)) Y (D λ (u)) σ.β. kai aut h anisìthta isqôei kai sto {D λ (u) =T } epeidh èqoume ìti Z o (T )=Y (T ) Apì thn Prìtash 3.3 gia <λ<1 Z o (u)e[z o (D λ (u)) F (u)] σ.β. Gia stajerì u S h D λ eðnai mh fjðnousa kai orðzoume ton oriakì qrìno stˆshc D (u) = lim λ 1 D λ (u) σ.β. Opìte epeid h Y eðnai sunèqhc kai isqôei h E[sup EY (t)] < +,èqoumeìtitod () eðnai bèltisto. Apì thn Prìtash 3.4 h Y eðnai sunèqhc kai epeid èqoume E[sup Y (t)] < +, paðrnoume ìti u S, o qrìnoc stˆshc D (u) = lim λ 1 D λ (u) σ.β. kai E[Y (D (u)/f (u))] = Z o (u) =ess sup τ S u E[Y (τ)/f (u)] σ.β. 21
Sto D () ìmwc èqoume to sup dhlad Z o =supe(y (τ)) me D (u) = inf{t (u, T ),Z o (t) =Y (t)} T σ.β. 'Ara telikˆ o qrìnoc stˆshc τ = inf{t [,T]; ξ(t) =Y (t)} T ikanopoieð thn ξ() = E o [Y (τ )] 3. Apì thn Prìtash 3.7 kai thn upìjesh E(sup Y (t)) < epitrèpetai h Doob Mayer anˆlush tou fakèlou Snell Z(.) =M(.) Λ(.) ìpou h diadikasða M() eðnai mia omoiìmorfa oloklhr simh RCLL martingale kai h Λ()eÐnai mia dexða suneq c kai mh fjðnousa {F (t)} prosarmosmènh me Λ() =. EpÐshc isqôoun EΛ(T ) < + kai Dhlad telikˆ T I {Z o (t)>y (t)}dλ(t) = ξ(.) =M(.) Λ(.). Epiplèon epeid h agorˆ eðnai pl rhc, h F (T )- metr simh tuqaða metablht B eðnai qrhmatodotoômenh pou shmaðnei ìti upˆrqei èna martingale parag mevo qartofulˆkio π tou opoðou h sqetik anèlixh euhmerðac ikanopoieð thn sqèsh X(T )=B opìte : σ.β. B T S o (T ) = ξ() + 1 S o () π(u)σ(u)dw o(u) σ.β. OrÐzoume thn opìte èqoume thn M(T )= B S o (T ) B = S o(t )M(T ) T M(T )=ξ() + 1 S o () π(u)σ(u)dw o(u) (1.17) en paðrnontac upì sunj kh mèsec timèc sthn parapˆnw sqèsh blèpoume ìti èqoume T E[M(T ) F (t)] = E[ξ() + 22 1 S o () π(u)σ(u)dw o(u) F (u)]
Epeid h M(t) eðnai martingale dhlad ikanopoieð thn E[M(T ) F (t)] = M(t) èqoume ìti EpÐshc isqôei ìti t 1 M(t) ξ() + S o () π(u)σ(u)dw o(u) Y (t) ξ(t) =M(t) Λ(t) =ξ() Λ(t)+ T 1 S o () π(u)σ(u)dw o(u) kai ìti h Λ eðnai aôxousa,λ() = kai Λ(t) > opìte T 1 Y (t) ξ(t) ξ() + S o () π(u)σ(u)dw o(u) kai gia τ = τ τ Y (τ 1 ) ξ() + S o () π (u)σ(u)dw o (u) (1.18) Apì ton orismì tou V ACC () pou eðnai to elˆqisto γ ètsi ste na upˆrqei èna martingale paragìmeno qartofulˆkio π kai na isqôei h t Y (t) γ + 1 S o () π (u)σ(u)dw o (u) σ.β. (1.19) Apì thn sqèsh (1.18) to γ ξ() kai epomènwc V ACC () ξ() en an pˆroume mèsec timèc sthn (1.16) èqoume ìmwc h posìthta EY (t) γ + E o T 1 S o () π (u)σ(u)dw o (u) 1 S o () π (u)σ(u)dw o (u) eðnai martingale EY (t) γ, τ S,T opìte isqôei ξ(o) γ ìmwc gnwrðzoume ìti ξ(o) V ACC () dhlad telikˆ V ACC () = ξ(o) opìte to p'eðnai to antistajmistikì qartofulˆkio kai apì thn t gia τ = τ èqoume Y (t) ξ() + Y (t) =V ACC () + 1 S o () π (u)σ(u)dw o (u) t σ.β. 1 S o () π (u)σ(u)dw o (u) (1.2) epeid o τ eðnai o bèltistoc qrìnoc ìpou lambˆnetai to sup Y (t) kai γ = V ACC () 23
Parat rhsh 1.4 H exðswsh (1.19) shmaðnei ìti an o pwlht c qrhsimopoi sei to antistajmistikì qartofulˆkio ˆπ(.) kai o agorast c epilèxei ton qrìno stˆshc τ,tìtemetˆapìsumfwnða o pwlht c èqei euhmerða X(τ )=. O agorast c, tou opoðou h ajroistik anèlixh esìdwn eðnai arnhtik se sqèsh me aut tou pwlht, mporeð na antistajmðsei th jèsh tou me ˆπ(.) kai metˆ thn sumfwnða na èqei euhmerða X(τ )=. O qrìnoc stˆshc τ eðnai ènac bèltistoc qrìnoc ˆskhshc gia ton agorast tou amerikˆnikou qreogrˆfou. Parat rhsh 1.5 isqôei γ = V ACC () kai π(.) =ˆπ(.) eðnai to antistajmistikì qartofulˆkio tou jewr - matoc 1.1 tìte h (1.11) isqôei kai sunepˆgetai thn (1.12) gi kˆje tuqaðo qrìno τ pou paðrnei timèc sto [,T]. 'Omwc akìma kai an o agorast c tou parag gou epitrèpetai na epilèxei to τ me gn sh twn mellontik n tim n, o pwlht c tou parag gou me ektðjetai se kanèna kðnduno, an qrhsimopoi sei to antistajmistikì qartofulˆkio tou jewr matoc 1.8 Parat rhsh 1.6 EpekteÐnoume thn ènnoia thc axðac tou amerikˆnikou dikai matoc se qrìnouc pèra apìtomhdèn. JewroÔmeènaamerikˆnikodikaÐwmakaiènanqrìno s [,T], o agorast c plhr nei èna posì γ(s) (mia F(c) - metr simh tuqaða mtablht ) gia na lˆbei thn anèlixh esìdwn {C(t) C(s); t [s, τ]}. O τ S s,t eðnai qrìnoc stˆshc, ston opoðo lambˆnei to posì tou efˆpax diakanonismoô L(τ). H diadikasða pou mac od ghse sthn sqèsh (1.11), t ra odhgeð sthn sunj kh gia thn epijumht antistˆjmish tou pwlht Y (t) (,s] dc(u) S o (u) = (s,t] dc(u) S o (u) + L(t) S o (t) γ(s) t S o (s) + 1 s S o (u) π (u)σ(u)dw o (u) σ.β. t [s, T ]. (1.21) Orismìc 1.15 'Estw (C(.),L(.)) na eðnai èna amerikˆniko dikaðwma. H axða tou sto qrìno s [,T], pousumbolðzetaimev ACC (s), eðnai h mikrìterh F (s) metr simh tuqaða metablht γ(s) tètoia ste h (1.18) na isqôei apì kˆpoio martingale qartofulˆkio Je rhma 1.2 Gia s [,T], èqoume [ V ACC (s) =S o (s) ξ(s) (,s] 1 ] S o (u) dc(u) (1.22) ìpou to ξ(.) eðnai o fˆkeloc Snell thc anèlixhc Y (.) kai ikanopoieð (1.13). Epiplèon o qrìnoc stˆshc τs = inf{t [s, T ); ξ(t) =Y (t)} T ikanopoieð thn ξ(s) =E[Y (τs ) F (s)] σ.β. 24
kai me to antistajmistikì qartofulˆkio ˆπ(.) tou jewr matoc 1.1, h isìthta thc sqèshc (1.21) isqôei gia τ s Y (τs dc(u) ) (,s] S o (u) = V ACC (s) τ s + S o (u) s 1 S o (u) ˆπ (u)σ(u)dw o (u) σ.β. (1.23) Apìdeixh: AntikajistoÔme sthn (1.21) to t me to aujaðreto τ S s,t kai paðrnoume upì sunj kh mèsec timèc, opìte èqoume dc(u) E o [Y (τ) F (s)] (,s] S o (u) γ(s) S o (u) σ.β. opìte paðrnoume dc(u) ξ(s) (,s] S o (u) V ACC (s) S o (u) σ.β. Gia thn antðstrofh anisìthta, èstw t [s, T ] kai parathroôme apì sthn 1.2ìti ξ(t) ξ(s) = t s 1 S o (u) ˆπ (u)σ(u)dw o (u) [Λ(t) Λ(s)]. 'Omwc epeid isqôei Y (t) ξ(t) kai Λ(t) Λ(s), èqoume dc(u) Y (t) (,s] S o (u) ξ(t) dc(u) (,s] S o (u) dc(u) τ ξ(s) (,s] S o (u) + s s Autì deðqnei ìti h (1.21) ikanopoieðtai me γ(s) S o (s) = ξ(s) dc(u) (,s] S o (u) 1 S o (u) ˆπ (u)σ(u)dw o (u) σ.β. (1.24) apì thn opoða V ACC (s) S o (u) dc(u) ξ(s) (,s] S o (u). Antikajist ntac to t me τs sthn (1.24), lambˆnoume thn isìthta epeid Y (τ s )=ξ(τs ) kai Λ(τs ) Λ(s) =(apì thn Prìtash 3.6) Parat rhsh 1.7 O agorast c tou amerikˆnikou dikai matoc mporeð na antistajmðsei thn jèsh tou me to qartofulˆkio ˆπ(.) an ask sei thn sumfwnða sto qrìno τ s. H exðswsh 1.23 eðnai h diapðstwsh ìti metˆ thn sumfwnða, tìso o agorast c ìso kai o pwlht c jèloun na èqoun mhdenik euhmerða. O qrìnoc stˆshc τ s eðnai ènac bèltistoc qrìnoc ˆskhshc sto S s,t. 25
Parat rhsh 1.8 'Estw (C(.),L(.)) èna amerikˆniko dikaðwma. An o agorast c tou anagkasteð na epilèxei qrìno ˆskhshc τ = T tìte h axða tou dikai matoc sto qrìno s gia to Eurwpaikì dikaðwma dinetai apì thn sqèsh V ECC (s) =S o (s)e o [ (s,t ] d(c(u) S o (u) + L(T ) S o (T ) F (s) ], s T H diaforˆ anˆmesa sthn axða tou amerikˆnikou pou dðnetai apì thn (1.22) kai thc axðac tou EurwpaikoÔ, onomˆzetai prim pr imhc ˆskhshc ( early exercise premium )kai eðnai Epeid e(s) =V ACC (s) V ECC (s), s T (1.25) T d(c(u) S o (u) + L(T ) = U(T )=ξ(t)=m(t) Λ(T ) S o (T ) èqoume e(s) S o (s) = ξ(s) E o[y (T ) F (s)] = E o [Λ(T ) F (s)] Λ(s) [ T S o (u)dλ(u) E o F (s)] s S o (u) s T (1.26) An jèsoume s =sthn (1.23) èqoume e() = sup τ S,T E o Y (τ) E o Y (T ) Apì to Bèltisto Deigmatikì je rhma èqoume ìti an h sunˆrthsh apo plhrwm c eðnai P o martingale tìte e() =, dhlad E o Y (T )= sup τ S,T E o Y (τ) kai tìte h tim ˆskhshc τ = T eðnai h bèltisth gia ton kˆtoqo tou Amerikˆnikou dikai matoc. 26
Parat rhsh 1.9 To prìblhma beltðstou elègqou perilambˆnei ta ex c (i)upologismìc tou megðstou gia thn sunˆrthsh apoplhrwm c dhlad Z() := sup EY (τ) (1.27) τ S (ii) eôresh ikan n kai anagkaðwn sunjhk n gia thn Ôparxh enìc qrìnou stˆshc na eðnai bèltistoc τ pou JewroÔme ìti < Z() < kai kataskeuˆzoume ton legìmeno fˆkelo tou Snell thc Y (.), pou apoteleð thn mikrìterh dexiˆ suneq me aristèro ìrio (RCLL),supermarti ngale pou kuriarqeð thc Y (.). 'Enac qrìnoc stˆshc τ eðnai bèltistoc an kai mìno an h anèlixh {Z o (t τ ),F(t); t T } eðnai martingale kai Z o (τ )=Y (τ ) σ.β. Epiplèon eisˆgoume mia isqurìterh sunj kh gia na apodeðxoume thn Ôparxh enìc bèltistou qrìnou stˆshc upì thc opoðac o qrìnoc stˆshc E[ sup Y (t)] <. t T D = inf{t [,T]; Z o (t) =Y (t)} mporeð na apodeiqteð ìti eðnai bèltistoc. AnalÔoume ton fˆkelo Snell se diˆfora miac martingale kai miac mh fjðnousac anèlixhc kai qrhsimopoioôme aut n thn anˆlush gia na qarakthrðsoume bèltistouc qrìnouc stˆshc. OrÐzoume akìmh tic tuqaðec metablhtèc Z(u) =ess sup τ S u E[Y (τ) F (u)], u S. (1.28) pou egguìntai ìti EZ(u) < gia ìla ta u S. H tuqaða metablht Z(u) eðnai h bèltisth upì sunj kh mèsh euhmerða gia qrìnouc stˆshc sto u kai argìtera. Akìmh apodeiknôetai ìti mia tropopoðhsh thc anèlixhc {Z(t); F (t), t T } eðnai h {Z o (t); F (t), t T } dhlad isqôei ìti P [Z o (t) =Z(t)] = 1 gia ìla ta t [,T] tètoio ste gia kˆje u S èqoume Z(u) =Z o (u), P σ.β. (1.29) 27
H sqèsh (1.29) apoteleð to fˆkelo Snell thc Y (.). GiatoamerikanikìdikaÐwmap lhshc o fˆkeloc tou Snell thc Y (.) dðnetai apì th sqèsh ξ(t) = sup τ S t,t E(Y (τ)/f (t)) = exp rt p(t t, S(t))). (1.3) Gia na upologðsoume thn axða enìc AmerikanikoÔ dikai matoc p lhshc gia mia metoq me tim ˆskhshc q>, jètoume, epðshc, C(.) kai L(t) =(q S(t)) + opìte h sunˆrthsh apoplhrwm c eðnai Y (t) = (q S(t))+ S o (t) (1.31) 'Estw ìti shmei noume me V AP (t; T ) thn axða tou amerikanikoô dikai matoc p lhshc gia peperasmènou orðzonta qrìnou l xhc sto qrìno t [, T]. 'Ara èqoume V AP (t; T ) S o (t) = ess sup τ S t,t E o [Y (τ) F (t)], t T (1.32) ìpou S t,t eðnaitosônolotwn{f (t)} qrìnwn stˆshc me timèc sto [t, T ]. EpÐshc h { t t ( 1 } S(t)exp{δ r)t} = S() exp σ(u)dw o (u) (u)+δ(u)) 2 σ2 du, t T eðnai mia mh mhdenik P o martingale kai to bèltisto deigmatikì je rhma dðnei ìti [( q V AP (t; T )=S o (t)ess sup E o τ S t,t S o (τ) S(τ) ) + F ] (t) S o (τ) [ S(τ) ] S o (t)ess sup E o τ S t,t S o (τ) F (t) S(t), t T JewroÔme ìti èqoume σ>,δ >,r > stajerèc kai h tim thc metoq c dðnetai apì th sqèsh ìpou kai S(t) =S()H(t) H(t) = exp{σw t +(r δ σ2 2 )t} Y (t) = exp{ rt(q S(t)) + },t (,T] opìte h axða tou dikai matoc gia S() = x, sômfwna me to je rhma (1.1) eðnai [ ( ) ] + p(t,x)= sup E o exp( rτ) q xh(τ) τ S,T 28
Kefˆlaio 2 PROBLHMA BELTISTOU ELEGQOU JewroÔme to prìblhma beltistopoðhshc thc posìthtac e rt S(t) prin to qrìno T kai [ ( ) ] + p(t,x)= sup E o exp( rτ) q xh(τ) τ S,T orðzoume H anamen menh tim lambˆnetai wc proc to mètro pijanìthtac P kˆtw apì to opoðo h tim apoplhrwm c e (δ r)t S(t) eðnai martingale. Ja deðxoume ìti upˆrqei èna sônoro c(τ) ìpou exaskoôme to dikaðwma thn pr th forˆ pou h tim thc metoq c <<pèftei>> kˆtw apì to bèltisto sônoro sto qrìno t = T τ. GnwrÐzoume ìti upo to P htim thcmetoq c S(t) ikanopoieð thn stoqastik diaforik exðswsh : ds t = σs t dw t +(r δ)s t dt ìpou {W t ; t } eðnai h tupik kðnhsh Brown kai opìte S(t) =S() exp{σw t +(r δ σ2 2 )t} Prìtash 2.1 'Eqoume ìti gia thn sunˆrthsh p(t,x) isqôoun oi parakˆtw sqèseic (i) HapeikìnishT p(t,x) eðnai mh fjðnousa (ii)h apeikìnishx p(t,x) eðnai mh aôxousa kai kurt (iii) Hapeikìnishx x + p(t,x) eðnai mh fjðnousa kai kurt. Epiplèon (iv) (T,x) (, ) 2 èqoume <p(t,x) <q Apìdeixh: Gia thn apìdeixh twn i),ii),epeid gnwrðzoume ìti isqôei p(t,x)=sup τ S(,T ) E o [exp( rτ)(q xh(τ))+] paðrnoume ìti h apeikìnish T p(t,x) eðnai mh fjðnousa, kai x p(t,x) eðnai mh aôxousa kai kurt. 29
iii) EpÐshc isqôei gia x<y< ìti qrhsimopoi ntac ton qrìno stˆshc tou jewr matoc 1.1 èqoume p(t,y) p(t,x)= [ ] = p(t,y) E o exp( rτ x )(q xh(τ x )) + }] E o [exp( rτ x ) {(q yh(τ x )) + (q xh(τ x )) + }] E o [exp( rτ x ) {(q yh(τ x ) q + xh(τ x )) + { }] E o [exp( rτ x ) (xh(τ x ) yh(τ x )) ] (x y)e o [exp( rτ x )H(τ x ) (x y). H teleutaða anisìthta isqôei dedomènou ìti èqoume thn exp( rt)h(t) eðnai supermarti ngale kai H() = 1. 'Ara br kame ìti p(t,y) p(t,x) x y opìte h p(t,x) eðnai mh fjðnousa wc proc x, en epeid h x (q x) + kurt kai to sup kurt n sunart sewn eðnai kurt tìte kai h p(t,x) ja eðnai kurt. iv) H sqèsh p(t,x) q eðnai profan c epeid exp{ rτ}(q xh(τ)) + q. 'Ara p(t,x) q. EpÐshc p(t,) = q, epeid p(t,x)=q opìte upˆrqei mia akoloujða qrìnwn stˆshc τ n tètoia ste E[exp{ rτ n }(q xh(τ n )) + ]=q, epeid (q xh(τ n )) + q. Prèpei τ n σ.β. ˆra H(τ n ) σ.β. Tìte (q x) + = q x ='Ara p(t,x)=q x = Gia na apodeðxoume to <p(t,x) akoloujoôme thn ex c diadikasða. 'Otan isqôei <x<q paðrnoume en ìtan p(t,x) (q x) + > x q orðzoume ton qrìno stˆshc τ = T inf{t ; xh(t) q 2 } kai parathroôme ìti : p(t,x) E o [exp( rτ)(q xh(τ)) + ] 3
q 2 E o[exp( rτ)i {τ<t} ] q exp{ rt}p (τ <T) > 2 'Ara tèlika deðxame ìti <p(t,x) <q. Prìtash 2.2 H Bèltisth anamen menh sunˆrthsh apoplhrwm c p :[, ) 2 [, ) eðnai suneq c kai kuriarqeð thc << eswterik c axðac>> tou dikai matoc pou orðzetai apì thn ϕ(x) =(q x) +, x<. Dhlad isqôei ìti p(t, x) (q x) + Apìdeixh: i) Gia na apodeðxoume oti h p(t, x) eðnai suneq c wc proc x, jewroôme to(t,x) [, ) 2 kai ton qrìno stˆshc tou Jewr matoc 1.1 τ x = inf{t [,T]:p(T t, S(t)) = (q S(t)) + } Epeid isqôei ìti z + 1 z + 2 (z 1 z 2 ) +, z 1,z 2 R èqoume y [, ) ìti: p(t,x) p(t,y) E o [exp( rτ x )(q xh(τ x )) + ] E o [exp( rτ x )(q yh(τ x )) + ] E o exp( rτ x )[(q xh(τ x )) + (q yh(τ x )) + ] E o exp( rτ x )[(q xh(τ x ) q + yh(τ x )) + ] E o exp( rτ x )[((y x)h(τ x )) + ] (y x) + E o [exp( rτ x )H(τ x ))] x y h teleutaða anisìthta isqôei epeid gnwrðzoume ìti h exp( rt)h(t)) eðnai P o supermartingale kai H() = 1. Eˆn t ra enallˆxoume ta x kai y, èqoumep(t,y) p(t,x) x y opìte, p(t,y) p(t,x) x y ˆra h p(t,x) eðnai Lipschitz suneq c wc proc to x ii) Gia na apodeðxoume oti h p(t, x) eðnai omoiìmorfa suneq c sto T, orðzoume thn sunˆrthsh Ψ(t) =E o [max s t (1 exp( rs)h(s))+ ] gia thn opoða apì to je rhma frˆgmenhc sôgklishc èqoume ìti lim Ψ(t) =. t 31
'Estw T 1 T 2 kai x [, ) dedomèna. OrÐzoume touc qrìnouc stˆshc τ 2 = inf{t [,T 2 ); p(t 2 t, xh(t)) = (q xh(t)) + } T 2 kai τ 1 = τ 2 T 1 tìte me S(t) =xh(t) èqoume p(t 2,x) p(τ 1,x) E o [exp( rτ 2 )(q S(τ 2 )) + ] E o [exp( rτ 1 )(q S(τ 1 )) + ] E o [exp( rτ 2 (q S(τ 2 )) + exp( rτ 1 )(q S(τ 1 )) + ] E o [exp( rτ 2 )q exp( rτ 2 )S(τ 2 )) exp( rτ 1 )q+exp( rτ 1 )S(τ 1 ))] E o [exp( rτ 1 )S(τ 1 )) exp( rτ 2 )S(τ 2 ))] (2.1). 'Omwc isqôei exp( rτ 2 )S(τ 2 ) exp( rτ 2 )exp( r(τ 1 τ 2 ))S(τ 2 )exp(r(τ 1 τ 2 )) = =exp( rτ 1 )E o [S(τ 1 ) \ F (τ 1 )] opìte exp( rτ 2 )S(τ 2 ) exp( rτ 1 )E o [S(τ 1 ) \ F (τ 1 )] akìmh τ 1 = τ 2 T 1 kai τ 2 = t T 1 dhlad exp( rτ 1 )S(τ 1 ) exp( rτ 1 )E o [S(τ 1 ) F (τ 1 )] = =exp( rτ 1 )S(τ 1 ) exp( rτ 1 )E o [S(τ 1 )I S(t)>H(T1 t)] F (τ 1 )] 'Ara apì thn teleutaða sqèsh h (2.1) paðrnei thn parakˆtw morf p(t 2,x) p(τ 1,x) E o [exp( rτ 1 )S(τ 1 )E o [(1 min T 1 t T 2 exp{σ(w o (t) W (T 1 )) (δ+ s2 2 )(t T 1)}) + F (T 1 )]] = E o {exp( rτ 1 )S(τ 1 )}E o [ max T 1 t T 2 exp{σ(w o (t) W (T 1 )) (δ+ s2 2 )(t T 1)}) + F (T 1 )]] = E o {exp( rτ 1 )S(τ 1 )Ψ(T 1 T 2 ) S()Ψ(T 1 T 2 )= = xψ(t 1 T 2 ) 'Ara h sunˆrthsh p(t, x) eðnai omoiìmorfa sunèqhc wc proc T. Epiplèon epeid mporoôme pˆnta na pˆroume τ sthn sqèsh p(t,x)=sup τ S(,T ) E o [exp( rτ)(q xh(τ))+],h sunˆrthsh p(t,x) kuriarqeð thc ϕ dhlad p(t,x) (q x) + = ϕ(x). 32
An kai arqikˆ endiaferìmaste gia thn tim thc p(t, x) ston peperasmèno qrìno T, ja xefôgoume lðgo kai ja jewr soume th sumperiforˆ thc sunˆrthshc sto T =. To dikaðwma autì onomˆzetai dihnekèc amerikanikì dikaðwma p lhshc (P erpetual American P ut) kai apoteleð to aploôstero Amerikanikì dikaðwma qwrðc ìmwc na eðnai adiˆforo. EÐnai endiafèron giatð h bèltisth politik ˆskhshc tou den eðnai profan c kai eðnai aplì epeid aut h politik mporeð na kajorisjeð me akrðbeia. To upokeðmeno agajì, h metoq, èqei tim S(t) pou dðnetai apì thn ds(t) =σs(t)dw t +(r δ)s(t)dt OrÐzoume thn axða tou Amerikˆnikou dihnekoôc dikai matoc p lhshc se mia metoq (sumbolðzetai me V AP (s, ) ), na eðnai h elˆqisth tuqaða metablht γ(s), h opoða eðnai F T (s) metr simh gia T [s, ) kai gia thn opoða upˆrqei to martingale qartofulˆkio π(.) pou ikanopoieð thn exp{ rt}(q S(t)) + exp{ rs}γ(s)+ t s exp{ ru}π (u)σ(u)dw o (u), σ.β. s t< q S(t) an askhjeð sto To dihnekèc Amerikanikì dikaðwma p lhshc plhr nei qrìno t,auto apoteleð thn eswterik tou axða. O kˆtoqoc tou mporeð na to ask sei se opoiod pote qrìno. Sugkekrimèna den upˆrqei hmeromhnða l xhc metˆ thn opoða den mporeð plèon na askhjeð. Autì kˆnei ìlouc touc qrìnouc Ðdiouc, opìte eðnai logikì na perimènoume ìti h politik ˆskhshc ja exartˆtai mìno apì thn tim S(t) kai ìqi apì thn metablht t. H tim tou dikai matoc dðnetai apì th sqèsh p(x) =supe [exp{ rτ(q S(τ) + }] τ ìpou x = S() eðnai h arqik tim thc metoq c. H idèa pðsw apì ton orismì tou eðnai ìti o kˆtoqoc tou mporeð tupikˆ na epilèxei ton qrìno ˆskhshc allˆ den eðnai upoqrewmènoc na kajorðsei pìte ja to ask sei. H majhmatik montelopoðhsh aut c thc katˆstashc eðnai ìti o qrìnoc τ prèpei plèon na eðnai qrìnoc stˆshc. Prìtash 2.3 'Estw h W (t) h kðnhsh Brown upìtomètropijanìthtacp kai m R kai m>. OrÐzoume thn S(t) =µt + W (t) kai to sônolo τ m = min{t,s(t) =m} pou eðnai qrìnoc stˆshc. An h S(t) den gðnei potè Ðsh me m tìte isqôei τ m = kai gia ìla ta λ>. E exp{ λτ m } =exp{ m( µ + µ 2 +2λ)} 33
Apìdeixh: OrÐzoume to σ = µ + µ 2 +2λ kai tètoio ste σ>,akìmh σµ + 1 2 σ2 = µ 2 + µ µ 2 +2λ + 1 2 ( µ + µ 2 +2λ) 2 = = µ 2 + µ µ 2 +2λ + 1 2 µ2 µ µ 2 +2λ + 1 2 µ2 + λ = = λ opìte exp{σs(t) λt} =exp{σµt + σw(t) σµt 1 2 σ2 t} =exp{σw(t) 1 2 σ2 t} pou eðnai martingale. Apì to bèltisto deigmatikì je rhma isqôei ìti h eðnai epðshc martingale. Sunep c gia kˆje n> akèraio isqôei ìti M(t) = exp{σw(t τ m ) 1 2 σ2 (t τ m )} 1=M() = EM(n) =E[exp{σS(n τ m ) λ(n τ m )}] = = E[exp{σm λτ m }I {τm n}]+e[exp{σs(n) λn}i {τm>n}]. (2.2) Oi mh arnhtikèc metablhtèc exp{σm λτ m }I {τm n} auxˆnoun wc proc n kai to ìrio touc eðnai exp{σm λτ m }I {τm< } Dhlad exp{σm λτ m }I {τm 1} exp{σm λτ m }I {τm 2}... σ.β. kai lim exp{σm λτ m}i {τm n} =exp{σm λτ m }I {τm< } n Apì Je rhma Monìtonhc sôgklishc σ.β. lim n E exp{σm λτ m}i {τm n} =exp{σm λτ m }I {τm< } σ.β. (2.3) Akìmh epeid S(n) m gia n<τ m kai σ>,h exp{σs(n) λn}i {τm>n} ikanopoieð thn exp{σs(n) λn}i {τm>n} exp{σm λn} exp{σm} σ.β. Epiplèon epeid λ> èqoume lim n exp{σs(n) λn}i {τ m>n} lim n exp{σm λn} = SÔmfwna me to Je rhma Kuriarqhmènhc sôgklishc isqôei lim E[exp{σS(n) µn}i {τ n m>n}] = (2.4) 34
Opìte an pˆroume ìrio sthn (2.2) kai qrhsimopoi ntac thn (2.3) kai thn sqèsh 1=E[exp{σm λτ m }I {τm< }] èqoume ìti E[exp{ λτ m }I {τm< }] = exp{ σm} =exp{ m( µ + µ 2 +2λ)} (2.5) En gia ìla ta λ> sto τ m = èqoume exp{ λτ m } =. 'Ara E[exp{ λτ m }]= exp{ σm}. Qrhsimopoi same sthn (2.5) ìti to λ>, ìmwc an pˆroume to λ tìte oi exp{ λτ m }I {τm} eðnai mh arnhtikèc tuqaðec metablhtèc kai auxˆnoun sto I {τm< } kaj c λ opìte to Je rhma Kuriarqhmènhc sôgklishc mac epitrèpei na katal xoume sto sumpèrasma ìti E[I {τm< }] = lim λ exp{ m( µ + µ 2 +2λ)} =exp{mµ m µ } Upojètoume ìti o kˆtoqoc tou dihnekoôc AmerikanikoÔ dikai matoc p lhshc kajorðzei èna jetikì epðpedo c<qkai to prìblhma epilôetai ston pr to qrìno pou h tim thc metoq c <<pefteð>> sthn tim c. An h arqik tim thc metoq c eðnai mikrìterh Ðsh tou c tìte to dikaðwma askeðtai amèswc.tìte h tim tou eðnai p(s()) = q S() An h arqik tim thc metoq c eðnai pˆnw apì to c,tìte askeðtai sto qrìno stˆshc τ c = min{t,s(t) =c}. Ston qrìno ˆskhshc, to dikaðwma plhr nei q S(τ c )=q c. Apoplhr nontac to dikaðwma kai paðrnontac mèsec timèc, upologðzoume ìti h axða tou dikai matoc p lhshc sômfwna me thn parapˆnw strathgik ˆskhshc eðnai p c (S() = (q c)e[exp{ rτ c }] S() c (2.6) 35
Je rhma 2.1 'Eqoume ìti σ() σ >,δ() δ,r() r > kai thn sunˆrthsh tou dihnekoôc AmerikanikoÔ dikai matoc p lhshc pou dðnetai apì thn sqèsh q x, x c p c (x) = (2.7) (q c)( x) γ, x c c 'Opou γ = 1 σ [ν + ν 2 +2r], ν = r δ σ 1 2 σ και c = c = γq γ 1 <q. Epiplèon p(s()) = sup E o [exp{ rτ(q S(τ)) + }] (2.8) τ ìpou to supremum lambˆnetai pˆnw se ìlouc touc qrìnouc τ pou ikanopoioôn thn τ t F (T ) (t) kai epitugqˆnetai kata ton tuqaðo qrìno : τ c = inf{t ; S(t) c} Apìdeixh: SÔmfwna me tic Protˆseic (2.4) kai (2.5) upologðzoume to ìtan S() >cìpou E o exp( rτ c ) = exp[νy y ν 2 +2r] =( S() ) γ c y = 1 σ log( c S() ) <. To γ epðshc apì thn Prìtash (2.3) ikanopoieð thn : èqoume ìti : kai γ = 2r σ 1 ν2 +2r ν = 2r σ γ <, γ < r r δ 1 = ( r+δ + σ σ 2 )2 4rδ ν σ 1 2 σ2 γ 2 + σνγ r =. Epiplèon 2r σ 1 ( r δ + σ σ 2 )2 +2δ ν pou isqôei epeid hposìthta r δ epitrèpetai na eðnai arnhtik. Gia thn sunˆrthsh p isqôei ìti eðnai kurt, an kei sto C 1 ((, )) C 2 ((, ) \{c}) kai ikanopoieð ta ex c : 1 2 σ2 x 2 p (x)+(r δ)xp (x) rp(x) =δx rq <, x<c (2.9.a) 36
1 2 σ2 x 2 p (x)+(r δ)xp (x) rp(x) =,x>c (2.9.b) p(x) =(q x) +, x<c (2.9.c) p(x) > (q x) +, x > c (2.9.d) Oi parapˆnw sqèseic eðnai ˆmesh sunèpeia tou orismoô thc sunˆrthshc ton kanìna tou Ito gia kurtèc sunart seic èqoume p. Efarmìzontac d[e rt p(s(t))] = r exp{ rt}p(s(t))dt+exp{ rt}dp(s(t)) = ìpou kai = e rt ( 1 2 σ2 S(t) 2 p (S(t))+(r δ)s(t)p (S(t)) rp(s(t)))dt+e rt σs(t)p (S(t))dW o (t) = e rt (δs(t) rq)i {S(t)<c} dt + e rt σs(t)p (S(t))dW o t = = e rt S(t)p (S(t))σdW o (t) e rt (δs(t) rq)i {S(t)>c} dt = = dm(t) dλ(t) M(t) = Λ(t) = t t o e ru S(u)p (S(u))σdW o (u) e rt (qr δs(u))i {S(u)<c} dt. Epeid h p eðnai fragmènh, h diadikasða M(t) eðnai mia P o martingale,en h Λ, apìton tôpo thc, faðnetai ìti eðnai mh fjðnousa afoô isqôei (qr δs(u))1 {S(u)<c} (qr δc) > giatð γ(r δ) <r.akìmh, epeid p(x) =(q x) +, x<c kai p(x) > (q x) +,x>c, gia kˆje tuqaðo qrìno pou ikanopoieð thn {τ t} F (T ) (t), t (, ) èqoume ìti p(s()) = E o [e r(τ t) p(s(τ t))] + E[Λ(τ t)] E o [e r(τ t) (q S(τ t)) + ] (2.1). Epiplèon [exp{ r(τ t)}(q S(τ t)) + ] q. 'Ara apì to Je rhma Fragmènhc sôgklishc kai th sunèqeia thc S lim E o [exp{ r(τ t)}(q S(τ t)) + ]=E o [exp{ rt}(q S τ ) + ; τ< ] 37
opìte èqoume p(s()) E o [I {τ<+ } e rt (q S(τ)) + ]=E o Y (T ). (2.11) tuqaðo qrìno τ pou ikanopoieð thn {T t} F (T ) (t). 'Estw, t ra, ìti τ = τ c tìte Λ(τ c )=kai p(s(τ c )) = p(c) =(q c) + =(q S(τ c )) + σ.β. sto τ c < + tìte p(s()) = E o [I {τc t}e rτc (q S(τ c )) + ]+E o [I{τ c >t}e rt p(s(t))] (2.12) allˆ gnwrðzoume ìti E o [I {τc>t}e rt p(x)] E o e rt q = S()e δt για t + Epomènwc an pˆroume ìrio sthn (2.11), gia t + èqoume p(s()) = E o [I {τc<+ }e rτc (q S(τ c )) + ]=E o [Y (τ c )]. 'Omwch(2.11),exorismoÔ,dÐneiìti p(s()) = sup τ E o [e rt (q S(τ)) + ] opìte apodeðxame ìti gia τ = τ c lambˆnoume to supremum sthn en gia qrìnouc sto apeðro p(s()) = sup E o [exp rτ(q S(τ)) + ] τ p(s()) = lim T E o[e r(τc T ) (q S(τ c T )) + ] (2.13) Sthn Prìtash pou akoloujeð ja apodeðxoume th sqèsh anˆmesa sthn axða tou AmerikanikoÔ dikai matoc peperasmènou qrìnou kai thc axðac tou dihnekoôc prin to ˆpeiro. Akìmh ja doôme ìti ìtan T, tìte oi duo autèc axðec gðnontai Ðsec. Prìtash 2.4 IsqÔoun gia th sunˆrthsh p(t,x) pou orðzetai sthn (.3) kai gia thn sunˆrthsh p(x) pou orðzetai apì thn (2.7) ìti p(t,x) p(x) T [, ),x [, ) kai akìmh isqôei lim p(t,x)=p(x) T 38