Παίζοντας με ένα γιο γιο

Παίζοντας με ένα γιο γιο Ένα γιο γιο είναι κατασκευασμένο από ένα λεπτό σωλήνα μάζας m Σ και ακτίνας =π/4 και δύο ομογενείς δίσκους με μάζα m και ακτίνα 0 = ο καθένας. Τα κέντρα των τριών σωμάτων είναι ομοαξονικά. Ο λεπτός σωλήνας φέρει λεπτό αβαρές δακτυλίδι (σημείο ) στο οποίο μπορεί να δεθεί σχοινί, 0 όπως φαίνεται στο σχήμα. Το γιο γιο συνολικά έχει μάζα Μ=00g. Α. Ποια είναι η ροπή αδράνειας του γιο γιο ως προς τον άξονα που περνά από τα κέντρα των δίσκων; Να μην θεωρηθεί γνωστή η ροπή αδράνειας του λεπτού σωλήνα. Β. Κατόπιν δένουμε στο δακτυλίδι του σωλήνα ένα πολύ λεπτό ιδανικό μη εκτατό νήμα και τυλίγουμε στον σωλήνα νήμα μήκους l=π /0m. Μια χρονική στιγμή που θεωρούμε t=0, το γιο γιο αφήνεται να κατέβει προς το έδαφος από την ηρεμία και το νήμα ξεκινά να ξετυλίγεται από το σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το χέρι που κρατάμε το σχοινί στο σημείο Α είναι διαρκώς ακίνητο και το σχοινί μένει συνεχώς κατακόρυφο και τεντωμένο. t=0 Να βρείτε ποια χρονική στιγμή θα ξετυλιχθεί το σχοινί από τον κύλινδρο και να προσδιοριστεί η θέση του σημείου. Γ. Όταν το σχοινί ξετυλιχθεί ολόκληρο, το γιο γιο κινείται με τέτοιο τρόπο ώστε η κίνησή του να μπορεί να θεωρηθεί στροφική 0 γύρω από ακλόνητο άξονα που περνά από το σημείο στο οποίο είναι δεμένο το σχοινί. Θεωρείστε ότι το σχοινί μένει συνεχώς κατακόρυφο και τεντωμένο. i) Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του γιο γιο μόλις βρεθεί στην κατώτερη θέση του. ii) Βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα του γιο γιο αμέσως μετά τη στιγμή που βρίσκεται στην κατώτερη θέση το κέντρο μάζας του. iii) Βρείτε την τάση του νήματος στην κατώτερη θέση που θα βρεθεί το κέντρο μάζας του γιο γιο.. Από τη στιγμή και μετά που το κέντρο μάζας του γιο γιο θα βρεθεί στην κατώτερη θέση να i) Βρείτε την στροφορμή του γιο γιο ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο όταν το κέντρο μάζας και το σημείο βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ευθεία για πρώτη φορά. ii) Βρείτε την στροφορμή του γιο γιο περί άξονα που διέρχεται από το σημείο επαφής του τροχού με το νήμα π/0 δευτερόλεπτα, μετά από τη στιγμή που το κέντρο μάζας του θα βρίσκεται στην ίδια οριζόντια ευθεία με το σημείο για πρώτη φορά. ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s και η ροπή αδράνειας του κάθε δίσκου περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι Ι =½ Μ. Να θεωρήσετε μηδενικές τις απώλειες ενέργειας σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου. Σχήμα Σχήμα www.ylikonet.gr

Απάντηση Α. Θα υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας του λεπτού σωλήνα με βάση τον ορισμό της. Χωρίζουμε σε στοιχειώδη τμήματα τον σωλήνα σε όλη την έκτασή του και προσθέσουμε όλες τις ροπές αδράνειας των στοιχειωδών μαζών σε όλη την έκταση του. Η συνολική ροπή αδράνειας του σωλήνα θα ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται. I m r m r m r... ( m m...) m i i i m Η ροπή αδράνειας του συστήματος θα ισούται με το άθροισμα όλων των ροπών αδράνειας των σωμάτων που αποτελούν το σύστημα. I Im, Im, I I, I m 0 m m m 5 ( ) 0, 0 I m m I M I kg m I kg m 400 6 Β. Θεωρούμε την κίνηση του γιο γιο ως επαλληλία μιας μεταφορικής κίνησης με την ταχύτητα του κέντρου μάζας και μιας στροφικής περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Όλα τα σημεία του σχοινιού έχουν την ίδια ταχύτητα δεδομένου ότι το σχοινί είναι μη εκτατό. Το σημείο Α έχει ταχύτητα μηδέν και άρα για το εκάστοτε σημείο επαφής του σχοινιού με το γιο γιο πρέπει να συμβαίνει το ίδιο. Το σημείο Ε του σχοινιού έχει την ίδια ταχύτητα με το σημείο επαφής στην περιφέρεια του σωλήνα γιατί δεν γλιστράει σε αυτόν. u u 0 u u. g α γ =α / α γ =000/π r/s () (3) g Μ 5 m / s (4) l= θ π /0=0,5 0 - π θ θ=40π rad, που αντιστοιχούν σε 0 πλήρεις περιστροφές. Το σημείο θα κάνει 0 περιστροφές και η εικόνα του γιο γιο θα είναι Σχήμα 3 Ε γ Ε du d(ω ) 0ω u u ω α α γων 0 dt dt Ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής (Θ.Ν.Μ.) για τη μεταφορική κίνηση δίνει: w Σχήμα 4 ( ) F g Τ Μ () O Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης (Θ.Ν.Σ.Κ.) ως προς το κέντρο μάζας και θεωρώντας θετικές τις αριστερόστροφες ροπές, δίνει: ( ) () I I a a a (3) T www.ylikonet.gr

ίδια με τη στιγμή που αφήνεται να κινηθεί. Κατακόρυφα θα έχει μετακινηθεί όσο το κέντρο μάζας κατά π /0m και η εικόνα θα είναι όπως αυτή του παρακάτω σχήματος. θ= ½ α γ t 40π=000/π t t= π /5 t=π/5s. ω=α γ t ω =000/π π/5 ω =400r/s και υ, = ω υ, = π m/s t=0 t=π/5s x Γ.i) Θεωρώντας την κίνηση του γιο γιο καθαρά στροφική περί άξονα που διέρχεται από το η ροπή αδράνειας του είναι 5 M 0 kg m 8 Επειδή το νήμα θεωρείται ανελαστικό και μη εκτατό όταν το γιο γιο φθάσει στη θέση το σημείο θα παραμείνει ακίνητο (πρόσδεση νήματος σωλήνα) και το γιο αναγκάζεται να εκτελέσει στροφική κίνηση περί του ακίνητου σημείου και το κέντρο μάζας του θα διαγράψει κυκλική τροχιά. Η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται σταθερή γιατί η τάση του νήματος δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της και συνεπώς το έργο της είναι μηδέν ενώ το βάρος είναι συντηρητική δύναμη. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας από τη θέση στη θέση. Αντιμετωπίζοντας την κίνηση καθαρά στροφική η κινητική ενέργεια εκφράζεται μόνο ως περιστροφική κινητική. Ε ΜΗΧ, =Ε ΜΗΧ, K,Μ Κ,στ U Β, = K,Μ Κ,στ U Β, 0 ½ I ω Μg=0½ I ω 0 M ω Μg= M ω ω g= ω ω g= ω ω g/= ω ω = ( ω g/) g 0 4000 0 400 400 0 400 r / s / 400 400 r / s 40 Σχήμα 5 T, Σχήμα 6 w, h=0 υ, =ω =π m/ s 40 Παρατήρηση Να αναφέρουμε την ανεξαρτησία υπολογισμού της γωνιακής ταχύτητας ως προς οποιοδήποτε άξονα ή σημείο μιας και εκφράζει την αλλαγή προσανατολισμού στο χώρο. (πιο σωστά ίδια για αδρανειακούς παρατηρητές) www.ylikonet.gr 3

Γ.ii) Μόλις το γιο γιο βρεθεί στην κατώτερη θέση η τάση του νήματος και το βάρος βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση και δεν προκαλείται ροπή ως προς οποιοδήποτε σημείο της διεύθυνσης αυτής και η στροφορμή διατηρείται σταθερή. Έτσι από τη διατήρηση της στροφορμής ως προς το σημείο η γωνιακή ταχύτητα του γιο γιο αμέσως μετά θα είναι ίδια με αυτή που είχε αρχικά όταν βρέθηκε στην κατώτερη θέση. 0 L, L, 0 400 r / s 400 r / s 40 Γ.iii) Το κέντρο μάζας του γιο γιο εκτελεί κυκλική κίνηση περί άξονα που διέρχεται από το σημείο. Η συνισταμένη των δυνάμεων κατά μήκος του άξονα που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς έχει ρόλο κεντρομόλου. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας στην κατώτερη θέση έχει μόνο οριζόντια συνιστώσα υ =ω αφού κατακόρυφα δεν κινείται. Σχήμα 7 F ma w m T w m 0 0. 0 0. 0 400 400 T ( 40 ) w υ. Επειδή το νήμα θεωρείται ανελαστικό και μη εκτατό όταν το γιο γιο φθάσει στη θέση το σημείο θα παραμείνει ακίνητο (πρόσδεση νήματος σωλήνα ) και το γιο αναγκάζεται να εκτελέσει στροφική κίνηση περί του ακίνητου σημείου. Το κέντρο μάζας του θα διαγράψει κυκλική τροχιά. Επειδή η μόνη δύναμη που έχει ροπή ως προς το είναι το βάρος, το γιο γιο θα επιταχυνθεί από την θέση ως την θέση αλλά θα επιβραδυνθεί από την θέση ως την θέση 3, ενώ το σημείο θα παραμένει ακίνητο. Η Κινητική ενέργεια και η στροφορμή στην θέση 3 θα είναι όση και στην θέση (συνολικό έργο βαρύτητας μηδέν) και το γιο θα ακολουθήσει την στροφική κίνηση του αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού μέχρι να τυλιχθεί στον σωλήνα όλο το νήμα κατά την άνοδό του ως το σημείο που αφέθηκε ελεύθερο, όπου και σταματά. Το φαινόμενο υπό ιδανικές συνθήκες θα επαναλαμβάνεται με το γιο γιο να κάνει παλινδρομική κίνηση ανάμεσα στο Σχήμα 8 ανώτερο και κατώτερο σημείο αλλά στρεφόμενο μια προς την ωρολογιακή φορά και μια αντίθετα. 3 0 0 www.ylikonet.gr 4

.i) Από τη θέση στη θέση 3 Με βάση τα παραπάνω θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν απώλειες καθώς και την κίνηση καθαρή στροφική με το νήμα να μένει συνεχώς τεντωμένο, το κέντρο μάζας του γιο-γιο διαγράφει κυκλική τροχιά, (μη ομαλή) και το νήμα προβάλλει κατάλληλη συνιστώσα καλύπτοντας το ρόλο της κεντρομόλου. Στην κατακόρυφη θέση η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι οριζόντια. Στη θέση 3 έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα που είχε στη θέση, ω 3 =ω.(βλ. σχήμα 8) Έτσι L s =I ω 3 =Μ 5 ω 3 = 0 6 400=0-3 π /4kg m /s L s = =,5 π 0-4 kg m /s και φορά αριστερόστροφη Σχήμα 9 w x Τ y w w y T Τ x Ενώ θεωρώντας την κίνηση στροφική που διέρχεται από το σημείο L =I ω 3 =Μ 5 ω 3 = 0 8 400= 0-3 π / kg m /s=5 π 0-4 kg m /s και φορά αριστερόστροφη.ii) Από τη θέση 3 και μετά το γιο γιο επιβραδύνεται ομαλά μεταφορικά και στροφικά. Αντιμετωπίζουμε την κίνηση ως σύνθετη μιας μεταφορικής κίνησης με την ταχύτητα του κέντρου μάζας και μιας στροφικής περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής (Θ.Ν.Μ.) για τη μεταφορική κίνηση δίνει: ( ) F Τ Mg Μ (5) O Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης (Θ.Ν.Σ.Κ.) ως προς το κέντρο μάζας και θεωρώντας θετικές τις αριστερόστροφες ροπές, δίνει: ( ) I I a. a a (6) g (5) (6) g Μ 5 m / s (7) T 0 w Σχήμα 0 Που σημαίνει ότι έχει φορά αντίθετη από τη φορά της ταχύτητας και επιβραδύνεται. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης είναι α γ =α / α γ =000/π r/s Η γωνιακή ταχύτητα του γιο γιο είναι ω 4 =ω αρχ α γ t ω 4 =400 000/π π/0 ω 4 =00r/s Και η ταχύτητά του υ,4 =u αρχ α t υ,4 =π 5 π/0 υ,4 =π/ m/s Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής στη στροφική κίνηση ως προς το σημείο επαφής του νήματος με το γιο γιο. www.ylikonet.gr 5

0 dl L w L wt L L wt dt t Ως αρχική στροφορμή είναι αυτή που έχει το γιο γιο όταν βρεθεί στη θέση 3 και ξεκινά να τυλίγεται το νήμα σε αυτό. ηλ. L αρχ =5 π 0-4 kg m /s και φορά αριστερόστροφη. ( ) 4 L L w t L L Mgt 5 0 0, 0 400 0 L 5 0 0, 5 0,5 0 και φορά αριστερόστροφη 4 3 4 L kg m s / Σχόλια. Στο ερώτημα στην εύρεση της ροπής αδράνειας του σωλήνα θα μπορούσαμε να χωρίσουμε τον σωλήνα σε δακτυλίους σε όλο το ύψος του, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας του σωλήνα θα ισούται με το άθροισμα όλων των ροπών αδράνειας των δακτυλίων από τους οποίους αποτελείται ο κύλινδρος. Έστω m η μάζα του κάθε δακτυλίου. I I I... m m... ( m m...) m m L Σχήμα. Στο ερώτημα Β αναλυτικά η θέση του σημείου (x, y ) κάθε στιγμή θα είναι: Θεωρώντας ως το (0,0) την αρχική θέση του σημείου τη στιγμή t=0 που αφήνεται να κινηθεί οι συντεταγμένες του σημείου τη στιγμή t είναι: x(m) 0.05 0.0 0.005 π/0 (0,0) x θ x (0,0) y y π/0 ω υ 3π/0 Σχήμα π/5 x (t) =x συν(θ)= συν(θ) x (t) = συν( ½ α γ t ) y (t)=y ημ(θ)= ½ α t ημ(½ α γ t ) π/4 για t=π/5s: θ=40π rad συνθ=, ημθ=0 y = ½ 5 π /5 y =π /0 m 3π/0 έτσι x =0 και y =y =π /0m Με τη βοήθεια του προγράμματος graph προκύπτει η τροχιά του σημείου που είναι κυκλοειδές. Σχήμα 3 y(m) www.ylikonet.gr 6

3. Στην άσκηση αποφεύχθηκε να χρησιμοποιηθεί η σχέση που δίνει γενικά τη στροφορμή σε σώμα που εκτελεί επίπεδη κίνηση ως L Ls L, αφού δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. Π.χ. στο i) ερώτημα L = L s L τρ =I ω 3 Mυ =Μ ω 3 Μ 5 ω 3 = 0 8 400=5 0-4 π kg m /s και φορά αριστερόστροφη. Στο ii) ερώτημα L= L s L τρ =I ω 4 Mυ,4 =Μ ω 4 Μ ω 4 = 0, 00=,5 π 0-4 kg m /s. 400 Επιπλέον θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε την κίνηση στροφική περί στιγμιαίου άξονα που διέρχεται από το σημείο επαφής έστω Σ του σχοινιού με το γιο γιο. L Σ =Ι Σ ω 4 =Μ ω 4 = 0, 00=,5 π 0-4 kg m /s. Η έννοια όμως του 400 στιγμιαίου άξονα στροφής δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. Στο ii) ερώτημα μπορέσαμε να δουλέψουμε μέσω του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης στη γενικευμένη του μορφή διότι η συνισταμένη ροπή ήταν σταθερή. 4. Στην πραγματικότητα εξαιτίας των απωλειών το φαινόμενο δεν επαναλαμβάνεται συνεχώς. Υπάρχουν απώλειες ενέργειας καθώς το σχοινί δεν είναι ιδανικό και παρουσιάζει ελαστικότητα. Τη στιγμή που το γιο γιο βρίσκεται στην κατώτερη θέση το σχοινί τανύζεται και συμβαίνει μια μικρής διάρκεια φθίνουσα ταλάντωση. Τριβές υπάρχουν και μεταξύ της σύνδεσης του σχοινιού με το γιο γιο. Αν θέλουμε να συντηρήσουμε το φαινόμενο τότε απαιτείται από εμάς προσφορά ενέργειας που γίνεται μετακινώντας το χέρι πάνω κάτω. Χ. Αγριόδημας chagriodimas@yahoo.gr chagriodimas@gmail.com www.ylikonet.gr 7