Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να βρείτε την τιμή της παράστασης: α αν δίνεται ότι: 3 β =. 3β + α α 3β 13 Α= 10 +, β α 3 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Γ= ˆ Α ˆ. Το τετράπλευρο ΑΓΔΕ είναι τετράγωνο. (α) Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία ΑΕΒ ˆ. (β) Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες ΒΑ ˆ και ΒΕΓ ˆ. Σημείωση: Να κάνετε το δικό σας σχήμα στο φύλλο με τις απαντήσεις σας. Για τη φωταγώγηση μιας πλατείας, σχήματος ορθογωνίου, τοποθετήθηκαν περιμετρικά 18 κολώνες φωτισμού. Τέσσερις από αυτές τοποθετήθηκαν στις γωνίες τις πλατείας. Στη συνέχεια τοποθετήθηκαν και οι υπόλοιπες 178 στην περίμετρο της πλατείας έτσι ώστε κάθε δύο διαδοχικές κολώνες απέχουν τέσσερα μέτρα. Επίσης διαπιστώθηκε ότι η μεγαλύτερη πλευρά της πλατείας είχε διπλάσιες κολώνες από τη μικρή πλευρά, όπου σε κάθε πλευρά μετράμε και τις κολώνες στις γωνίες. Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών της πλατείας. Σημείωση: Θεωρείστε τις κολώνες πάνω στις πλευρές της πλατείας ως σημεία. (α) Να προσδιορίσετε το μικρότερο δυνατό θετικό ακέραιο του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο τον αριθμό 1600. (β) Να προσδιορίσετε το μικρότερο δυνατό εξαψήφιο θετικό ακέραιο του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο τον αριθμό 1600.
. Να βρείτε την τιμή της παράστασης αν δίνεται ότι ( ) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 3 3 Α= α + β + γ 3αβγ + α + β γ, 3 1 1 α =, β =, γ = (α) Να προσδιορίσετε το μικρότερο δυνατό θετικό ακέραιο του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο τον αριθμό 63000. (β) Να προσδιορίσετε το μικρότερο δυνατό επταψήφιο θετικό ακέραιο του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο τον αριθμό 63000. (γ) Μπορούμε να βρούμε το μεγαλύτερο δυνατό θετικό ακέραιο του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο τον αριθμό 63000; 3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ = R και η γωνία ˆ ΓΟ = 90. Οι ευθείες ΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Ζ, ενώ οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο σημείο Ε. (α) Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες ΓΑ ˆ και ΓΒ ˆ. (β) Να αποδείξετε ότι: ΕΖ = R. Σημείωση: Να κάνετε στο φύλλο των απαντήσεων σας το δικό σχήμα. σας Έχουμε πέντε κάρτες Α, Β, Γ, Δ, Ε που πάνω σε καθεμία από αυτές είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος. Με αυτές τις κάρτες σχηματίζονται συνολικά δέκα διαφορετικές τριάδες. Για καθεμία από αυτές τις τριάδες, καταγράφουμε το άθροισμα των τριών καρτών. Διαπιστώνουμε ότι προκύπτουν δύο μόνο διαφορετικά αθροίσματα, το 15 και το 13. Να προσδιορίσετε τους δυνατούς αριθμούς των πέντε καρτών.
Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: + = +, αβ είναι τέτοιοι ώστε: α 3 β 3 αβ ( α β ) Κ= α β β + α. Οι θετικοί ακέραιοι 50 είναι τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί 3n και ακέραιοι. (α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση A= n+ 1 3 m+ + 7. ( ) ( ) (β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση: 43 4m 1 να είναι θετικοί 16 m B =. n 371 Να προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς xyz,, που ικανοποιούν τις εξισώσεις: y+ 3x 3z+ 5y 5x+ z 140 = = = xy yz zx x + y + z Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α= ˆ 60 του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ, έτσι ώστε Β = Γ. (α) Να αποδείξετε ότι: ˆ ΟΓ = 30 (β) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΕΓ συναρτήσει της πλευράς. Η διάμετρος ΑΕ του περιγεγραμμένου κύκλου C( O, R ) ΒΓ = α.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση: x + 7 x+ 8 3x =. 6 Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί xyz,, ικανοποιούν τις ισότητες x+ y = y+ 3z = z+ 5x, να βρείτε: (α) Την τιμή των λόγων x y και z y. (β) Τις τιμές των x, y, z για τις οποίες η παράσταση ελάχιστη τιμή της. + + 144 παίρνει την x y z y Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (, ) και ανήκουν στο ορθογώνιο ( ) επιπέδου Ο xy. xy που είναι λύσεις της εξίσωσης ( ) x + 6x συν xy + 9= 0 π π D= xy, : π x π, y του Καρτεσιανού C R τέτοιο ώστε Έστω ΑΒΓΔ τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο ( O, 1 ) Β= = ˆ ˆ 90.Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΔ. Ο κύκλος C (, ) και ακτίνας ΑΗ τέμνει τον κύκλο C ( ) ΓΙ = ΓΚ = Β. Α ΑΗ κέντρου Α O, 1 R στα σημεία Ι και Κ. Να αποδείξετε ότι:
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής 5 4 3 Α= xxxabc = x 10 + x 10 + x 10 + a 10 + b 10 + c, όπου xabc,,, ψηφία με x 0, διαιρούνται με το 37. Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = mx + 4+ mx 4, m > 0 και y = 1 ορίζουν κυρτό επίπεδο σχήμα του οποίου το εμβαδό ισούται με 0 τ. μ. Να προσδιορίσετε την τιμή της πραγματικής παραμέτρου m > 0. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση: 4 Α= 3 4 x x + 16x 3. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης Α= α x + 4, για κάθε τιμή της παραμέτρου α. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε Α=Β< ˆ ˆ 90 και Α + ΒΓ = Γ. Η παράλληλη ευθεία προς την πλευρά ΑΔ από το μέσο Ε της πλευράς ΓΔ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Ζ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΓΔΖ τέμνει τις ευθείες ΑΔ και ΒΓ στα σημεία Κ και Λ, αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΓΚ και ΔΛ τέμνονται στο σημείο Θ και οι ευθείες ΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΘ είναι κάθετη προς την ευθεία ΓΔ.