ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΑΦΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΒΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΚΥΚΛΟ
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΤΕ (δημιουργήστε ένα σύστημα συντεταγμένων) ΣΚΙΤΣΑΡΕΤΕ το διάγραμμα ελευθέρου σώματος ΑΠΟΜΟΝΩΣΤΕ το υπό μελέτη σώμα / αντικείμενο ΔΕΙΞΤΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων πάνω στο σώμα (αυτές που δεν ενεργούν από το σώμα!) Ονοματίστε όλες τις δυνάμεις με σαφήνεια και συνέπεια Κάθετες δυνάμεις από επιφάνειες Δυνάμεις τριβής από τις επιφάνειες Δυνάμεις τάσης από σχοινί Δυνάμεις επαφής από τα άλλα αντικείμενα Βάρος από τη βαρύτητα
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Αναλύστε όλες τις εφαρμοζόμενες δυνάμεις σε συνιστώσες βασιζόμενοι στο σύστημα συντεταγμένων σας. Εφαρμόσετε τους νόμους του Νεύτωνα στις εκάστοτε συνιστώσες ΣF x = ma x ; ΣF y = ma y
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 1 Μια αθλήτρια ενόργανης γυμναστικής μόλις ξεκίνησε και αναρριχάται σε σχοινί που κρεμάται από την οροφή γυμναστηρίου. Σταματά ενώ κρατιέται με τα χέρια της από το κατώτερο άκρο του σχοινιού. Το βάρος της είναι 400Ν και το βάρος του σχοινιού 50Ν. Βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στη γυμνάστρια και στο σχοινί Τάση από το σχοινί ΣFy=0=>Τάση+(-Βάρος)=0=>Ταση =400Ν Βαρος=400Ν Διάγραμμα ελευθέρου σώματος για την αθλήτρια
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 1 Μια αθλήτρια ενόργανης γυμναστικής μόλις ξεκίνησε και αναρριχάται σε σχοινί που κρεμάται από την οροφή γυμναστηρίου. Σταματά ενώ κρατιέται με τα χέρια της από το κατώτερο άκρο του σχοινιού. Το βάρος της είναι 400Ν και το βάρος του σχοινιού 50Ν. Βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στη γυμνάστρια και στο σχοινί Δύναμη από την οροφή στο σχοινί=fορ-σχ Βάρος σχοινιου=50ν Αντίδραση της Τάσης από το σχοινί (400Ν) Διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τo σχοινί ΣFy=0=>ΤFορ-σχ +(-Βάρος σχοινιού)+(αντιδραση=-400)=0=> Fορ-σχ =450Ν
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 1 Μια αθλήτρια ενόργανης γυμναστικής μόλις ξεκίνησε και αναρριχάται σε σχοινί που κρεμάται από την οροφή γυμναστηρίου. Σταματά ενώ κρατιέται με τα χερια της από το κατώτερο άκρο του σχοινιού. Το βάρος της είναι 400Ν και το βάρος του σχοινιού 50Ν. Βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στη γυμνάστρια και στο σχοινί Δύναμη από την οροφή στο σχοινί=fορ-σχ Βάρος σχοινιου+αθλητριας Διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τo σύστημα [ σχοινι+αθλητρια]
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 2 Κινητήρας βάρους Β αναρτάται με αλυσίδα που συνδέεται σε σημείο Ο με δυο άλλες αλυσίδες η μια στερεωμένη στην οροφή και άλλη στερεωμένη στον τοίχο. Βρείτε τις τάσεις στις τρεις αλυσίδες. Θεωρήστε το βάρος Β δεδομένο και υποθέστε ότι τα βάρη των τριών αλυσίδων είναι αμελητέα Αλυσίδες Κινητήρας
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 2 Κινητήρας βάρους Β αναρτάται με αλυσίδα που συνδέεται σε σημείο Ο με δυο άλλες αλυσίδες η μια στερεωμένη στην οροφή και άλλη στερεωμένη στον τοίχο. Βρείτε τις τάσεις στις τρεις αλυσίδες. Θεωρήστε το βάρος Β δεδομένο και υποθέστε ότι τα βάρη των τριών αλυσίδων είναι αμελητέα ΣFx=0=>T3cos60-T2=0 ΣFy=0=>T3sin60-T1=0 T1=B Αλυσίδες ΣFy=0=>T3sin60-B=0=>T3=1,175B ΣFx=0=>(1,175Bcos60-T2=0=> T2=0,577B Κινητήρας
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 3 Aμαξι βρίσκεται ακίνητο στη ράμπα φορτώσεως φορτηγού με ρυμουλκό. Ένα συρματόσκοινο είναι δεμένο στο αμάξι εμποδίζοντας το αμάξι να κυλίσει προς τα πίσω. Αν το βάρος του αμαξιού είναι Β, βρείτε την τάση στο συρματόσκοινο και τη δύναμη με την οποία η ράμπα ασκεί στα ελαστικά του αμαξιού Αναλύουμε το βάρος στις συνιστώσες του
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 4: Τάση διαμεσου τροχαλίας χωρίς τριβή-κυβόλιθοι ρυμουλκούνται προς τα πνω από λατομείο σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσης 15 μοίρες. Αδρανές υλικό ρίχνεται στο λατομειο.πως θα κάνουμε χρήση αυτού του αδρανούς υλικού ώστε να σύρουμε το κυβόλιθο έξω? Αγνοώντας τριβές προσδιορίστε πως πρέπει να σχετίζονται τα w1 και w2, ώστε το σύστημα να κινείται με σταθερή ταχύτητα. κυβόλιθος κουβάς
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 4: Τάση διαμεσου τροχαλίας χωρίς τριβή-κυβόλιθοι ρυμουλκούνται προς τα πάνω από λατομείο σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσης 15 μοιρών. Αδρανές υλικό ρίχνεται στο λατομείο. Πως θα κάνουμε χρήση αυτού του αδρανούς υλικού ώστε να σύρουμε το κυβόλιθο έξω? Αγνοώντας τριβές προσδιορίστε πως πρέπει να σχετίζονται τα w1 και w2, ώστε το σύστημα να κινείται με σταθερή ταχύτητα. ΣFx=0=>Τ-w1sin15=0=> T=w1sin15 Κουβάς w2=w1sin15=0,26w1 ΣFy=0=>T-W2=0 Βαγόνι -κυβόλιθος
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 5: Ένα παγοπλοιο (ιστιοφόρο έλκηθρο) ηρεμεί σε μια οριζόντια επιφάνεια με παντελή έλλειψη τριβής. Πόση οριζόντια δύναμη F απαιτείται ώστε να δοθεί στο παγοπλοιο ταχύτητα 4m/s μετά την περίοδο των 2sec. (Μολικη=200 κιλά) U=Uo+αt ΣFx=F=mαx ΣFy=0=>n-mg=mαy=>n=mg
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΌΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Παράδειγμα 6: Ένα παγοπλοιο (ιστιοφόρο έλκηθρο) ηρεμεί σε μια οριζόντια επιφάνεια με παντελή έλλειψη τριβής. Πόση οριζόντια δύναμη F απαιτείται ώστε να δοθεί στο παγοπλοιο ταχύτητα 4m/s μετά την περίοδο των 2sec. (Μολικη=200 κιλά, τριβή 100Ν) U=Uo+αt ΣFx=F=mαx=> Fw-f=mαx=> Fw=500N ΣFy=0=>n-mg=mαy=> n=mg
Παράδειγμα 7: Ανελκυστήρας (800 kg) κινείται προς τα κάτω με 10 m / s, και μένει ακίνητο σε μια στάση πάνω από 25,0 m. Ποια είναι η τάση της στήριξης του καλωδίου; H επιτάχυνση έχει φορά προς τα πάνω αντίθετη της ταχύτητας, αφού έχουμε κίνηση με ελατ. ταχύτητα ΣFy=T-W=mα=>Τ=mg+mα=800(9,8+2)=9440Ν
Παράδειγμα 9 Ανελκυστήρας (800 kg) κινείται προς τα κάτω με 10 m / s, και μένει ακίνητο σε μια στάση πάνω από 25,0 m. Ποια η δύναμη που ασκούν τα πόδια της γυναίκας στο δάπεδο του ανελκυστήρα; Mαζα γυναίκας 50κιλα Αρχικά η δύναμη που ασκεί το δάπεδο στα πόδια της γυναίκας (δύναμη αντίδρασης) Βάρος γυναικας=50χ9,8=490ν n ασκείται από το δάπεδο ΣFy= n-(βάρος γυναίκας)=mα=> n=mg+mα=50(9,8+2)=590ν Ενώ το ασανσέρ επιβραδύνεται μέχρι να σταματήσει η επιβάτιδα σπρώχνει προς τα κάτω το δάπεδο με δύναμη 590Ν δλδ με 100 Ν περισσότερα από το βάρος της. Η γυναίκα αισθάνεται μεγαλύτερη πίεση στα πέλματα από την πίεση που αισθάνεται οαν ο ανελκυστήρα είναι ακίνητος η κινείται με σταθερή ταχύτητα
Παραλλαγές του Παραδείγματος 9 n=mg+mα (ένδειξη ζυγαριάς) Αν το ασανσέρ επιταχύνεται προς τα πάνω, τότε α>0=> n>b, αισθάνεται βαρύτερη Αν το ασανσέρ επιταχύνεται προς τα κάτω, τότε α<0=> n<b
Παράδειγμα 10. Ποια η επιτάχυνση του έλκηθρου (όχι τριβές, δεδομένα: γωνία κλίσης)
Παράδειγμα 11. Ένα βαγονάκι πάνω στην αεροτροχια έχει μάζα m1 και συνδέεται με αναρτώμενα βάρη μάζας m2.ποια η επιτάχυνση του κάθε σώματος και η τάση του νήματος? (Δεν υπάρχουν τριβές) ΣFx=T=max, ΣFy=n-(m1g)=m1ay Σfy= (m2g)-t=m2ay ax =ay=κοινό T=(m1m2)g/(m1+m2)
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΑΦΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΒΗΣ Κινητική τριβή ενεργεί όταν ένα σώμα ολισθαίνει πάνω σε μια επιφάνεια. Η κινητική δύναμη τριβής είναι fk = μkn. Στατική τριβή ενεργεί όταν δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ των σωματιων. Η στατική δύναμη τριβής μπορεί να κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και μέγιστης τιμής: fs μsn.
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΑΦΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΒΗΣ Παράδειγμα 11: Κιβώτιο 500 Ν. Για να πετυχουμε την εκκίνηση του προς το χώρο στάθμευσης πρέπει να ελξουμε με οριζόντια δύναμη 230Ν. Από τη στιγμή που «απελευθερώνεται» ξεκινώντας μπορείτε να το διατηρήσετε σε κίνηση με σταθερή ταχύτητα ασκώντας δύναμη μέτρου 200Ν. Βρείτε τους συντελεστές στατικής και κινητικής τριβής. Πριν εκκίνηση
Παράδειγμα 12: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΑΦΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΒΗΣ Έλκουμε το κιβώτιο (Β=500Ν) με σχοινί που έχει 30 μοίρες γωνιά με το οριζόντιο επίπεδο. Με πόση δύναμη πρέπει να ελκύουμε το σχοινί για να διατηρήσουμε το κιβώτιο να κινείται με σταθερή ταχύτητα, μκ=0,4 ΣFx=Tcos30-Τριβή=Tcos30-0,4n=0 ΣFy=Tsin30+n-500=0
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ- Ομαλή Κυκλική Κίνηση Κεντρομόλος επιτάχυνση v r v r so, v v r r 2 v r v v t t r r 2 v v ar t r Κατεύθυνση: προς το κέντρο Η κυκλική κίνηση με περίοδο Τ περιγράφεται από: x(t) = r 0 cos(2π t/t) και y(t) = r 0 sin(2π t/t) Κίνηση με σταθερή ταχύτητα v 0 = 2π r 0 /T, σε ένα κύκλο ακτίνας r 0.
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Ομαλή Κυκλική Κίνηση v Ταχύτητα: Μέγεθος: σταθερό κατά Η κατεύθυνση της ταχύτητας είναι εφαπτομένη του κύκλου 2 Επιτάχυνση: v a μέγεθος: c r Κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου της κίνησης Περίοδος: v Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για μία πλήρη περιστροφή του σωματιδίου T 2 r a c
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Ακτινική / κεντρομόλος
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ- ΑΝ βλέπετε κυκλική κίνηση... τότε θυμηθείτε κεντρομόλος δύναμη δεν είναι άλλη δύναμη - αυτή είναι το ποσό του ενός ή περισσότερων δυνάμεων που ήδη υπάρχουν! Fx = MV V / R Και όχι M V V / R + T - mg = ma
Παράδειγμα 12: Ένα έλκηθρο μάζας 200γρ κινείται κυκλικά με σταθερού μέτρου ταχύτητα. Το έλκηθρο είναι δεμένο με σχοινί 20 εκατ. Αν το έλκηθρο εκτελέσει δυο πλήρες περιστροφές/sec, ποια η δύναμη που ασκείται από το σχοινί επί του ελκήθρου Τ=1/2 περιστροφες=0,5 sec u=2πr/t 2 v a c r
H επιτάχυνση uu/r, Προς το κέντρο της καμπύλης πρέπει να οφείλεται στη δύναμη τριβής. Τριβή f=muu/r, Αυξάνεται με την ταχύτητα του αυτοκίνητου f=μsmg μsmg=muu/r=>u=.. n=w nsinβ=muu/r, ncosβ-mg=0 Tanβ=uu/gR
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ-
Φανάρι (μάζας 15.0 kg) συνδέεται με δυο σύρματα, όπως φαίνεται στην εικόνα. Ποια η τάση σε κάθε σύρμα.
1) x-axis: Fnetx=T2x T1x=0, (9) T1x=T2x, (10) Σχέση T1 καιt2: T1cos(30º)=T2cos(45º), (11) Οπότε T2=(1.225)T1, (12) T1 #T2 αφού οι γωνίες δεν είναι όσες. Είναι λογικό ότι η T2 θα είναι μεγαλύτερη από την T1. 2) y-axis: Fnety=T1y+T2y w=0, (13) Οπότε T1y+T2y=w, (14) T1sin(30º)+T2sin(45º)=w, (15) T1(0.500)+(1.225T1)(0.707)=w=mg, (16)=> (1.366)T1=(15.0 kg)(9.80 m/s2). =>T1=108 N (18) T2 = 1.225 T1=>T2=132 N.
Βιβλιογραφία 1. Pearson Education Inc.2010 2. HALLIDAY D. & RESNICK R. (1966) Physics, (μετ.: Πνευμαντικός Γ., Πεπονίδης Γ.), εκδ.: Πνευματικός, Αθήνα. 3. SERWAY R. A. (1990) Physics for scientists & Engineers, (μετ.: Ρεσβάνης Λ. Κ.), εκδ.: Saunders College Publishing, Chicago. 4. ΥOUNG H. D. (1994) University Physics, (μετ.: Αναστασάκης Ε., Βλασσόπουλος Σ., Δρης Ε.), εκδ.: Παπαζήσης, Αθήνα.