Κεφάλαιο 1: Φανταστικές κούρσες ταχύτητας

Κεφάλαιο 1: Φανταστικές κούρσες ταχύτητας Οι υψηλές ταχύτητες και επιταχύνσεις συναρπάζουν τους περισσότερους από εμάς. Η αίσθηση που νιώθουμε όταν απογειώνεται ένα αεροπλάνο ή όταν ξεκινάμε με ένα τρενάκι του λούνα παρκ είναι μοναδική. Στην περίπτωση των σπορ, όταν μιλάμε για ταχύτητα, ένας άνθρωπος σίγουρα μας έρχεται στο μυαλό: o Usain Bolt! Μελετώντας προσεκτικά τις επιδόσεις του, θα μπορέσουμε να καταλάβουμε περισσότερα για τη φυσική που κρύβεται πίσω από τα απίθανα ρεκόρ του. Λίγες σκέψεις για την ταχύτητα και την επιτάχυνση Ζούμε στην εποχή της ταχύτητας. Η καθημερινότητά μας καθορίζεται από αυτήν. Σχεδόν όλοι όσοι εργαζόμαστε στις μεγάλες πόλεις νιώθουμε το ξυπνητήρι μας σαν το πιστόλι του αφέτη και ξεκινάμε κάθε πρωί τον ξέφρενο αγώνα μας που οι αγγλόφωνοι ονομάζουνε rat race, αγώνα αρουραίων. Πρώτη αποστολή, να φτάσουμε στην εργασία μας προτού το αφεντικό μας σφυρίξει τη λήξη. Έτσι, εάν ζούμε π.χ. στο Φάληρο και η δουλειά μας είναι στο κέντρο της Αθήνας, τότε σε μια μέρα χωρίς κίνηση, χρειαζόμαστε σίγουρα τουλάχιστον 15 λεπτά (δηλαδή 0,25 ώρες) από τη στιγμή που θα μπούμε στο αυτοκίνητό μας μέχρι να φτάσουμε. Με ποια ταχύτητα πρέπει να τρέχουμε για να μην κινδυνεύουμε να δεχτούμε κόκκινη κάρτα από το αφεντικό; Η απάντηση στο παραπάνω ερώτημα ίσως φαίνεται απλή, η αλήθεια όμως είναι ότι το θέμα θέλει λίγο παραπάνω σκέψη. Οι περισσότεροι γνωρίζουμε ότι για να υπολογίσουμε την ταχύτητα, πρέπει να διαιρέσουμε την απόσταση με το χρόνο. Στη φυσική λέμε ότι η ταχύτητα δίνεται από τον τύπο: V Όπου S είναι η απόσταση και t ο χρόνος. Εάν υποθέσουμε ότι ο δρόμος που χρειάζεται να καλύψουμε από το Φάληρο μέχρι το κέντρο είναι 7,5χλμ, τότε η απάντηση που θα δίναμε S t 1

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΠΟΡ αυθόρμητα είναι ότι θα πρέπει να οδηγούμε με 7,5χλμ/0,25ώρες, δηλαδή με 30χλμ/ώρα. Τα χλμ/ώρα είναι η μονάδα μέτρησης της ταχύτητας που χρησιμοποιήσαμε σε αυτό το παράδειγμα. Όπως θα δούμε παρακάτω, οι φυσικοί πολλές φορές χρησιμοποιούν μονάδες διαφορετικές από εκείνες που εμείς έχουμε συνηθίσει. Φυσικά, εάν κοιτάξετε το κοντέρ της ταχύτητας, εκείνο σπάνια θα δείχνει αυτή την τιμή, δηλαδή τα 30χλμ/ώρα. Βγαίνοντας π.χ. στη λεωφόρο Συγγρού, πιθανόν να δείξει και 70χλμ/ώρα. Από την άλλη, καθώς πλησιάζουμε στο Σύνταγμα, οι πεζοί περνούν από δίπλα μας, την ώρα που είμαστε κολλημένοι σε κάποιο φανάρι. Το κλειδί εδώ είναι η διαφορά μεταξύ μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας. Η μέση ταχύτητα βρίσκεται εάν διαιρέσουμε τη συνολική απόσταση που διανύσαμε με το συνολικό χρόνο. Από την άλλη, η στιγμιαία ταχύτητα (δηλαδή αυτό που μας δείχνει το κοντέρ) φανερώνει το πόσο γρήγορα καλύπτουμε την απόσταση τη δεδομένη στιγμή. Πρόκειται πάλι για διαίρεση της απόστασης με το χρόνο, αλλά ο χρόνος αυτός πλέον δεν είναι ο συνολικός αλλά ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα που μετριέται τη στιγμή που θέλουμε να υπολογίσουμε τη στιγμιαία ταχύτητα. Όσο πιο μικρό είναι το χρονικό διάστημα που μετράμε, τόσο πιο κοντά βρισκόμαστε στην πραγματική τιμή της στιγμιαίας ταχύτητας. Στη φυσική λέμε ότι το χρονικό διάστημα πρέπει να τείνει στο μηδέν, δηλαδή να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της μετακίνησής μας προς το κέντρο, εάν, αντί για το συνολικό χρόνο, χρησιμοποιούσαμε μόνο το χρόνο εκείνο που τρέχαμε στη λεωφόρο Συγγρού, θα είχαμε μια καλύτερη προσέγγιση της στιγμιαίας μας ταχύτητας σε αυτό το διάστημα. Η μέση ταχύτητα, όπως υπονοείται άλλωστε, είναι ουσιαστικά ένας μέσος όρος στιγμιαίων ταχυτήτων. Περνώντας στον κόσμο των σπορ, όταν ο Usain Bolt κατέρριψε το παγκόσμιο ρεκόρ στα 100 μέτρα στο Βερολίνο το 2009, ο χρόνος του ήταν 9,58 δευτερόλεπτα. Πόσο γρήγορα έτρεξε ο Bolt σε αυτόν τον αγώνα; Μια πρώτη προσέγγιση είναι να υπολογίσουμε τη μέση του ταχύτητα. Αφαιρώντας το χρόνο εκκίνησης, δηλαδή το χρόνο από τη στιγμή που ακούστηκε το σύνθημα του αφέτη μέχρι να ξεκινήσει ο αθλητής, που για εκείνον τον αγώνα του ήταν 0,146 δευτερόλεπτα, βρίσκουμε ότι για να διανύσει τα 100 μέτρα, έκανε καθαρό χρόνο 9,434s 2

ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΠΑΘΟΠΟΥΛΟΣ (δευτερόλεπτα). Έτσι, η μέση ταχύτητά του ήταν 100/9,434, δηλαδή σχεδόν 10,6m/s (μέτρα ανά δευτερόλεπτο) ή, σε μονάδες ταχύτητας αυτόκινήτου, 38,16χλμ/ώρα. Παίρνοντας λοιπόν ως μέτρο σύγκρισης τη μέση ταχύτητα, ο Bolt έτρεξε αρκετά πιο γρήγορα από το αυτοκίνητό μας, δηλαδή από τα 30χλμ/ώρα. Φυσικά, το αυτοκίνητο κάλυψε 7,5χλμ, ενώ ο Bolt μόνο 100 μέτρα. Ποια όμως ήτανε η μέγιστη στιγμιαία ταχύτητά του; Η καλύτερη προσέγγιση που μπορούμε να κάνουμε είναι από τους χρόνους κάλυψης για κάθε 10 μέτρα, τα λεγόμενα split times. Ο παρακάτω πίνακας με τα επίσημα στοιχεία της IAAF (Παγκόσμιας Ομοσπονδίας Στίβου) είναι διαφωτιστικός 1. Θέση (m) Χρόνος (s) Ταχύτητα Split (m/s) 10 1,89 5,73 20 2,88 10,10 30 3,78 11,11 40 4,64 11,63 50 5,47 12,05 60 6,29 12,20 70 7,10 12,35 80 7,92 12,20 90 8,75 12,05 100 9,58 12,05 Πίνακας 1.1: Split times του Usain Bolt όταν έκανε το παγκόσμιο ρεκόρ στα 100m Η τρίτη στήλη προκύπτει διαιρώντας τα 10 μέτρα του split με το χρόνο που χρειάζεται για να το διανύσει. Για παράδειγμα, στα τελευταία 10 μέτρα βρίσκουμε 10/(9,58 8,75) = 12,05m/s. Αφού τα χρονικά διαστήματα είναι πλέον πιο μικρά, οι ταχύτητες που βρίσκουμε προσεγγίζουν καλύτερα τη στιγμιαία ταχύτητα του αθλητή. Φυσικά, στην πραγματικότητα πρόκειται για τη μέση ταχύτητα σε κάθε split, είναι όμως αρκετά ενδεικτικές. Με 1 Βλ.http://berlin.iaaf.org/mm/document/development/research/05/31/54/20090817073528_httppostedfile _analysis100mmenfinal_bolt_13666.pdf 3

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΠΟΡ βάση αυτόν τον υπολογισμό, παρατηρούμε ότι η μέγιστη ταχύτητα είναι 12,35m/s, δηλαδή κάτι παραπάνω από 44,46χλμ/ώρα. Μπορεί να δυσκολευτεί με το αυτοκίνητό σας στη Συγγρού, αλλά σίγουρα το παπάκι σας το ανταγωνίζεται με αξιώσεις. Εάν μάλιστα ξεκινούσε με αυτήν την ταχύτητα την κούρσα και τη διατηρούσε σε όλη τη διάρκειά της, θα προέκυπτε χρόνος 100/12,35 = 8,1s! 2 Αυτό φυσικά δεν μπορεί να συμβεί διότι η ταχύτητά του δεν είναι σταθερή, αφού σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της κούρσας παίζει η έννοια της επιτάχυνσης. Η χαρακτηριστική αίσθηση που νιώθουμε στο στομάχι όταν τρέχουμε με μεγάλη ταχύτητα δεν οφείλεται στην ταχύτητα αυτή, όπως λανθασμένα ίσως να θεωρούμε. Στην πραγματικότητα, εκείνη που ανεβάζει την αδρεναλίνη είναι η επιτάχυνση, δηλαδή η μεταβολή της ταχύτητας με το χρόνο. Αυτό μπορώ εύκολα να σας το αποδείξω ως εξής. Κατά τη διάρκεια της απογείωσης ενός τυπικού αεροσκάφους αερογραμμών, εκείνο ξεκινάει από μηδενική ταχύτητα και φτάνει περίπου τα 250χλμ/ώρα (δηλαδή περίπου 70m/s) μέχρι να σηκωθεί από το έδαφος. Εάν κοιτάξετε το ρολόι σας (το έχω κάνει αρκετές φορές), θα βρείτε ότι ο χρόνος που διανύεται είναι περίπου 30 δευτερόλεπτα. Η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά 70m/s σε 30s, οπότε το αεροσκάφος κινείται με μια μέση επιτάχυνση 70/30 = 2,33m/s 2. Για τα δεδομένα ενός πιλότου μαχητικού αεροσκάφους αυτή είναι πολύ μικρή τιμή, αφού κατά τη διάρκεια διάφορων ελιγμών δέχεται επιταχύνσεις πολλές φορές μεγαλύτερες. Παρά ταύτα, η αίσθηση που έχουμε είναι στα αλήθεια εντυπωσιακή. Προτού συνεχίσουμε, αξίζει να αναφερθούμε λίγο στις μονάδες της επιτάχυνσης οι οποίες δόθηκαν ως m/s 2. Οι μονάδες αυτές ορίζονται ως ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο. Μια ποσότητα είναι στο τετράγωνο όταν πολλαπλασιαστεί επί τον εαυτό της, δηλαδή 1s 2 = 1s*1s. Εάν πρόκειται για αριθμό, τότε απλά τον πολλαπλασιάζουμε επί τον εαυτό του. Έτσι 8 2 μας κάνει 64. 2 Χωρίς να υπολογίζουμε το χρόνο εκκίνησης. 4

ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΠΑΘΟΠΟΥΛΟΣ Τι συμβαίνει όμως στη συνέχεια της πτήσης σας; Εάν έχετε την τύχη να πετάτε με αεροσκάφος που διαθέτει οθόνες, θα παρατηρήσετε ότι εκείνες σας πληροφορούνε με στοιχεία της πτήσης, πολλές φορές πιο ενδιαφέροντα από τις ταινίες που δείχνουν. Θα διαπιστώσετε ότι αφού φτάσει στο προκαθορισμένο ύψος, το αεροσκάφος πιάνει μια σταθερή ταχύτητα περίπου 800χλμ/ώρα, δηλαδή πάνω από τρεις φορές μεγαλύτερη από εκείνη που είχε όταν σηκώθηκε από το έδαφος. Είναι η αίσθηση που έχετε τρεις φορές πιο έντονη; Μάλλον όχι, αφού κοντεύει να σας πάρει ο ύπνος, διότι (πέρα από ελαφρές αναταράξεις) δεν νιώθετε τίποτα. Επειδή η ταχύτητα δεν μεταβάλλεται, όσο μεγάλη και να είναι, η επιτάχυνση είναι μηδενική και το μέσο διέγερσης της αδρεναλίνης παραμένει ανενεργό. Ολοκληρώνοντας τις σκέψεις για την ταχύτητα και την επιτάχυνση, φανταστείτε ότι βρίσκεστε σε ένα τρένο, στην αποβάθρα ενός σταθμού, με άλλα τρένα παρκαρισμένα δίπλα το δικό σας. Κάποια στιγμή κοιτάτε από το παράθυρο και είστε σίγουροι ότι το τρένο σας μετακινείται. Ύστερα από μερικά δευτερόλεπτα αντιλαμβάνεστε ότι τελικά βρίσκεστε ακόμα ακίνητοι στην αποβάθρα. Τι έχει συμβεί; Η ψευδαίσθηση που είχατε, ότι ξεκινήσατε το ταξίδι σας, οφείλεται σε αυτό που ονομάζουμε σχετική ταχύτητα. Για να κατανοήσουμε αυτήν την έννοια, θεωρήστε ότι καθώς τρέχετε στη Συγγρού με 70χλμ/ώρα, στο αντίθετο ρεύμα κατεβαίνει ένα περιπολικό που πηγαίνει αργά στη δεξιά λωρίδα με 30χλμ/ώρα (βλ. σχήμα 1.1). Κάποια στιγμή σας κάνει σήμα να σταματήσετε και σας ενημερώνει ότι, σύμφωνα με το ραντάρ του, τρέχατε με 100χλμ/ώρα. Εσείς επιμένετε ότι το κοντέρ έδειχνε 70χλμ/ώρα. Ποιος έχει δίκιο; Σχήμα 1.1: Σχετική ταχύτητα 5

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΠΟΡ Αυτό που συμβαίνει είναι ότι η σχετική ταχύτητα του αυτοκινήτου σας και του δρόμου είναι όντως 70χλμ/ώρα. Σε σχέση όμως με το περιπολικό, που κινείται αντίθετα με εσάς, κινείστε με 70+30 = 100χλμ/ώρα. Όταν δηλαδή δυο κινητά κινούνται αντίθετα το ένα με το άλλο, η σχετική τους ταχύτητα είναι το άθροισμα των δυο ταχυτήτων. Όταν η κίνηση έχει την ίδια φορά, τότε αφαιρούμε τις δυο ταχύτητες. Η μόνη σας ελπίδα είναι να γνωρίζει ο αστυνομικός από βασική φυσική, αλλιώς θα δυσκολευτείτε να τον πείσετε. Επιστρέφοντας στην αποβάθρα του τρένου, αυτό που συνέβη είναι ότι το τρένο δίπλα σας άρχισε εκείνο να κινείται, οπότε ενώ ως προς την αποβάθρα έχετε μείνει ακίνητοι, αποκτήσατε μια σχετική ταχύτητα με το διπλανό τρένο. Αυτό σας έδωσε και τη λανθασμένη αίσθηση ότι κινείστε εσείς και ότι το ταξίδι σας ξεκίνησε νωρίτερα του αναμενόμενου. Από το σχήμα 1.1 προκύπτει και κάτι άλλο σημαντικό. Πολλά φυσικά μεγέθη, πέρα από την τιμή που παίρνουν (στη φυσική το ονομάζουμε μέτρο), έχουν και κάποια κατεύθυνση. Τα φυσικά αυτά μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά και μπορούν να σχεδιαστούν γραφικά ως βέλη. Το μήκος του βέλους είναι ανάλογο της τιμής του μεγέθους (π.χ. το βέλος που δείχνει την ταχύτητα του περιπολικού έχει σχεδόν το μισό μέγεθος από το βέλος που δείχνει τη δική σας ταχύτητα). Η κατεύθυνση του βέλους δείχνει και την κατεύθυνση του φυσικού μεγέθους (π.χ. το περιπολικό κινείται με ταχύτητα προς τα αριστερά όπως το κοιτάμε κι εσείς με ταχύτητα προς τα δεξιά). Για να είμαστε πιο ακριβείς, στη φυσική ορίζουμε ως διεύθυνση ενός διανυσματικού μεγέθους την ευθεία πάνω στην οποία ασκείται και ως φορά το προς τα πού ασκείται πάνω στην ευθεία. Διανυσματικά μεγέθη είναι μεταξύ άλλων η ταχύτητα, η δύναμη και η ροπή (περισσότερα για τα δυο τελευταία σε παρακάτω κεφάλαια). Από την άλλη, μεγέθη όπως η μάζα χαρακτηρίζονται πλήρως μόνο από το μέτρο τους (π.χ. 80kg) και δεν είναι διανυσματικά αλλά μονόμετρα. Η κούρσα του αιώνα: Usain Bolt εναντίον αεροπλάνου Αφού λοιπόν προηγουμένως αναφερθήκαμε στις επιδόσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης ενός αεροσκάφους κατά την απογείωση, θα είχε ενδιαφέρον να τις συγκρίνουμε με αυτές του αθλητή μας. Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να δημιουργήσουμε δυο μαθηματικά μοντέλα, με άλλα λόγια κάποιες 6