1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο q. Το σωματίδιο q A είναι στην αρχή των αξόνων, ενώ το q Β είναι στο = 15 cm. Το τρίτο σωματίδιο πρέπει να τοποθετηθεί έτσι ώστε κάθε σωματίδιο να ισορροπεί υπό την επίδραση των ηλεκτρικών δυνάμεων που δέχεται από τα άλλα σωματίδια. (α) Είναι εφικτό αυτό; Αν ναι, μπορεί να γίνει με περισσότερους από έναν τρόπους; Εξηγήστε. Βρείτε, (β) τη θέση, (γ) το μέτρο και το πρόσημο του φορτίου του τρίτου σωματιδίου. (α) Τα δύο φορτία q A και q Β ασκούν ίσου μέτρου ελκτικές δυνάμεις το ένα στο άλλο. Εάν ένα τρίτο σημειακό φορτίο q, θετικό ή αρνητικό, τοποθετηθεί μεταξύ των άλλων δύο τότε δεν θα μπορεί να είναι σε ισορροπία γιατί θα δέχεται δυνάμεις από τα άλλα δύο προς την ίδια κατεύθυνση. Εάν το τρίτο σημειακό φορτίο q βρίσκεται σε σημείο > 15 cm (δεξιά του q Β ), τότε θα δέχονταν μεγαλύτερη δύναμη από το q Β σε σχέση με αυτή από το q A και άρα δεν θα μπορούσε να βρεθεί σε ισορροπία. Ενώ αν το τρίτο σημειακό φορτίο q βρεθεί σε σημείο = < 0 (αριστερά του q A ) είναι η μόνη περίπτωση που η ισορροπία με βάση τις τιμές των φορτίων και των αποστάσεων τους θα μπορούσε να επιτευχθεί. =0 =15cm - + q (β) Λόγω ισορροπίας του τρίτου φορτίου q θα ισχύει: FA FB kqaq kqbq 0. 15m 6 6 110 4510 0. 15m 0. 15m 45 1 0. 15m. 75 0. 16 m Επομένως το φορτίο q βρίσκεται στη θέση = 16 cm. (γ) Λόγω ισορροπίας του φορτίου q Α θα ισχύει: FA F kqaq kqq 0. 16m 0. 15m 6 q 4510 0. 16m 0. 15m q A q 51. q B
. Δύο πανομοιότυπες χάντρες έχουν μάζα m και φορτίο q η καθεμία. Μόλις τοποθετηθούν σε μια ημισφαιρική λεκάνη ακτίνας R με τοιχώματα μη αγώγιμα και χωρίς τριβή, οι χάντρες κινούνται και ισορροπούν σε απόσταση μεταξύ τους. (α) Προσδιορίστε το φορτίο q κάθε χάντρας. (β) Προσδιορίστε το φορτίο που απαιτείται έτσι ώστε το να γίνει ίσο με R. (α) Οι δυνάμεις που ασκούνται στις χάντρες απεικονίζονται στο σχήμα, στην περίπτωση της μιας από αυτές (αυτής που βρίσκεται αριστερά). Άρα, λόγω ισορροπίας θα ισχύει: F N sin 0 N 1 sin και F F N cos 0 F N cos (1) F cos F sin tan Όμως γνωρίζουμε ότι: q F k Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος προκύπτει ότι: tan Επομένως: 4 R 4R 4 q k q = 5 R k R 4 4 (β) Καθώς το R από την σχέση (5) προκύπτει ότι: q.
. Δύο οριζόντιες τετράγωνες μεταλλικές πλάκες, με πλευρά 10 cm, τοποθετούνται οριζόντια και παράλληλα η μια επάνω στην άλλη σε απόσταση 1 cm. Αποκτούν ετερόσημα φορτία ίσης απόλυτης τιμής, έτσι ώστε στο μεταξύ τους διάκενο να υπάρχει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο 10 N με κατεύθυνση προς τα κάτω. Σωματίδιο μάζας 10-16 Kg με θετικό φορτίο 110-6 εγκαταλείπει το κέντρο της αρνητικής κάτω πλάκας με αρχική ταχύτητα μέτρου 110 5 ms υπό γωνία 7 o με την οριζόντιο. α) Περιγράψτε την τροχιά του σωματιδίου. β) Σε ποια πλάκα θα προσκρούσει; γ) Που θα προσκρούσει, σε σχέση με το σημείο εκκίνησης; (α) Το θετικό φορτίο δέχεται την επίδραση μιας σταθερής ηλεκτρικής δύναμης F με φορά προς τα κάτω, λόγω του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου. Δηλαδή: F qe 10 ˆj N Επομένως θα αποκτήσει επιτάχυνση: F 1 a 110 ˆ j ms m Άρα, το σώμα θα εκτελέσει μια παραβολική κίνηση (πλάγια βολή). (β) Το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σωματίδιο (μετρημένο από την κάτω πλάκα) θα προκύψει από τη σχέση: i a i i a i 4 1 8110 i. m Αφού, i < 1 cm (απόσταση των δύο πλακών) το σωματίδιο δεν θα χτυπήσει στην πάνω (θετική) πλάκα και άρα θα επιστρέψει στην κάτω (αρνητική). (γ) Γνωρίζουμε ότι για την κίνηση του σωματιδίου στον άξονα ισχύει: 1 1 8 i t at 0 0 i sin7t at t 1. 10 s Για αυτό το χρονικό διάστημα το σωματίδιο έχει κινηθεί οριζοντίως, εκτελώντας ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στον άξονα, κατά: t 0 cos 7t 9. 6110 4 m i i Σημείωση: - Με δείκτη () συμβολίζουμε την τελική και με δείκτη (i) την αρχική τιμή των μεγεθών. - Δεν λαμβάνουμε υπόψην τη βαρυτική δύναμη καθώς τη θεωρούμε αμελητέα σε σχέση με την ηλεκτρική.
4. Φορτίο είναι κατανεμημένο κατά μήκος της ευθείας = 15 cm, μεταξύ των σημείων με συντεταγμένες = 0 και = 40 cm, με ομοιόμορφη πυκνότητα 5 nm. Προσδιορίστε το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί στην αρχή των αξόνων. Το ηλεκτρικό πεδίο στην αρχή των αξόνων που οφείλεται στο στοιχειώδες τμήμα είναι q k (1) και έχει διεύθυνση κατά την ευθεία που ενώνει το στοιχειώδες στοιχείο με την αρχή των αξόνων. Το φορτίο του στοιχειώδους τμήματος είναι q (). Οι συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου στους άξονες και είναι: E E sin (), όπου sin (4) και E E cos (5), όπου cos (6). Επομένως, από τις σχέσεις (1), (), () και (4) προκύπτει: 1 k k 1 0 0 1 1 k 1 610 1. N Ομοίως, από τις σχέσεις (1), (), (5) και (6) προκύπτει: 1 k k 1 0 0 k 1 9610 1. N Επομένως, το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου είναι: 1 6 1 96 10 N E ˆi E ˆj. ˆi. ˆj
5. Μια ομοιόμορφα φορτισμένη μονωτική ράβδος μήκους 14 cm κάμπτεται ώστε να αποκτήσει το σχήμα ενός ημικυκλίου. Η ράβδος έχει συνολικό φορτίο 7.5 μ. Βρείτε: α) το μέτρο και β) την κατεύθυνση της ηλεκτρικής δύναμης που ασκείται στο κέντρο Ο του κύκλου. Το ηλεκτρικό πεδίο στην αρχή των αξόνων που οφείλεται στο στοιχειώδες q τόξο s είναι k (1) και έχει r διεύθυνση κατά την ευθεία που ενώνει το στοιχειώδες τόξο με την αρχή των αξόνων. Το φορτίο του στοιχειώδους τόξου s είναι q s r (), όπου r η ακτίνα. Λόγω συμμετρίας E 0 και E E sin () Επομένως, από τις σχέσεις (1), () και () προκύπτει: k k k sin cos 0 r r r 0 (4) Όμως: q (5) και r r (6) (5) k q 7 4 1610 6. N Άρα: Λόγω του αρνητικού φορτίου το διάνυσμα του πεδίου έχει φορά προς τη ράβδο. E ˆi. 1610 7 ˆi N Δηλαδή: Θεωρώντας ένα θετικό φορτίο Q στη θέση Ο η δύναμη θα είναι συνάρτηση του F Q ˆi. 1610 7 Q ˆi N φορτίου Q. Άρα: Επομένως: (α) Το μέτρο της δύναμης θα είναι: 1610 7 N (β) κατεύθυνση προς τη ράβδο. F. Q και Σημείωση: Στην περίπτωση επιλογής αρνητικού φορτίου Q η κατεύθυνση της δύναμης θα είναι προς τον θετικό ημιάξονα (δεξιά) του.