papost/

Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος http://users.uoa.gr/ papost/ papost@phys.uoa.gr, papost@teiion.gr ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 018-019

Υπάρχουν φυσικά φαινόμενα κατά τα οποία η κίνηση ενός σώματος προκύπτει από τη σύνθεση (επαλληλία) δύο ανεξάρτητων ταλαντώσεων. Επομένως είναι χρήσιμο να μελετήσουμε την έννοια της επαλληλίας ταλαντώσεων σε μία διάσταση. Στο εδάφιο αυτό θεωρούμε ότι οι ταλαντώσεις έχουν διαφορετικό πλάτος και αρχική φάση αλλά ίδια συχνότητα (ισοδύναμα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής) x 1 = x 0,1 sin (ωt + φ 0,1 ) x = x 0, sin (ωt + φ 0, ) Η συνισταμένη (τελική) απομάκρυνση του ταλαντούμενου σώματος καθορίζεται από την διανυσματική άθροιση y = y 1 + y x = x 0,1 sin (ωt + φ 0,1 ) + x 0, sin (ωt + φ 0, )

Γ B y 1 y y=y + Ε φ 0, φ 0 y 1 Δ δ= φ0,-φ 0,1 φ 0,1 A Σχήμα 7.

Προκειμένου να βρούμε τη συνισταμένη ταλάντωση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε την πρώτη (διανυσματική) είτε τη δεύτερη (βαθμωτή) σχέση. Η δεύτερη μεθοδολογία είναι εξαιρετικά επίπονη και προς τούτο αξιοποιούμε την ισοδυναμία ταλαντώσεων με διανύσματα. B Γ y 1 y y=y + Ε φ 0, φ 0 y 1 Δ δ= φ0,-φ 0,1 φ 0,1 A Από τον κανόνα του παραλληλογράμμου το συνιστάμενο διάνυσμα φαίνεται στο Σχήμα 7. Η οξεία γωνία του ΑΒΓΔ είναι ίση με δ = φ 0, φ 0,1 και καλείται διαφορά φάσης των ταλαντώσεων.

Το μέτρο του διανύσματος y προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΓ και το Πυθαγόρειο θεώρημα AΓ = AE + EΓ y = (A + E) + EΓ y = y 1 + E + y 1 E + EΓ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕΓ έχουμε Γ = E + EΓ y = E + EΓ οπότε αντικαθιστώντας λαμβάνουμε y = y 1 + y + y 1 E B Γ y 1 y y=y + Ε φ 0, φ 0 y 1 Δ δ= φ0,-φ 0,1 φ 0,1 A

Το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕΓ μέσω της σχέσης cos δ = E Γ E = y cos δ. Τελικα το μέτρο της συνισταμένης ταλάντωσης θα είναι y = y 1 + y + y 1 y cos δ Η γωνία φ 0 που σχηματίζει το διάνυσμα y (που καθορίζει την αρχική φάση της συνισταμένης ταλάντωσης) δίνεται από τη σχέση tan φ 0 = y 1 sin φ 0,1 + y sin φ 0, y 1 cos φ 0,1 + y cos φ 0, B Γ y 1 y y=y + Ε φ 0, φ 0 y 1 Δ δ= φ0,-φ 0,1 φ 0,1 A

Άσκηση 5 Σώμα μάζας m = 1kg εκτελεί δυο Α.Α.Τ. ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις x 1 = ( ) ( ) 3 sin 10t π 3 και x = sin 10t + π 6 όπου x1, x μετρώνται σε cm. Υπολογίσατε: α) Την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης. β) Την ολική ενέργεια του σώματος. γ) Τη χρονική στιγμή t 1 καθώς και την ταχύτητα όταν x = 1cm Λύση α) Τα πλάτη των επιμέρους ταλαντώσεων είναι x 0,1 = 3 10 m και x 0, = 10 m. Συνεπώς από τη σχέση που μας δίνει το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης και λαμβάνοντας υπόψη ότι η διαφορά φάσης είναι δ = φ 0, φ 0,1 = π ( π ) = π 6 3 x 0 = x0,1+x 0,+x 0,1 x 0, cos δ = 3 10 4 +10 4 π +x 0,1 x 0, cos = 10 m Η αρχική φάση της συνισταμένης ταλάντωσης βρίσκεται από τον τύπο

tan φ 0 = x 0,1 sin φ 0,1 + x 0, sin φ 0, x 0,1 cos φ 0,1 + y cos φ 0, και αντικαθιστώντας παίρνουμε ( ) 3 sin π 3 + π sin 6 tan φ 0 = ( ) 3 cos π 3 + π cos 6 = 3 3 + 1 3 1 + 3 ) = 1 3 ( φ 0 = tan 1 1 = π 3 6 Συνεπώς η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης θα είναι x = sin ( 10t π 6 β) Η ολική ενέργεια του σωματιδίου βρίσκεται μέσω της σχέσης E = 1 mx 0 ω. Λόγω του ότι ω = 10rad/s έχουμε ). E = 1 mx 0 ω = 1 4 10 4 100 = 10 Joule

γ) Από την εξίσωση της ταλάντωσης παίρνουμε x = sin ( 10t 1 π ) ( sin 10t 1 π ) = 1 6 6 10t 1 π 6 = kπ + π 6 10t 1 π 6 = (k + 1) π π 6 Θυμίζοντας ότι ω = π T = 10rad/s το ζεύγος των λύσεων γίνεται π T t 1 = kπ + π 3 π T t 1 = (k + 1) π t ( 1 = k + 6) 1 T t 1 = k+1 T ( ) Επιπλέον από τη σχέση για την ταχύτητα u 1 = u 0 cos 10t 1 π 6 και αντικαθιστώντας τα δύο ζεύγη τιμών για τη γωνία φ = 10t 1 π 6 βρίσκουμε ( ) u 1 = 10 1 cos kπ + π 6 m/s = 3 10 1 m/s [ ] u 1 = 10 1 cos (k + 1) π π 6 m/s = 3 10 1 m/s u 1 = ± 3 10 1 m/s

Κάθετες Ταλαντώσεις ίσων συχνοτήτων και διαφορετικών πλατών Αφού προσδιορίσαμε την συνισταμένη ταλάντωση η οποία προκύπτει από την σύνθεση δύο Α.Α.Τ. ίσων συχνοτήτων είναι χρήσιμο να δούμε την τροχιά που διαγράφει ένα σώμα κάτω από την επίδραση των ταλαντώσεων αυτών. Προκειμένου να το επιτύχουμε αρκεί να απαλοίψουμε το χρόνο μεταξύ των x 1, x. Πράγματι αναλύοντας τα ημίτονα στις εξισώσεις της απομάκρυνσης λαμβάνουμε x1 x 1 = x 0,1 sin (ωt + φ 0,1 ) x = x 0, sin (ωt + φ 0, ) x 0,1 = sin ωt cos φ 0,1 + cos ωt sin φ 0,1 x x 0, = sin ωt cos φ 0, + cos ωt sin φ 0, Με βάση τις σχέσεις αυτές σχηματίζουμε την ποσότητα ( x1 sin φ 0, x ) ( x1 sin φ 0,1 + cos φ 0, x ) cos φ 0,1 x 0,1 x 0, x 0,1 x 0,

Καταλήγουμε στην εξίσωση x 1 x 0,1 + x x 0, x 1 x cos δ = sin δ (1) x 0,1 x 0, η οποία αντιπροσωπεύει την εξίσωση τροχιάς του σωματιδίου υπό την επίδραση των δύο ταλαντώσεων. Η γραφική παράσταση x = x (x 1 ) είναι μία κωνική τομή όπως φαίνεται και στο Σχήμα 8 (για διαφορετικές τιμές της διαφοράς φάσης δ) Σχήμα 8

Για διάφορες τιμές της διαφοράς φάσης καταλήγουμε και σε διαφορετικές μορφές της κωνικής τομής. Σχήμα 9 Οπως θα δούμε σε επόμενο Κεφάλαιο, για την περίπτωση δ = nπ όπου n N η έλλειψη εκφυλίζεται σε γραμμή και η ταλάντωση καλείται γραμμικά πολωμένη, ενώ για άλλες τιμές της διαφοράς φάσης λαμβάνουμε κυκλική ή ελλειπτική πόλωση.

Ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες Ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες Σε αυτήν την ενδιαφέρουσα περίπτωση (θεωρούμε για απλότητα ότι φ 0,1 = φ 0, ) η απομάκρυνση της συνισταμένης ταλάντωσης είναι της μορφής ω 1 + ω x = x 1 + x = x 0 sin ω 1 t + x 0 sin ω t = x 0 sin t cos ω ω 1 t όπως προκύπτει από τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα. Η συχνότητα ω Μέση = ω1+ω καλείται Μέση Συχνότητα Ταλάντωσης ενώ η ω Διαμ. = ω ω1 καλείται Συχνότητα Διαμόρφωσης. Η Γ.Π. της απομάκρυνσης του σώματος συναρτήσει του χρόνου φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

Ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες

Ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες Ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x = x 0 cos ω ω1 t sin ω1+ω t (Σχήμα 10) περιγράφει και την φυσική εικόνα του φαινομένου αυτού η οποία είναι ισοδύναμη με αυτήν που προκύπτει από μία ταλάντωση της οποίας το πλάτος αυξομειώνεται μεταξύ a και a. Η αυξομείωση όμως του πλάτους δεν είναι τυχαία αλλά έχει διαμορφωθεί με βάση τον παράγοντα του συνημιτόνου και με πολύ χαμηλότερη συχνότητα ίση με ω Διαμ.. Σχήμα 10

Ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες Ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες Αυτό φαίνεται καθαρά στη γραφική παράσταση όπου η περιβάλλουσα cos ω ω1 t διαμορφώνει το πλάτος της ταλάντωσης έτσι ώστε x ω ω 1 0 = x 0 cos t Η συνισταμένη ταλάντωση είναι της μορφής x = x ω 1 + ω 0 sin t Στην περίπτωση κατά την οποία ω 1 ω τότε η διαφορά ω ω 1 είναι πολύ μικρή και το φαινόμενο καλείται Διακρότημα το οποίο χαρακτηρίζεται από πολύ αργή αυξομείωση του πλάτους. Το φαινόμενο αυτό είναι σύνηθες και αποτελεί τον τρόπο με τον οποίο μεταδίδονται οι κυματοομάδες! Ουσιαστικά η ταλάντωση x μεταφέρει ένα πακέτο (ενέργειας) κατάλληλα διαμορφωμένο από την κλειστή περιβάλλουσα!