Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:"

Ερμόλαος Αλεξάνδρου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t = t (S.I.) x ( t) = 0.1 ηµ 99 t+ 6 (S.I.) Να υολογιστούν: Α. Η εξίσωση ου εριγράφει το είδος της κίνησης του σώματος. Β. Ο αριθμός των διελεύσεων του σώματος αό τη θέση ισορροίας του σε χρονικό διάστημα Δt=1sec. Γ. Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 0 =0. 1

2 Λύση Α. Εειδή έχουμε τρεις ταλαντώσεις ου εκτελεί ταυτόχρονα το σώμα μας, θα εργαστούμε με ζεύγη. Συνθέτουμε ρώτα τις δύο ταλαντώσεις (x 1, x ) με την ίδια συχνότητα (ω=ω 1 =ω =99rad/s) χρησιμοοιώντας τις σχέσεις της ρώτης ερίτωσης σύνθεσης ταλαντώσεων. Στην άσκησή μας αρουσιάζουν και οι δύο Α.Α.Τ. αρχική φάση: ( ) ηµ ( ω ) x t = A t+, 1 1 0,1 ( ) = ηµ ( ω + ) x t A t 0, Συγκρίνοντας τις αραάνω εξισώσεις με τις αντίστοιχες εξισώσεις της εκφώνησης: Έχουμε ότι: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.), x ( t) = 0.1 ηµ 99 t+ 6 (S.I.) Α 1 =0.1m, A = 0.1 m ω=ω 1 =ω =99 rad/s 0,1 = rad 0, = 6 rad Άρα, εειδή φ 0,1 < φ 0, ροηγείται φασικά η x (ή αντίστοιχα καθυστερεί η x 1 ), οότε: = = rad 0, καϑ. 0,1 = = 6 rad 0, ρο. 0, Η εξίσωση της σύνθεσης των x 1, x θα είναι είσης Α.Α.Τ με εξίσωση: Όου: ( ) ( ) ( ) x1, t = A1, ηµ ωt+ 0, καϑ. + ϑ (1) Α 1,., το λάτος ταλάντωσης ου θα ροκύψει αό τη σύνθεση των x 1, x ω, η κοινή γωνιακή συχνότητα (ω=ω 1 =ω ) των δύο Α.Α.Τ. t, η χρονική στιγμή φ 0,καθ. η γωνία της καθυστερούμενης Α.Α.Τ. θ, η γωνία ου σχηματίζει η σύνθεση των δύο με την καθυστερούμενη Α.Α.Τ

3 Χρησιμοοιώντας τις σχέσεις της σύνθεσης ταλαντώσεων με ίδια συχνότητα, υολογίζουμε το λάτος Α 1, και τη γωνία θ: A = A + A + A A συν () 1, 1 1 όου φ, η διαφορά φάσης των x 1, x : = 0,. 0,. rad ρο καϑ = Αντικαθιστώντας στη σχέση () έχουμε ότι: Α 1, =0.m Υολογίζουμε κατόιν, τη γωνία θ ου θα σχηματίζει η σύνθεση των x 1, x με την καθυστερούμενη Α.Α.Τ.: A ηµ = = = rad A + A συν ρο. εφϑ εφϑ ϑ Αντικαθιστώντας στη σχέση (1): καϑ. ρο. ( ) ( ) ( καϑ ) 1, 1, 0,. A1, = 0. m, 0, καϑ. = rad 99 rad ω=, ϑ= rad sec x t = A ηµ ωt+ + ϑ x1, ( t) = 0. ηµ 99 t + ( ) ηµ ( ) x1, t = t () Στο διανυσματικό διάγραμμα ου ακολουθεί, φαίνεται ότι η σύνθεση των x 1, x βρίσκεται άνω στον άξονα των φάσεων:

4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην ερίτωση ου έχουν και οι δύο ειμέρους ταλαντώσεις αρχική φάση, η γωνία θ ου υολογίζουμε έχει ως αναφορά την καθυστερούμενη ταλάντωση και όχι τον άξονα των φάσεων, οότε η αρχική φάση της σύνθεσης (φ 0 ) θα υολογιστεί αν στη γωνία θ ου βρίσκουμε, αθροίσουμε και την αρχική φάση της καθυστερούμενης: οότε, στην ερίτωσή μας: = + ϑ 0 0, καϑ. = + = + = 0 0, καϑ. = rad 0 0, καϑ. ϑ 0 ϑ= rad γι' αυτό το λόγο, τελικά η σύνθεση των x 1, x βρίσκεται άνω στον άξονα των φάσεων Στη συνέχεια, θα εργαστούμε με το ζεύγος ταλαντώσεων x 1, και x : x 1, (t)=0. ημ(99t) (S.I.) x (t)=0. ημ(101t) (S.I.) Εφόσον οι δύο ταλαντώσεις έχουν ίδιο λάτος και διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης, είμαστε στη δεύτερη ερίτωση σύνθεσης ταλαντώσεων (και ιο ειδικά, εφόσον ω 1 ω έχουμε διακρότημα), με στοιχεία: A=Α 1, =Α =0.m ω 1, =99 rad/s ω =101 rad/s Εφαρμόζουμε τη σχέση του διακροτήματος και έχουμε: ( ) ω ω ω + ω = 1, 1, x t A συν t ηµ t ( ) 0.4 συν ( ) ηµ ( 100 ) x t = t t (S.I.) 4

5 Η τελευταία σχέση είναι και η τελική εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση του σώματος (διακρότημα), την οοία ανααριστά το ακόλουθο διάγραμμα: Β. Η κίνηση του σώματος είναι διακρότημα, με συχνότητες: f f ω Hz = 1, = = 1, ω Hz = = = Υολογίζουμε την ερίοδο του διακροτήματος: T δ 1 = Tδ = 1sec f f 1 Παρατηρούμε ότι το χρονικό διάστημα ου μας έδωσε η εκφώνηση, ισούται με την ερίοδο του διακροτήματος. Εομένως αρκεί να βρούμε όσες φορές εαναλαμβάνεται η εριοδική κίνηση του σώματος σε μία ερίοδο διακροτήματος. Γι αυτό το λόγο υολογίζουμε την ερίοδο της κίνησης του σώματος: ω1+ ω ω= = 100rad T = s T = 0.0sec ω Όως αρατηρούμε και αό το αρακάτω διάγραμμα, για να βρούμε τον αριθμό των ταλαντώσεων σε μία ερίοδο διακροτήματος, αρκεί να βρούμε όσες φορές εαναλαμβάνεται η T σε χρόνο T δ : 5

6 N T 1 = = N = 50 T 0.0 δ ταλ. ταλ. Εομένως, αό τη θέση ισορροίας θα έχει διλάσιες διελεύσεις αό τον αριθμό των ταλαντώσεων (αφού σε κάθε μία ταλάντωση διέρχεται δύο φορές αό τη Θ.Ι.): Ν διελ. = Ν ταλ. = 50=100 Γ. Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 0 =0 μορεί να υολογιστεί και με την αρχή της εαλληλίας: υ = υ1+ υ + υ (4) Υολογίζουμε τις ταχύτητες τη χρονική στιγμή t 0 =0: t0 = υ1( t) = συν 99 t υ1 9.9 συν m = = (S.I.) s t0 = 0 ( t) ( t) ( ) υ = συν 101 υ = 0. συν 0 = 0. m s t0 = υ( t) = συν 99 t υ1 9.9 συν m + = = 6 6 s Αντικαθιστούμε στην (4) και έχουμε: υ=40 m/s ειμέλεια: Λοΐζος Σέργης Μιχάλης Γλύτης 6

Σχετικά έγγραφα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.