Κεφάλαια (από το βιβλίο Serway-Jewett) και αναρτημένες παρουσιάσεις

Ύλη μαθήματος «Σύγχρονη Φυσική» Κεφάλαια (από το βιβλίο Serway-Jewett) και αναρτημένες παρουσιάσεις Σ2-Σελίδες: 673-705, (όλο το κεφάλαιο από το βιβλίο) και η παρουσίαση Σ2 που έχει αναρτηθεί στο e-class (προσεκτική μελέτη όλων) Ιδιαίτερη προσοχή: Στην ανάλυση της εικόνας 2.7, σελ.678, για τη μορφή της καμπύλης της συνάρτησης Planck. Σε όλο το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο (και με τις ακτίνες Χ) και ιδιαίτερα στην τάση αποκοπής και στα ερωτήματα που συζητήθηκαν στο μάθημα. Επίσης στην εξάρτηση της πιθανότητας του φφ από τον ατομικό αριθμό και την ενέργεια του φωτονίου. Στο μήκος κύματος De Broglie, στο κβαντικό σωματίδιο και στην αρχή της αβεβαιότητας... Σ3-Σελίδες: 715-740 και οι αντίστοιχες διαφάνειες από την παρουσίαση Σ3 στο e-class (προσεκτική μελέτη) Να δοθεί προσοχή στο πως οι οριακές συνθήκες καθορίζουν τη μορφή των κυματοσυναρτήσεων και τις διάφορες ιδιοτιμές. Στον απλό αρμονικό ταλαντωτή. Στο φαινόμενο σήραγγας Σ4-Σελίδες: 752-753, 762-776 (μέσον), 781-790 (απλή ανάγνωση) +οι αντίστοιχες διαφάνειες από την παρουσίαση Σ4 στο e-class Να γίνει αντιληπτή η έννοια του φάσματος, της φασματοσκοπίας εκπομπής και της φασματοσκοπίας απορρόφησης. Ιδιαίτερη προσοχή να δοθεί: στη φυσική ερμηνεία των κβαντικών αριθμών, στην κβάντωση χώρου, στροφορμή λόγω σπιν, κβαντικό αριθμό του σπιν, μαγνητική ροπή. Σ5-Σελίδες: 803-816, 820-830 (απλή ανάγνωση) +οι αντίστοιχες διαφάνειες από την παρουσίαση Σ5 στο e-class Προσοχή στη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας συστήματος δύο ατόμων. Επίσης στην περιστροφική κίνηση και την ταλάντωση των μορίων και στα φάσματα των μορίων. Γενικά να μελετηθεί προσεκτικά ότι έχει σχέση με φάσμα. Ιδιαίτερη σημασία να δοθεί σε ότι έχει σχέση με τη συνάρτηση κατανομής Fermi-Dirac. Σημαντική επίσης είναι η θεωρία των ζωνών των στερεών. Να αναγνωσθεί προσεκτικά ότι έχει σχέση με ημιαγωγούς, που αποτελούν τη βάση της Ηλεκτρονικής Διευκρίνιση: Τα θέματα θα είναι απλές ερωτήσεις ή ερωτήσεις κρίσεως, συγκρίσεων κλπ. Για το τρέχον ακαδημαϊκό εξάμηνο δεν θα υπάρξουν ασκήσεις. =======================

Η προαναφερθείσα ύλη αποτελεί τυπική ύλη του μαθήματος. Κάποια τμήματα αυτής της ύλης, πιθανότατα, δεν θα έχουν διδαχθεί μέχρι το τέλος της διδακτικής περιόδου. Είναι όμως απαραίτητο να ενταχθούν στην εξεταστέα ύλη για να θεωρηθεί ότι, κατά κάποιο τρόπο, ολοκληρώθηκε το μάθημα. Τα θέματα που πιθανόν να υπάρξουν από αυτό το μέρος της ύλης θα είναι πολύ απλά. Άλλωστε σε πανεπιστημιακό επίπεδο οι φοιτητές θα πρέπει βαθμιαία να αποκτούν την ικανότητα να μαθαίνουν χωρίς την παρέμβαση διδάσκοντος, έτσι ώστε στο τέλος των σπουδών τους να είναι επιστημονικά και πνευματικά αυτόνομοι. /// Θα υπάρξει και νεότερη διευκρινιστική ανακοίνωση. ============================== Συνοπτική επισκόπηση σημαντικών θεμάτων Φάσματα και φασματοσκοπία ή φασματομετρία Το φάσμα (εκπομπής ή απορρόφησης) αποτελεί ένα είδος ταυτότητας μιας ουσίας (π.χ. ενός χημικού στοιχείου, χημικής ένωσης, μίγματος ενώσεων κλπ). Κάθε ουσία έχει το αποκλειστικά δικό της φάσμα (εκπομπής ή απορρόφησης) και αν αυτό προσδιορισθεί τότε αναγνωρίζεται και η ουσία (αν αρχικά είναι άγνωστη).. Ένα γραμμικό φάσμα είναι ένα διάγραμμα που περιέχει κατακόρυφες γραμμές οι οποίες αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες τιμές ενέργειας (στον οριζόντιο άξονα του διαγράμματος). Οι τιμές αυτές της ενέργειας αντιστοιχούν στη διαφορά ενέργειας μεταξύ δύο ενεργειακών καταστάσεων (στιβάδες, στάθμες κλπ).π.χ. Αν οι τιμές ενέργειας δύο καταστάσεων είναι οι Ε 1 και Ε 2, όπου Ε 1 είναι χαμηλή στάθμη και Ε 2 υψηλή στάθμη, και ΔΕ η διαφορά τους: Η ΔΕ είναι μια τιμή που αντιστοιχεί σε μια γραμμή του φάσματος. [Θα πρέπει να διευκρινισθεί ότι σε μερικές περιπτώσεις τα φάσματα παρουσιάζονται έτσι ώστε ο οριζόντιος άξονας να είναι βαθμονομημένος σε τιμές συχνότητας ή σε μήκος κύματος (αντί για τιμές ενέργειας)]. Στο σχήμα φαίνονται γραμμικά φάσματα με τις κατακόρυφες γραμμές τους Η ΔΕ μπορεί να είναι ενέργεια που απορροφάται όταν ένα ηλεκτρόνιο μεταβαίνει από χαμηλή στάθμη σε υψηλή στάθμη (φάσμα απορρόφησης) ή η ενέργεια που εκπέμπεται όταν ένα ηλεκτρόνιο μεταβαίνει από υψηλή στάθμη σε χαμηλή στάθμη.

Επίσης η ΔΕ είναι η ενέργεια του φωτονίου που απορροφάται (όταν το ηλεκτρόνιο μεταβαίνει από χαμηλή σε υψηλή στάθμη) ή η ενέργεια του φωτονίου που εκπέμπεται (όταν το ηλεκτρόνιο μεταβαίνει από υψηλή σε χαμηλή στάθμη). Επειδή οι τιμές Ε 1 και Ε 2 είναι χαρακτηριστικές για κάθε άτομο (δηλαδή πολύ συγκεκριμένες και διαφορετικές για κάθε άτομο), τότε και οι τιμές της ΔΕ είναι συγκεκριμένες και πολύ χαρακτηριστικές για κάθε άτομο. Με άλλα λόγια κάθε άτομο έχει τις δικές του γραμμές που είναι διαφορετικές από όλα τα άλλα άτομα και τις άλλες ουσίες. Π.χ. για το Υδρογόνο οι τιμές, Ε 1, Ε 2, Ε 3 κλπ δίνονται από τη σχέση: Στην περίπτωση ενός ατόμου (διαφορετικού από το Υδρογόνο) με ατομικό αριθμό Ζ και με ένα μόνο ηλεκτρόνιο να περιφέρεται γύρω από τον πυρήνα του, οι τιμές Ε 1, Ε 2, Ε 3 παρέχονται από τη σχέση. Αυτό που παρατηρεί κανείς είναι ότι οι τιμές Ε 1, Ε 2 κλπ είναι διαφορετικές από αυτές του Υδρογόνου. Το ίδιο διαφορετικές θα είναι και οι τιμές των ΔΕ. Κατά συνέπεια οι γραμμές του φάσματος θα βρίσκονται σε διαφορετική θέση ως προς τον οριζόντιο άξονα. Κάθε άτομο έχει διαφορετικές τιμές Ε 1, Ε 2,Ε 3 Ε n, από όλα τα άλλα άτομα. Με τη φασματοσκοπία καθίσταται δυνατή η μέτρηση του φάσματος μιας άγνωστης ουσίας και συνεπώς καθίσταται δυνατός ο προσδιορισμός της θέσης των γραμμών. Αυτό δίνει τη δυνατότητα να προσδιορισθεί ποια ακριβώς είναι η ουσία. Δηλαδή οι φασματικές γραμμές αποτελούν πηγή πληροφορίας σχετικά με άγνωστες ουσίες και υλικά. Όσο περισσότερες είναι οι φασματικές γραμμές τόσο περισσότερη πληροφορία είναι διαθέσιμη για ένα άγνωστο άτομο, μια ουσία κλπ. Ένας τρόπος να αυξηθούν οι φασματικές γραμμές είναι η εισαγωγή μιας ουσίας μέσα σε μαγνητικό πεδίο Β. Σε αυτή την περίπτωση η δυναμική ενέργεια ενός φορτισμένου σωματιδίου που εκτελεί καμπυλόγραμμη κίνηση παρέχεται από τη σχέση:

Δηλαδή είναι η αρνητική τιμή του εσωτερικού γινομένου της μαγνητικής ροπής του σωματιδίου επί την μαγνητική επαγωγή Β του μαγνητικού πεδίου. Η ενέργεια αυτή προστίθεται στην ενέργεια Ε n που μπορεί να έχει το σωματίδιο (π.χ. το ηλεκτρόνιο ενός ατόμου) όταν βρίσκεται εκτός μαγνητικού πεδίου. Δηλαδή Ε n +(-U). Η μαγνητική ροπή ως το γινόμενο του ρεύματος που δημιουργεί ένα κυκλικά κινούμενο φορτίο επί το εμβαδόν που περικλείει η κυκλική τροχιά (μ=ια). Στην περίπτωση κυκλικά κινούμενου σωματιδίου αποδεικνύεται ότι είναι: Δηλαδή η μαγνητική ροπή μ είναι ανάλογη της στροφορμής L. Επειδή η στροφορμή L είναι κβαντισμένη, τότε και η μαγνητική ροπή είναι κβαντισμένη και συνεπώς και η μαγνητική δυναμική ενέργεια U είναι κβαντισμένη. Όπως μπορεί να αποδειχθεί (δεν υπάρχει απόδειξη στο βιβλίο) η μαγνητική δυναμική ενέργεια U είναι ανάλογη του μαγνητικού κβαντικού αριθμού. Συνεπώς το πλήθος των διαφορετικών τιμών που μπορεί να λάβει η U είναι ίσο με το πλήθος των τιμών του αριθμού. Το ότι η U είναι κβαντισμένη σημαίνει ότι δημιουργούνται πρόσθετες ενεργειακές στάθμες (για ένα άτομο, μόριο) και συνεπώς μπορεί να υπάρξουν και πρόσθετες φασματικές γραμμές που θα είναι χαρακτηριστικές για το συγκεκριμένο άτομο ή ουσία. Επομένως θα υπάρχει πρόσθετη πληροφορία που θα συμβάλει στη διερεύνηση άγνωστων ουσιών.

Στο παραπάνω σχήμα η μία ενεργειακή στάθμη (η (και η μία φασματική γραμμή, η ) ισχύουν όταν το μαγνητικό πεδίο είναι μηδέν (αριστερά). Η ενεργειακή στάθμη μετατρέπεται σε τρείς ενεργειακές στάθμες (όσες και οι τιμές του ), και σε τρεις φασματικές γραμμές, όταν το πεδίο γίνει διάφορο του μηδενός. (Φαινόμενο Zeeman) Μόρια Βασικό στοιχείο στο σχηματισμό μορίων είναι η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει δύο χαρακτηριστικά των μοριακών δυνάμεων: 1. Απωστική δύναμη σε πολύ μικρές αποστάσεις μεταξύ των ατόμων 2. Ελκτική δύναμη σε μεγάλες αποστάσεις μεταξύ των ατόμων Η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας έχει τη μορφή: Α αντιστοιχεί στην ελκτική δύναμη και Β στην απωστική. Σημαντικό χαρακτηριστικό είναι η έντονη εξάρτηση της δυναμικής ενέργειας από τη απόσταση r. Γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας είναι: Η μελέτη της δομής και των ιδιοτήτων των μορίων γίνεται μέσω της φασματοσκοπικής μέτρησης της ακτινοβολίας που απορροφούν ή εκπέμπουν

Η ενέργεια ενός μορίου υποδιαιρείται σε τέσσερεις κατηγορίες 1. Ηλεκτρονική ενέργεια (αλληλεπιδράσεις μεταξύ ηλεκτρονίων των μορίων και πυρήνων) 2. Ενέργεια μεταφορικής κίνησης (κινήσεις του μορίου στο χώρο) 3. Ενέργεια στροφικής κίνησης μορίου 4. Ενέργεια δονήσεων στο μόριο Οι περισσότερο σημαντικές πληροφορίες για τα μόρια συνάγονται από την ανάλυση των ενεργειακών καταστάσεων της περιστροφής και της δόνησης (των αντίστοιχων φασματικών γραμμών κυρίως στην περιοχή του υπερύθρου). Περιστροφή: Η στροφορμή L ενός περιστρεφόμενου μορίου είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδρανείας Ι επί τη συχνότητα ω (L=Iω) και έχει κβαντισμένες τιμές: L είναι η στροφορμή, J είναι ο κβαντικός αριθμός περιστροφής. Οι επιτρεπτές (κβαντισμένες) τιμές της κινητικής ενέργειας περιστροφής του μορίου είναι: Οι τιμές αυτές αντιστοιχούν σε ενεργειακές στάθμες μεταξύ των οποίων μπορεί να υπάρξει μετάβαση ενός φωτονίου (απορρόφηση ή εκπομπή), το οποίο μπορεί να καταγραφεί φασματοσκοπικά. Σε μια τέτοια μετάβαση η ενέργεια του φωτονίου (και η θέση της φασματικής γραμμής) θα είναι:

Στο σχήμα φαίνεται η περιστροφή ενός διατομικού μορίου και οι αντίστοιχες κβαντισμένες ενεργειακές καταστάσεις (που δεν ισαπέχουν) Δόνηση: Κβαντισμένη είναι επίσης και η ενέργεια δόνησης (ταλάντωσης), που είναι ίση με: v είναι ο κβαντικός αριθμός δόνησης. Η ενέργεια ενός φωτονίου που μεταβαίνει από μια ενεργειακή κατάσταση σε μια άλλη είναι: Αυτή η ενέργεια αντιστοιχεί και στις φασματικές γραμμές που καταγράφονται φασματοσκοπικά

Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι ενεργειακές στάθμες μορίου που συμπεριφέρεται ως αρμονικός ταλαντωτής. Οι αποστάσεις μεταξύ των γραμμών είναι ίσες Φάσματα μορίων Η συνολική ενέργεια ενός μορίου που εκτελεί περιστροφική και ταλαντωτική κίνηση θα μπορούσε να γραφεί: Η διαφορά ενέργειας μεταξύ δύο ενεργειακών καταστάσεων είναι: Αυτή η διαφορά ΔΕ προσδιορίζει και τη θέση αντίστοιχης φασματικής γραμμής στο γραμμικό φάσμα Οι τιμές της κβαντισμένης ενέργειας περιστροφής και δόνησης των μορίων είναι χαρακτηριστικές για κάθε μόριο. Το ίδιο και οι ενέργειες των αντίστοιχων φασματικών γραμμών. Επομένως η μέτρηση ενός μοριακού φάσματος βοηθάει στον προσδιορισμό και ταυτοποίηση άγνωστων μορίων, ουσιών κλπ.

Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται μεταβάσεις από κατώτερες σε ανώτερες ενεργειακές στάθμες και δεξιά οι αντίστοιχες φασματικές γραμμές. Οι συχνότητες της ακτινοβολίας που αντιστοιχεί σε περιστροφικές κινήσεις μορίων βρίσκονται στην περιοχή των μικροκυμάτων (10 11 Hz), ενώ οι συχνότητες για τις ταλαντώσεις στην περιοχή του υπερύθρου. Στις Βιοϊατρικές εφαρμογές, αλλά και σε άλλες επιστήμες, χρησιμοποιείται ο όρος φασματοσκοπία υπερύθρου.

Φάσμα απορρόφησης του HCl στο οποίο φαίνεται ότι οι φασματικές γραμμές δεν έχουν όλες την ίδια ένταση... Στερεά Τα κρυσταλλικά στερεά απαρτίζονται από ένα μεγάλο πλήθος ατόμων. Η δυναμική ενέργεια που συνδέεται με τη συγκρότηση του κρυστάλλου (που εκφράζει την έλξη ή άπωση των ιόντων ενός πρόσημου καθώς προσεγγίζουν ιόντα διαφορετικού πρόσημου), είναι: Ο πρώτος όρος είναι μια αρνητική συνάρτηση δυναμικής ενέργειας και εκφράζει κυρίως έλξη από ιόντα διαφορετικού προσήμου από το ιόν το οποίο θεωρείται ότι προσεγγίζει στον κρύσταλλο [για λεπτομέρειες βλ. βιβλίο σελ. 818]. Ο δεύτερος όρος εκφράζει ηλεκτροστατικές δυνάμεις, κυρίως σε πολύ μικρές αποστάσεις, αλλά και την απαγορευτική αρχή του Pauli η οποία αρχίζει να ισχύει καθώς πλησιάζουν τα ιόντα και οι κυματοσυναρτήσεις και τα τροχιακά αρχίζουν να επικαλύπτονται Σε ένα στερεό (μέταλλο) τα ηλεκτρόνια της εξωτερική στιβάδας κινούνται μεν ελεύθερα, αλλά συγχρόνως είναι εγκλωβισμένα σε κουτί (που σχηματίζουν οι επιφάνειες του μετάλλου). Επομένως η ενέργεια των ηλεκτρονίων θα είναι κβαντισμένη (Ενότητα Σ3.2 / Τα σωματίδια που βρίσκονται μέσα σε κουτί έχουν κβαντισμένες τιμές ενέργειας) Με βάση τις αρχές της Κβαντικής Στατιστικής και σε συνδυασμό με την απαγορευτική αρχή, αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα ένα ηλεκτρόνιο να έχει ενέργεια Ε, είναι:

Όπου η είναι η συνάρτηση κατανομής Fermi-Dirac και είναι η λεγόμενη ενέργεια Fermi Για, είναι για και για. Δηλαδή όλες οι ενεργειακές καταστάσεις με ενέργεια μικρότερη της ενέργειας Fermi είναι κατειλημμένες. Όταν λόγω θερμικής διέγερσης υπάρχουν μερικές καταστάσεις με ενέργεια μικρότερη της Fermi και επίσης ορισμένες με ενέργεια μεγαλύτερη. Θεωρία ζωνών στερεών Για ένα άτομο ή ένα οποιοδήποτε φυσικό σύστημα αυτό που έχει φυσική σημασία είναι η πυκνότητα πιθανότητας και όχι το πλάτος πιθανότητας. Για παράδειγμα για ένα μεμονωμένο άτομο και οι δύο παρακάτω κυματοσυναρτήσεις είναι αποδεκτές (και ισχύουν): Αυτό ισχύει επειδή και οι δύο δίνουν ίδια τιμή αν ανυψωθούν στο τετράγωνο και επομένως αντιστοιχούν στην ίδια πυκνότητα πιθανότητας. Αν όμως πρόκειται για σύστημα δύο ατόμων τότε τα πράγματα διαφέρουν. Όταν τα δύο άτομα αρχίσουν να πλησιάζουν, οι κυματοσυναρτήσεις τους αλληλεπικαλύπτονται και αθροίζονται, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα

Στη δεύτερη περίπτωση ( ) η άθροιση δίνει διαφορετικό αποτέλεσμα, ως προς την, από αυτό που δίνει στην πρώτη περίπτωση. Συνεπώς θα παρουσιάζονται δύο διαφορετικές ενεργειακές καταστάσεις, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι καμπύλες δυναμικής ενέργειας του συστήματος των δύο ατόμων ενώ εκκινούν ως μια καμπύλη (σε μεγάλες αποστάσεις r των δύο ατόμων) καταλήγουν να διαχωρίζονται σε δύο καμπύλες (σε μικρότερες αποστάσεις r), που αντιστοιχούν στα διαφορετικά αθροίσματα του προηγούμενου σχήματος. Στο σχήμα φαίνονται καμπύλες που αντιστοιχούν στα ηλεκτρόνια 1s και 2s των δύο ατόμων. Το κεντρικό σχήμα αντιστοιχεί στην περίπτωση που πλησιάζουν πέντε άτομα και το 3 ο σχήμα αντιστοιχεί στην περίπτωση μεγάλου αριθμού ατόμων που πλησιάζουν (για τη δημιουργία ενός στερεού υλικού). Σε αυτή την περίπτωση δημιουργείται η λεγόμενη ενεργειακή ζώνη