Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος Μητροσούδης Απόστολος ΑΜ 945 Παπαϊωάννου Ιωάννα ΑΜ 927 Παπλωματά Χρυσούλα ΑΜ 930 Τσάκου Ελένη ΑΜ 942 Χατζησάββα Ελένη ΑΜ 938
Οπτικοποίηση (Visualization) Μια μέθοδος για να δεις αυτό που δεν είναι ορατό. Περιλαμβάνει ταυτόχρονα: Τη διαδικασία δημιουργίας και μετασχηματισμού μιας νοητικής δομής Την ίδια την αναπαράσταση, τον νοητικό συμβολισμό ως προϊόν της διαδικασίας
Τι είναι η αναπαράσταση; μια εσωτερική αφαιρετική διαδικασία των μαθηματικών ιδεών ή των γνωστικών σχημάτων που δημιουργείται από τους ίδιους τους μαθητές εμπειρικά ένα εξωτερικό κατασκεύασμα χειρισμού των μαθηματικών εννοιών, μια διαδικασία εξωτερίκευσης των εσωτερικών, νοητικών, γνωστικών λειτουργιών (Pape & Tchoshanov, 2001)
Κατηγορίες Αναπαραστάσεων Εσωτερικές/νοητικές αναπαραστάσεις (σχήματα, έννοιες, αντιλήψεις και γνωστικά ή νοητικά μοντέλα αντικείμενα που δεν είναι άμεσα ορατά) Εξωτερικές/σημειωτικές αναπαραστάσεις (κείμενα, χειριστικά μοντέλα/αντικείμενα, στατικές εικόνες ή διαγράμματα, γλώσσες και γραπτά κείμενα) (Goldin & Kaput, 1996; Pape & Tchoshanov, 2001)
Κατηγορίες Αναπαραστάσεων Οι εξωτερικές αναπαραστάσεις ταξινομούνται σε τέσσερις κατηγορίες (Elia & Phillipou, 2004) Διακοσμητικές οι εικόνες δε δίνουν καμία πραγματική πληροφορία σχετική με τη λύση του προβλήματος Πληροφοριακές απαραίτητες για την επίλυση του προβλήματος Αναπαραστατικές αντιπροσωπεύουν το σύνολο ή μέρος του περιεχομένου του προβλήματος με υποστηρικτικό ρόλο Οργανωτικές παρέχουν οδηγίες για σχεδίαση ή γραπτή εργασία και υποστηρίζουν τη διαδικασία λύσης
Αναπαραστάσεις και επίλυση προβλήματος Η χρήση αναπαραστάσεων μπορεί να διαδραματίσει κεντρικό ρόλο στην επίλυση ενός προβλήματος, πέρα από την αναλυτική. Η λύση ενός προβλήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί είτε μέσω οπτικών αναπαραστάσεων είτε μέσω αναλυτικών διαδικασιών σκέψης είτε με τον συνδυασμό τους. Η απεικόνιση όχι μόνον οργανώνει δεδομένα σε σημαντικές δομές, αλλά αποτελεί σημαντικό παράγοντα που καθοδηγεί την αναλυτική ανάπτυξη μιας λύσης. Η οπτικοποίηση μπορεί να είναι η ίδια η αναλυτική διαδικασία η οποία καταλήγει με μια λύση που είναι γενική και τυπική. (Arcavi, 2003)
Αναπαραστάσεις σε διαφορετικά πλαίσια Τι βλέπετε στην παρακάτω εικόνα και τι συμπεράσματα προκύπτουν; Τι βλέπετε στην παρακάτω εικόνα και τι συμπεράσματα προκύπτουν; εικόνα 1 εικόνα 2
Από μόνη της η αναπαράσταση δίνει τη λύση
Σε έρευνα τους που αφορούσε τη χρήση αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλημάτων, οι Elia & Phillppou (2004) διαπίστωσαν ότι: Οι μαθητές αλληλεπιδρούν με τις αναπαραστάσεις α) είτε με παρατήρηση β) είτε με ενεργητική επεξεργασία Η παρατήρηση εντοπίστηκε στη διακοσμητική εικόνα ενώ Η ενεργητική επεξεργασία εντοπίστηκε κυρίως στην αναπαραστατική εικόνα Με την πληροφορική και την οργανωτική εικόνα για άλλους μαθητές ήταν ενεργητική και για άλλους παρατηρητική
Οι Booth & Thomas (2000) διερεύνησαν τον τρόπο με τον οποίο η χωρική σκέψη επιδρά στην επίλυση αριθμητικών προβλημάτων τα οποία παρουσιάστηκαν με τρεις τρόπους: λεκτικά, λεκτικά με εικόνα, λεκτικά με διάγραμμα Λεκτικά: Ένας άντρας φύτεψε από ένα δέντρο στις δυο άκρες ενός ευθύγραμμου μονοπατιού. Στη συνέχεια, φύτεψε ένα δέντρο κάθε1 μέτρο του μονοπατιού. Το μονοπάτι έχει μήκος 5 μέτρα. Πόσα δέντρα φύτεψε συνολικά στο μονοπάτι; Με εικόνα: Το μήκος του μονοπατιού είναι τώρα 7 μέτρα. Φύτεψε ένα δέντρο σε κάθε άκρη του μονοπατιού και ένα δέντρο κάθε 1 μέτρο. Πόσα δέντρα φύτεψε αυτή τη φορά; Με διάγραμμα: Το μήκος του μονοπατιού είναι τώρα 10 μέτρα. Φύτεψε ένα δέντρο σε κάθε άκρη του μονοπατιού και ένα δέντρο κάθε 2 μέτρα. Πόσα δέντρα φύτεψε αυτή τη φορά;
Οι Booth & Thomas (2000) συμπέραναν ότι: α) Υπάρχει μια διαφορά ανάμεσα στην επεξεργασία εικόνων και στην επεξεργασία διαγραμμάτων β) Οι μαθητές με δυσκολίες και λιγότερο ανεπτυγμένη χωρική σκέψη δυσκολεύονται να ερμηνεύσουν διαγράμματα, καθώς δε συνδέονται με την καθημερινή ζωή, σε αντίθεση με τις εικόνες. γ) Οι μαθητές θα πρέπει να εξασκούνται στην ικανότητα να «μεταφράζουν» ένα αριθμητικό πρόβλημα σε μια αναπαράσταση, καθώς και να βρίσκουν τη σχέση ανάμεσα σε ένα διάγραμμα ή μια εικόνα κι ένα αριθμητικό πρόβλημα.
Βλέπουμε όλοι με τον ίδιο τρόπο; Πρόβλημα: Πόσα σπίρτα θα χρειαστούν για να φτιάξεις το ακόλουθο n x n τετράγωνο;
Λύσεις που δόθηκαν από εκπαιδευτικούς Α. Β. Γ. Δ. Ε.
Αναπαραστάσεις και διδασκαλία ΘΕΤΙΚΑ Είναι ισχυρά εργαλεία κατανόησης, μάθησης, επικοινωνίας και διδασκαλίας (Pape & Tchoshanov, 2001). Λειτουργούν ως ερεθίσματα για τις αισθήσεις και τη μνήμη των παιδιών (Gagatsis & Elia, 2004). Δημιουργούν συγκρούσεις μεταξύ λανθασμένης και σωστής απάντησης (Elia & Philippou, 2014).
Αναπαραστάσεις και διδασκαλία ΑΡΝΗΤΙΚΑ Ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζονται τα στοιχεία μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές σε λανθασμένα συμπεράσματα (Elia & Phillipou, 2014). Οι πιο αφαιρετικές μορφές (π.χ. διαγράμματα) μπορεί να δυσχεραίνουν την επίλυση προβλήματος από μαθητές με δυσκολίες και χαμηλή οπτικοχωρική σκέψη (Booth & Thomas 2000). Οι μαθητές δίνουν έμφαση σε άσχετες πληροφορίες (Elia & Phillipou, 2014).
Συμπεράσματα Η αποτελεσματική επίλυση προβλημάτων εξαρτάται: α) Από τη σχέση μεταξύ της λειτουργίας της εικόνας και του προβλήματος β) Από τις χωρικές και οπτικές ικανότητες των μαθητών γ) Από τις προηγούμενες γνώσεις και την κουλτούρα των μαθητών
Βιβλιογραφία Arcavi, A. (2003). The Role of Visual Representations in the Learning οf Mathematics. Educational Studies in Mathematic, 52, 215 241. Booth, R. D.L., & Thomas, M.O.J. (2000). Visualization in Mathematics Learning: Arithmetic Problem-solving and Student Difficulties. Journal of Mathematical Behavior, 18 (2), 169-190. Elia, I. & Philippou, G. (2004). The functions of pictures in problem solving.. In Proceedings of the 28th International Conference of Psychology of Mathematics Education. Vol. 2, pp. 327-334. Bergen, Norway Gagatsis, A. & Elia, I. (2004). The Effects of Different Modes of Representation on Mathematical Problem Solving. In Proceedings of the 28th International Conference of Psychology of Mathematics Education. Vol. 2, pp. 447 454.. Bergen, Norway. Goldin, G. A., & Kaput, J. J. (1996). A joint perspective on the idea of representation in learning and doing mathematics. Theories of mathematical learning, 397-430. Pape, J. S. & Tchoshanov, A. M. (2001). The Role of Representation(s) in Developing Mathematical Understand. Theory Into Practice, 40(2), 118-127.