Έργο-Ενέργεια 1 4 Έργο-Ενέργεια 4.1 Έργο Δύναμης Το έργο W μίας σταερής δύναμης F που μετατοπίζει σώμα κατά είναι W = F συν Δυνάμεις κάετες στη μετατόπιση δέν παράγουν έργο αού συν9 =. Δυνάμεις με γωνία > 9 ως προς τη μετατόπιση παράγουν αρνητικό έργο αού τότε συν <. Το έργο της τριβής T είναι W T = T αού συν18 = 1. 1. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μετατοπίζεται κατά = και τα μέτρα των δυνάμεων είναι: T = 6 N και F = 15 N. N B (αʹ) Το έργο της δύναμης F είναι........ (βʹ) Το έργο της τριβής T είναι........ (γʹ) Το έργο του βάρους B είναι........ (δʹ) Το έργο της κάετης δύναμης στήριξης N είναι........ (εʹ) Το συνολικό έργο των δυνάμεων είναι........ (Ϛʹ) Η ενέργεια του σώματος σε αυτή τη μετατόπιση αυξάνεται ή μειώνεται; 2. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά = 2, τα μέτρα των δυνάμεων είναι: T = 5 N και F = N και η γωνία είναι = 6. y (αʹ) Το έργο της δύναμης F είναι........ (βʹ) Το έργο της τριβής T είναι........ (γʹ) Το συνολικό έργο των δυνάμεων είναι........ (δʹ) Η ενέργεια του σώματος σε αυτή τη μετατόπιση αυξάνεται κατά..........
2 2 o ΓΕΛ Ναυπάκτου 4.2 Έργο μεταβλητής δύναμης Όταν σε ένα σώμα ασκείται δύναμη που μεταβάλλεται με την έση, δηλαδή μεταβλητή δύναμη της μορής F = f(), τότε το έργο της υπολογίζεται με το εμβαδό στη γραική παράσταση F : 3. Σε σώμα που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη F που το μέτρο της δίνεται από το διάγραμμα F. 2 5 () (αʹ) Το έργο της F από έως 2 είναι:............... (βʹ) Το έργο της F από 2 έως 5 είναι:............... (γʹ) Το έργο της F από έως 5 είναι:............... 4. Σε σώμα που βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη F που το μέτρο της δίνεται από τον τύπο F = + 2 (S.I.). 2 5 () (αʹ) Να σχεδιάσετε τη γραική παράσταση της F ως προς. (βʹ) Το έργο της F από έως 5 είναι:............... 5. Όμοια με πριν άν η δύναμη F δίνεται από τον τύπο F = 2 (S.I.), διάγραμμα α, και αν F = 5 (S.I.), διάγραμμα β. Διάγραμμα (α) Διάγραμμα (β) 15 15 5 1 2 3 4 5 () 5 1 2 3 4 5 ()
4.2 Έργο μεταβλητής δύναμης 3 4.2.1 Ασκήσεις-προβλήματα 1. Σώμα μάζας βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και δέχεται συνισταμένη δύναμη Σ F για κάποιο χρονικό διάστημα, στο οποίο διένυσε απόσταση. Σ F Το έργο της δύναμης είναι: (αʹ) W = ΣF (βʹ) W = ΣF (γʹ) W = ΣF 2. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα επιβραδύνεται και διανύει συνολικά = 5 ενώ η μόνη δύναμη που δέχεται είναι η τριβή μέτρου T = 6 N. Το έργο της τριβής είναι v (αʹ) 3 J (βʹ) 11 J (γʹ) 3 J (δʹ) 6 J 3. Στο διπλανό σχήμα αίνονται τρεις συγγραμμικές δυνάμεις F 1, F2 και T, μέτρων Ν, 15 Ν και Ν, που ασκούνται στο σώμα. Το σώμα κινείται όπως αίνεται στο σχήμα. Για τα έργα των δυνάμεων σε μετατόπιση 4 ισχύει: (χαρακτηρίστε Σ ή Λ) v 1 2 (αʹ) W F1 = 4 J (βʹ) W F2 = 6 J (γʹ) W T = 4 J (δʹ) Η F 1 και η F 2 παράγουν έργο ενώ η T καταναλώνει έργο στο σώμα. (εʹ) Δεν μπορούμε να απαντήσουμε γιατί δεν ξέρουμε αν η ταχύτητα μεγαλώνει, μικραίνει ή μένει σταερή. 4. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μετατοπίζεται κατά = 2 και η δύναμη F έχει μέτρο Ν και σχηματίζει γωνία = 6. To έργο της για τη μετατόπιση αυτή είναι: (αʹ) W F = 4 J (βʹ) W F = J (γʹ) W T = 3 J 5. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μετατοπίζεται κατά = 2 και η δύναμη F έχει μέτρο Ν και σχηματίζει γωνία = 1. To έργο της για τη μετατόπιση αυτή είναι:
4 2 o ΓΕΛ Ναυπάκτου (αʹ) W F = J (βʹ) W F = 3 J (γʹ) W T = J 6. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μετατοπίζεται κατά = 4 και η δύναμη F έχει μέτρο Ν και σχηματίζει γωνία = 3 ως προς το κεκλιμένο επίπεδο γωνίας = 3. To έργο της για τη μετατόπιση αυτή είναι: (αʹ) W F = J (βʹ) W F = 3 J (γʹ) W T = 4 J 7. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μετατοπίζεται κατά = 4 και η οριζόντια δύναμη F έχει μέτρο Ν, ενώ το κεκλιμένο επίπεδο σχηματίζει γωνία = 3. To έργο της για τη μετατόπιση αυτή είναι: (αʹ) W F = J (βʹ) W F = 3 J (γʹ) W T = 4 J 8. Σώμα σε οριζόντιο επίπεδο δέχεται δύναμη F, που η εξάρτησή της από την έση αίνεται στο διάγραμμα (α), διάγραμμα (β) αντίστοιχα. Διάγραμμα (α) Διάγραμμα (β) 2 5 () 3 5 () A. Στο διάγραμμα (α) το έργο μέχρι να μηδενιστεί η δύναμη είναι: (αʹ) J (βʹ) 5J (γʹ) J B. Στο διάγραμμα (β) το έργο μέχρι να μηδενιστεί η δύναμη είναι: (αʹ) J (βʹ) 8J (γʹ) 6J 9. Ελατήριο σταεράς k = N/ που αρχικά είναι στο υσικό του μήκος, συμπιέζεται κατά = c. (αʹ) Να γίνει το διάγραμμα του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου, σε συνάρτηση με την συμπίεση. (βʹ) Να βρεεί το έργο της δύναμης που ασκήσαμε για αυτή την συμπίεση. (γʹ) Να βρεεί το έργο της δύναμης του ελατηρίου για αυτή τη συμπίεση.
4.3 Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας 5 4.3 Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας Το έργο W ΣF της συνισταμένης δύναμης Σ F ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας K. Αυτό γράεται: W ΣF = K ή K τελ K αρχ = W ολ H κινητική ενέργεια σώματος μάζας που κινείται με ταχύτητα v είναι K = 1 2 v2 1. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα έχει μάζα = 4 kg είναι ακίνητο και ξανικά δέχεται τη δύναμη F και την τριβή ολίσησης T και μετατοπίζεται κατά =. Αν τα μέτρα των δυνάμεων είναι T = N και F = 15 N υπολογίστε: N B (αʹ) Το έργο της δύναμης F είναι........ (βʹ) Το έργο της τριβής T είναι........ (γʹ) Το έργο του βάρους B είναι........ (δʹ) Το έργο της κάετης δύναμης στήριξης N είναι........ (εʹ) Το συνολικό έργο των δυνάμεων είναι........ (Ϛʹ) Η ταχύτητα v μετά από μετατόπιση α είναι:.................................. 2. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μάζας = 2 kg κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα v = /s κατά η τριβή είναι T = 5 N. Το σώμα σταματάει διανύοντας απόσταση. v v = (αʹ) Το έργο της τριβής T είναι.............. (βʹ) Εαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για την κίνηση του σώματος κατά και έχουμε: K τελ K αρχ = W ολ................................................................ (γʹ) H μετατόπιση μέχρι τον μηδενισμό της ταχύτητας είναι:......... 3. Σε ακίνητο σώμα που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη F που το μέτρο της δίνεται από το διάγραμμα F και τριβή ολίσησης T = N. Αν η μάζα είναι = 4 kg, υπολογίστε:
6 2 o ΓΕΛ Ναυπάκτου 2 5 () (αʹ) Το έργο της F από έως 5 είναι:.................................................. (βʹ) Το έργο της από έως 5 είναι:............... (γʹ) Εαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από έως 5: K τελ K αρχ = W ολ................................................................. (δʹ) Η τελική ταχύτητα του σώματος είναι:........ 4. Το σώμα του σχήματος έχει μάζα =2kg και κινείται στο λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα v = /s. Στην πορεία του συναντά το ελεύερο άκρο ελατηρίου σταεράς k = N/ και το συμπιέζει μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του. /s. k v (αʹ) Η κινητική ενέργεια του σώματος ακριβώς όταν ακουμπάει το ελατήριο είναι:..... (βʹ) To έργο της δύναμης του ελατηρίου για μετατόπιση είναι: F ελ k (γʹ) Εαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για την συμπίεση του ελατηρίου κατά : K τελ K αρχ = W ολ................................................................. (δʹ) Η μέχιστη συμπίεση του ελατηρίου είναι:........ /s.
4.3 Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας 7 4.3.1 Ασκήσεις-Προβλήματα 1. Σώμα έχει μάζα = 2 kg και είναι ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=,2. Το σώμα ξανικά δέχεται οριζόντια δύναμη F και αρχίζει να κινείται. Όταν έχει μετατοπιστεί κατά =, η ταχύτητά του είναι v = /s. Να υπολογίστε: N B (αʹ) Την τριβή Τ. (βʹ) Την τελική κινητική ενέργεια του σώματος. (γʹ) Τη δύναμη F που δέχηκε. 2. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μάζας = 2 kg βάλλεται με αρχική ταχύτητα v = /s στο οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=,5. Το σώμα σταματάει διανύοντας απόσταση. v v = (αʹ) Βρείτε την τριβή που δέχεται και την επιβράδυνση που αυτή δημιουργεί. (βʹ) Βρείτε τη μετατόπιση μέχρι τον μηδενισμό της ταχύτητας. 3. Σε ακίνητο σώμα μάζας = 4 kg που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=,25, ασκείται οριζόντια δύναμη F που το μέτρο της δίνεται από το διάγραμμα F του σχήματος. Να υπολογίστε: 2 5 () (αʹ) Το έργο της F από έως 5. (βʹ) Την ταχύτητα του σώματος στη έση = 5. (γʹ) Την συνολική μετατόπιση του σώματος. 4. Σώμα έχει μάζα = kg και είναι ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=,5. Το σώμα ξανικά δέχεται δύναμη F = 4 N με γωνία για την οποία συν =, 8 και ημ =, 6. Όταν έχει μετατοπιστεί κατά =, η δύναμη καταργείται. Να υπολογίστε:
8 2 o ΓΕΛ Ναυπάκτου y (αʹ) Την ταχύτητα του σώματος όταν καταργείται η δύναμη F. (βʹ) Την τριβή ολίσησης μετά τον μηδενισμό της δύναμης F. (γʹ) Την συνολική μετατόπιση του σώματος. 5. Το σώμα του σχήματος έχει μάζα =1kg και κινείται στο λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα v = 15 /s. Στην πορεία του συναντά το ελεύερο άκρο ελατηρίου σταεράς k = 9 N/ και το συμπιέζει μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του. Να υπολογίσετε: k v (αʹ) Την κινητική ενέργεια του σώματος ακριβώς όταν ακουμπάει το ελατήριο. (βʹ) Τη μέχιστη συμπίεση του ελατηρίου. 6. Σώμα μάζας αήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας = 3 3 και συντελεστή τριβής µ = σε απόσταση = 5 από την βάση Α του κεκλιμένου. 6 A (αʹ) Να αποδείξετε ότι το σώμα α γλυστρίσει στο κεκλιμένο. (βʹ) Να βρείτε την ταχύτητά του όταν τάνει στο σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου. 7. Σώμα βάλλεται από τη βάση Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας γωνίας = 3 και συντελεστή τριβής, στατικής και ολίσησης, µ =. Το σώμα επιβραδύνεται και σταματάει 3 3 στιγμιαία σε σημείο Γ του κεκλιμένου. (αʹ) Να βρείτε την απόσταση ΑΓ και το κατακόρυο ύψος στο οποίο έτασε το σώμα. (βʹ) Να εξετάσετε αν το σώμα α επιστρέψει στη βάση του επιπέδου. 8. Σώμα μάζας = 2 kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο συντελεστή τριβής µ =, 5. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη που το μέτρο της μεταβάλλεται με τη σχέση F = 4. Η δύναμη καταργείται μετά τον μηδενισμό της.
4.3 Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας 9 A (αʹ) Να βρείτε σε ποιά έση μηδενίζεται η δύναμη. (βʹ) Να υπολογίσετε τα έργα της δύναμης F και της τριβής T μέχρι τη έση που μηδενίζεται η F. (γʹ) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος στη έση που μηδενίζεται η F. (δʹ) Σε ποιά έση το σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα; Να βρεεί η τιμή της. Δίνονται: ημ37 =.6, συν37 =.8, g = /s 2 9. Σώμα μάζας = 2 kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο συντελεστή τριβής µ =, 2. Στο σώμα ασκείται δύναμη με γωνία = 37 που το μέτρο της μεταβάλλεται με τη σχέση F = 5. Η δύναμη καταργείται μετά τον μηδενισμό της. y A (αʹ) Να βρείτε τις σχέσεις που εκράζουν τις εξαρτήσεις των μέτρων της κάετης δύναμης στήριξης και της τριβής από την απόσταση. (βʹ) Να υπολογίσετε τα έργα της δύναμης F και της τριβής T μέχρι τη έση που μηδενίζεται η F. (γʹ) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος στη έση που μηδενίζεται η F. (δʹ) Σε ποιά έση α σταματήσει τελικά το σώμα; Δίνονται: ημ37 =.6, συν37 =.8, g = /s 2. Στο παρακάτω σχήμα το ελατήριο έχει σταερά k = N/ και κρατείται συμπιεσμένο κατά d = c. Στην ελεύερη άκρη του τοποετείται σώμα μάζας = 1 kg και το ελατήριο αήνεται ελεύερο, με αποτέλεσμα το σώμα να κινηεί προς τα πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας = 3. k (αʹ) Βρείτε την ταχύτητα του σώματος όταν το ελατήριο τάνει στο υσικό του μήκος. (βʹ) Βρείτε πόσο πάνω από το ελατήριο α τάσει το σώμα μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του.
2 o ΓΕΛ Ναυπάκτου 4.4 Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας Αν στο σώμα δρουν μόνο συντηρητηκές δυνάμεις τότε η Μηχανική Ενέργεια του σώματος διατηρείται σταερή. Δηλαδή Αν ΣF μη-συντ = τότε E Μηχ = σταερή Η Μηχανική Ενέργεια συμβολίζεται E και είναι το άροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας: E = K + U Η μόνη δυναμική ενέργεια που γνωρίζουμε είναι η δυναμική ενέργεια βαρύτητας, που έχει ένα σώμα σε ύψος h: U = gh H ΑΔΜΕ εαρμόζεται πρακτικά όταν δέν υπάρχουν μή-συντηρητικές δυνάμεις, όπως τριβή, άγνωστες δυνάμεις, δυνάμεις που ασκεί κάποιος άνρωπος, κτλ... Τότε, μεταξύ των έσεων 1 και 2 K 1 + U 1 = K 2 + U 2 1. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα αήνεται ελεύερο από ύψος h = και κάνει ελεύερη πτώση. Δίνεται g = /s 2. 1 h (αʹ) Στη έση 1 η μηχανική ενέργεια είναι................................................ (βʹ) Στη έση 2 η μηχανική ενέργεια είναι............................................... (γʹ) Η μηχανική διατηρείται άρα εξισώνουμε τις μηχανικές στη έση 1 και έση 2...... v 2 (δʹ) H ταχύτητα v όταν το σώμα τάνει στο έδαος είναι........ (εʹ) Λύστε το ίδιο πρόβλημα χωρίς νούμερα και καταλήξτε στον τύπο v = 2gh για την ταχύτητα με την οποία το σώμα τάνει στο έδαος. 2. Σώμα βάλλεται από το έδαος προς τα πάνω με ταχύτητα v = 4 /s. (αʹ) Βρείτε το μέγιστο ύψος στο οποίο α τάσει. (βʹ) Βρείτε τον τύπο που μας δίνει το μέγιστο ύψος που τάνει το σώμα σε σχέση με την ταχύτητα v.
4.4 Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας 11 4.4.1 Ασκήσεις-προβλήματα 1. Σώμα βάλλεται από ύψος h = με ταχύτητα μέτρου v = /s τυχαίας γωνίας ώς προς τον ορίζοντα. Να βρεεί το μέτρο της ταχύτητας v με την οποία α τάσει στο έδαος. 2. Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες 1 = 5 Kg και 2 = 15 Kg και είναι συνδεδεμένα με αβαρές νήμα μέσω σταερής τροχαλίας αμελητέας μάζας, που περιστρέεται χωρίς τριβές. Να βρεούν: (α) προς ποιά κατεύυνση α κινηεί το σύστημα, (β) οι ταχύ- 1 2 τητες των δύο σωμάτων όταν α απέχουν κατακόρυη απόσταση h = 2. 3. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα = 2 kg αήνεται ελεύερο να κινηεί από ύψος h = 5 σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας = 3. Δίνεται g = /s 2. h A (αʹ) Να βρείτε τη μηχανική ενέργεια του σώματος στην αρχική του έση. (βʹ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος όταν τάνει στη έση Α στη βάση του κεκλιμένου. Δίνονται: g = /s 2 4. Ένα σώμα μάζας = 2Kg ξεκινάει να κινείται με ταχύτητα v = /s σε οριζόντιο επίπεδο μήκους S =.4 και συντελεστή τριβής μ=.5. Το σώμα τάνει σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας ϕ = 3 και συνεχίζει την κίνησή του. Να βρεούν: h v (αʹ) Η επιτάχυνσή του (επιβράδυνση). (βʹ) Η ταχύτητα με την οποία τάνει στο κεκλιμένο επίπεδο. S (γʹ) Το ύψος στο οποίο α τάσει το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι να σταματήσει στιγμιαία.
12 2 o ΓΕΛ Ναυπάκτου 4.5 Ισχύς Η Ισχύς ορίζεται ως ο ρυμός μεταβολής της ενέργειας του σώματος ή του έργου μίας δύναμης. Δηλαδή P = W Για μία δύναμη F που δρα σε ένα σώμα το οποίο έχει εκείνη τη στιγμή ταχύτητα v η στιγμιαία ισχύς της βρίσκεται από τον τύπο P F = F v όπου εωρούμε ότι η δύναμη F και η ταχύτητα v είναι συγγραμμικές και ομόρροπες. Αν δεν είναι αναλύουμε τη δύναμη στη διεύυνση της ταχύτητας v. 4.5.1 Ρυμοί μεταβολής Ρυμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας: K = W ΣF = ΣF = ΣF v Ρυμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας: U = W B = B = B v Ρυμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας (όταν δρούν μή συντηρητικές δυνάμεις που τη μεταβάλλουν): E = W μη-συντ. = F μη-συντ. = F μη-συντ. v 1. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα αήνεται ελεύερο από ύψος h = και κάνει ελεύερη πτώση. Δίνεται g = /s 2. 1 h (αʹ) Ο χρόνος πτώσης μέχρι το έδαος είναι............................................. v 2
4.5 Ισχύς 13 (βʹ) Η μέση ισχύς του βάρους για την πτώση του σώματος είναι......................... (γʹ) H ταχύτητα v όταν το σώμα τάνει στο έδαος είναι........ (δʹ) Ο στιγμιαίος ρυμός δυναμικής ενέργειας ακριβώς όταν τάνει στο έδαος είναι:. 2. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα = 2 kg αήνεται ελεύερο να κινηεί από την κορυή του κεκλιμένου και όταν βρίσκεται σε ύψος h = 5 από το έδαος έχει ταχύτητα v = /s. Το κεκλιμένο έχει γωνία = 37 και συντελεστή τριβής μ=,2. Δίνεται g = /s 2, ημ37 =, 6, συν37 =, 8. A v h Υπολογίστε στη έση αυτή που βρίσκεται το σώμα: (αʹ) Τον ρυμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας. (βʹ) Τον ρυμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας. (γʹ) Τον ρυμό παραγωγής ερμότητας από την τριβή.