ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ελκτικό Συμπύκνωμα Bose - Einstein σε κουτί ΝΙΚΟΛΑΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ Η Διπλωματική αυτή εργασία ήταν μέρος των απαιτήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ελκτικό Συμπύκνωμα Bose - Einstein σε κουτί ΝΙΚΟΛΑΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ Η Διπλωματική αυτή εργασία ήταν μέρος των απαιτήσεων του Προπτυχιακού Προγράμματος Φυσικής Επιβλέπων Καθηγητής : Δρ. Σταύρος Θεοδωράκης Δεκέμβριος 08

Scientific discovery and scientific knowlede have been achieved only by those who have one in pursuit of them without any practical purpose whatsoever in view. Max Planck i

Ευχαριστίες Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον Δρ. Σταύρο Θεοδωράκη, καθηγητή του τμήματος φυσικής, για την καθοδήγησή του κατά την εκπόνηση της εργασίας αυτής. Επί τη ευκαιρία ευχαριστώ θερμά την οικογένεια μου, τους φίλους μου, καθώς και τον πνευματικό μου Πατέρα Θεοδόσιο για τη συνεχή στήριξη και συμπαράστασή τους κατά τη διάρκεια των σπουδών και της ζωής μου. ii

Περιεχόμενα Ευχαριστίες ii Λίστα Εικόνων Λίστα Πινάκων v xi Η συμπύκνωση Bose - Einstein ως φυσικό φαινόμενο. Γενική περιγραφή της συμπύκνωσης....................... Η εξίσωση Gross - Pitaevskii και η μαθηματική περιγραφή της συμπύκνωσης.......................... Συμπύκνωμα Bose - Einstein σε κουτί 5. Η μέθοδος για την παγίδευση των ατόμων του συμπυκνώματος................................. 5. Eλκτικό συμπύκνωμα ατόμων καλίου σε κουτί................. 6 3 Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 7 3. Αδιάστατη σχέση ενέργειας συμπυκνώματος.................. 7 3. Σφαιρικό συμπύκνωμα σε άπειρο χώρο για την τοπική περίπτωση δυναμικού. 9 3.3 Σφαιρικό συμπύκνωμα σε κουτί για την τοπική περίπτωση δυναμικού................................ 3 3.3. Διαστατικός Υπολογισμός....................... 3 3.3. Μεταβολικός Υπολογισμός....................... 6 3.4 Κατάρρευση συμπυκνώματος όπως παρατηρήθηκε από το πείραμα...... 0 3.5 Ατοπική επέκταση της εξίσωσης Gross - Pitaevskii και διαστατικός υπολογισμός της ενέργειας.............................. 4 Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 6 4. Μεταβολικός υπολογισμός ενέργειας για σφαιρικό ελκτικό συμπύκνωμα σε άπειρο χώρο................................... 6 4. Μεταβολικός υπολογισμός ενέργειας για σφαιρικό ελκτικό συμπύκνωμα σε κουτί....................................... 30 iii

Περιεχόμενα iv 5 Ατοπικό μοντέλο για πείραμα ελκτικού συμπυκνώματος σε κυλινδρικό κουτί 36 5. Το πείραμα στο κυλινδρικό κουτί και τα κύρια συμπεράσματα.................................. 36 5. Τροποποίηση του ατοπικού Γκαουσιανού δυναμικού.............. 39 5.3 Διαστατικός υπολογισμός για το τροποποιημένο ατοπικό Γκαουσιανό δυναμικό......................... 4 5.4 Μεταβολικός υπολογισμός για το τροποποιημένο ατοπικό Γκαουσιανό δυναμικό......................... 45 5.5 Η χρήση της αιφνίδιας προσέγγισης για την ερμηνεία των πειραματικών δεδομένων..................................... 5 6 Προσαρμογή του θεωρητικού μοντέλου στα πειραματικά δεδομένα 56 6. Προσδιορισμός της εμβέλειας και της ακτίνας μηδενισμού του δυναμικού για την κρίσιμη τιμή του μήκους σκέδασης..................... 56 6. Προσδιορισμός των παραμέτρων του ενδοατομικού δυναμικού για τη διπλή υφή στον αριθμό ατόμων............................ 63 6.3 Προσαρμογή των αποτελεσμάτων της διπλής υφής σε πολυωνυμική συνάρτηση 99 6.4 Προσδιορισμός των παραμέτρων του ενδοατομικού δυναμικού για τη μονή υφή στον αριθμό ατόμων............................ 0 6.5 Τελικά σχόλια για τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου.......... 7 Επίλογος 6 A Υπολογισμοί στο λογισμικό Mathematica 9 A. Υποκεφάλαιο 3................................. 9 A. Υποκεφάλαιο 3.3................................ A.3 Υποκεφάλαιο 3.5................................ 4 A.4 Υποκεφάλαιο 4................................. 6 A.5 Υποκεφάλαιο 4................................. 30 A.6 Υποκεφάλαιο 5................................. 75 A.7 Υποκεφάλαιο 5.3................................ 76 Βιβλιογραφία 78

Λίστα Εικόνων.. Κουτί με lasers στο οποίο τοποθετείται το συμπύκνωμα............. 5 3.. Γράφημα της ενέργειας ως συνάρτηση της παραμέτρου. Εδώ συγκεκριμένα α =........................................ 3.. Γράφημα της ενέργειας πάλι για α =. Εδώ παρατηρείται πως η συμπεριφορά δεν αλλάζει για πιο μεγάλες τιμές του..................... 3..3 Γράφημα της κυματοσυνάρτησης συναρτήσει της απόστασης μετρούμενη σε R, για α = και = 5000............................ 3.3. Συμπεριφορά της ενέργειας για 0 < l 0.5. Η τιμή του α = 0.5....... 4 3.3. Συμπεριφορά της ενέργειας για 0.5 l <. Η τιμή του α = 0.5....... 5 3.3.3 Συμπεριφορά της ενέργειας για 0 < l 0.5. Η τιμή του α = 0.8........ 5 3.3.4 Συμπεριφορά της ενέργειας για 0.5 l <. Η τιμή του α = 0.8........ 6 3.3.5 Συμπεριφορά της ενέργειας με το 0 < 40. Το μήκος σκέδασης α = 3... 8 3.3.6 Συμπεριφορά της ενέργειας με το 0 < 40. Το μήκος σκέδασης α = 5.4.. 8 3.3.7 Γράφημα της κυματοσυνάρτησης του συμπυκνώματος για =.3608, όπου βρίσκεται το ελάχιστο της ενέργειας όταν το α = 3............... 9 3.3.8 Γράφημα της ενέργειας για 40 όταν και πάλι το α = 3............ 9 3.4. Γράφημα του αριθμού των ατόμων στο συμπύκνωμα συναρτήσει του χρόνου [5]. 0 3.4. Γράφημα του αριθμού των ατόμων στο συμπύκνωμα συναρτήσει του χρόνου [4]. 3.5. Γράφημα της ενέργειας για 0 < l 0.05 α = 4, d = 0.05........... 3 3.5. Γράφημα της ενέργειας για 0.05 l 0. α = 4, d = 0.05.......... 4 3.5.3 Γράφημα της ενέργειας για 0. l α = 4, d = 0.05............ 4 4.. Γράφημα που δείχνει τον προσανατολισμό των διανυσμάτων r και r στο χώρο. Το μέτρο των διανυσμάτων r και r και η σφαίρα στην οποία μπορούν να βρίσκονται, εκτείνεται μέχρι το άπειρο....................... 7 4.. Γράφημα της ενέργειας συναρτήσει του 0 < 600, για τις τιμές των α = 7 και d = 0.085.................................... 9 4..3 Γράφημα της ενέργειας συναρτήσει του 0 < 0, για τις τιμές των α = 7 και d = 0.085.................................... 9 4..4 Γράφημα της κυματοσυνάρτησης Φ r συναρτήσει του r όταν = 89.8... 30 4.. Συμπεριφορά της συνάρτησης σφάλματος και της προσέγγισής της....... 33 4.. Ποσοστιαίο σφάλμα της σχέσης 4..5 από τη συνάρτηση σφάλματος...... 33 v

Λίστα Εικόνων vi 4..3 Συμπεριφορά της ενέργειας για α = 5 και d = 0.09................ 34 4..4 Συμπεριφορά της ενέργειας για α = 5 και d = 0.09. Η παράμετρος κυμαίνεται από 0 < 0................................... 34 5.. Φωτογραφία του συμπυκνώματος αμέσως μετά την απενεργοποίηση της οπτικής παγίδας. Η στήλη στα αριστερά OD δείχνει την οπτική πυκνότητα optical density. Το συμπύκνωμα φωτογραφίζεται κατά μήκος του κυλινδρικού άξονα της οπτικής παγίδας......................... 37 5.. Αριθμός ατόμων στο συμπύκνωμα συναρτήσει του χρόνου και η συμπεριφορά της διπλής υφής στον αριθμό των ατόμων που αποτελούν το απομεινάρι. Τα δύο πλατώματα υπάρχουν μόνο για συγκεκριμένο εύρος των τιμών του μήκους σκέδασης α..................................... 38 5.. Φωτογραφία του συμπυκνώματος αμέσως μετά την κατάρρευσή του εντός 0ms μετά από το t c. Η στήλη στα αριστερά OD δείχνει την οπτική πυκνότητα optical density. Το συμπύκνωμα φωτογραφίζεται κατά μήκος του κυλινδρικού άξονα της οπτικής παγίδας.................... 40 5.. Συμπεριφορά του δυναμικού 5.. για τις τιμές των παραμέτρων d = 0.5 και q =.5....................................... 4 5..3 Προσεγγιστική συμπεριφορά της ενέργειας για μικρές αποστάσεις όπου το δυναμικό είναι της μορφής αρμονικού ταλαντωτή. Οι τιμές των παραμέτρων είναι α = 4, d = 0.5 και q =.5........................ 4 5.3. Συμπεριφορά της ενέργειας του συμπυκνώματος για 0 < l 0.3, με τις παραμέτρους d = 0.05 και q =.05........................ 43 5.3. Συμπεριφορά της ενέργειας του συμπυκνώματος για 0.3 l, με τις παραμέτρους d = 0.05 και q =.05........................ 44 5.4. Συμπεριφορά της ενέργειας ως προς τη μεταβολική μεταβλητή. Οι τιμές των άλλων τριών παραμέτρων είναι α = 4, d = 0.06 και q =.......... 50 5.4. Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές 0 < 50. Οι τιμές των άλλων τριών παραμέτρων είναι α = 4, d = 0.06 και q =.............. 50 5.4.3 Γράφημα της κυματοσυνάρτησης συναρτήσει της απόστασης r για την τιμή του = 798.686..................................... 5 6.. Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 57 6.. Συμπεριφορά της ενέργειας στο κρίσιμο σημείο. Οι τιμές των παραμέτρων είναι : α c = 3.95978, d c = 0.033093 και q c =.688................ 6 6..3 Συμπεριφορά της ενέργειας στο κρίσιμο σημείο για 550 700. Οι τιμές των παραμέτρων είναι : α c = 3.95978, d c = 0.033093 και q c =.688.... 63 6.. Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 66 6.. Γραφήματα περιγράμματος της πρώτης παράγωγου ως προς τη μεταβολική παράμετρο για A και B, για τη γραμμή περιγράμματος που αντιστοιχεί στη τιμή μηδέν................................... 66 6..3 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων q =.03574 και d = 0.08377................................... 67

Λίστα Εικόνων vii 6..4 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων q =.08357 και d = 0.03037................................... 68 6..5 Γραφήματα περιγράμματος της πρώτης παράγωγου ως προς τη μεταβολική παράμετρο για A και B, για τη γραμμή περιγράμματος που αντιστοιχεί στη τιμή μηδέν................................... 69 6..6 Γραφήματα περιγράμματος της πρώτης παράγωγου ως προς τη μεταβολική παράμετρο για A και B, για τη γραμμή περιγράμματος που αντιστοιχεί στη τιμή μηδέν................................... 69 6..7 Γραφήματα περιγράμματος της πρώτης παράγωγου ως προς τη μεταβολική παράμετρο για A και B, για τη γραμμή περιγράμματος που αντιστοιχεί στη τιμή μηδέν................................... 70 6..8 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 7 6..9 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 94 = 4.7035, q =.08357 και d = 0.03037.......................... 7 6..0 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 7 6.. Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 97 = 4.83465, q =.088 και d = 0.0548.......................... 7 6.. Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 73 6..3 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 99 = 4.9658, q =.07484 και d = 0.03.......................... 73 6..4 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 74 6..5 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 99 = 4.9658, q =.08336 και d = 0.00745.......................... 74 6..6 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 75 6..7 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 0 = 5.09673, q =.0757 και d = 0.06708.......................... 75 6..8 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 76 6..9 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 04 = 5.74, q =.07656 και d = 0.004.......................... 76 6..0 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 77 6.. Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 04 = 5.74, q =.0835 και d = 0.0774.......................... 77 6.. Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 78 6..3 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 04 = 5.74, q =.0697 και d = 0.0099.......................... 78

Λίστα Εικόνων viii 6..4 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 79 6..5 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 07 = 5.3578, q =.07498 και d = 0.036........................... 79 6..6 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 80 6..7 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 09 = 5.4880, q =.08005 και d = 0.035983.......................... 80 6..8 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 8 6..9 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 09 = 5.4880, q =.07543 και d = 0.09563.......................... 8 6..30 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 8 6..3 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 0 = 6.00633, q =.06686 και d = 0.0745.......................... 8 6..3 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 83 6..33 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 0 = 6.00633, q =.0557 και d = 0.0678.......................... 83 6..34 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 84 6..35 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 35 = 6.77664, q =.04997 και d = 0.073.......................... 84 6..36 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 85 6..37 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 45 = 7.8546, q =.04444 και d = 0.035664.......................... 85 6..38 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 87 6..39 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 60 = 8.047, q =.03076 και d = 0.05509.......................... 87 6..40 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 88 6..4 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 70 = 8.548, q =.046 και d = 0.04676.......................... 88 6..4 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 89 6..43 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 70 = 8.548, q =.066 και d = 0.096.......................... 89 6..44 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 90 6..45 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 9 = 0.9855, q = 0.99333 και d = 0.083693......................... 90

Λίστα Εικόνων ix 6..46 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 9 6..47 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 9 = 0.9855, q = 0.99804 και d = 0.0086.......................... 9 6..48 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 9 6..49 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 47 =.406, q = 0.98785 και d = 0.005667......................... 9 6..50 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 93 6..5 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 66 = 3.3439, q = 0.99564 και d = 0.0493.......................... 93 6..5 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 94 6..53 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 66 = 3.3439, q = 0.976306 και d = 0.006475......................... 94 6..54 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 95 6..55 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 3 = 5.608, q = 0.98379 και d = 0.03666......................... 95 6.3. Αποτελέσματα των παραμέτρων του προβλήματος q και d για την διπλή υφή στο απομεινάρι. Στο γράφημα αυτό δίδονται οι τιμές του q συναρτήσει του λόγου d α για τις αντίστοιχες τιμές των α και d................. 99 6.3. Συμπεριφορά της συνάρτησης q th η οποία προσαρμόζεται στις τιμές του γραφήματος της εικόνας 6.3............................... 00 6.3.3 Αποτελέσματα των παραμέτρων του προβλήματος q και d α για την διπλή υφή στο απομεινάρι και η συμπεριφορά της προσαρμοσμένης πολυωνυμικής συνάρτησης στις τιμές αυτές................................... 00 6.4. Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 0 6.4. Συμπεριφορά της παραγώγου της ενέργειας ως προς τη μεταβολική παράμετρο, συναρτήσει της εμβέλειας d του δυναμικού. Το γράφημα γίνεται για την τιμή της μεταβολικής παραμέτρου = A = 05.56................ 0 6.4.3 Συμπεριφορά της ενέργειας συναρτήσει της μεταβολικής παραμέτρου. Οι τιμές των άλλων μεταβλητών είναι α 83 = 4.756, d = 0.0434838 και q =.7735....................................... 0 6.4.4 Συμπεριφορά της παραγώγου της ενέργειας ως προς τη μεταβολική παράμετρο, συναρτήσει της εμβέλειας d του δυναμικού. Το γράφημα γίνεται για την τιμή της μεταβολικής παραμέτρου = A = 880.04............... 03 6.4.5 Συμπεριφορά της ενέργειας συναρτήσει της μεταβολικής παραμέτρου. Οι τιμές των άλλων μεταβλητών είναι α 83 = 4.756, d = 0.0337404 και q =.5795....................................... 03 6.4.6 Συμπεριφορά της ενέργειας συναρτήσει της μεταβολικής παραμέτρου 400 800. Οι τιμές των άλλων μεταβλητών είναι α 83 = 4.756, d = 0.0337404 και q =.5795................................... 04

Λίστα Εικόνων x 6.4.7 Απεικόνιση των γραφημάτων 6.4.3 και 6.4.5 μαζί................. 04 6.4.8 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 05 6.4.9 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 86 = 4.30755, d = 0.0338893 και q =.5505.......................... 05 6.4.0 Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 06 6.4. Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 88 = 4.4397, d = 0.0350567 και q =.5545............................. 06 6.4. Μετρήσεις του τελικού αριθμού ατόμων N f του συμπυκνώματος συναρτήσει του χρόνου t.................................... 07 6.4.3 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α 88 = 4.4397, d = 0.035076 και q =.559............................. 07 6.4.4 Συμπεριφορά της διαφοράς του q th και της πραγματικής τιμής του q συναρτήσει των τιμών του εαυτού του q............................ 08 6.4.5 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α trans = 4.5747, q a =.6036 και d a = 0.037806......................... 09 6.4.6 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α trans = 4.5747, q b =.08666 και d b = 0.009377......................... 09 6.4.7 Συμπεριφορά της ενέργειας για τις τιμές των παραμέτρων α trans = 4.5747, q c =.766 και d c = 0.0435793......................... 0 6.4.8 Απεικόνιση των τριών λύσεων για το σημείο μετάβασης από τη μονή στη διπλή υφή στους ίδιος άξονες για σύγκριση....................... 0 6.5. Αποτελέσματα των παραμέτρων του προβλήματος q και α κρίσμο σημείο, μονή και διπλή υφή και η συμπεριφορά της προσαρμοσμένης πολυωνυμικής συνάρτησης..................................... 6.5. Οι τιμές της εμβέλειας του δυναμικού d συναρτήσει των διαφόρων τιμών του μήκους σκέδασης α................................. 3 6.5.3 Οι τιμές της ακτίνας μηδενισμού του δυναμικού q συναρτήσει των διαφόρων τιμών του μήκους σκέδασης α........................... 3 6.5.4 Η τιμή του λόγου N A N 0 συναρτήσει της τιμής του μήκους σκέδασης α...... 4 6.5.5 Η τιμή του λόγου N B N 0 συναρτήσει της τιμής του μήκους σκέδασης α...... 5 d

Λίστα Πινάκων 6.. Τα αποτελέσματα της διπλής υφής. Οπου a, α το μήκος σκέδασης και το αδιάστατο μήκος σκέδασης αντίστοιχα, N A, N B οι αριθμοί των ατόμων στο ενδιάμεσο πλάτωμα μετασταθές ελάχιστο και στο χαμηλότερο πλάτωμα απόλυτο ελάχιστο αντίστοιχα και d, q η εμβέλεια του ενδοατομικού δυναμικού και η ακτίνα μηδενισμού του αντίστοιχα. Ο αστερίσκος * μετά από κάποιες τιμές του μήκους σκέδασης αδιάστατο και μη, υποδεικνύει ότι τα αποτελέσματα της γραμμής αφορούν σύνολο μετρήσεων με μήκος σκέδασης το οποίο δόθηκε ξανά λόγω της σύμβασης ότι N 0 = 3674 για όλα τα σύνολα μετρήσεων, αλλά παίρνουμε διαφορετικές τιμές των d και q λόγω του διαφορετικού αριθμού ατόμων N A και N B στα πλατώματα...................... 97 6.. Συνέχεια του πίνακα 6.. που παρουσιάζει τη σύνοψη των αποτελεσμάτων για τη διπλή υφή στον αριθμό των ατόμων που αποτελούν το απομεινάρι.... 98 6.4. Τα αποτελέσματα της μονής υφής. Οπου a, α το μήκος σκέδασης και το αδιάστατο μήκος σκέδασης αντίστοιχα, N A το χαμηλότερο πλάτωμα απόλυτο ελάχιστο και d, q η εμβέλεια του ενδοατομικού δυναμικού και η ακτίνα μηδενισμού του αντίστοιχα. Ο αστερίσκος * μετά από κάποιες τιμές του μήκους σκέδασης αδιάστατο και μη, υποδεικνύει ότι τα αποτελέσματα της γραμμής αφορούν σύνολο μετρήσεων με μήκος σκέδασης το οποίο δόθηκε ξανά λόγω της σύμβασης ότι N 0 = 3674 για όλα τα σύνολα μετρήσεων, αλλά παίρνουμε διαφορετικές τιμές των d και q λόγω του διαφορετικού αριθμού ατόμων N A στο χαμηλότερο πλάτωμα. Η πρώτη γραμμή του πίνακα δίδει τα αποτελέσματα του κρίσιμου σημείου................................ xi

Κεφάλαιο Η συμπύκνωση Bose - Einstein ως φυσικό φαινόμενο. Γενική περιγραφή της συμπύκνωσης Η θεωρητική πρόβλεψη του φαινομένου χρονολογείται πίσω στο 94-5 από τους φυσικούς Satyendra Nath Bose και Albert Einstein []. Οι δύο αυτοί φυσικοί προέβλεψαν πως κάτω από μία συγκεκριμένη θερμοκρασία ένα σημαντικό ποσοστό των ατόμων ενός αερίου μποζονίων ακέραιο spin θα μπορεί να καταλάβει την πιο χαμηλή ενεργειακή κατάσταση, με βάση την στατιστική Bose - Einstein : f p = Epµ k e B T.. Θεωρώντας την ημικλασσική περίπτωση, η κινητική ενέργεια των ατόμων και επομένως και η ορμή τους συνδέεται άμεσα με τη θερμοκρασία : E p = k B T = p m.. Κάνοντας την εύλογη υπόθεση πως το κάθε άτομο συμπεριφέρεται ως κυματοπακέτο με μήκος κύματος όπως θα δινόταν από τη σχέση De Brolie λ = h p..3 καταλαβαίνουμε πως η ενέργεια που έχουν τα άτομα προσδιορίζει και το μήκος κύματος της κυματοσυνάρτησής τους. Δηλαδή ενώ για μεγάλες θερμοκρασίες και ενέργειες το μήκος κύματος γίνεται αρκετά μικρό ώστε η κυματοσυνάρτηση να μην εκτείνεται πέρα από τις διαστάσεις του ατόμου, για αρκετά μικρές θερμοκρασίες το μήκος κύματος μπορεί να πάρει

Η συμπύκνωση Bose - Einstein ως φυσικό φαινόμενο έως και μακροσκοπικές διαστάσεις εν σχέσει με το άτομο. Για θερμοκρασίες όπου το μήκος κύματος ξεπερνά την μέση απόσταση μεταξύ δύο ατόμων του αερίου, υπάρχει πλέον μεγάλη πιθανότητα αλληλοεπικάλυψης των κυματοσυναρτήσεων των ατόμων και τα πλείστα από αυτά καταλαμβάνουν την χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση. Το σύνολο λοιπόν των ατόμων αυτών ονομάζεται συμπύκνωμα Bose - Einstein και αποτελείται από ένα πλατύ κύμα στο οποίο όλα τα άτομα ταλαντώνονται σε φάση. Παρά το γεγονός ότι προβλέφθηκε νωρίς η ύπαρξη του φαινομένου από θεωρητική σκοπιά, εντούτοις η πρώτη πειραματική επαλήθευση επιτεύχθηκε μόλις το 995. Η παρατήρηση του φαινομένου έγινε από δύο διαφορετικές πειραματικές ομάδες. Οι Eric Cornell και Carl Wieman είδαν το φαινόμενο χρησιμοποιώντας άτομα ρουβιδίου, ενώ ο Wolfan Ketterle κατέληξε στην παρατήρησή του φαινομένου ψύχοντας άτομα νατρίου. Η επιτυχία τους αυτή επιβραβεύθηκε με το βραβείο Nobel Φυσικής το 00 []. Για να παρατηρηθεί λοιπόν το φαινόμενο χρειάζονται θερμοκρασίες της τάξεως των 0 5 K ή μικρότερες, ενώ η τυπική πυκνότητα για το κέντρο ενός συμπυκνώματος είναι περίπου 0 3 0 5 cm 3. Συγκριτικά η πυκνότητα των μορίων του αέρα σε θερμοκρασία δωματίου κυμαίνεται στα 0 9 cm 3 [].. Η εξίσωση Gross - Pitaevskii και η μαθηματική περιγραφή της συμπύκνωσης Εφόσον καταλήγει κανείς στο συμπέρασμα πως τα άτομα που ανήκουν στο συμπύκνωμα συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο σαν ένα κύμα όπως είχαμε αναφέρει στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, είναι λογικό να χρησιμοποιήσει κανείς μία ενιαία κυματοσυνάρτηση για την περιγραφή του φαινομένου και η αλληλεπίδραση μεταξύ των ατόμων να περιγράφεται κατά προσέγγιση από ένα δυναμικό. Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται προσέγγιση μέσου πεδίου. Στον ηλεκτρομαγνητισμό ξέρουμε πως η ενέργεια λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο συνεχών πυκνοτήτων φορτίου δίδεται από το ολοκλήρωμα d 3 r d 3 r ρ r r r ρ r.. όπου το στον παρονομαστή εισάγεται διότι λαμβάνεται δύο φορές η κάθε αλληλεπίδραση μεταξύ δύο ατόμων. Κατ αναλογία με τον ηλεκτρομαγνητισμό λοιπόν θα μπορούσαμε να

Η συμπύκνωση Bose - Einstein ως φυσικό φαινόμενο 3 γράψουμε την ενέργεια του συμπυκνώματος ως εξής EΨ = U 0 d 3 r [ m Ψ r V ext r Ψ r ] d 3 r d 3 r Ψ r V int r r Ψ r.. Για να πάρουμε την μορφή αυτή της ολικής ενέργειας έγινε αντικατάσταση του ρ r = Ψ r και υποθέσαμε πως έχουμε ένα εξωτερικό δυναμικό V ext r με το οποίο αλληλεπιδρά το σύστημα, προσθέτοντας επίσης τον όρο της κινητικής ενέργειας Ψ r. Οσον αφορά το U 0, αποδεικνύεται μέσω ανάλυσης του φασικού χώρου για την αλληλεπίδραση δύο ατόμων ότι ισούται με U 0 = 4π a m σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες, όπου μόνο οι μετωπικές συγκρούσεις s-wave collisions έχουν σημαντικό ρόλο στην αλληλεπίδραση μεταξύ των ατόμων, με το a να είναι το μήκος σκέδασης των ατόμων []. Το δυναμικό V int r r συνήθως αντικαθιστάται με δ r r λόγω της επικράτησης των μετωπικών μόνο συγκρούσεων όπως θα κάνουμε ακολούθως για την απόδειξη της εξίσωσης GrossP itaevskii, αλλά εμείς υποθέτουμε πως μπορεί να υπάρχει μια ατοπικότητα στην αλληλεπίδραση μεταξύ των ατόμων μια εμβέλεια στη δύναμη που ασκεί το ένα στο άλλο και ότι δεν είναι απλά συγκρούσεις, για αυτό το γράφουμε γενικά ως V int r r. Να αναφερθεί επίσης ότι η κυματοσυνάρτηση Ψ r κανονικοποιείται έτσι ώστε N = d 3 x Ψ r. Στην ειδική περίπτωση V int r r τη μορφή : EΨ = = δ r r, η ενέργεια του συστήματος παίρνει d 3 r [ m Ψ r V ext r Ψ r U 0 Ψ r 4 ]..3 Λόγω της κανονικοποίησης της Ψ r μπορούμε να εισαγάγουμε έναν πολλαπλασιαστή Larane µ d 3 x Ψ r N στην προηγούμενη σχέση και απαιτώντας την ελαχιστοποίησή της μέσω της συναρτησιακής παραγώγισης δeψµ d 3 x Ψ r N καταλήγουμε στην έκφραση δψ r d 3 r [ m δ r r Ψ r V ext rδ r rψ r U 0 Ψ rδ r rψ r µδ r rψ r]..4 δψ r όπου χρησιμοποιήθηκε το γεγονός ότι = δψ r δ r r. Τώρα μια ολοκλήρωση κατά μέλη του πρώτου όρου της σχέσης..4 θα προσδώσει ένα μείον και θα πάρουμε ως τελική μορφή την σχέση θέτοντας r r m Ψ r V ext rψ r U 0 Ψ r Ψ r = µψ r..5 η οποία είναι η χρονανεξάρτητη εξίσωση Gross P itaevskii.

Η συμπύκνωση Bose - Einstein ως φυσικό φαινόμενο 4 Οσον αφορά την χρονεξαρτημένη μορφή της εξίσωσης μπορεί κανείς να γενικεύσει τη Λαγκρανζιανή πυκνότητα L που δίδει την εξίσωση Schrödiner, προσθέτοντας σε αυτή τον όρο U 0 Ψ r, tψ r, t. Τότε η Λαγκρανζιανή πυκνότητα που θα δώσει την εξίσωση Gross P itaevskii θα είναι LΨ = i Ψ r, t Ψ r, t t Ψ r, t Ψ r, t t m Ψ r, t Ψ r, t V ext rψ r, tψ r, t U 0 Ψ r, tψ r, t..6 Ακολούθως εκφράζοντας τη δράση S για το σύστημα ως το συναρτησιακό ολοκλήρωμα LΨd 3 rdt και απαιτώντας την ελαχιστοποίηση της δράσης σε αυτή την περίπτωση καταλήγουμε στο αποτέλεσμα d 3 rdt [ i [δ r rδt Ψ r, t t t m [δ r rδt t] Ψ r, t Ψ r, t [δ r rδt t] ] t δs δψ r, V ext rδ r rδt tψ r, t U 0 Ψ r, tψ r, tδ r rδt t] = 0. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι d 3 rdt [Ψ r, t [δ r rδt t] ] = t d 3 rdt [δ r rδt t Ψ r, t ] t και d 3 rdt [ m [δ r rδt t] Ψ r, t] = d 3 rdt [ m δ r rδt t Ψ r, t] μπορούμε να πάρουμε τη σχέση όταν r r και t t Ψ r, t i t m Ψ r, t V ext Ψ r, t U 0 Ψ r, t Ψ r, t = 0..7 Επομένως μετά από μια απλή ανακατανομή των όρων φτάνουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα που είναι η χρονοεξαρτημένη εξίσωση Gross P itaevskii με Χαμιλτονιανή Ψ r, t i = [ t m V ext U 0 Ψ r, t ]Ψ r, t..8 H = m V ext U 0 Ψ r, t..9

Κεφάλαιο Συμπύκνωμα Bose - Einstein σε κουτί. Η μέθοδος για την παγίδευση των ατόμων του συμπυκνώματος Σε αυτό το σημείο θα ήταν καλό να αναφέρουμε λίγα πράγματα για την κατανόηση της παγίδευσης των ατόμων και τον τρόπο με τον οποίο αυτή επιτυγχάνεται πειραματικά. Το κουτί παγίδα με lasers στο οποίο τοποθετούνται τα άτομα παρουσιάζεται στην εικόνα.. [3]. Εικόνα..: Κουτί με lasers στο οποίο τοποθετείται το συμπύκνωμα. Το κουτί αυτό λοιπόν δημιουργείται χρησιμοποιώντας 3 ακτίνες laser μήκους κύματος 53nm [3]. Η μία από αυτές είναι σχήματος κυλινδρικού σαν κούφιος σωλήνας κατά μήκος του x 5

Συμπύκνωμα Bose - Einstein σε κουτί 6 άξονα, ενώ οι άλλες δύο δέσμες είναι επίπεδες σαν δύο παράλληλοι τοίχοι που εκτείνονται κατά τη διεύθυνση του y άξονα, όπως παρουσιάζονται στην εικόνα... Τα υπό μελέτη άτομα ρουβιδίου του αερίου 87 Rb ψύχονται πρώτα ενώ βρίσκονται υπό την επίδραση παγίδας αρμονικού ταλαντωτή σε θερμοκρασία T 0nK, με χρήση διαδικασιών εξάτμισης evaporatin coolin, ενώ οι διαστάσεις που καταλαμβάνει το αέριο είναι περίπου αυτές του κουτιού στο οποίο είναι επιθυμητό να τοποθετηθεί το συμπύκνωμα. Επειτα σε χρονικό διάστημα s ανάβουν τις δέσμες των laser και απενεργοποιούν το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή με αποτέλεσμα > 80% των ατόμων να παγιδεύεται στο κουτί έχοντας θερμοκρασία τώρα T 30nK. Τα τοιχώματα των δεσμών laser δημιουργούν ένα απωστικό δυναμικό, το οποίο αποτρέπει τα άτομα να διαφύγουν. Το αέριο λοιπόν βρίσκεται πλέον εγκλωβισμένο στην σκούρα κόκκινη περιοχή που δείχνει η εικόνα... Η βαρυτική δύναμη που δέχονται τα άτομα εξουδετερώνεται χρησιμοποιώντας κατάλληλο μαγνητικό πεδίο κατά τη διεύθυνση του z άξονα [3]. Παρόλο που στο στάδιο της ψύξης του αερίου όταν υπάρχει ακόμα η επίδραση του αρμονικού δυναμικού δημιουργείται εν μέρει συμπύκνωση, αυτή καταστρέφεται κατά τη παγίδευσή των ατόμων στο κουτί εν συμφωνία με τη μικρή αύξηση στην θερμοκρασία. Ο λόγος για τον οποίο συμβαίνει αυτό είναι επειδή η διαδικασία της παγίδευσης στο κουτί δεν είναι πλήρως αδιαβατική και έτσι χρειάζεται να ψυχθεί ξανά το αέριο για να επιτευχθεί συμπύκνωση. Με το να μειώσουν την ισχύ των δεσμών laser καταφέρνουν να ψύξουν το αέριο διαδικασία εξάτμισης και πάλι, σε θερμοκρασίες < T c 90nK όπου και παρατηρείται πλέον το φαινόμενο της συμπύκνωσης. Εφόσον πετύχουν τη θεροκρασία που χρειάζονται αυξάνουν και πάλι την ισχύ των δεσμών laser, ούτως ώστε να μπορούν να έχουν το αέριο σε διαφορετικές θερμοκρασίες για πειραματικές μετρήσεις αλλά παγιδευμένο πάντα από το ίδιο δυναμικό.. Eλκτικό συμπύκνωμα ατόμων καλίου σε κουτί Το πείραμα που περιγράφηκε στο προηγούμενο υποκεφάλαιο., αφορούσε άτομα ρουβιδίου 87 Rb όπως είχε αναφερθεί, τα οποία έχει δειχθεί πειραματικά πως έχουν θετικό μήκος σκέδασης a και άρα θετικό U 0 []. Αυτό σημαίνει πως στο κουτί όπου το εξωτερικό δυναμικό V ext = 0 εκτός από την περιοχή πολύ κοντά στα τοιχώματα όπου υπάρχει το απωστικό δυναμικό λόγω των δεσμών laser, το συμπύκνωμα θα είναι απωστικό και θα καταλαμβάνει όλο το χώρο του κουτιού όπως επιβεβαιώνεται στο πείραμα αυτό [3]. Η ίδια τεχνική παγίδευσης εφαρμόστηκε και σε πείραμα με άτομα καλίου 39 K για να μελετηθεί το φαινόμενο της κατάρρευσης του συμπυκνώματος όπως θα αναφερθεί αργότερα [4].

Κεφάλαιο 3 Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 3. Αδιάστατη σχέση ενέργειας συμπυκνώματος Στο υποκεφάλαιο. είχαμε δείξει πως η ολική ενέργεια του συμπυκνώματος δίνεται από τη σχέση... Χάριν ευκολίας των υπολογισμών που κάνουμε καθιστούμε την ενέργεια στη σχέση αυτή αδιάστατο μέγεθος. Αυτό γίνεται με κατάλληλες αντικαταστάσεις των μεγεθών που εμπλέκονται στη σχέση που δίνει την ενέργεια με τον ακόλουθο τρόπο : α 4πaN R r R r E Ẽ N mr όπου R είναι η ακτίνα του κουτιού στο οποίο μπορεί να βρίσκεται το συμπύκνωμα. Ετσι α είναι πλέον το αδιάστατο μήκος σκέδασης, r η αδιάστατη απόσταση και Ẽ η αδιάστατη ενέργεια. Η σταθερά U 0 μετά από τον ορισμό του αδιάστατου μήκους σκέδασης α γίνεται U 0 = Rα mn. 3.. Παράλληλα με αυτά όμως χρειάζεται να ορισθούν η κυματοσυνάρτηση Ψ r και το δυναμικό V int r r με καινούργιο τρόπο προτού τροποποιηθεί η σχέση... Εάν ορίσουμε Ψ r Φ r N R 3 V int r r Ṽint r r R 3 7

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 8 τότε από την κανονικοποίηση της Ψ r βλέπουμε πως N = d 3 r Φ r N R 3 R3 και άρα η Φ r κανονικοποιείται στη μονάδα d 3 r Φ r =. 3.. Οσον αφορά το δυναμικό, παρόλο που το αφήνουμε στη γενική μορφή V int r r που υπονοεί ότι μπορεί να υπάρχει μια εμβέλεια στη δύναμη ανάμεσα στα άτομα, θα πρέπει να κανονικοποιείται στη μονάδα. Αυτό το απαιτούμε διότι ξέρουμε πως η συμπεριφορά του δεν θα αποκλίνει πολύ από αυτή μιας δ r r συνάρτησης, λόγω των χαμηλών θερμοκρασιών στις οποίες παρατηρείται το συμπύκνωμα όπως είχε εξηγηθεί και στο υποκεφάλαιο.. Επομένως για το δυναμικό V int r r έχουμε : = d 3 r V int r r = d 3 r Ṽint r r R 3 R 3 = που μας υποδεικνύει πως το Ṽint r r κανονικοποιείται επίσης στη μονάδα d 3 r Ṽ int r r =. 3..3 Αφού έχουμε τελειώσει με τους ορισμούς των αδιάστατων μεγεθών μπορούμε τώρα να κάνουμε τις ανάλογες αντικαταστάσεις στη σχέση.., όπου το δυναμικό V ext r = 0 στην περίπτωσή μας, αφού το συμπύκνωμα βρίσκεται σε σφαιρικό κουτί. Οι αντικαταστάσεις θα μας δώσουν Ẽ N mr = mr Rα mn d 3 r Φ r d 3 r N R 3 R3 d 3 r Φ r N R 3 Ṽ int r r R 3 Φ r N R 3 R6 = Ẽ = d 3 r Φ r α d 3 r d 3 r Φ r Ṽ int r r Φ r. Στην πιο πάνω διαδικασία χρησιμοποιήθηκε το γεγονός ότι = R, λόγω της σφαιρικής συμμετρίας που κατέχει το συμπύκνωμα. Αγνοώντας τις περισπωμένες που έχουμε πάνω

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 9 από τα διάφορα μεγέθη αφού είναι απλά θέμα συμβολισμού, καταλήγουμε τελικά στη σχέση E = d 3 r Φ r α d 3 r d 3 r Φ r V int r r Φ r 3..4 που δίδει την ενέργεια του συμπυκνώματος ως αδιάστατο μέγεθος πλέον. Επειδή μελετάμε ελκτικό συμπύκνωμα αυτό σημαίνει πως σε όλους τους υπολογισμούς το μήκος σκέδασης θα είναι αρνητικό a < 0. Αυτό όμως συνεπάγεται πως και το αδιάστατο μήκος σκέδασης θα έχει αρνητικές τιμές α < 0. Κάνουμε με βάση αυτό τον συνειρμό λοιπόν τη σύμβαση πως το α > 0 αλλάζοντας το πρόσημο μπροστά από το α στη σχέση 3..4. Η σχέση που δίδει τότε την ενέργεια ως αδιάστατο μέγεθος για ένα ελκτικό συμπύκνωμα θα είναι η παρακάτω : E = d 3 r Φ r α d 3 r d 3 r Φ r V int r r Φ r 3..5 Ολοι οι υπολογισμοί που θα ακολουθήσουν θα χρησιμοποιούν τη σχέση 3..5, ενώ όταν αναφερόμαστε στην τιμή του α θα εννοούμε πάντοτε την απόλυτη τιμή του. 3. Σφαιρικό συμπύκνωμα σε άπειρο χώρο για την τοπική περίπτωση δυναμικού Προκειμένου να δημιουργήσουμε μια διαίσθηση για τον τρόπο με τον οποίο συμπεριφέρεται το συμπύκνωμα, υπολογίζουμε την ενέργειά του θεωρώντας ότι βρίσκεται σε άπειρο χώρο, χρησιμοποιώντας μεταβολικό υπολογισμό. Ξεκινούμε τη διερεύνηση εδώ από την ειδική περίπτωση όπου V int r r = δ r r. Εστω ότι η κυματοσυνάρτησή που το περιγράφει είναι Γκαουσιανής μορφής Gaussian, όπως την επιλέγουμε παρακάτω : Φ r = Ae r 3.. με το A να είναι μια σταθερά κανονικοποίησης και το να είναι πραγματική σταθερά. Οπως είναι γνωστό η ολοκλήρωση της Γκαουσιανής συνάρτησης e r 0 dr e r = δίδει π 3.. ενώ παραγωγίζοντας την πιο πάνω σχέση 3.. ως προς την παράμετρο παίρνουμε 0 dr r e r = 4 π 3. 3..3

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 0 Από την κανονικοποίησή της κυματοσυνάρτησης = 0 0 dr 4πr Φ r = dr 4πr A e r = και χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της σχέσης 3..3 όπου το αυτή, προκύπτει ότι = στην περίπτωση Λύνοντας ως προς τη σταθερά κανονικοποίησης A έχουμε 4πA π 8 3 =. 3..4 A = 3 4 π 3..5 Εφόσον πλέον έχουμε τη σταθερά κανονικοποίησης της κυματοσυνάρτησης, χρησιμοποιούμε τη σχέση 3..5 για να βρούμε την έκφραση για την ολική ενέργεια του συμπυκνώματος. Για τον πρώτο όρο της σχέσης χρειάζεται να υπολογίσουμε την παράγωγο της κυματοσυνάρτησης Φ r στο τετράγωνο Φ r = 4A r e r και άρα ο πρώτος όρος γίνεται 0 dr 6πA r 4 e r. 3..6 Παραγωγίζοντας ξανά ως προς ολοκληρώματος τη σχέση 3..3 έχουμε το αποτέλεσμα του παρακάτω 0 dr r 4 e r = 3 8 π 5 3..7 το οποίο θα μας βοηθήσει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της σχέσης 3..6. Ετσι το ολοκλήρωμα που δίνει τον κινητικό όρο της ενέργειας 3..6, γράφεται με τη βοήθεια του αποτελέσματος της σχέσης 3..7 με το = ως 6πA dr r 4 e r = 6πA 3 π 8 5 = 3 π 0 3 3 3 = 3. 3..8 π

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος είναι : Ο δεύτερος όρος της σχέσης 3..5 που δίνει τη δυναμική ενέργεια του συμπυκνώματος α d 3 r Φ r 4 = 4παA 4 dr r e 4r 3..9 αφού το ολοκλήρωμα ως προς την τονούμενη μεταβλητή d 3 r λόγω της δ r r θα δώσει απλά Φ r. Χρησιμοποιώντας για ακόμη μια φορά το αποτέλεσμα της σχέσης 3..3 με το = 4 τώρα, βλέπουμε πως η σχέση 3..9 ισούται με 4παA 4 4 π 4 3 = α 3 3 π A 4 = α 3 π 3 π 3 = α 3. 3..0 π Αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα από τις σχέσεις 3..8 και 3..0 πίσω στη σχέση 3..5, έχουμε την τελική έκφραση της ενέργειας του συμπυκνώματος σε άπειρο χώρο για την τοπική περίπτωση δυναμικού V int r r = δ r r : E = 3 α π 3 3.. Κάνοντας το γράφημα της ενέργειας για τυχαίες τιμές του α ως προς την παράμετρο στο λογισμικό M athematica το λογισμικό αυτό χρησιμοποιήθηκε σε όλους τους υπολογισμούς, βλέπουμε ότι είναι πάντοτε της μορφής που παρουσιάζεται στις πιο κάτω εικόνες: Εικόνα 3..: Γράφημα της ενέργειας ως συνάρτηση της παραμέτρου. Εδώ συγκεκριμένα α =.

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος Εικόνα 3..: Γράφημα της ενέργειας πάλι για α =. Εδώ παρατηρείται πως η συμπεριφορά δεν αλλάζει για πιο μεγάλες τιμές του Η μορφή αυτή των γραφημάτων της ενέργειας επιβεβαιώνεται από τη δεύτερη παράγωγο της σχέσης 3.. ως προς το, αφού είναι αρνητική για κάθε δυνατή τιμή του E = 3α 4 π 3 < 0. 3.. Καταλαβαίνουμε λοιπόν με βάση τα πιο πάνω, πως όταν το συμπύκνωμα βρίσκεται σε άπειρο χώρο στην απουσία επίδρασης εξωτερικού δυναμικού ενώ το ενδοατομικό δυναμικό ισούται με τη δέλτα συνάρτηση υπάρχουν δύο δυνατά σενάρια ελαχιστοποίησης της ενέργειας :. Το πρώτο σενάριο είναι το όριο στο οποίο. Τότε η κυματοσυνάρτηση γίνεται εξαιρετικά στενή στο χώρο όπως δείχνει η εικόνα 3..3 και το συμπύκνωμα καταρρέει σε πολύ μικρή περιοχή. Εικόνα 3..3: Γράφημα της κυματοσυνάρτησης συναρτήσει της απόστασης μετρούμενη σε R, για α = και = 5000.

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 3 Ο λόγος που συμβαίνει αυτό δεν είναι άλλος από το γεγονός ότι η ενδοατομική έλξη καταφέρνει να υπερνικήσει την κβαντική πίεση.. Το δεύτερο σενάριο είναι το = 0 όπου η κυματοσυνάρτηση Φ r = 0 απλώνεται εντελώς στο χώρο. Αυτό σημαίνει πως τα άτομα σκορπίζονται στο χώρο φεύγουν στο άπειρο και δεν παραμένει πια συμπύκνωμα. Για να γίνει αυτό σημαίνει πως υπερισχύει η κβαντική πίεση έναντι της έλξης μεταξύ των ατόμων του συμπυκνώματος. Συμπεραίνουμε λοιπόν πως κανένα από τα δύο αυτά σενάρια δεν είναι φυσιολογικό, αφού δημιουργούνται φυσικά μη αποδεκτές συμπεριφορές για ελαχιστοποίηση της ενέργειας του συστήματος. Στο πρώτο σενάριο έχουμε ανωμαλία λόγω του αρνητικού απειρισμού της ενέργειας του συμπυκνώματος. Επομένως το σύστημα θα "ψάχνει" συνεχώς για μια καλύτερη ενεργειακά κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας χωρίς να την βρίσκει. Στο δεύτερο σενάριο έχουμε μηδενισμό της κυματοσυνάρτησης Φ r, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να κανονικοποιηθεί και άρα δεν αποτελεί φυσικά αποδεκτή κατάσταση. 3.3 Σφαιρικό συμπύκνωμα σε κουτί για την τοπική περίπτωση δυναμικού 3.3. Διαστατικός Υπολογισμός Προτού προχωρήσουμε σε μεταβολικό υπολογισμό της ενέργειας όπως είχαμε κάνει στο προηγούμενο υποκεφάλαιο 3., πραγματοποιούμε ένα διαστατικό υπολογισμό της ενέργειας για το συμπύκνωμα σε σφαιρικό κουτί. Αυτό θα μας δώσει μια φυσική διαίσθηση για το πως συμπεριφέρεται το σύστημα και έπειτα θα ασχοληθούμε αναλυτικά μαζί του. Με βάση την κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης Φ r 3.., μπορούμε να υποθέσουμε πως αν το συμπύκνωμα θα έχει μια τυπική διάσταση l, τότε : Φ r l 3 3.3. Αφού στο ολοκλήρωμα έγινε η προσέγγιση των αποστάσεων με βάση τη διάσταση του συμπυκνώματος d 3 r l 3, παρομοίως μπορεί να γίνει για τις αλλαγές στις διαστάσεις του συμπυκνώματος, δηλαδή l. Τότε η έκφραση που δίνει την ενέργεια ως αδιάστατο μέγεθος 3..5, παίρνει τη μορφή : E l Φ r l 3 α Φ r 4 l 3 3.3.

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 4 Χρησιμοποιώντας την υπόθεση της σχέσης 3.3., παίρνουμε για την ενέργεια : E l α l 3 3.3.3 Βρίσκοντας που μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της σχέσης 3.3.3 ως προς l E l = 0 = l 3 3α l 4 = 0 = l = 3α και υπολογίζοντας την τιμή της δεύτερης παραγώγου ως προς το l στο σημείο αυτό E l l= 3α = 6 l 4 α l l= 3α = 3 8α 4 < 0 καταλαβαίνουμε πως για l = 3α η ενέργεια μεγιστοποιεί την τιμή της. Ξέρουμε όμως επίσης πως ισχύει l < αφού βρισκόμαστε σε σφαιρικό κουτί η απόσταση μετριέται σε μονάδες της ακτίνας του κουτιού R άρα και το l το ίδιο. Επομένως δημιουργούνται και στην περίπτωση αυτή δύο πιθανά σενάρια ελαχιστοποίησης της ενέργειας αφού το α μπορεί να πάρει τιμές < 3 ή τιμές > 3. Αναλόγως της τιμής του α θα καθοριστεί και η ενεργειακή κατάσταση στην οποία μπορεί να βρεθεί το συμπύκνωμα όπως θα δείξουμε τώρα. Ας εξετάσουμε λοιπόν τις δύο περιπτώσεις :. Κάνοντας το γράφημα της ενέργειας για οποιανδήποτε τιμή του α < 3, βλέπουμε πως η ενέργεια έχει συγκεκριμένη συμπεριφορά ως προς το l. Εδώ συγκεκριμένα παρουσιάζουμε τη συμπεριφορά αυτή σε δύο γραφήματα για α = 0.5, διότι σε ένα δεν θα ήταν ευδιάκριτη για όλο το εύρος των τιμών του l : Εικόνα 3.3.: Συμπεριφορά της ενέργειας για 0 < l 0.5. Η τιμή του α = 0.5.

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 5 Εικόνα 3.3.: Συμπεριφορά της ενέργειας για 0.5 l <. Η τιμή του α = 0.5. Από τα γραφήματα στις εικόνες 3.3. και 3.3. μπορούμε να δούμε, πως είτε το συμπύκνωμα θα ελαχιστοποιήσει την ενέργειά του για l = που σημαίνει ότι καταλαμβάνει όλο το χώρο του κουτιού και υπάρχει μετασταθής λύση, είτε θα καταρρεύσει ενεργειακά σε αρνητικό απειρισμό για l = 0. Να σημειωθεί πως η ενέργεια για την ελαχιστοποίηση στο l = είναι θετική, αφού τα άτομα δεν είναι δέσμια το ένα στο άλλο αλλά υπερισχύει η κβαντική πίεση στο σύστημα και απλώνονται σε όλο το χώρο του κουτιού.. Αντίθετα για τιμές του α > 3, παρόλο που η συμπεριφορά της ενέργειας είναι η ίδια με πριν, το συμπύκνωμα δεν μπορεί να έχει "πρόσβαση" στο μετασταθές ελάχιστο, διότι το μέγιστο βρίσκεται σε συγκεκριμένη τιμή του l > και το ελάχιστο δεξιότερά του. Η εξήγηση έγκειται στο ότι το τυπικό μήκος του συμπυκνώματος l δεν μπορεί να γίνει μεγαλύτερο της μονάδας l <, μιας και βρισκόμαστε σε κουτί με αδιάστατη ακτίνα ίση με. Η συμπεριφορά της ενέργειας φαίνεται πιο κάτω : Εικόνα 3.3.3: Συμπεριφορά της ενέργειας για 0 < l 0.5. Η τιμή του α = 0.8.

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 6 Εικόνα 3.3.4: Συμπεριφορά της ενέργειας για 0.5 l <. Η τιμή του α = 0.8. Με βάση την πιο πάνω διερεύνηση καταλήγουμε στο συμπέρασμα, πως είναι εφικτό να υπάρξει φυσικά αποδεκτή λύση για το σφαιρικό συμπύκνωμα σε κουτί για την τοπική περίπτωση δυναμικού. Αυτό γίνεται όμως μόνο για το εύρος τιμών του α < 3. Αφού πλέον ξέρουμε με βάση αυτό το διαστατικό μοντέλο πως μπορούμε να βρούμε τουλάχιστον μία φυσικά αποδεκτή λύση, προχωρούμε παρακάτω σε μεταβολικό υπολογισμό. 3.3. Μεταβολικός Υπολογισμός Υιοθετούμε ως μεταβολική κυματοσυνάρτηση μία Γκαουσιανή πολλαπλασιαζόμενη με πολυώνυμο δευτέρου βαθμού ως προς r, για να μηδενίζεται στα σύνορα του κουτιού : Φ r = A r e r 3.3.4 Χρησιμοποιώντας το λογισμικό M athematica υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα 0 dr 4πA r r e r = 4A π 5 4 64 e 7 A πe 5 4 6 π erf 64 e 7 3.3.5 όπου erfx = π x 0 dt et είναι η συνάρτηση σφάλματος. Από το πιο πάνω αποτέλεσμα όταν λύσουμε ως προς το A και να πάρουμε : A = 8 π 4 54 e 54 6 π erf e 7 3.3.6

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 7 Το ολοκλήρωμα που δίνει τη δυναμική ενέργεια του συμπυκνώματος όταν ολοκληρωθεί θα δώσει το παρακάτω αποτέλεσμα 0 dr 4παA 4 r r 4 e 4r 3.3.7 P E = α e4 3 945 3360 5760 644 3 4096 4 erf 8 π 4 5 4 e 5 4 6 π erf α 945 840 83 5 3 π 4 5 4 e 5 4 6 π erf 3.3.8 Για τον υπολογισμό του κινητικού όρου, χρειαζόμαστε την κλίση της κυματοσυνάρτησης στο τετράγωνο Φ r = A re r A r r e r όπου ακολούθως το ολοκλήρωμά της 0 dr 4πr A re r A r r e r 3.3.9 θα μας δώσει την κινητική ενέργεια KE = 4 33 0 3 e 8 6 π erf 4 5 4 e 5 4 6 π erf. 3.3.0 Η διαφορά των σχέσεων 3.3.9 και 3.3.7 δίνει την ολική ενέργεια του συμπυκνώματος E = α e4 3 945 3360 5760 644 3 4096 4 erf 8 π 4 5 4 e 5 4 6 π erf α 945 840 83 5 3 π 4 5 4 e 5 4 6 π erf 4 33 0 3 e 8 6 π erf 4 5 4 e 5 4 6 π erf 3.3. Κάνοντας γραφήματα της ενέργειας για τυχαίες τιμές του α μπορούμε να ελέγξουμε κάτω από ποιες συνθήκες ελαχιστοποιείται η ενέργεια του συμπυκνώματος. Η διερεύνηση της ελαχιστοποίησης της ενέργειας παρουσιάζεται παρακάτω και βλέπουμε πως έχουμε δύο δυνατότητες ελαχιστοποίησης της ενέργειας του συμπηκνώματος :. Εάν α < 4.80357, τότε υπάρχει ένα μετασταθές ελάχιστο της ενέργειας για τιμή του πάντοτε < 3. Η τιμή του α που μόλις αναφέρθηκε, καθορίζει το όριο για το οποίο υπάρχει το μετασταθές ελάχιστο της ενέργειας και προκύπτει από την απαίτηση να

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 8 ικανοποιούνται οι πιο κάτω σχέσεις : E = 0, E = 0 που υποδηλώνουν την ύπαρξη σημείου καμπής και εξαφάνιση του μετασταθούς ελαχίστου. Στις εικόνες 3.3.5 και 3.3.6, παρατίθεται η συμπεριφορά της ενέργειας για α = 3 και για α = 5.4 αντίστοιχα, όπου στη δεύτερη εικόνα φαίνεται η εξαφάνιση του μετασταθούς ελαχίστου στην περιοχή του 0: Εικόνα 3.3.5: Συμπεριφορά της ενέργειας με το 0 < 40. Το μήκος σκέδασης α = 3. Εικόνα 3.3.6: Συμπεριφορά της ενέργειας με το 0 < 40. Το μήκος σκέδασης α = 5.4. Επομένως καταλαβαίνουμε πως για τιμές του α < 4.80357 υπάρχει φυσικά αποδεκτή λύση με < 3, που υποδεικνύει πως η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το συμπύκνωμα απλώνεται σε όλο το κουτί όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα :

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 9 Εικόνα 3.3.7: Γράφημα της κυματοσυνάρτησης του συμπυκνώματος για =.3608, όπου βρίσκεται το ελάχιστο της ενέργειας όταν το α = 3.. Η άλλη δυνατότητα για το συμπύκνωμα είναι να προσπαθήσει να ελαχιστοποιήσει την ενέργειά του στο όριο όπου το, μόνο που τότε έχουμε αρνητικό απειρισμό της ενέργειας λόγω της απουσίας ενεργειακού πλατό για μεγάλες τιμές του. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από το γράφημα της επόμενης εικόνας, που δείχνει τη συμπεριφορά της ενέργειας για μεγάλες τιμές του ουσιαστικά είναι η συνέχεια της εικόνας 3.3.5 όπου το α = 3, αλλά το α θα μπορούσε να είχε οποιαδήποτε άλλη τιμή χωρίς να αλλάζει η μορφή της ενέργειας δραστικά. Εικόνα 3.3.8: Γράφημα της ενέργειας για 40 όταν και πάλι το α = 3. Αυτή η περίπτωση είχε εμφανισθεί ξανά και στο υποκεφάλαιο 3., όταν το συμπύκνωμα είχε μελετηθεί καθώς βρισκόταν σε άπειρο χώρο και απορρίπτεται ως μη φυσικά αποδεκτή λύση όπως είχε εξηγηθεί και πιο πριν. Φτάνουμε λοιπόν στο συμπέρασμα πως ο διαστατικός υπολογισμός του υποκεφαλαίου 3.3. και ο μεταβολικός υπολογισμός του υποκεφαλαίου αυτού, βρίσκονται σε συμφωνία

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 0 μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της περίπτωσης l = του διαστατικού υπολογισμού με α < 3, συνάδει με την περίπτωση εδώ του μετασταθές ελαχίστου όταν το < 3 για α < 4.80357 και το συμπύκνωμα καταλαμβάνει όλο το χώρο του κουτιού στο οποίο βρίσκεται. Η άλλη περίπτωση ελαχιστοποίησης της ενέργειας του συμπυκνώματος είναι ο αρνητικός απειρισμός της αφού καταρρεύσει το συμπύκνωμα, ο οποίος δεν γίνεται αποδεκτός ως φυσικά αποδεκτή κατάσταση για το σύστημα. 3.4 Κατάρρευση συμπυκνώματος όπως παρατηρήθηκε από το πείραμα Οι πειραματικές ενδείξεις για την κατάρρευση ενός συμπυκνώματος όχι απαραίτητα σε σφαιρικό κουτί δείχνουν πως πάντοτε μετά την κατάρρευση συνεχίζει να υπάρχει ένα απομεινάρι συμπύκνωμα, με τον αριθμό των ατόμων που το αποτελούν να είναι μικρότερος του αριθμού με τον οποίο δημιουργήθηκε αρχικά το συμπύκνωμα. Οπως δείχνει πιο κάτω η εικόνα 3.4. που είναι παρμένη από πείραμα συμπυκνώματος όπου μελετήθηκε η κατάρρευσή του [5] στην παρουσία δυναμικού αρμονικού ταλαντωτή, το απομεινάρι απομένει με κάποιο χρονικά σταθερό αριθμό ατόμων. Εικόνα 3.4.: Γράφημα του αριθμού των ατόμων στο συμπύκνωμα συναρτήσει του χρόνου [5]. Δηλαδή το συμπύκνωμα καταλήγει σε πλάτωμα όσον αφορά τον αριθμό των ατόμων τα οποία το αποτελούν N remnant, μετά από κάποιο χρόνο αφότου καταρρεύσει. Οι πειραματικές ενδείξεις για ελκτικό συμπύκνωμα σε κουτί είναι του ίδιου τύπου με αυτές που μόλις παρουσιάστηκαν για δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή στην εικόνα 3.4.. Το συμπύκνωμα καταλήγει και πάλι σε σταθερό αριθμό ατόμων μετά την κατάρρευση του,

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος ανεξάρτητο από το χρόνο. Η εικόνα 3.4. πιο κάτω δείχνει την τυπική συμπεριφορά του αριθμού των ατόμων του συμπυκνώματος στο κουτί μετά την κατάρρευση, για a = 0.86a 0 a 0 = 0.59 77 0 67 Å : Εικόνα 3.4.: Γράφημα του αριθμού των ατόμων στο συμπύκνωμα συναρτήσει του χρόνου [4]. Τα αποτελέσματα αυτά έρχονται σε αντίθεση με τα αποτελέσματα διαφόρων αποπειρών θεωρητικών μοντέλων να εξηγήσουν τη συμπεριφορά ενός συμπυκνώματος, μετά την κατάρρευσή του [6, 7, 8, 9, 0, ]. Η λογική που ακολουθήθηκε σε αυτές τις προσπάθειες θεωρητικών περιγραφών ήταν να τροποποιηθεί η εξίσωση Gross P itaevskii προσθέτοντας σε αυτή έναν επιπλέον όρο της μορφής i K 3 Ψ r, t 4 Ψ r, t [6]. Ως αποτέλεσμα η εξίσωση..8 γίνεται : Ψ r, t i = [ t m V ext U 0 Ψ r, t i K 3 Ψ r, t 4 ] Ψ r, t 3.4. όπου το K 3 είναι ο συντελεστής που δίνει το ρυθμό με τον οποίο θα μειώνονται τα άτομα, λόγω του ότι ο όρος αυτός στο δυναμικό είναι φανταστικός. Ο ρυθμός με τον οποίο θα μειώνονται τα άτομα στο συμπύκνωμα δίνεται μάλιστα από τη σχέση : N t = K 3 d 3 r Ψ r, t 6. 3.4. Με βάση την εξίσωση 3.4. λοιπόν καταλαβαίνουμε πως είναι αδύνατο να καταλήγει το συμπύκνωμα σε σταθερό αριθμό ατόμων κάτω από αυτό το καθεστώς. Το αποτέλεσμα που θα ήταν λογικό θα ήταν να αποψιλώνεται το απομεινάρι μέχρις ότου να μην μείνουν καθόλου άτομα.

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος Παρατηρώντας τα πιο πάνω αποτελέσματα βλέπουμε πως υπάρχει ανάγκη για μια διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος. Αυτός είναι και ο λόγος που μας ωθεί στο να υιοθετήσουμε στο επόμενο υποκεφάλαιο μια ατοπική επέκταση της εξίσωσης Gross P itaevskii. 3.5 Ατοπική επέκταση της εξίσωσης Gross - Pitaevskii και διαστατικός υπολογισμός της ενέργειας Είχαμε αναφερθεί ξανά στο υποκεφάλαιο. για το γεγονός ότι το ενδοατομικό δυναμικό V int r r, μπορεί να έχει μια ατοπικότητα και να συμπεριφέρεται σαν δ r r μόνο προσεγγιστικά. Παρ όλα αυτά δεν εξηγήσαμε καθόλου το κίνητρο πίσω από αυτή την υπόθεση, το οποίο τώρα γίνεται ξεκάθαρο. Εάν στο δυναμικό υπάρχει μια ατοπικότητα, τότε τα άτομα που βρίσκονται λίγο έξω από τον εσωτερικό πυρήνα του συμπυκνώματος θα έλκουν τα εσωτερικά προς τα έξω. Αυτό ενισχύει την αποτροπή της κατάρρευσης συνοδευμόνης από αρνητικό απειρισμό της ενέργειας, διότι για δεδομένη χωρική πυκνότητα των ατόμων του συμπυκνώματος θα υπάρχουν περισσότερα άτομα σε ένα δακτύλιο παραέξω, από ό,τι στον εσωτερικό πυρήνα. Η σκέψη είναι πως αυτή η επιπρόσθετη εμβέλεια στην ενδοατομική δύναμη θα μπορεί να σταθεροποιήσει το συμπύκνωμα, δημιουργώντας μια κατάσταση ελάχιστης ενέργειας σταθερού αριθμού ατόμων που θα συμφωνεί με τα πειραματικά δεδομένα. Σε αυτή την κατάσταση τώρα θα μπορεί να ζήσει το συμπύκνωμα, αποφεύγοντας την ανωμαλία και τον αρνητικό απειρισμό της ενέργειας. Επομένως υιοθετούμε μια τέτοια ατοπική επέκταση της εξίσωσης Gross P itaevskii με τον τρόπο Θεοδωράκη - Χατζηγεωργίου []. Ακολουθώντας τη λογική αυτή, το ενδοατομικό δυναμικό θα είναι της μορφής : V r = c 0 e r d 3.5. με c 0 να είναι η σταθερά κανονικοποίησης και το d να εκφράζει την εμβέλεια της δύναμης στο όριο όπου d 0, έχουμε συμπεριφορά δέλτα δυναμικού. Οταν κανονικοποιηθεί το δυναμικό αυτό υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα της σχέσης 3.5., απαιτώντας να συμπεριφέρεται προσεγγιστικά σαν δέλτα συνάρτηση, με άνω όριο ολοκλήρωσης το r, μπορούμε να λύσουμε ως προς τη σταθερά c 0 : 0 dr 4πc 0 r e r d = c 0 d 3 π 3 = 3.5. c 0 =. 3.5.3 d 3 π 3

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 3 Θα πραγματοποιήσουμε τώρα ένα διαστατικό υπολογισμό με βάση το δυναμικό αυτό, για να καταλάβουμε τη συμπεριφορά της ενέργειας προτού πάμε σε μεταβολικούς υπολογισμούς, ακριβώς όπως είχαμε κάνει στο υποκεφάλαιο 3.3.. Δεχόμαστε την υπόθεση πως το συμπύκνωμα έχει μια τυπική διάσταση που τη συμβολίζουμε με l. Με βάση την κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης 3.., μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση 3.3., ενώ γράφουμε την κλίση l. Τότε ο κινητικός όρος της ενέργειας του συμπυκνώματος γίνεται : KE l Φ r l 3 l, ενώ ο όρος της δυναμικής ενέργειας θα είναι l e d E α Φ r l 3 Φ r l 3 π 3/ d 3 αe π 3/ d 3. Ο διαφορά των δύο αυτών αποτελεσμάτων δίνει την ενέργεια του συμπυκνώματος για τον διαστατικό αυτό υπολογισμό : E l l αe d π 3/ d 3. 3.5.4 l d Κατασκευάζοντας γραφήματα της ενέργειας συναρτήσει της παραμέτρου l για τυχαίες τιμές του α και του d, βλέπουμε πως παρουσιάζεται η παρακάτω συμπεριφορά στην ενέργεια του συμπυκνώματος : Εικόνα 3.5.: Γράφημα της ενέργειας για 0 < l 0.05 α = 4, d = 0.05. Οπως δείχνει η εικόνα 3.5., υπάρχει πάντοτε ένα ελάχιστο στην ενέργεια για μια μικρή σχετικά τιμή της τυπικής διάστασης του συμπυκνώματος l με αρνητική ενέργεια. Εδώ συγκεκριμένα για τις τιμές των α = 4 και d = 0.05, η διάσταση του συμπυκνώματος

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 4 στην κατάσταση αυτή της ελάχιστης ενέργειας είναι l = 0.037 μετρούμενη πάντα σε μονάδες της ακτίνας του κουτιού R. Εικόνα 3.5.: Γράφημα της ενέργειας για 0.05 l 0. α = 4, d = 0.05. Στη συνέχεια βλέπουμε στην εικόνα 3.5., πως γίνεται όλο και μεγαλύτερη η ενέργεια του συμπυκνώματος καθώς αυξάνει το μέγεθός του l μέχρι την τιμή l = 0.06776. Οι τιμές της ενέργειας γίνονται επίσης θετικές για τιμές του l 0.055674. Εικόνα 3.5.3: Γράφημα της ενέργειας για 0. l α = 4, d = 0.05. Ξέροντας ότι το l λόγω του μεγέθους του κουτιού στο οποίο είναι εγκλωβισμένο το συμπύκνωμα, καταλαβαίνουμε από το γράφημα της εικόνας 3.5.3 πως υπάρχει τοπικό ελάχιστο της ενέργειας για την τιμή l =, με θετική ενέργεια. Συμπεραίνουμε λοιπόν με αυτό τον απλό διαστατικό υπολογισμό πως η συμπεριφορά της ενέργειας του συμπυκνώματος για την ατοπική επέκταση της εξίσωσης Gross P itaevskii

Μελέτη σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος 5 διαφέρει από αυτήν που παρουσιαζόταν για την τοπική περίπτωση, κατά την οποία το ενδοατομικό δυναμικό V int r r = δ r r. Η κύρια διαφορά έγκειται στο ότι όντως αποφεύγεται πλέον η κατάρρευση του συμπυκνώματος η οποία συνοδευόταν από αρνητικό απειρισμό της ενέργειας, όπως είχαμε υποθέσει στην αρχή πως θα συμβεί. Στην ατοπική αυτή περίπτωση λοιπόν, έχουμε δύο πιθανά σενάρια για το συμπύκνωμα :. Μπορεί να βρίσκεται στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας όπου το l =, οπότε έχει θετική ενέργεια και το μέγεθός του καταλαμβάνει ολόκληρο το χώρο του κουτιού. Αυτό το ενδεχόμενο υπήρχε και για την τοπική περίπτωση.. Πιθανόν να περιορίζεται σε μια στενή περιοχή οπότε το μέγεθός του l να είναι μικρό εδώ συγκεκριμένα όπως αναφέρθηκε ήταν l = 0.037 άρα η κυματοσυνάρτηση εκτείνεται περίπου μέχρι το 00 της ακτίνας του κουτιού, αλλά πλέον αποφεύγεται ο αρνητικός απειρισμός την ενέργειας που υπήρχε στην τοπική περίπτωση δυναμικού. Αυτό που δημιουργείται στην ατοπική αυτή περίπτωση είναι ένα απομεινάρι με αρνητική ενέργεια, το οποίο είναι μια πολύ ευσταθής κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Στηριζόμενοι σε αυτές τις ενδείξεις πλέον μπορούμε να προχωρήσουμε σε μεταβολικό υπολογισμό για την ατοπική επέκταση του ενδοατομικού δυναμικού. Στο επόμενο κεφάλαιο λοιπόν διερευνάται πλήρως η συμπεριφορά της ενέργειας ενός σφαιρικού ελκτικού συμπυκνώματος πρώτα για άπειρο χώρο και μετά για την περίπτωση κουτιού, για την ατοπική περίπτωση δυναμικού.

Κεφάλαιο 4 Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή Οπως είδαμε στο υποκεφάλαιο 3.5, η ατοπική επέκταση του ενδοατομικού δυναμικού δίνει τη δυνατότητα στο συμπύκνωμα να ζει σε μια ευσταθή κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, αποφεύγοντας έτσι τον αρνητικό απειρισμό της ενέργειας που δεν αποτελεί φυσικά αποδεκτή κατάσταση. Αυτό έγινε αντιληπτό από έναν απλοϊκό διαστατικό υπολογισμό. Σε αυτό το στάδιο θα μελετηθεί εκτενέστερα η ατοπική αυτή επέκταση, μέσα από μεταβολικούς υπολογισμούς. 4. Μεταβολικός υπολογισμός ενέργειας για σφαιρικό ελκτικό συμπύκνωμα σε άπειρο χώρο εξής : Για τον μεταβολικό αυτό υπολογισμό, υιοθετούμε ως μεταβολική κυματοσυνάρτηση την Φ r = Ae r 4.. αφού το συμπύκνωμα βρίσκεται σε άπειρο χώρο και δεν χρειάζεται η Φ r να ικανοποιεί οποιεσδήποτε συνοριακές συνθήκες. Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα dr 4πr Φ r = dr 4πA r e r = A π 3 3 6

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 7 και λύνοντας ως προς A A = 3 4 3 4 π 4.. έχουμε την κυματοσυνάρτηση 4.. σε κανονικοποιημένη μορφή. Το ενδοατομικό δυναμικό Γκαουσιανής μορφής που χρησιμοποιούμε είναι αυτό της εξίσωσης 3.5., με τη σταθερά κανονικοποίησης c 0 να δίνεται και πάλι από την σχέση 3.5.3. Λόγω του ότι το δυναμικό εξαρτάται μόνο από την απόσταση μεταξύ δύο ατόμων V int r r, όταν θα αντικατασταθεί στη σχέση 3..5 για να υπολογιστεί η ενέργεια, θα πρέπει το r r r. Επομένως θα έχουμε : V int r r = d 3 π 3 e r r rr cos θ d 4..3 με τη γωνία θ να είναι η ενδιάμεση γωνία στα διανύσματα r και r. Η λογική με βάση την οποία θα γίνουν τα ολοκληρώματα για τον όρο της δυναμικής ενέργειας, αλλά και της κινητικής, είναι ότι προσανατολίζουμε το διάνυσμα r στην κατεύθυνση του θετικού z άξονα ενώ το διάνυσμα r σχηματίζει γωνία θ με το r, όπως δείχνει η εικόνα 4.. πιο κάτω : Εικόνα 4..: Γράφημα που δείχνει τον προσανατολισμό των διανυσμάτων r και r στο χώρο. Το μέτρο των διανυσμάτων r και r και η σφαίρα στην οποία μπορούν να βρίσκονται, εκτείνεται μέχρι το άπειρο. Ετσι γίνονται πρώτα τα ολοκληρώματα ως προς την αζιμουθιακή γωνία ϕ και ϕ για τα δύο διανύσματα αντίστοιχα, τα οποία δίνουν αποτέλεσμα π το κάθε ένα. Επειτα γίνεται ολοκλήρωση ως προς τις γωνίες θ γωνία που σχηματίζει το r με τον θετικό άξονα z όπου

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 8 θα δώσει άλλο ένα παράγοντα και θ, ενώ μένουν τελευταίες οι ολοκληρώσεις για το r και r. Εχοντας υπόψη μας τα πιο πάνω ο όρος που θα δώσει τη δυναμική ενέργεια γράφεται ως εξής : 8 α A 4 π d 3 0 dr 0 dr r r e r r r r d π 0 dθ sin θ e r r cos θ d. Μετά από τον υπολογισμό του ολοκληρώματος για τη γωνία θ καταλήγουμε στο αποτέλεσμα 4 α A 4 π d 0 dr r e r d r d 0 dr e 4 r r d r e r r r d r d, ενώ η ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή r δίδει 4 α A 4 d 3 π 0 dr r e 4 d r d. Τέλος αφού ολοκληρώσουμε για την μεταβλητή r και αντικαταστήσουμε τη σταθερά κανονικοποίησης A με βάση τη σχέση 4.., καταλήγουμε στην απλή έκφραση για τη δυναμική ενέργεια του συμπυκνώματος : [ E = α d π ] 3 4..4 Ο υπολογισμός της κινητικής ενέργειας είναι πιο απλός. Κατ ακρίβεια έχουμε υπολογίσει την κινητική ενέργεια για το σφαιρικό ελκτικό συμπύκνωμα σε κουτί στο υποκεφάλαιο 3., αφού η ατοπική επέκταση του δυναμικού δεν επηρεάζει τον όρο αυτό. Επιστρέφοντας πίσω στο υποκεφάλαιο αυτό λοιπόν, βλέπουμε πως ο όρος της κινητικής ενέργειας ισούται με KE = 3. 4..5 Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα των σχέσεων 4..4 και 4..5, παίρνουμε τη σχέση που δίνει την ολική ενέργεια του συμπυκνώματος [ E = 3 α d π ] 3. 4..6 Μπορούμε να δούμε πως η σχέση 4..6 είναι σωστή, αφού όταν το d = 0 παίρνουμε τη σχέση της ενέργειας από το μεταβολικό υπολογισμό για την τοπική περίπτωση του δυναμικού 3...

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 9 Αφού λοιπόν καταλήξαμε στην προηγούμενη σχέση φτάνουμε και πάλι στο τελικό στάδιο του υπολογισμού, που είναι η κατασκευή των γραφημάτων της ενέργειας συναρτήσει της παραμέτρου, ώστε να μπορέσουμε να καταλάβουμε της συμπεριφορά του συμπυκνώματος. Στις επόμενες τέσσερις εικόνες, παρουσιάζεται η συμπεριφορά της ενέργειας του συμπυκνώματος, για δεδομένες τιμές των παραμέτρων α και d. Εικόνα 4..: Γράφημα της ενέργειας συναρτήσει του 0 < 600, για τις τιμές των α = 7 και d = 0.085. Εικόνα 4..3: Γράφημα της ενέργειας συναρτήσει του 0 < 0, για τις τιμές των α = 7 και d = 0.085. Στις πρώτες δύο εικόνες 4..,4..3, φαίνεται ξεκάθαρα πως η ενέργεια ελαχιστοποιείται για δύο τιμές της παραμέτρου, οπότε αυτό μας υποδεικνύει πως υπάρχουν δύο πιθανές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί το συμπύκνωμα :. Η μία πιθανή περίπτωση είναι το συμπύκνωμα να υπάρχει σε ένα μικρό χώρο στο κέντρο του κουτιού και να βρίσκεται σε ευσταθή κατάσταση αρνητικής ενέργειας το

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 30 ελάχιστο στην ενέργεια της εικόνας 4... Συγκεκριμένα για τις τιμές των α = 7 και d = 0.085, το = 89.8 και η κυματοσυνάρτηση έχει τη μορφή : Εικόνα 4..4: Γράφημα της κυματοσυνάρτησης Φ r συναρτήσει του r όταν = 89.8. από την οποία επιβεβαιώνεται πως το συμπύκνωμα βρίσκεται σε μια μικρή περιοχή στο κέντρο του χώρου, αφού η κυματοσυνάρτηση μηδενίζεται περίπου στο 5 της ακτίνας του κουτιού. Η περίπτωση αυτή συναντήθηκε και στο υποκεφάλαιο 3. βλέπε συγκεκριμένα την εικόνα 3..3, με τη μεγάλη διαφορά όμως πως εκεί υπήρχε αρνητικός απειρισμός της ενέργειας, λόγω της τοπικής φύσης του δυναμικού. Εδώ αντίθετα στην ατοπική επέκταση του δυναμικού, η ενέργεια έχει μια καθορισμένη αρνητική τιμή και το συμπύκνωμα υπάρχει σε μια πολύ ευσταθή και επομένως φυσικά αποδεκτή κατάσταση.. Η άλλη περίπτωση στην οποία μπορεί να υπάρχει το συμπύκνωμα συναντήθηκε και στις δύο περιπτώσεις του δυναμικού τοπική και ατοπική και είναι να απλώνεται σε ολόκληρο το κουτί. Τότε το = 0, όπως δείχνει η εικόνα 4..3, που φανερώνει τη συμπεριφορά της ενέργειας για μικρά, με τη κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται αφού απλώνεται σε κουτί άπειρου όγκου. 4. Μεταβολικός υπολογισμός ενέργειας για σφαιρικό ελκτικό συμπύκνωμα σε κουτί Ακολουθώντας τη λογική του υποκεφαλαίου 3.3. όπου η Γκαουσιανή κυματοσυνάρτηση πολλαπλασιάζεται με r ώστε να ικανοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες στα άκρα του κουτιού, έχουμε για μεταβολική κυματοσυνάρτηση αυτή που δίνεται από τη σχέση 3.3.4.

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 3 Επομένως εάν η κυματοσυνάρτηση είναι Φ r = A r e r, 4.. τότε η κανονικοποίησή της γίνεται υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα 3.3.5 και η σταθερά κανονικοποίησης A ισούται με A = 8 4 54 e π 54 6 π erf. 4.. e 7 Το αποτέλεσμα αυτό ταυτίζεται βεβαίως με το αποτέλεσμα της σχέσης 3.3.6, αλλά το γράφουμε εδώ χάριν πληρότητας του κειμένου και ευκολίας του αναγνώστη. Επίσης ο όρος της κινητικής ενέργειας δεν επηρεάζεται από την αλλαγή του ενδοατομικού δυναμικού στην ατοπική μορφή που υιοθετούμε, εν σχέσει με την τοπική μορφή του δυναμικού. Επομένως, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος της σχέσης 3.3.9 θα δώσει την κινητική ενέργεια KE = 4 33 0 3 e 8 6 π erf 4 5 4 e 5 4 6 π erf, 4..3 που είναι η ίδια με αυτή που δίνεται από τη σχέση 3.3.0 κατά το μεταβολικό υπολογισμό της τοπικής περίπτωσης του δυναμικού. Το μόνο που απομένει να υπολογιστεί λοιπόν που είναι και το δύσκολο κομμάτι του υπολογισμού, είναι η έκφραση που δίνει τη δυναμική ενέργεια του συμπυκνώματος. Με βάση τη λογική για τη σειρά ολοκλήρωσης που εξηγήθηκε στο υποκεφάλαιο 4. και στην εικόνα 4.., το ολοκλήρωμα του όρου που δίνει την δυναμική ενέργεια, γράφεται ως : 8 παa 4 [ d 3 dr r r e r 0 d r 0 dr r r e r d r π dθ 0 sin θ e rr cos θ d ]. Μετά από την ολοκλήρωση της γωνίας θ προκύπτει το αποτέλεσμα 4 παa 4 [ dr r r e d r r d d 0 dr r r e 4rr d e d r rr r d ], 0 ενώ όταν ολοκληρωθεί η έκφραση αυτή και ως προς τη μεταβλητή r, καταλήγουμε σε μια αρκετά μεγάλη σχέση την 4..4 παρακάτω που όταν ολοκληρωθεί και ως προς τη μεταβλητή r, θα δώσει τη δυναμική ενέργεια του συμπυκνώματος.

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 3 Ο λόγος για τον οποίο γράφουμε ότι η σχέση 4..4 ισούται με τη δυναμική ενέργεια προτού τελειώσουμε με τις ολοκληρώσεις, είναι διότι έχουμε ήδη μια πολύ μεγάλη έκφραση η οποία εμπεριέχει και συναρτήσεις σφάλματος erf, των οποίων το όρισμα εξαρτάται από το r. Το λογισμικό M athematica το οποίο χρησιμοποιούμε για τους υπολογισμούς των ολοκληρωμάτων, αδυνατεί να πραγματοποιήσει τέτοια ολοκληρώματα όπου υπάρχουν συναρτήσεις σφάλματος που εξαρτώνται από την ολοκληρωτέα μεταβλητή r. παa 4 E = d / dr r r [ e d r r d d d e r d d 0 6d 8 4d 6 4 r 7r 4 r rr d 4 8 rr 3 r9r 4 4 d r 4 r r 3 9r 7 πr d r erf d e d 4d4 4d r d 4 d d 4d 8 6 4 5 4d 6 3 36 5 d 4 3 r 3 8 5r 9 5 4d 8 r 5r 3 4 r d d e r d 6d 8 4d 6 4 r 7r 4 r rr d 4 8 r 3r r9r 4 4 d r 4 r r 3 9r 7 πr d r erf d e r d r d d 4 d d 4d 8 6 4 5 4d 6 3 36 5 d 4 3 r 3 8 5r 9 5 4d 8 r 5r 3 4 r ] 4..4 Αυτό που μπορεί να γίνει όμως για να παρακαμφθεί αυτό το πρόβλημα, είναι να βρεθεί μία συνηθισμένη συνάρτηση με την ίδια συμπεριφορά όπως η συνάρτηση σφάλματος. Τότε αντικαθιστώντας την στη θέση της συνάρτησης σφάλματος θα μπορούν να υπολογισθούν ολοκληρώματα σαν και αυτό εδώ, που περιέχουν την ειδική αυτή συνάρτηση του σφάλματος της οποίας το όρισμα περιλαμβάνει την ολοκληρωτέα μεταβλητή. Παρουσιάζεται στο ίδιο γράφημα παρακάτω εικόνα 4.. η συμπεριφορά της συνάρτησης σφάλματος καθώς και της προσέγγισής της, η οποία χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 33 του ολοκληρώματος της σχέσης 4..4. Εικόνα 4..: Συμπεριφορά της συνάρτησης σφάλματος και της προσέγγισής της. Η προσεγγιστική συνάρτηση που αντικαθιστά τη συνάρτηση σφάλματος erfx για να γίνει ο υπολογισμός είναι : b 0 xe t xt x 4..5 όπου b 0, t, t είναι σταθερές που προσδιορίζονται από την προσαρμογή της συνάρτησης 4..5 στις τιμές της συνάρτησης σφάλματος, ενώ το x αντιπροσωπεύει σε κάθε περίπτωση το όρισμα της συνάρτησης σφάλματος. Οι τιμές των τριών σταθερών παραμέτρων μετά την προσαρμογή των καμπυλών είναι b 0 = 0.38398974467778, t = 0.7887457457779, t = 0.63578778006794. Το ποσοστιαίο σφάλμα της σχέσης 4..5 εν σχέσει με τη συνάρτηση σφάλματος φαίνεται στο επόμενο γράφημα. Εικόνα 4..: Ποσοστιαίο σφάλμα της σχέσης 4..5 από τη συνάρτηση σφάλματος. Από την πιο πάνω γραφική παράσταση λοιπόν, βλέπουμε πως είναι πολύ ικανοποιητική η προσέγγιση ώστε να γίνει με καλή ακρίβεια ο υπολογισμός του ολοκληρώματος για τη

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 34 δυναμική ενέργεια, αφού το μέγιστο σφάλμα της συνάρτησης που αντικαθιστούμε είναι.5%. Το τελικό βήμα του υπολογισμού περιλαμβάνει την αντικατάσταση της συνάρτησης σφάλματος με την συνάρτηση της σχέσης 4..5 και η ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή r της σχέσης 4..4 θα δώσει τη δυναμική ενέργεια του συμπυκνώματος. Η τελική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια δεν παρουσιάζεται εδώ διότι είναι πολύ μεγάλη και θα έπαιρνε κάποιες σελίδες για να γραφεί. Υπάρχει στο παράρτημα A και συγκεκριμένα στη σελίδα 30, όπου δίνονται οι υπολογισμοί που έγιναν στο M athematica για κάθε κεφάλαιο. Αυτό που μπορούμε να παρουσιάσουμε εδώ όμως και είναι άξιο σχολιασμού είναι η συμπεριφορά της ενέργειας του συμπυκνώματος, από την οποία θα μπορέσουμε να καταλάβουμε όπως πάντα τις πιθανές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί το συμπύκνωμα. Οι επόμενες δύο εικόνες που δείχνουν τη συμπεριφορά της ενέργειας παρατίθενται για το σκοπό αυτό. Εικόνα 4..3: Συμπεριφορά της ενέργειας για α = 5 και d = 0.09. Εικόνα 4..4: Συμπεριφορά της ενέργειας για α = 5 και d = 0.09. Η παράμετρος κυμαίνεται από 0 < 0.

Ατοπική επέκταση ενδοατομικού δυναμικού σε Γκαουσιανή μορφή 35 Στο γράφημα της πρώτης εικόνας 4..3 βλέπουμε τη συμπεριφορά της ενέργειας για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων α και d, ενώ στην δεύτερη εικόνα 4..4 παρουσιάζεται για τις ίδιες τιμές των παραμέτρων αυτών η συμπεριφορά της ενέργειας για μικρές τιμές του. Η μελέτη αυτή της συμπεριφοράς της ενέργειας του συμπυκνώματος μας οδηγεί στα παρακάτω συμπεράσματα :. Υπάρχει η δυνατότητα για το συμπύκνωμα να είναι απλωμένο στο χώρο του κουτιού, αφού όπως βλέπουμε από την εικόνα 4..4 προκύπτει ένα μετασταθές ελάχιστο θετικής ενέργειας για μια μικρή τιμή του συγκεκριμένα εδώ =.346. Η περίπτωση αυτή εμφανίστηκε και στο μεταβολικό υπολογισμό για άπειρο χώρο του υποκεφαλαίου 4. με τη διαφορά ότι εκεί το = 0. Αυτή δεν ήταν μια φυσικά αποδεκτή λύση λόγω του μηδενισμού της κυματοσυνάρτησης και της αδυναμίας κανονικοποίησής της. Εδώ αντίθετα το συμπύκνωμα μπορεί να απλωθεί στο χώρο φτάνοντας μέχρι τα όρια του κουτιού.. Η άλλη δυνατότητα είναι το συμπύκνωμα να καταρρεύσει σε μια μικρή περιοχή στο χώρο, που αντιστοιχεί σε μια ευσταθή κατάσταση στην οποία ελαχιστοποιείται η ενέργεια σε αρνητική τιμή όπως δείχνει η εικόνα 4..3. Το ευσταθές αυτό ελάχιστο της ενέργειας για την περίπτωση που παρουσιάστηκε εδώ βρισκόταν στο = 0.978. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν στο υποκεφάλαιο αυτό με εκείνα του υποκεφαλαίου 3.5 όπου είχε γίνει ο διαστατικός υπολογισμός της ατοπικής περίπτωσης στο κουτί, επιβεβαιώνουμε την ορθότητα του διαστατικού υπολογισμού αφού συμφωνούν τα αποτελέσματα των δύο υποκεφαλαίων. Επίσης, μετά από την εκτενή διερεύνηση για την χρήση της ατοπικής προσέγγισης του δυναμικού στα τελευταία τρία υποκεφάλαια και τις επιπτώσεις που επιφέρει στη συμπεριφορά της ενέργειας του συμπυκνώματος, καταλαβαίνουμε πως μια ατοπική εμβέλεια στο ενδοατομικό δυναμικό μπορεί να επιφέρει δραστικές αλλαγές στα αποτελέσματα που θα προκύψουν. Πρώτον, καταφέρνει να αποτρέψει την κατάρρευση του συμπυκνώματος η οποία συνοδευόταν από αρνητικό απειρισμό της ενέργειας στην τοπική περίπτωση δυναμικού, δημιουργώντας μια πολύ ευσταθή κατάσταση στην οποία το απομεινάρι μπορεί να συνεχίσει να ζει. Δεύτερον, με βάση τη λογική αυτή θα μπορεί ίσως να εξηγηθεί και ο σταθερός αριθμός των ατόμων από τα οποία αποτελείται το απομεινάρι μετά την κατάρρευση, όπως είχε αναφερθεί και πιο πριν, στην αρχή του υποκεφαλαίου 3.5.

Κεφάλαιο 5 Ατοπικό μοντέλο για πείραμα ελκτικού συμπυκνώματος σε κυλινδρικό κουτί Ολοι οι υπολογισμοί που παρουσιάστηκαν μέχρι αυτό το σημείο αφορούσαν σφαιρικό ελκτικό συμπύκνωμα, είτε αυτό βρισκόταν σε άπειρο χώρο είτε σε σφαιρικό κουτί πεπερασμένης ακτίνας. Αυτό όμως δεν είναι απαραίτητο αφού το κουτί στο οποίο παγιδεύεται το υπό μελέτη συμπύκνωμα μπορεί να έχει κάποια διαφορετική συμμετρία από τη σφαιρική. Εξάλλου το κουτί που παρουσιάζεται στην εικόνα.. του υποκεφαλαίου., στο οποίο παγιδεύεται το συμπύκνωμα είναι κυλινδρικής συμμετρίας. Οπότε θα μπορούσε να πει κανείς, πως αγνοήθηκαν εντελώς οι ενδείξεις των πειραμάτων και εμείς κυνηγάμε φαντάσματα. Η πραγματικότητα όμως δεν είναι αυτή. Παρ όλο που δεν αναφέρθηκε μέχρι τώρα, υπάρχει σοβαρός λόγος που όλη η μελέτη στα προηγούμενα κεφάλαια έγινε χρησιμοποιώντας σφαιρική συμμετρία και θα εξηγηθεί αναλυτικά σε αυτό το κεφάλαιο συγκεκριμένα στο υποκεφάλαιο 5.. 5. Το πείραμα στο κυλινδρικό κουτί και τα κύρια συμπεράσματα Η δουλειά που θα παρουσιαστεί σε αυτό το κεφάλαιο και στο επόμενο, είναι βασισμένη σε πείραμα ελκτικού συμπυκνώματος σε κυλινδρικό κουτί το οποίο πραγματοποιήθηκε μόλις πριν δύο χρόνια 06 [4]. Στο πείραμα αυτό χρησιμοποιήθηκαν άτομα καλίου K 39, τα οποία αφού ψύχθηκαν σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες τάξης nk, εγκλωβίστηκαν σε οπτική παγίδα αποτελούμενη από laser με τον τρόπο που εξηγήθηκε στο υποκεφάλαιο.. 36

Ατοπικό μοντέλο για πείραμα ελκτικού συμπυκνώματος σε κυλινδρικό κουτί 37 Με βάση τη γεωμετρία του κουτιού στο οποίο παγιδεύεται το συμπύκνωμα που είναι κυλινδρικού σχήματος, η άμεση λογική συνέπεια θα ήταν οι υπολογισμοί για την ενέργεια του συμπυκνώματος να πραγματοποιηθούν χρησιμοποιώντας κυλινδρική συμμετρία, με την απαίτηση η κυματοσυνάρτηση του συμπυκνώματος να ικανοποιεί τις κατάλληλες συνοριακές συνθήκες μηδενισμός στα τοιχώματα του κουτιού. Η φύση όμως επιλέγει κάτι πολύ διαφορετικό από εκείνο που θα περιμέναμε. Το πείραμα δείχνει πως το συμπύκνωμα είναι στην πραγματικότητα πολύ μικρότερο από τις διαστάσεις της οπτικής παγίδας, με αποτέλεσμα η κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται πολύ πιο μέσα από τα σύνορα του κουτιού [4]! Αυτό σημαίνει πως το συμπύκνωμα είναι σαν να βρίσκεται σε άπειρο χώρο. Ετσι δεν υπάρχει κανένας λόγος να υποθέτουμε πως η κυλινδρική συμμετρία του κουτιού επηρεάζει το συμπύκνωμα ούτε να απαιτούμε ικανοποίηση των συνοριακών συνθηκών για την κυματοσυνάρτηση, αφού στην πραγματικότητα το ίδιο δεν αντιλαμβάνεται την ύπαρξη των τοιχωμάτων της παγίδας. Το ενδοατομικό δυναμικό όπως δείχνουν οι ενδείξεις του πειράματος, θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να αναγκάζει το συμπύκνωμα να περιοριστεί σε ένα μικρό χώρο στο κέντρο του κουτιού. Αυτός ήταν ο λόγος για τον οποίο όλοι οι υπολογισμοί που παρουσιάστηκαν μέχρι και το τέταρτο κεφάλαιο ήταν για σφαιρικό συμπύκνωμα. Η εικόνα 5.. πιο κάτω, δείχνει πως πριν καν ακόμα καταρρεύσει το συμπύκνωμα t < t c όπως αναφέρεται στο άρθρο [4] η κυματοσυνάρτησή του συρρικνώνεται με αποτέλεσμα να βρίσκεται περιορισμένο σε ένα μικρό χώρο στο κέντρο του κουτιού. Εικόνα 5..: Φωτογραφία του συμπυκνώματος αμέσως μετά την απενεργοποίηση της οπτικής παγίδας. Η στήλη στα αριστερά OD δείχνει την οπτική πυκνότητα optical density. Το συμπύκνωμα φωτογραφίζεται κατά μήκος του κυλινδρικού άξονα της οπτικής παγίδας.

Ατοπικό μοντέλο για πείραμα ελκτικού συμπυκνώματος σε κυλινδρικό κουτί 38 Υπάρχει ακόμα ένα βασικό συμπέρασμα στο οποίο καταλήγει το πείραμα αυτό. Μέχρι τώρα όταν αναφερθήκαμε στην κατάρρευση του συμπυκνώματος, είχαμε εξηγήσει με βάση τα γραφήματα που παρουσιάστηκαν στο υποκεφάλαιο 3.4 πως το απομεινάρι καταλήγει σε ένα μοναδικό πλάτωμα με σταθερό αριθμό ατόμων καθώς εξελίσσεται χρονικά. Η αλήθεια είναι πως υπάρχει ακόμα μια περίπτωση όπως δείχνει το πρόσφατο αυτό πείραμα [4]. Η περίπτωση αυτή είναι μετά την κατάρρευση να υπάρχουν δύο πιθανά πλατώματα όσον αφορά τον αριθμό των ατόμων που αποτελούν το απομεινάρι. Η συμπεριφορά αυτή της διπλής υφής που παρατηρείται στο απομεινάρι μετά την κατάρρευσή του συμπυκνώματος εμφανίζεται πειραματικά μόνο για ένα εύρος των τιμών του μήκους σκέδασης α και παρουσιάζεται στην εικόνα 5.. πιο κάτω : Εικόνα 5..: Αριθμός ατόμων στο συμπύκνωμα συναρτήσει του χρόνου και η συμπεριφορά της διπλής υφής στον αριθμό των ατόμων που αποτελούν το απομεινάρι. Τα δύο πλατώματα υπάρχουν μόνο για συγκεκριμένο εύρος των τιμών του μήκους σκέδασης α.