ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής
|
|
- Ματθαίος Παπακωνσταντίνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις (3 μεταβλητών). Αυτή είναι μια αρκετά γενική υπόθεση, μιας και αν δεν είναι πραγματικές συναρτήσεις, μπορούμε, γενικά, να κάνουμε πράξεις και να φέρουμε το μιγαδικό δυναμικό στη μορφή αυτή. Η Χαμιλτονιανή του σωματίου γράφεται H ReV r i ImV r m όπου r, είναι, αντίστοιχα, οι τελεστές της θέσης και της ορμής. Επειδή οι συναρτήσεις ReV r, ImV r είναι πραγματικές, οι τελεστές ReVr, ImVr είναι ερμιτιανοί. Έτσι, η Χαμιλτονιανή αποτελείται από ένα ερμιτιανό ReV r και από ένα αντιερμιτιανό m i ImV r τμήμα. Έστω ότι η κατάσταση του σωματίου τη χρονική στιγμή περιγράφεται από το διάνυσμα κατάστασης, που ικανοποιεί την εξίσωση του Schroiger i H Θα δείξουμε τα εξής: Ο αντιερμιτιανός όρος, δηλαδή το φανταστικό μέρος του δυναμικού, καταστρέφει τη σταθερότητα του μέτρου του μήκους του διανύσματος κατάστασης οποίο τώρα εξαρτάται από τον χρόνο. Η ολική πιθανότητα, που είναι ίση με το τετράγωνο του μέτρου του διανύσματος κατάστασης, εξαρτάται και αυτή από τον χρόνο, επομένως δεν διατηρείται εν γένει. Στην εξίσωση συνέχειας, που στην αναπαράσταση θέσης μας δίνει τη χρονική μεταβολή της πιθανότητας το σωμάτιό μας να βρεθεί σε μια τυχαία κλειστή περιοχή του χώρου, δηλαδή σε μια περιοχή που έχει σύνορο μια κλειστή επιφάνεια, εμφανίζεται ένας πρόσθετος όρος που είναι ανάλογος με το φανταστικό μέρος του δυναμικού. Θα δείξουμε ότι ο όρος αυτός, αν ολοκληρωθεί σε όλο τον χώρο, μας δίνει τη χρονική μεταβολή της ολικής πιθανότητας. Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι εκφράζει την τοπική σε κάθε σημείο του χώρου καταστροφή ή δημιουργία πιθανότητας με το πέρασμα του χρόνου, η οποία, όπως θα δούμε, έχει εκθετική συμπεριφορά (εκθετική αύξηση ή εκθετική μείωση). Ας τα δούμε., το
2 Είναι ΜΕΤΡΟ (ΜΗΚΟΣ) ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 1, (1.1) Για το εσωτερικό γινόμενο, θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό.,. αντί του συμβολισμού του Dirac (bra-ke), επειδή ο πρώτος βολεύει, και ενδείκνυται, όταν χειριζόμαστε μη ερμιτιανούς τελεστές. Ο συμβολισμός του Dirac είναι φτιαγμένος για τον χειρισμό κυρίως ερμιτιανών τελεστών. Από την (1.1) θα πάρουμε, (1.),, Όμως i H i (1.3) H Από τις (1.) και (1.3) θα πάρουμε i H,, i H i i,, i i H H H,, H i i i, H, H, H H i, H H, H H i (1.4) Παρατηρήστε ότι όταν ο Ĥ (Χαμιλτονιανή) είναι ερμιτιανός τελεστής, δηλαδή όταν το δυναμικό είναι πραγματικό, μηδενίζεται ο όρος H H, οπότε, δηλαδή το μέτρο του διανύσματος κατάστασης είναι σταθερό, επομένως Έτσι, μπορούμε να κανονικοποιήσουμε την κατάσταση του συστήματός μας την αρχική χρονική στιγμή και η σταθερότητα του μέτρου του διανύσματος κατάστασης μάς εξασφαλίζει ότι η κανονικοποίηση διατηρείται. Αυτός, άλλωστε, r r,. είναι ο λόγος που κανονικοποιούμε τις αρχικές κυματοσυναρτήσεις Θυμίζουμε ότι r, r.
3 Αντίθετα, όταν το δυναμικό έχει μη μηδενικό φανταστικό μέρος, ο Ĥ δεν είναι ερμιτιανός. Τότε H ReV r i ImV r H ReV r i ImV r m m Επομένως Ερμιτιανό τμήμα H H i ImV r (1.5) Αντιερμιτιανός όρος Παρατηρήστε την ομοιότητα με τη σχέση z z i Im z Αν αντικαταστήσουμε την (1.5) στην (1.4) θα πάρουμε i,i ImV r,imv r Το εσωτερικό γινόμενο,imv r θα το γράψουμε τώρα με τον συμβολισμό του Dirac. Σημειώνουμε ότι ο τελεστής της θέσης παραμένει ερμιτιανός, οπότε ο τελεστής ImV r είναι κι αυτός ερμιτιανός, εφόσον η συνάρτηση είναι πραγματική συνάρτηση. Έτσι λοιπόν ImV r (1.6) Ορίζουμε τη μέση τιμή του τελεστή ImV r Αν ImV r V ImV r (1.7) (σταθερό), τότε ImVr, τη χρονική στιγμή, ως όπως πρέπει. Αν το μέτρο του διανύσματος κατάστασης ImVr ήταν σταθερό, V V V V, μπορούσαμε να κανονικοποιήσουμε το διάνυσμα την αρχική χρονική στιγμή, δηλαδή να θέσουμε 1, οπότε 1 1, και τότε η μέση τιμή θα δινόταν από τη γνωστή σχέση Im ImV r V r Τώρα λοιπόν θα έχουμε
4 ImV r Im Im V r V r ImV r ImV r (1.8) Αν αντικαταστήσουμε την (1.8) στην (1.6) θα πάρουμε ImV r ImV r 1 ImV r ImV r l ImV r (1.9) Αυτή είναι η σχέση που μας δίνει τη χρονική μεταβολή του μέτρου του (τυχαίου) διανύσματος κατάστασης, όταν το δυναμικό είναι μιγαδικό. Αν ολοκληρώσουμε από μια αρχική χρονική στιγμή έως μια τυχαία χρονική στιγμή, θα πάρουμε ImV r ImV r l l ImV r l l l ImV r e (1.1) Αυτή είναι η σχέση που μας δίνει τη χρονική εξάρτηση του μέτρου του (τυχαίου) διανύσματος κατάστασης, όταν το δυναμικό είναι μιγαδικό. Παρατηρήστε αμέσως ότι αν το δυναμικό είναι πραγματικό, δηλαδή αν ImV r, δηλαδή το μέτρο του διανύσματος κατάστασης είναι σταθερό. Παρατηρήστε επίσης όταν αν ImV r V μέρος του δυναμικού είναι σταθερό, τότε η (1.1) γράφεται V ImV r V V, δηλαδή αν το φανταστικό V e e e V, οπότε
5 Αν V, το μέτρο του διανύσματος κατάστασης αυξάνει εκθετικά και τείνει στο άπειρο. Αν V, το μέτρο του διανύσματος κατάστασης μειώνεται εκθετικά και τείνει στο μηδέν. ImVr Δείτε επίσης ότι το εκθετικό είναι αδιάστατο, όπως πρέπει άλλωστε. Σημειώνουμε ότι για να ισχύει η προηγούμενη ανάλυση, θα πρέπει να είναι πεπερασμένο το αρχικό μέτρο του διανύσματος κατάστασης, δηλαδή θα πρέπει, και επίσης θα πρέπει να παραμένει πεπερασμένο με το πέρασμα του χρόνου, δηλαδή θα πρέπει. ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Στην αναπαράσταση θέσης, η ολική πιθανότητα, ας τη συμβολίσουμε με P oal, είναι η πιθανότητα να βρούμε το σωμάτιο σε όλο τον χώρο. Έτσι, 3 3 Poal r r r r r r,, 3 3 r r r r r r 1 Poal (1.11) Αν το μέτρο του διανύσματος είναι σταθερό, δηλαδή αν το δυναμικό είναι πραγματικό, η ολική πιθανότητα διατηρείται, και μπορούμε να τη θέσουμε ίση με τη μονάδα, δηλαδή Poal 1. Με την κανονικοποίηση ουσιαστικά αυτό κάνουμε, δηλαδή θέτουμε την ολική πιθανότητα ίση με τη μονάδα. Όταν το δυναμικό είναι μιγαδικό, δείξαμε ότι Επομένως ImV r e Im V r ImV r Poal e e ImVr P e (1.1) oal Όπου ImV r ImV r
6 Παρατηρήστε ότι η έκφραση της ολικής πιθανότητας είναι ανεξάρτητη από την αναπαράσταση. Αν ImV r V V, η (1.1) γράφεται P e oal (1.13) ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Στην αναπαράσταση θέσης, το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης r, είναι η πυκνότητα πιθανότητας θέσης. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να βρούμε το σωμάτιο σε μια κλειστή περιοχή όγκου U, δηλαδή σε μια περιοχή που έχει ως σύνορο μια κλειστή επιφάνεια, είναι P U,,,,, PU r r r r r r r r U U U U 3 r, r, r r, r, Δηλαδή PU 3 r (1.14) U Παρατηρήστε ότι η ποσότητα είναι πραγματική, αφού ο ένας όρος είναι μιγαδικός συζυγής του άλλου, επομένως Re Re Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού η πιθανότητα, και η χρονική της παράγωγος, είναι μετρήσιμες ποσότητες, επομένως πρέπει να εκφράζονται από πραγματικές συναρτήσεις. Από την εξίσωση του Schroiger θα έχουμε i H r i r H r, i H r r, (1.15) Η χαμιλτονιανή είναι H V r m Επομένως, στην αναπαράσταση θέσης, θα είναι i H r V r V r (1.16) m m Από τις (1.15) και (1.16) θα πάρουμε i i m m i V V
7 Άρα i i i i V V m m Οπότε i i V Επίσης m i i V m Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις, θα πάρουμε i i V V (1.17) m i Η παράσταση m προέρχεται από τον κινητικό όρο της Χαμιλτονιανής, δηλαδή από την ορμή του σωματίου, ενώ στην παράσταση i V V συμμετέχει μόνο το φανταστικό μέρος του δυναμικού. Με άλλα λόγια, το πραγματικό μέρος του δυναμικού δεν εμπλέκεται στην εξίσωση συνέχειας. Θέλουμε τώρα να γράψουμε το ως απόκλιση μιας ποσότητας. Είναι Επίσης, είναι V V i ImV Έτσι, η (1.17) γράφεται i i m i Im V m Δηλαδή iimv i Im V m Οπότε η (1.14) γράφεται
8 P 3 U 3 i r r Im V m U U PU 3 i r Im V m U 3 3 i Im r r V m U U i 3 3 r r Im V m U U 3 i r Im V m U Επειδή η περιοχή U είναι τυχαία (αυθαίρετη), πρέπει να μηδενίζεται η ολοκληρωτέα συνάρτηση, δηλαδή i Im V m Im V mi Η προηγούμενη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως j ImV (1.18) Η (1.18) είναι η εξίσωση συνέχειας σε μιγαδικό δυναμικό, στις τρεις διαστάσεις. Όπου, βέβαια, r, r, είναι η πυκνότητα πιθανότητας και,,,,, j r r r r r mi είναι το ρεύμα πιθανότητας r, r, r, r, είναι Παρατηρήστε ότι η ποσότητα φανταστική, αφού ισχύει Re mi είναι πραγματική ποσότητα, ως γινόμενο φανταστικών ποσοτήτων. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού το ρεύμα πιθανότητας, ως μετρήσιμη ποσότητα, πρέπει να είναι πραγματική συνάρτηση. Αν το δυναμικό είναι πραγματικό, η (1.18) γράφεται Έτσι, το r, r, r, r, j (1.19) Η (1.19) είναι η εξίσωση συνέχειας σε πραγματικό δυναμικό, στις τρεις διαστάσεις.
9 Θα δείξουμε τώρα ότι ο πρόσθετος όρος ImV σχετίζεται με τη δημιουργία ή την καταστροφή πιθανότητας. Δείξαμε ότι η ολική πιθανότητα ισούται με το μέτρο (μήκος) του διανύσματος κατάστασης στο τετράγωνο, δηλαδή Poal. Επίσης, δείξαμε ότι ImV r με τον πρόσθετο όρο Θα συνδέσουμε το εσωτερικό γινόμενο ImV r της εξίσωσης συνέχειας, ImV. Για να το κάνουμε αυτό, θα γράψουμε το στην αναπαράσταση θέσης. εσωτερικό γινόμενο ImV r Είναι Ο τελεστής θέσης r είναι ερμιτιανός, οπότε τα ιδιοδιανύσματά του αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων. Έτσι, ισχύει η σχέση 3 πληρότητας r r r r r r ImV r r r r ImV r 3 ImV r r r r ImV r 3 3 r r, Im V r r r, r r, Im V r r, 3 3 r r, ImV r r ImV Δηλαδή 3 r Im V P oal 3 r Im V (1.) Άρα, λοιπόν, το ολοκλήρωμα του πρόσθετου όρου, σε όλο τον χώρο, ισούται με τη χρονική μεταβολή της ολικής πιθανότητας. Δείξαμε ότι, παρουσία μιγαδικού δυναμικού, η εξίσωση συνέχειας, στις τρεις διαστάσεις, γράφεται j ImV Ο πρώτος όρος,, είναι η τοπική χρονική μεταβολή της πυκνότητας πιθανότητας. Ο δεύτερος όρος, j, εκφράζει την τοπική μεταφορά, την τοπική ροή, πιθανότητας από το ένα σημείο του χώρου στο άλλου. Ο τρίτος όρος, ο πρόσθετος όρος, ImV, εκφράζει την τοπική δημιουργία ή την τοπική καταστροφή πιθανότητας εξαιτίας της
10 παρουσίας του μιγαδικού δυναμικού. Παρατηρήστε ότι ο όρος αυτός είναι ανάλογος του γινομένου της πυκνότητας πιθανότητας επί το φανταστικό μέρος του δυναμικού, σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, η τοπική καταστροφή ή η τοπική δημιουργία πιθανότητας να είναι εκθετική. Για να το καταλάβουμε καλύτερα αυτό, ας θέσουμε j, δηλαδή ας υποθέσουμε ότι δεν έχουμε μεταφορά, ροή, πιθανότητας από το ένα σημείο του χώρου στο άλλο. Τότε, η εξίσωση συνέχειας γράφεται 1 l l ImV ImV ImV ImV ImV r, l Im V r, r,e r, Αν θεωρήσουμε ότι το φανταστικό μέρος του δυναμικού δεν εξαρτάται από τον χρόνο, τότε,, ImV r r r e (1.1) Η (1.1) μάς δίνει τη χρονική εξέλιξη της πυκνότητας πιθανότητας σε κάθε σημείο του χώρου, όταν η απόκλιση του ρεύματος πιθανότητας είναι μηδέν. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι στις περιοχές του χώρου όπου ImV, η πυκνότητα πιθανότητας φθίνει εκθετικά με το πέρασμα του χρόνου και τείνει στο μηδέν, ενώ, αντίθετα, στις περιοχές του χώρου όπου ImV, η πυκνότητα πιθανότητας αυξάνει εκθετικά με το πέρασμα του χρόνου και τείνει στο άπειρο ( ). Στις επιφάνειες που μηδενίζεται η συνάρτηση ImV, δηλαδή στις επιφάνειες με εξίσωση r, r, Im V x, y, z, ισχύει, δηλαδή η πυκνότητα πιθανότητας δεν εξαρτάται από τον χρόνο, είναι στάσιμη. Κοντά στις επιφάνειες αυτές, η ImV είναι σε άλλα σημεία θετική και σε άλλα αρνητική, οπότε παρατηρείται μια μη γραμμική συμπεριφορά, με γειτονικές μεταξύ τους περιοχές όπου η πυκνότητα πιθανότητας τείνει εκθετικά στο άπειρο ή στο μηδέν. ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΕ ΧΡΟΝΟΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Στην περίπτωση όπου το δυναμικό δεν εξαρτάται από τον χρόνο, η χαμιλτονιανή του σωματίου μας γράφεται H ReV r i ImV r m Αν είναι η κατάσταση του συστήματός μας τη χρονική στιγμή, τότε i = H (εξίσωση Schroiger) Θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή μηδέν, η κατάσταση του σωματίου μας,, είναι μια ιδιοκατάσταση της ενέργειας, δηλαδή
11 H E Σημειώστε ότι επειδή ο Ĥ δεν είναι ερμιτιανός, οι ιδιοτιμές του, οι ενέργειες, θα είναι, γενικά, μιγαδικοί αριθμοί, δηλαδή θα έχουν και φανταστικό μέρος. Έστω ότι Τότε T Ο H δεν εξαρτάται από τον χρόνο H H T T H T E E, δηλαδή η είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας, και αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή E.Με άλλα λόγια, καθώς περνάει ο χρόνος, η κατάσταση του σωματίου εξακολουθεί να είναι ιδιοκατάσταση ίδιας ενέργειας. Αν αντικαταστήσουμε την στην εξίσωση του Schroiger, θα πάρουμε i T = H T i T TH TE T, γιατί η είναι, ως ιδιοκατάσταση ιδιοκατάσταση, άρα T i T ET i T ET i E T ie T ie ie ie c lt lt c T e e T c Τη σταθερά Άρα ie e μπορούμε να την ενσωματώσουμε στην κατάσταση ie T e e Όπου τώρα η ενέργεια E είναι μιγαδικός αριθμός, δηλαδή E E ie r Επομένως. i Er ie r e e e E ie (1.) Άρα E ie r e e e E (1.3) Αν E, το μέτρο της ιδιοκατάστασης αυξάνει εκθετικά και τείνει στο άπειρο. Αν E, το μέτρο της ιδιοκατάστασης φθίνει εκθετικά και τείνει στο μηδέν.
12 E, τότε Αν, δηλαδή το μέτρο της ιδιοκατάστασης είναι σταθερό. Αυτό συμβαίνει, όπως είδαμε, όταν το δυναμικό είναι πραγματικό, αλλά, όπως βλέπουμε εδώ, μπορεί να συμβεί και σε μιγαδικό δυναμικό. Ας δούμε πότε. Δείξαμε (εξ. (1.1)) ότι το μέτρο μιας τυχαίας κατάστασης ImV r e είναι Αν η κατάσταση είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας, τότε (εξ. (1.3)) e E Επομένως, θα πρέπει ImV r E Im E V r e e E ImV r E ImV r Το Im V r ισούται με την παράγουσα της συνάρτησης ImVr χρονική στιγμή, μείον την ίδια παράγουσα τη χρονική στιγμή μηδέν. Δηλαδή Im V r Im V r Άρα E ImV r (1.4) τη όπου ImV r ImV r Παρατηρήστε ότι αν ImV r V είναι σταθερό, τότε Im, δηλαδή αν το φανταστικό μέρος του δυναμικού V r Im V V r V V, Επομένως E V Γενικά, εφόσον η E δεν εξαρτάται από τον χρόνο, αφού είναι το φανταστικό μέρος ιδιοτιμής μιας χρονικά ανεξάρτητης Χαμιλτονιανής, η μέση τιμή ImV r δεν πρέπει να εξαρτάται από τον χρόνο. Πράγματι, από την (1.) θα έχουμε
13 E ie r r e e e e Επομένως r r e e e e e E ie E ie E ie E Άρα Im V r ανεξάρτητο του χρόνου E ImV r e e e e ImV r e E Δηλαδή ImV r ier E ier ImV r E ImV r e ImV r ImV r E e ImVr ImV r ImV r Έτσι, λοιπόν, η μέση τιμή (1.5) βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της ενέργειας. Από την (1.4) συμπεραίνουμε ότι αν ImV r δεν εξαρτάται από τον χρόνο, όταν το σωμάτιο ImV r, τότε E. Δηλαδή, όταν η μέση τιμή του φανταστικού μέρους του δυναμικού είναι μηδέν, είναι μηδέν το φανταστικό μέρος της ιδιοτιμής της ενέργειας. Επίσης, η ολική πιθανότητα είναι oal E P e P e oal E (1.6) Αν E, η ολική πιθανότητα αυξάνει εκθετικά και τείνει στο άπειρο. Αν E, η ολική πιθανότητα φθίνει εκθετικά και τείνει στο μηδέν. Αν E, η ολική πιθανότητα παραμένει σταθερή, δηλαδή Poal Poal. Αυτό, όπως δείξαμε, συμβαίνει όταν είναι μηδέν η μέση τιμή του φανταστικού μέρους του δυναμικού ImV r, στη συγκεκριμένη ιδιοκατάσταση. ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Θα εξετάσουμε τώρα την περίπτωση όπου το φανταστικό μέρος του δυναμικού είναι σταθερό, δηλαδή real V r V r iv Τότε
14 H V real r iv Hherm iv, m όπου Hherm Vreal m r είναι το ερμιτιανό κομμάτι της Χαμιλτονιανής. Δηλαδή herm, H herm Vreal r H herm H H iv m Αν ιδιοκατάσταση του H herm, με ιδιοτιμή (ενέργεια) E, τότε herm herm H H iv H iv E iv E iv Ĥ E iv Δηλαδή η είναι ιδιοκατάσταση του Ĥ, με ιδιοτιμή (ενέργεια) E iv. Επειδή ο H herm είναι ερμιτιανός, οι ιδιοτιμές του, E, είναι πραγματικές. Έτσι λοιπόν οι ιδιοτιμές της χαμιλτονιανής Ĥ έχουν πραγματικό μέρος τις ιδιοτιμές του H herm και σταθερό φανταστικό μέρος ίσο με iv. Επομένως, για να υπολογίσουμε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ενέργειες του δυναμικού V r V r iv (σταθερό φανταστικό μέρος), αρκεί να υπολογίσουμε τις real ιδιοκαταστάσεις και τις ενέργειες του δυναμικού Vr είναι οι ιδιοκαταστάσεις του V real r συν iv. Παρατηρήστε επίσης ότι Vreal Vreal r. Οι ιδιοκαταστάσεις του r, ενώ οι ενέργειες είναι οι ενέργειες του H, H H iv, H H, H iv, H iv 1, H herm herm herm herm herm herm herm Επομένως, οι HH έχουν κοινό σύνολο ιδιοκαταστάσεων., herm ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ (ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ) 1 i Ως παράδειγμα, θα εξετάσουμε το δυναμικό V x m x, δηλαδή το δυναμικό μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή με σταθερό φανταστικό μέρος, ίσο με τη βασική ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή. Οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας είναι οι ιδιοκαταστάσεις του αρμονικού ταλαντωτή, και οι ενέργειες είναι E 1 i Παρατηρήστε ότι
15 E Για, E, δηλαδή το μέτρο των ενεργειών τείνει στις ενέργειες του αρμονικού ταλαντωτή. Η βασική ενέργεια του συστήματος είναι i E = 1 i και η αντίστοιχη, βασική κατάσταση του συστήματος, στην αναπαράσταση θέσης, είναι x 4 a 1 1 x x e, a a m είναι δηλαδή ίδια με τη βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή. Όμως, η χρονική εξέλιξη της x, δεν είναι ίδια με τη χρονική εξέλιξη της, η x, βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή. Όπως δείξαμε, η εξέλιξη μιας ιδιοκατάστασης της ενέργειας, όταν το δυναμικό είναι μιγαδικό, είναι E ie r r, e e r Στην περίπτωσή μας E r, Οπότε E, i x, e e x. Η χρονική εξέλιξη της βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή Θα επαληθεύσουμε τώρα την εξίσωση συνέχειας j ImV Η πυκνότητα πιθανότητας είναι x i, x e e x e x e x Επομένως Επίσης είναι
16 x, x, j x, x, mi mi x x i i i i e e xe e x e e xe e x mi e x x e x x j x, mi Επειδή ImV, θα έχουμε (ισχύει) Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση x θα ισχύουν τα αντίστοιχα, δηλαδή E ie r x, e e x Η χρονική εξέλιξη της ιδιοκατάστασης x του αρμονικού ταλαντωτή 1 E i r Με εξαίρεση μια σταθερή μιγαδική φάση, που είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης των κυματοσυναρτήσεων, οι ιδιοκαταστάσεις x του αρμονικού ταλαντωτή είναι E πραγματικές συναρτήσεις. Η πυκνότητα πιθανότητας για το σύστημά μας θα είναι x ier, x e e x e x e x Οπότε x e Το ρεύμα πιθανότητας είναι μηδέν, όπως και πριν, αφού x, x, j x, x, mi mi x x ier ier ier ier e e xe e x e e xe e x mi e x x e x x j x, mi Επίσης ImV, επομένως, η εξίσωση συνέχειας γράφεται j ImV (ισχύει) Όπως δείξαμε, οι ιδιοκαταστάσεις του αρμονικού ταλαντωτή είναι και ιδιοκαταστάσεις του συστήματος που εξετάζουμε. Η διαφορά είναι ότι επειδή το
17 δυναμικό μας έχει και ένα (σταθερό) φανταστικό μέρος, η χρονική εξέλιξη των ιδιοκαταστάσεων του συστήματός μας είναι διαφορετική από εκείνη των ιδιοκαταστάσεων του αρμονικού ταλαντωτή. Η διαφορά τους είναι ο χρονικός E παράγοντας e, όπου E (το φανταστικό μέρος του δυναμικού), που προκαλεί τη χρονική μεταβολή (στην περίπτωσή μας αύξηση) του μέτρου του διανύσματος της ιδιοκατάστασης. Με άλλα λόγια, αν είναι η χρονική εξέλιξη της ιδιοκατάστασης της αντίστοιχης ιδιοκατάστασης E E του αρμονικού ταλαντωτή, τότε η χρονική εξέλιξη e e SHO Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα SHO του συστήματος που εξετάζουμε είναι (1.7) SHO και έχουν διαφορετικό μέτρο. Συγκεκριμένα, το μέτρο του με τη μονάδα), ενώ, αντίθετα, το μέτρο του είναι παράλληλα, αλλά SHO είναι σταθερό (ίσο SHO αυξάνει εκθετικά με τον χρόνο. Παρατηρήστε επίσης ότι ο παράγοντας e καθορίζεται αποκλειστικά από το φανταστικό μέρος της ενέργειας, E, που είναι ίσο με το σταθερό φανταστικό μέρος του δυναμικού. Επομένως ο παράγοντας e είναι ίδιος για όλες τις ιδιοκαταστάσεις. Έτσι, λοιπόν, αν θεωρήσουμε έναν γραμμικό συνδυασμό ιδιοκαταστάσεων θα ισχύουν τα ίδια, δηλαδή το διάνυσμα κατάστασης του συστήματός μας θα είναι παράλληλο στο αντίστοιχο διάνυσμα κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή, με μέτρο που θα είναι ίσο με τον παράγοντα e, δηλαδή θα αυξάνει εκθετικά με τον χρόνο. ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ V x iax Ας θεωρήσουμε ένα σωμάτιο υπό την επίδραση του δυναμικού Θα λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας. Αν η είναι μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας, τότε Ĥ E (1.8) Στην αναπαράσταση θέσης, x x, i V x iax,. Επομένως, η (1.8) γράφεται x a. i x x H x E H x E x iax x E x m x iax x E x x E x iax x m m
18 m (1.9) x E iax x Στην αναπαράσταση ορμής, x i,. Έτσι, η (1.8) θα μας δώσει H E H E iai E m m (1.3) m a E a E Βλέπουμε ότι στην αναπαράσταση ορμής, η εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας είναι μια διαφορική εξίσωση 1 ης τάξης που λύνεται εύκολα με μια απλή ολοκλήρωση ενώ στην αναπαράσταση θέσης, η εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας είναι μια διαφορική εξίσωση ης τάξης με μη σταθερούς συντελεστές. Βολεύει λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών στην αναπαράσταση ορμής. Γενικά, στην αναπαράσταση θέσης, η εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας είναι μια διαφορική εξίσωση ης τάξης, και είναι γενικά απλούστερη από τη διαφορική εξίσωση που παίρνουμε αν γράψουμε την εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας στην αναπαράσταση ορμής. Γι αυτό βολεύει να εργαζόμαστε στην αναπαράσταση θέσης, με εξαίρεση δύο περιπτώσεις: όταν το δυναμικό είναι σταθερό, όπου η εξίσωση ιδιοτιμών στην αναπαράσταση ορμής είναι μια απλή εξίσωση, και όταν το δυναμικό είναι γραμμική συνάρτηση της θέσης, όπως εδώ, όπου η εξίσωση ιδιοτιμών στην αναπαράσταση ορμής είναι μια διαφορική εξίσωση 1 ης τάξης που λύνεται με απλή ολοκλήρωση. Όταν το δυναμικό είναι τετραγωνική συνάρτηση της θέσης αυτή είναι η περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή, ή γενικότερα του φορτισμένου αρμονικού ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο η εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας στην αναπαράσταση θέσης έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας στην αναπαράσταση ορμής. Από την (1.3) θα πάρουμε όχι ταυτοτικά μηδενική, ως ιδιοσυνάρτηση l E a E 1 m a me E l E E a me a me a me 3 E a 6mE 3 E c l c e e a 6mE A 3 6ma E a Ae (1.31) Επειδή το δυναμικό είναι φανταστικό (μιγαδικό), η ενέργειας είναι κι αυτή μιγαδική εν γένει. Η ορμή είναι πραγματική, καθώς ο τελεστής της ορμής εξακολουθεί να είναι ερμιτιανός. Μπορούμε να γράψουμε την ως 3 6ma παράγοντας e είναι πραγματικός και ο παράγοντας και η σταθερά A. Αν E a e 3 6ma Ae e E a, όπου ο είναι μιγαδικός, όπως
19 E E ie τότε r ( Er ie ) E ie Er ie 6ma a 6ma a a 6ma a a r Ae e Ae e e Ae e e Επομένως 3 3 E E r r 6ma a 6ma a A e e A e A e 3 6ma 6mE 1 r Έτσι, για 6mE 1 r 1 οπότε A e 3 6ma Οπότε i) αν a, τότε, l l A e A e ii) αν a, τότε A e A e l, l Σε κάθε περίπτωση, το ολοκλήρωμα αποκλίνει (απειρίζεται), αφού η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι μη αρνητική και απειρίζεται στο ένα από τα δύο όρια, δεν είναι ολοκλήρωσης. Έτσι, η ιδιοκατάσταση της ενέργειας, κανονικοποιήσιμη. Αυτό σημαίνει ότι το μέτρο της ιδιοκατάστασης της ενέργειας την αρχική χρονική στιγμή, δηλαδή το μέτρο του διανύσματος, απειρίζεται. Πράγματι, 1, είναι η σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της ορμής. Ο τελεστής της ορμής εξακολουθεί να είναι ερμιτιανός, οπότε τα ιδιοδιανύσματά του αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων. Επομένως
20 Το αποτέλεσμα αυτό, όπως βλέπουμε, είναι ανεξάρτητο από την αναπαράσταση, δηλαδή ισχύει και στην αναπαράσταση θέσης. Πράγματι, είναι x x x x x x 1, είναι η σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της θέσης. Ο τελεστής της θέσης εξακολουθεί να είναι ερμιτιανός, οπότε τα ιδιοδιανύσματά του αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων. x x x x x x x x Επομένως x x Επειδή το αρχικό μέτρο της κατάστασής μας,, απειρίζεται, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τις σχέσεις για τη χρονική εξέλιξη του μέτρου ενός διανύσματος κατάστασης σε μιγαδικό δυναμικό, αφού οι σχέσεις αυτές, όπως επισημάναμε, ισχύουν όταν το αρχικό μέτρο του διανύσματος κατάστασης, δηλαδή το μέτρο του την αρχική χρονική στιγμή, είναι πεπερασμένο. Παρατηρήστε επίσης ότι η σταθερά a έχει διαστάσεις δύναμης και στις δύο αναπαραστάσεις. Πράγματι, στην αναπαράσταση θέσης E V x x iax ax al E MVV MVV MV a L L VT T T F Στην αναπαράσταση ορμής 1 E E ET T E V x iai a a F Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosa@homail.com
ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω â μια παρατηρήσιμη (διανυσματικός τελεστής) με συνεχές φάσμα ιδιοτιμών. Επίσης, έστω ότι t είναι η κατάσταση του συστήματός μας την τυχαία χρονική στιγμή
Διαβάστε περισσότεραÂ. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότερα(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, υπολογίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΗ κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017
Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Διαβάστε περισσότεραΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ
ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.
Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες ασκήσεις στροφορμής
Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των
Διαβάστε περισσότερα( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού
Half Oscillator Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού ì, x ï V x í ïî mw x, x > Το σύστημα αυτό αναφέρεται ως «Half Oscillator». Στα Ελληνικά, θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «μισός αρμονικός ταλαντωτής»,
Διαβάστε περισσότεραΜια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση
Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. spiroskonstantogiannis@gmail.com Δεκεμβρίου 07 //07 Coprigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης,
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρημα virial1 στην κβαντική μηχανική
Το θεώρημα val στην κβαντική μηχανική Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. sposkonsanoganns@gal.co 7 Φεβρουαρίου 08 Η λέξη val προέρχεται από το λατινικό vs, που σημαίνει «δύναμη», «ενέργεια», «ισχύς»
Διαβάστε περισσότεραΓια να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος της (3), κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής
Στην αναπαράσταση θέσης, η τυχαία συνοχική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση της μορφής y ( ( Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής, y% (, είναι ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότερα, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή
Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότερα( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)
ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών
Διαβάστε περισσότεραμαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης
Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0
Διαβάστε περισσότεραΣύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)
Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά
Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι
Διαβάστε περισσότεραμαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x
Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις
Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις 4. Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ˆ i e, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του
Διαβάστε περισσότεραΕίναι (1) Έστω (2) Τότε η (1) γράφεται (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( x; a ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα
Είναι i ö ö y ( ; ) ç ep ç - ˆ ep ç ( p ø ø ) ö ø () Έστω () Τότε η () γράφεται i ö ö y ( ; ) ç ep ç ep ç - ( - ˆ p ø ø ) ö ø (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( ; ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΔύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1
Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0.
ΑΣΚΗΣΗ 4 Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ip ˆ x x, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ˆp x ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του αρμονικού ταλαντωτή.
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,
Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ
Διαβάστε περισσότερα1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)
. Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότερα21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση
Διαβάστε περισσότεραΗ άλγεβρα της στροφορμής
Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται
Διαβάστε περισσότεραΤο Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας
Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για
Διαβάστε περισσότεραΕύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής
Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο
Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΙδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite
Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite i) Δείξτε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. ii) Δείξτε ότι y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,...
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός Ταλαντωτής
Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραKΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli
Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου
Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή
Διαβάστε περισσότεραNobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά
Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής
Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις
Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών
Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες
Διαβάστε περισσότεραΠαραμαγνητικός συντονισμός
Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη
Διαβάστε περισσότερα(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0
Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το
Διαβάστε περισσότερα(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης
Σπιν 1 μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο (ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Έστω ηλεκτρόνιο μέσα σε μαγνητικό πεδίο cos B B t, όπου B, και si cose si sie cos e είναι
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Πολλών Σωματίων
Συστήματα Πολλών Σωματίων Δομή Διάλεξης Βασικές γενικεύσεις: Κυματοσυνάρτηση-Ενέργεια συστήματος πολλών σωματίων Μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια: Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων:
Διαβάστε περισσότεραΤο κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».
Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,
Διαβάστε περισσότερα( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραΧρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών
Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )
vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Συναλλοίωτη Μορφή: οι Dirac γ Matrices Η εξίσωση Dirac μπορεί να γραφεί σε συναλλοίωτη μορφή χρησιμοποιώντας τις 4 Dirac γ matrices: Πολλαπλασιάζοντας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.
ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα+ z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας
r Έστω κβαντικός περιστροφέας ολικής στροφορμής J, που περιγράφεται από Jx J y J τη Χαμιλτονιανή H = z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας I x I y I z του περιστροφέα ως προς τους άξονες x,y,z,
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να σκιαγραφηθεί
Διαβάστε περισσότεραΟρισμοί και πράξεις πινάκων
Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι
Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι
Κβαντικός περιστροφέας που J J J H y z τοποθετείται y z περιγράφεται μέσα σε από τη ομογενές, Χαμιλτονιανή χρονοανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα z, δηλαδή B B ez, με B >. Αν
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραH = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n
3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος
Διαβάστε περισσότεραV fn V ni 2πδ(E f E i )
Ο διαδότης Εχουμε δεί ήδη ότι στα διαγράμματα Feynman η γραμμή του εικονικού φωτονίου αντιστοιχεί στο όρο 1/q 2 με q η ορμή του εικονικού φωτονίου (q 2 0). Αν το εικονικό σωματίδιο έχει μάζα ο διαδότης
Διαβάστε περισσότεραΜεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)
Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότερα( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών
Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΑρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις
Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότερα