Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις

Transcript

1 Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις 4. Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ˆ i e, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του w αρμονικού ταλαντωτή. i Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t. ii Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t >. iii Υπολογίστε την πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρεθεί στη βασική κατάσταση όταν t. iv Υπολογίστε την πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρεθεί στη βασική κατάσταση όταν t >. w 4 w Δίνεται ότι και e c ò d e -b - c b e b, b > - Λύση i Είναι i ˆ ˆ i e å! Όμως d i -i ˆ d d d d i d d d d - d å! å - 444! 44 4 d - - d d å å!! d - Σειρά Tlor της με κέντρο το και μετατόπιση - 8//7

2 - w 4 } 4 w w - e - - e, η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει την κατάσταση του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν είναι η 4 e - - Παρατηρήστε ότι η ψ δεν έχει καθορισμένη ομοτιμία, δηλαδή δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Αυτό σημαίνει ότι δεν ανήκει στο σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας του ταλαντωτή, που, όπως ξέρουμε, είναι συναρτήσεις καθορισμένης ομοτιμίας άρτιες ή περιττές, λόγω του ότι το δυναμικό του ταλαντωτή είναι συμμετρικό άρτια συνάρτηση., η κατάσταση του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν ΔΕΝ είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας. Η μέση τιμή της θέσης του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν είναι πραγματική συνάρτηση ò d ò d - - ò d e } ò d - ò d e Αν κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής - θα έχουμε : -, + d d Οπότε 8//7

3 ò d e ò d e - + ò d e Όμως { { Συμμετρικό διάστημα Περιττή 4444 συνάρτηση ολοκλήρωσης Άρτια συνάρτηση ò d e - - Περιττή συνάρτηση Και ò d e - -, η μέση τιμή της θέσης του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν είναι Η μέση τιμή της ορμής του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή μηδέν είναι πραγματική ò d συνάρτηση - ˆ -i ò d - } - i ò d - Όμως - i - i - i - - d ò Παρατηρήστε ότι για να δείξουμε την 4 δεν χρησιμοποιήσαμε πουθενά τη συγκεκριμένη μορφή της. Χρησιμοποιήσαμε μόνο το γεγονός ότι η είναι δέσμια οπότε μηδενίζεται στο άπειρο και είναι πραγματική. 8//7

4 Ουσιαστικά δηλαδή δείξαμε ότι σε μια τυχαία δέσμια κατάσταση, ενός μονοδιάστατου συστήματος, η μέση τιμή της ορμής, τη χρονική στιγμή μηδέν, είναι μηδέν αν η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση είναι πραγματική. ˆ i Από τις και 4 βλέπουμε ότι ο τελεστής e μετατοπίζει κατά τη μέση τιμή της θέσης, ενώ αφήνει ανεπηρέαστη τη μέση τιμή της ορμής. Θυμίζουμε ότι σε όλες τις ιδιοκαταστάσεις του αρμονικού ταλαντωτή, επομένως και στη βασική του κατάσταση, η μέση τιμή της θέσης και της ορμής είναι μηδέν. ˆ i Λόγω της ιδιότητάς του αυτής, ο τελεστής e ονομάζεται τελεστής μετατόπισης trsltio oertor. ˆ i Γενικά, ο τελεστής μετατόπισης ορίζεται ως Tˆ º e -, όπου πραγματική σταθερά με διαστάσεις μήκους. Η δράση του τελεστή μετατόπισης σε μια τυχαία δέσμια κατάσταση ενός τυχαίου κβαντικού συστήματος έχει ως αποτέλεσμα τη μετατόπιση της μέσης τιμής της θέσης του συστήματος κατά, ενώ η μέση τιμή της ορμής του δεν επηρεάζεται. Μπορεί να δειχθεί σχετικά εύκολα προτρέπουμε τον αναγνώστη να το δείξει ότι ο τελεστής μετατόπισης είναι μοναδιακός uitr, δηλαδή ισχύει Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ. Μπορεί επίσης να δειχθεί ότι é ˆ, Tˆ ù Tˆ û ë απόρροια της σχέσης αυτής είναι η μετατόπιση της μέσης τιμής της θέσης. ii Στην προηγούμενη ανάρτηση άσκηση, ερώτημα i, υπολογίσαμε τη χρονική εξέλιξη των μέσων τιμών της θέσης και της ορμής σε μια τυχαία κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους δύο γενικούς τύπους που αποδείξαμε εκεί, όπου για τον ταλαντωτή που εξετάζουμε εδώ, και. Ωστόσο, για λόγους αυτονομίας της παρούσας άσκησης, θα κάνουμε τον υπολογισμό από την αρχή, δηλαδή θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Erefest για να υπολογίσουμε τη χρονική εξέλιξη των μέσων τιμών της θέσης και της ορμής. Επειδή οι τελεστές της θέσης και της ορμής δεν εξαρτώνται ρητά από τον χρόνο, το θεώρημα του Erefest μάς δίνει d ˆ i éë Hˆ, ˆ ùû 5 d ˆ i éë Hˆ, ˆ ùû 6 Όμως 4 8//7

5 é ˆ ù é ˆ ù é ù é Hˆ, ˆ ù ê ˆ, ˆ ú ê éë ˆ, ˆ ùû ˆ ˆ, ˆ ] + w, ˆ ú + ê w ˆ, ˆ ú [ ë û 444 û ë û ë û ë4 ˆ [ ˆ, ˆ ] + [ ˆ, ˆ ] ˆ [ ˆ, ˆ ]-[ ˆ, ˆ ]- i } i ˆ -i + -i ˆ -iˆ - ˆ i é Hˆ, ˆ ù - ˆ 7 ë û Και é ˆ ù é ˆ ù é ù é Hˆ, ˆ ù ê ˆ, ˆ ú ê + w, ˆ ú + ê w ˆ, ˆ ú w éë ˆ, ˆ ùû ë û û ë û ë û ë 44 ˆ ˆ, ˆ ] w ˆ [ ˆ, ˆ ] + [ ˆ, ˆ ] ˆ w ˆ i + i ˆ w [ w iˆ iw ˆ é Hˆ, ˆ ù iw ˆ 8 ë û Αν αντικαταστήσουμε την 7 στην 5, θα πάρουμε d ˆ ˆ i i i i - ˆ - ˆ d ˆ ˆ 9 που είναι η κλασική σχέση ορισμού της ορμής, με τη διαφορά ότι η θέση και η ορμή έχουν αντικατασταθεί από τις μέσες τιμές τους. Ομοίως, αν αντικαταστήσουμε την 8 στην 6, θα πάρουμε d ˆ i i iw ˆ iw ˆ -w ˆ d ˆ -w ˆ που είναι ο ος νόμος του Νεύτωνα, με τη διαφορά ότι η θέση και η ορμή έχουν αντικατασταθεί από τις μέσες τιμές τους. Αν παραγωγίσουμε την, θα πάρουμε d ˆ d ˆ -w Αντικαθιστούμε, από την 9, την παράγωγο της μέσης τιμής της θέσης, και παίρνουμε 5 8//7

6 d ˆ ˆ -w -w ˆ d ˆ + w ˆ που είναι η εξίσωση κίνησης του κλασικού αρμονικού ταλαντωτή, με τη διαφορά ότι η θέση και η ορμή έχουν αντικατασταθεί από τις μέσες τιμές τους. Η λύση της προηγούμενης διαφορικής εξίσωσης είναι ˆ A e iw t + B e -iwt Αν παραγωγίσουμε την ως προς τον χρόνο, παίρνουμε d ˆ Aiw e iwt - Biw e -iw t Αν αντικαταστήσουμε την προηγούμενη εξίσωση στη, θα πάρουμε Aiw e iwt - Biw e -iwt - w ˆ ˆ ib ia e -iwt e iwt w w Εφαρμόζουμε τις αρχικές συνθήκες, παίρνουμε, αντίστοιχα, και, στις και, και A+ B και ib ia w w Η η εξίσωση μάς δίνει B -A και τότε η η εξίσωση γράφεται - ia ia ia w w w A- w iw i A iw Έτσι, η σταθερά B είναι 6 8//7

7 B- iw 4 Αντικαθιστούμε τις και 4 στη, και παίρνουμε iw iw ii ˆ e -iwt e iwt e -iwt + e iwt w w e iwt + e -iwt cos w t cos wt cos wt 5 Αντικαθιστούμε τις και 4 στην, και παίρνουμε iw iw iw e iwt e -iwt e iwt - e -iwt iw i si wt -w si wt -w si wt - w si wt - si wt w ˆ - si wt 6 iii Όπως δείξαμε στο ερώτημα i, τη χρονική στιγμή μηδέν, η κατάσταση του ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση, δηλαδή 4 e - - Όπως αναφέραμε και στο ερώτημα i, η δεν έχει καθορισμένη ομοτιμία, επομένως δεν είναι ιδιοσυνάρτηση της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή. Επειδή, όμως, οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή αποτελούν βάση στον συναρτησιακό χώρο των κυματοσυναρτήσεων του αρμονικού ταλαντωτή, μπορούμε να γράψουμε την ως γραμμικό συνδυασμό των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας, δηλαδή å c 7 όπου είναι οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή, οι οποίες είναι ορθοκανονικές, δηλαδή ò d d 8 - Η 7 μάς λέει ότι η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής στην ιδιοκατάσταση, που περιγράφεται από την ιδιοσυνάρτηση, είναι 7 8//7

8 P c Έτσι, λοιπόν, η ζητούμενη πιθανότητα είναι P c 9 Εξάλλου, από τη 7 παίρνουμε å c å c ò d - ò d å c å c ò d d å cd c c ò d - Άρα c ò d - Έτσι, η 9 γράφεται P ò d - Πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ò d - Αν αντικαταστήσουμε στο ολοκλήρωμα την 4 w w w } 4 e e -, και τη, παίρνουμε 4 4 d d e e - - ò- ò- - ò d e //7

9 ò- d -ò d e Όμως ò- d e ò d e e - ò d e ò d e - b - - c } c e b b - e - e e - e e ò d e e - 4 Με βάση την, η γράφεται d e - e - ò- 4 4 Έτσι, η ζητούμενη πιθανότητα είναι, από την P e - e - :, 6 e 4 P :, 6, η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής στη βασική κατάσταση τη χρονική στιγμή μηδέν είναι περίπου 6%. Αντίστοιχα, η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής σε μια διεγερμένη κατάσταση, τη χρονική στιγμή μηδέν, είναι περίπου 4% - P. iv Μάς ζητείται να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρεθεί στη βασική κατάσταση όταν t >. Η χρονική εξέλιξη των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας,, είναι ie t, t e - 9 8//7

10 όπου E + w Από τη 7, μπορούμε να γράψουμε τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης ως ie t 4, t å c e Από την 4 συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρεθεί στη βασική κατάσταση τη χρονική στιγμή t > είναι ie t ie t P t c e - c e - c P :, Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η πιθανότητα αυτή είναι σταθερή, δεν εξαρτάται από τον χρόνο. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skost@otil.co 8//7