PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS 1. Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc pou èqoun eidik morf b' mèlouc. 1
Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc pou èqoun eidik morf b' mèlouc. 'Estw h D.E. Y + k 1 y + k 2 y = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px 1) ìpou k 1, k 2, A, B, ω, p eðnai stajerèc kai fx) polu numo. Upojètoume akìmh ìti r eðnai h pollaplìthta thc rðzac sth qarakthristik algebrik exðswsh thc antðstoiqhc omogenoôc. H 1) èqei mða merik lôsh thc morf c: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px 2) ìpou πx), ϕx) eðnai polu numa tou Ðdiou bajmoô me to fx). H plhroforða aut, ìpwc ja doôme sth sunèqeia, eðnai arket gia ton prosdiorismì mðac merik c lôshc opìte apofeôgetai h diadikasða thc mejìdou metabol c twn stajer n. Na prostejeð akìmh ìti ta parapˆnw isqôoun kai gia grammikèc D.E. opoiasd pote tˆxhc arkeð na èqoun stajeroôc suntelestèc. 'Askhsh 1: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 4y = x 2 + 1. LUSH 'Eqoume grammik D.E. deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc. AkoloujoÔme thn parakˆtw diadikasða: a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : y 4y = 0 opìte h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: λ 2 4 = 0 λ 1 = 2, λ 2 = 2 y 0 x) = c 1 e 2x + c 2 e 2x 1) 2
b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc eðnai eidik c morf c: me Akìmh y 4y = x 2 + 1 x 2 + 1 = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px fx) = x 2 + 1, ω = 0, p = 0, A = 1. p + iω = 0 + i0 = 0 pou den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c. 'Ara r = 0. r eðnai h pollaplìthta thc rðzac p + iω sth qarakthristik algebrik, opìte an to p + iω den eðnai rðza thc, ja bˆzoume r = 0). H merik lôsh prèpei na èqei th morf : kai me p = ω = r = 0 grˆfetai: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = x 0 [πx) cos0x) + ϕx) sin0x)] e 0x = πx) y µ x) = πx) ìpou πx) eðnai polu numo Ðdiou bajmoô me to polu numo fx) = x 2 + 1. Autì eðnai arketì gia ton prosdiorismì thc merik c lôshc. AfoÔ to πx) eðnai deuterobˆjmio polu numo ìpwc to fx)) mporoôme na upojèsoume: πx) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 y µ x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 2) ìpou a 2, a 1, a 0 ˆgnwstoi suntelestèc. 'Omwc h y µ x) prèpei na ikanopoieð th D.E. y 4y = x 2 + 1 y µ 4y µ = x 2 + 1 a2 x 2 + a 1 x + a 0 ) 4 a2 x 2 + a 1 x + a 0 ) = x 2 + 1 2a 2 4a 2 x 2 4a 1 x 4a 0 = x 2 + 1 4a 2 x 2 4a 1 x + 2a 2 4a 0 ) = x 2 + 1 3) 3
Apì thn sqèsh 3), prèpei oi suntelestèc twn omobajmðwn ìrwn sta dôo mèlh na eðnai Ðsoi) prokôptei: 4a 2 = 1, 4a 1 = 0, 2a 2 4a 0 = 1 opìte prokôptoun oi timèc: a 2 = 1 4, a 1 = 0, a 0 = 3 8 kai h zhtoômenh merik lôsh eðnai: y µ x) = 1 4 x2 3 8. g) Genik lôsh : yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = c 1 e 2x + c 2 e 2x 1 4 x2 3 8. 'Askhsh 2: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 3y + 2y = xe x. LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me qarakthristik algebrik : opìte h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 3y + 2y = 0 λ 2 3λ + 2 = 0 λ 1 = 2, λ 2 = 1 y 0 x) = c 1 e 2x + c 2 e x 1) 4
b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc y 3y + 2y = xe x eðnai eidik c morf c: xe x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = x, ω = 0, p = 1, A = 1. H p + iω = 1 + i0 = 1 eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c me bajmì pollaplìthtac r = 1. H merik lôsh prèpei na èqei th morf : y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = x 1 [πx) cos0x) + ϕx) sin0x)] e x y µ x) = xπx)e x 2) ìpou πx) eðnai omobˆjmio polu numo tou fx), dhlad pr tou bajmoô. 'Estw: H y µ x) prèpei na ikanopoieð th D.E. πx) = a 1 x + a 0 y µ x) = xa 1 x + a 0 )e x y µ x) = a 1 x 2 + a 0 x ) e x 3) y 3y + 2y = xe x [ a1 x 2 + a 0 x ) e x] 3 [ a1 x 2 + a 0 x ) e x] + 2 a1 x 2 + a 0 x ) e x = xe x 2a 1 x + 2a 1 a 0 = x 4) ìpou to e x aplopoieðtai metˆ tic prˆxeic. Apì thn isìthta twn poluwnômwn, me exðswsh twn suntelest n twn omobajmðwn ìrwn, paðrnoume: 2a 1 = 1, 2a 1 a 0 = 0, kai h merik lôsh sqèsh 3)) grˆfetai: a 1 = 1 2, a 0 = 1 y µ x) = 1 ) 2 x2 x e x g) H genik lôsh thc D.E. eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = c 1 e 2x + c 2 e x + 1 ) 2 x2 x e x. 5
'Askhsh 3: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 2y + y = sin 2x LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : y 2y + y = 0 1) λ 2 2λ + 1 = 0 λ 1 = λ 2 = 1 dipl ). DÔo grammikˆ anexˆrthtec lôseic thc 1) eðnai oi e x, xe x kai h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 0 x) = c 1 e x + c 2 xe x 2) b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc eðnai eidik c morf c: me y 2y + y = sin 2x sin 2x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px fx) = 1, A = 0, B = 1, p = 0, ω = 2. en to p + iω = 0 + i2 = 2i den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c, ˆra r = 0. H morf thc merik c lôshc eðnai: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = x 0 [πx) cos2x) + ϕx) sin2x)] e 0x = πx) cos 2x + ϕx) sin 2x ìpou πx), ϕx) polu numa omobˆjmia tou fx) dhlad stajerèc. 'Ara telikˆ: y µ x) = a cos 2x + b sin 2x. 3) H 3) prèpei na ikanopoieð thn y 2y + y = sin 2x 6
a cos 2x + b sin 2x) 2 a cos 2x + b sin 2x) + a cos 2x + b sin 2x) = sin 2x 4a cos 2x 4b sin 2x + 4a sin 2x 4b cos 2x + a cos 2x + b sin 2x = sin 2x 3a 4b) cos 2x + 3b + 4a) sin 2x = sin 2x 4) Sthn isìthta 4) prèpei oi suntelestèc twn cos 2x, sin 2x sta dôo mèlh na eðnai Ðsoi: 3a 4b = 0, 3b + 4a = 1 kai h merik lôsh sqèsh 3)) eðnai: a = 4 25, b = 3 25 y µ x) = 4 25 cos 2x 3 25 sin 2x. g) H genik lôsh eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = c 1 e x + c 2 xe x + 4 25 cos 2x 3 25 sin 2x. 7
'Askhsh 4: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 2y + 2y = e x cos x. LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : y 2y + 2y = 0 1) λ 2 2λ + 2 = 0 λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i pou eðnai migadikèc suzugeðc DÔo grammikˆ anexˆrthtec lôseic eðnai: a ± bi me a = 1, b = 1. e ax cos bx = e x cos x, e ax sin bx = e x sin x kai h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 0 x) = c 1 e x cos x + c 2 e x sin x y 0 x) = e x c 1 cos x + c 2 sin x). 2) b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc y 2y + 2y = e x cos x eðnai eidik c morf c: e x cos x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = 1, A = 1, B = 0, p = 1, ω = 1. kai to p + iω = 1 + i eðnai apl rðza thc qarakthristik c algebrik c, ˆra r = 1. H morf thc merik c lôshc eðnai: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = xa 1 cos x + b 1 sin x)e x. 3) ìpou πx) = a 1, ϕx) = b 1 stajerˆ polu numa omobˆjmia me to fx) = 1) 8
H y µ x), 3) prèpei na ikanopoieð thn y 2y + 2y = e x cos x y µ 2y µ + 2y µ = e x cos x [xa 1 cos x + b 1 sin x)e x ] 2 [xa 1 cos x + b 1 sin x)e x ] + 2xa 1 cos x + b 1 sin x)e x = e x cos x 2a 1 sin x + 2b 1 cos x = cos x. Me exðswsh twn suntelest n twn cos x, sin x twn dôo mel n paðrnoume: 2a 1 = 0, 2b 1 = 1 kai h merik lôsh sqèsh 3)) eðnai: a 1 = 0, b 1 = 1 2 y µ x) = 1 2 x sin x ex. g) H genik lôsh eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = e x c 1 cos x + c 2 sin x) + 1 2 x sin x ex. 9
'Askhsh 5: Na lujeð h diaforik exðswsh: y + y = 6x 2 + 4. LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : y + y = 0 1) λ 3 + λ 2 = 0 λ 2 λ + 1) = 0 λ 1 = λ 2 = 0, λ 3 = 1 opìte treðc grammikˆ anexˆrthtec lôseic eðnai: e 0x = 1, xe 0x = x, e x kai h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 0 x) = c 1 + c 2 x + c 3 e x. 2) b) EÔresh merik c lôshc. ParathroÔme ìti to b' mèloc thc eðnai eidik c morf c: me y + y = 6x 2 + 4 6x 2 + 4 = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px fx) = 6x 2 + 4, A = 1, ω = 0, p = 0. kai to p + iω = 0 eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c me bajmì pollaplìthtac r = 2. 'Ara upˆrqei merik lôsh: y µ x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y µ x) = x 2 πx) y µ x) = x 2 a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) ìpou to πx) eðnai omobˆjmio polu numo me to fx). y µ x) = a 2 x 4 + a 1 x 3 + a 0 x 2. 3) 10
H y µ x), 3) prèpei na ikanopoieð thn y + y = 6x 2 + 4. y µ + y µ = 6x 2 + 4 a2 x 4 + a 1 x 3 + a 0 x 2) + a2 x 4 + a 1 x 3 + a 0 x 2) = 6x 2 + 4 24a 2 x + 6a 1 + 12a 2 x 2 + 6a 1 x + 2a 0 = 6x 2 + 4 12a 2 x 2 + 24a 2 + 6a 1 )x + 6a 1 + 2a 0 = 6x 2 + 4 Apì thn isìthta twn suntelest n twn omobajmðwn dunˆmewn twn dôo mel n, paðrnoume: 12a 2 = 6, 24a 2 + 6a 1 = 0, 6a 1 + 2a 0 = 4. a 2 = 1 2, a 1 = 2, a 0 = 8 kai h merik lôsh sqèsh 3)) eðnai: y µ x) = 1 2 x4 2x 3 + 8x 2. g) H genik lôsh eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = c 1 + c 2 x + c 3 e x + 1 2 x4 2x 3 + 8x 2. 11
Prìtash : An y 1, y 2 eðnai merikèc lôseic twn D.E. y + P x)y + Qx)y = F 1 x), y + P x)y + Qx)y = F 2 x) antðstoiqa, h y 1 thc pr thc, h y 2 thc deôterhc) tìte h y 1 + y 2 eðnai mða merik lôsh thc D.E. y + P x)y + Qx)y = F 1 x) + F 2 x). Apìdeixh H y 1 eðnai merik lôsh thc pr thc: kai h y 2 eðnai merik lôsh thc deôterhc Me prìsjesh katˆ mèlh twn 1), 2) paðrnoume: y 1 + P x)y 1 + Qx)y 1 = F 1 x) 1) y 2 + P x)y 2 + Qx)y 2 = F 2 x) 2) y 1 + y 2 ) + P x)y 1 + y 2 ) + Qx)y 1 + y 2 ) = F 1 x) + F 2 x) dhlad, prˆgmati, h y 1 + y 2 eðnai merik lôsh thc y + P x)y + Qx)y = F 1 x) + F 2 x) 3) Parat rhsh : H prìtash epitrèpei eôresh twn y 1, y 2 qwristˆ opìte h merik lôsh thc 3) eðnai y 1 + y 2. Profan c isqôei kai gia perissìterouc prosjetèouc sto b' mèloc thc 3). 12
'Askhsh 6: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 5y + 6y = x + e 2x. LUSH a) JewroÔme thn antðstoiqh omogen : me algebrik qarakthristik : opìte h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 5y + 6y = 0 1) λ 2 5λ + 6 = 0 λ 1 = 2, λ 2 = 3 y 0 x) = c 1 e 2x + c 2 e 3x 2) b) To b' mèloc, ed den eðnai eidik c morf c, afoô den mporeð na grafteð sth morf : fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px, fx) polu numo. 'Omwc kajènac ìroc qwristˆ apì touc x, e 2x eðnai eidik c morf c. JewroÔme loipìn qwristˆ tic D.E. y 5y + 6y = x 3) y 5y + 6y = e 2x 4) β 1 ) Ja broôme mða merik lôsh thc 3). To b' mèloc eðnai eidik c morf c: x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = x, A = 1, ω = 0, p = 0 en r = 0 giatð to 0 + i0 den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c. MÐa merik lôsh thc 3) èqei th morf : y 1 = x r πx) cos ωx + ϕx) sin ωx) e px y 1 = x 0 πx) = πx) = a 1 x + a 0 y 1 = a 1 x + a 0 13
afoô to πx) prèpei na eðnai prwtobˆjmio polu numo, ìpwc kai to fx). H y 1 prèpei na ikanopoieð th D.E. 3): a 1 x + a 0 ) 5 a 1 x + a 0 ) + 6 a 1 x + a 0 ) = x 6a 1 x + 6a 0 5a 1 ) = x. Me exðswsh twn suntelest n brðskoume 6a 1 = 1, 6a 0 5a 1 = 0 kai h merik lôsh eðnai: a 1 = 1 6, a 0 = 5 36 y 1 x) = 1 6 x + 5 36 5) β 2 ) Ja broôme mða merik lôsh thc 4). To b' mèloc eðnai eidik c morf c: e 2x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = 1, A = 1, ω = 0, p = 2 en r = 1 afoô to p + iω = 2 eðnai apl rðza thc qarakthristik c algebrik c. Upˆrqei merik lôsh thc morf c: y 2 = x r πx) cos 0x + ϕx) sin 0x) e px y 2 = xπx)e 2x y 2 x) = xae 2x afoô πx) = a stajerì polu numo ìpwc to fx)). H y 2 x) prèpei na ikanopoieð th D.E. 4): xae 2x ) 5 xae 2x ) + 6xae 2x = e 2x a = 1 y 2 x) = xe 2x 6) 14
β 3 ) H merik lôsh thc y 5y + 6y = x + e 2x eðnai Ðsh me to ˆjroisma twn merik n lôsewn twn 3) kai 4): y µ x) = y 1 x) + y 2 x) y µ x) = 1 6 x + 5 36 xe2x. g) H genik lôsh eðnai: yx) = c 1 e 2x + c 2 e 3x + 1 6 x + 5 36 xe2x. 15
'Askhsh 7: Na lujeð h diaforik exðswsh: y 2y + 5y = e x + e 2x + sin x. LUSH a) LÔsh thc omogenoôc. H antðstoiqh omogen c eðnai: kai èqei algebrik qarakthristik : y 2y + 5y = 0 1) λ 2 2λ + 5 = 0 λ 1 = 1 + 4i, λ 2 = 1 4i dhlad migadikèc suzugeðc a ± ib me a = 1, b = 4 opìte èqoume dôo grammikˆ anexˆrthtec lôseic: e ax cos bx = e x cos 4x, e ax sin bx = e x sin 4x kai h lôsh thc antðstoiqhc omogenoôc eðnai: y 0 x) = e x c 1 cos 4x + c 2 sin 4x) 2) b) To b' mèloc thc y 2y + 5y = e x + e 2x + sin x den eðnai eidik c morf c allˆ kajènac apì touc ìrouc e x, e 2x, sin x eðnai eidik c morf c, jewroôme tic diaforikèc exis seic: y 2y + 5y = e x 3) y 2y + 5y = e 2x 4) y 2y + 5y = sin x 5) β 1 ) Merik lôsh thc 3). To b' mèloc eðnai eidik c morf c: e x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px me fx) = 1, A = 1, ω = 0, p = 1 en to p + iω = 1 den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c : r = 0. 16
Upˆrqei merik lôsh thc thc morf c: y 1 = x r πx) cos ωx + ϕx) sin ωx) e px y 1 = a 1 e x ìpou to πx) = a eðnai stajerì polu numo ìpwc to fx). H y 1 ikanopoieð thn 3) : a 1 e x ) 2 a 1 e x ) + 5a 1 e x = e x 4a 1 = 1 a 1 = 1 4 kai h merik lôsh thc 3) eðnai: y 1 x) = 1 4 ex 6) β 2 ) Merik lôsh thc 4). 'Eqei th morf Me antikatˆstash sthn 4) brðskoume: a 2 e 2x. a2 e 2x) 2 a2 e 2x) + 5a2 e 2x = e 2x 5a 2 = 1 a 2 = 1 5 kai h merik lôsh thc 4) eðnai: y 2 x) = 1 5 e2x 7) β 3 ) Merik lôsh thc 5). To b' mèloc eðnai eidik c morf c: sin x = fx) [A cosωx) + B sinωx)] e px 17
me fx) = 1, A = 0, B = 1, p = 0, ω = 1. en to p + iω = i den eðnai rðza thc qarakthristik c algebrik c, ˆra r = 0. H morf thc merik c lôshc eðnai: y 3 x) = x r [πx) cosωx) + ϕx) sinωx)] e px y 3 x) = a 3 cos x + b 3 sin x ìpou πx) = a 3, ϕx) = b 3 omobˆjmia tou fx)) dhl. a 3, b 3 stajerèc. H y 3 prèpei na ikanopoieð th diaforik exðswsh 5): a 3 cos x + b 3 sin x) 2 a 3 cos x + b 3 sin x) + 5 a 3 cos x + b 3 sin x) = sin x 4a 3 2b 3 ) cos x + 4b 3 + 2a 3 ) sin x = sin x. Me exðswsh twn suntelest n twn cos x, sin x twn dôo mel n brðskoume: 4a 3 2b 3 = 0, 4b 3 + 2a 3 = 1 kai h merik lôsh thc 5) eðnai: SÔmfwna me th gnwst prìtash, mða merik lôsh thc D.E. a 3 = 1 10, b 3 = 2 10 y 3 x) = 1 10 cos x + 2 sin x 8) 10 y 2y + 5y = e x + e 2x + sin x. eðnai y µ = y 1 x) + y 2 x) + y 3 x) y µ = 1 4 ex + 1 5 e2x + 1 10 cos x + 2 10 sin x. g) H genik lôsh eðnai: yx) = y 0 x) + y µ x) yx) = e x c 1 cos 4x + c 2 sin 4x) + 1 4 ex + 1 5 e2x + 1 10 cos x + 2 10 sin x. 18