ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 1 Ροπή δύναµης Μεθοδολογία ασκήσεων q Κάντε ένα σκίτσο του προβλήµατος και διαλέξτε το σώµα ή σώµατα που θα αναλύσετε. q Για κάθε σώµα σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται (διάγραµµα ελευθέρου σώµατος). Προσέξτε το σχήµα ώστε να σχεδιάσετε αποστάσεις και γωνίες που θα χρησιµοποιηθούν σε υπολογισµό ροπών q Διαλέξτε άξονες συντεταγµένων και ορίστε πιθανούς τρόπους περιστροφής (θετική) για τα σώµατα. Αν υπάρχει γραµµική επιτάχυνση διαλέξτε την φορά της σαν τη θετική φορά ενός άξονα. Αν γνωρίζετε την γωνιακή επιτάχυνση ορίστε τη φορά της σαν ένα άξονα. q Αναλύστε τις δυνάµεις στις συνιστώσες τους. q Κάποια προβλήµατα µπορεί να έχουν µεταφορική, περιστροφική ή και τις δυο κινήσεις. Ανάλογα µε τη συµπεριφορά του σώµατος πάρτε τις εξισώσεις F = m a " = I ή ή και τις δυο. q Αν υπάρχουν δύο ή περισσότερα σώµατα επαναλάβετε τα παραπάνω βήµατα για κάθε σώµα. Γράψτε τις εξισώσεις και βρείτε ποιες από τις επιταχύνσεις σχετίζουν τα δύο σώµατα (π.χ. δύο γραµµικές επιταχύνσεις ή µια γραµµική επιτάχυνση και µια γωνιακή επιτάχυνση). q Λύστε το σύστηµα των εξισώσεων
ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 Παράδειγµα Η µάζα m 1 γλιστρά χωρίς τριβές στην οριζόντια δοκό. Η µάζα m είναι συνδεδεµένη µε την m 1 µε αβαρές νήµα που περνά από τροχαλία µάζας Μ και ακτίνας R. Η τροχαλία περιστρέφεται εξαιτίας του νήµατος χωρίς να παρουσιάζεται ολίσθηση. Να βρεθούν η επιτάχυνση κάθε σώµατος, η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και η τάση του νήµατος στα δυο τµήµατα του νήµατος. ΠΡΟΣΟΧΗ: Στη περίπτωση αυτή υπάρχει τριβή που δεν αφήνει το σχοινί να γλιστρά. Γι αυτό οι δυο τάσεις Τ 1 και Τ δεν µπορεί να είναι ίσες. Αν ήταν τότε η τροχαλία δεν θα είχε γωνιακή επιτάχυνση. Λύση Οι εξισώσεις κίνησης για τις µάζες m 1 και m : F x = T 1 = m 1 a 1 (1) F y = m + ("T ) = m a () Η άγνωστη αντίδραση n δρα στον άξονα περιστροφής και εποµένως έχει ροπή µηδέν. Παίρνουµε τη φορά των δεικτών του ρολογιού σαν θετική. Εποµένως οι ροπές στη τροχαλία δίνουν: " = T R + (T 1 R) = I$ = MR ( ) $ (3)
ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 3 Παράδειγµα (συνέχεια) Η αντίδραση n δρα σε γραμμή που περνά από τον άξονα περιστροφής Αφού το νήµα δεν γλιστρά η εφαπτοµενική επιτάχυνση της τροχαλίας, α θα είναι ίση µε την γραµµική επιτάχυνση κάθε σώµατος α 1, α : a 1 = a = R (4) Εποµένως έχουµε 5 εξισώσεις µε 5 αγνώστους α 1,α, α, Τ 1, Τ T 1 = m 1 a 1 m T = m a 1 T R T 1 R = MR " T T 1 = Ma 1 (1) ()(4) (3)(4) Προσθέτοντας τις εξισώσεις έχουµε: a 1 = Αντικαθιστώντας στις πρώτες εξισώσεις έχουµε: m T 1 = 1 m T m 1 + m + M = (m 1 + M)m m 1 + m + M m m 1 + m + M = a
Έργο παραγόµενο κατά την περιστροφή στερεού ds F φ Μια πατάτα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα 0 εξαιτίας µιας εξωτερικής δύναµης F. To έργο που παράγει η δύναµη F είναι: ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 4 dθ r dw = F d s = Fr sn"d" = rf sn" dw = "d W = d" " " Ανάλογο του W = Μπορούµε να δείξουµε ότι η αρχή έργου-ενέργειας ισχύει και για την περιστροφική κίνηση στερεού σώµατος x x F dx " W = d" = 1 I$ % 1 I$ = ' " Η απόδειξη είναι: d" = I d dt d" = I d d" d" dt d" = I d " = 1 I " 1 I Ισχύς: dw dt = d" dt P = " σε αναλογία µε P = F "
ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 5 Παράδειγµα - τροχαλία µε µάζα Ένα σώµα 15k και ένα σώµα 10k κρέµονται συνδεδεµένα µεταξύ τους µε ένα σχοινί που περνά από µια τροχαλία ακτίνας 10cm και µάζας 3k. To σχοινί έχει αµελητέα µάζα και δεν γλιστρά στην τροχαλία. Η τροχαλία περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της χωρίς τριβές. Τα σώµατα ξεκινούν έχοντας µεταξύ τους απόσταση 3m. Θεωρήστε την τροχαλία σαν ένα οµοιογενή δίσκο. Προσδιορίστε τις ταχύτητες των δύο σωµάτων καθώς συναντιόνται και προσπερνά το ένα το άλλο µε αντίθετη κατεύθυνση. Δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάµεις στο σύστηµα που να καταναλώνουν έργο και δεν υπάρχουν δυνάµεις τριβής όπου χάνεται ενέργεια. Εποµένως η µηχανική ενέργεια διατηρείται: E " + U = E " + U m 1 3m m Θεωρούµε σαν επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας το σηµείο στο οποίο συναντιόνται οι δύο µάζες. Άρα: U = 0 E " = 0 (τα σώµατα αρχικά είναι ακίνητα) U = U + U = m h + 1 h 1 = 1.5m, 1 1 h = 1.5m m h (ως προς το σηµείο συνάντησης)
ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 6 E " = 1 m 1$ 1 + 1 m $ + 1 I% περιστροφή τροχαλίας Το σύστηµα των δύο µαζών έχει την ίδια επιτάχυνση και άρα οι µάζες κινούνται µε την ίδια ταχύτητα: υ 1 =υ =υ Αφού το σκοινί δεν γλιστρά στην τροχαλία και αυτή περιστρέφεται τα σηµεία επαφής της τροχαλίας µε το σκοινί θα έχουν επίσης ταχύτητα υ. Άρα: = " R Η κινητική ενέργεια των σωµάτων τη στιγµή που συναντιόνται είναι: E " = 1 m 1$ + 1 m $ + 1 % ' 1 ( MR ) * $ R όπου I = 1 MR Από εξίσωση διατήρησης της µηχανικής ενέργειας έχουµε: E " + U = E " + U $ 1 ( m + m 1 )% + 1 4 M% + 0 = 0 + m 1 h 1 + m h ( ) * 1 " m 1 + m + 1 $ M % ' ( = m 1 (1.5) + m ()1.5) ( = * 1.5 * m ) m 1 m 1 + m + 1 M = 3 " 5 " 10 10 + 15 + 1.5 =.36m / s
Παράδειγµα περιστροφής Μια λεπτή σανίδα µάζας Μ και µήκους µπορεί να περιστρέφεται γύρω από ένα άκρο της όπως στο σχήµα. Η σανίδα αφήνεται µε γωνία 60 ως προς την κατακόρυφο. Ποιο είναι το µέτρο και η διεύθυνση της δύναµης στο σηµείο περιστροφής όταν η σανίδα είναι οριζόντια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 7 Οι δυνάµεις που ασκούνται στην σανίδα στην οριζόντια θέση είναι η δύναµη στο σηµείο περιστροφής και η βαρύτητα Από το νόµο του Newton: F x = F px = ma x Το ΚΜ κινείται σε κύκλο a x = r = Άρα: F px = m / Χρησιµοποιώντας διατήρηση της ενέργειας βρίσκουµε το υ, = " R = " $ % / ' ( E = E m cos" = 1 I m cos" = 1 Οπότε F px = m 3 4 cos " F = 3 px 4 m F y = F py " m = ma y F P F Px m F Py $ 1 3 m ' % ( ) * / 4 * = 3 4 Για να βρούµε τη επιτάχυνση α y µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ροπή ως προς το σηµείο περιστροφής cos"
ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 8 Η ροπή του βάρους ως προς το σηµείο περιστροφής είναι: = m αλλά = I" a y = R = " = a y I" = m (1) ενώ () Ξέρουµε ότι η ροπή αδράνειας ράβδου (σανίδα) ως προς το ΚΜ είναι I CM = 1 1 m Εφόσον περιστρέφεται ως προς το άκρο της, από το θεώρηµα παρ/λων αξόνων: I = I CM + m $ " % = 1 1 m + m 4 ' I = 1 3 m Αντικατάσταση της () και (3) στην (1) δίνει: 1 3 m a y Η εξίσωση του ου νόµου του Newton στη y-διεύθυνση δίνει: (3) = m a y = 3 4 F py m = m 3 4 Η αντίδραση από το σηµείο στήριξης θα είναι: F p = F px + F py
Καµινάδα που πέφτει ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 9 Όταν η καµινάδα πέφτει, το πάνω τµήµα της δεν µπορεί να συνεχίσει µε το χαµηλότερο και η καµινάδα σπάει. Βρείτε πόσο είναι το τµήµα της καµινάδας (σχετικά µε το ολικό της µήκος) το οποίο έχει εφαπτοµενική επιτάχυνση µεγαλύτερη από snθ όπου θ η γωνία της καµινάδας µε την κατακόρυφο. Υποθέστε ότι η καµινάδα είναι ράβδος µε ροπή αδράνειας Ι CM =ΜL /1 θ m Εποµένως Η ροπή είναι = I" (1) και προκαλείται από το βάρος της καµινάδας που βρίσκεται / από τη βάση της. Ξέρουµε επίσης ότι I CM = m 1 Θεώρηµα παρ/λων αξόνων έχουµε: I = I CM + m $ " % = m sn" () = m 3 Από (1),() και (3): m m sn = 3 " " = 3 sn Αυτή είναι η επιτάχυνση κάθε τµήµατος της καµινάδας % a ". = 3 ' sn$ ( Αλλά a ". = r ) * r > sn$ r > 3 Δηλαδή περίπου 1/3 της καµινάδας θα επιταχύνεται γρηγορότερα από snθ (3)
Μπάλα σε φλιτζάνι (ίδιο µε καµινάδα) Τα αφήνουµε να πέσουν. Η µπάλα πέφτει µε επιτάχυνση α=. To φλιτζάνι και η σανίδα πέφτουν µαζί και πιο γρήγορα από την µπάλα έτσι ώστε η µπάλα να πέσει µέσα στο φλιτζάνι. Ποια πρέπει να ναι η γωνία θ ώστε αυτό να ισχύει? " = I = r $ F I P = 1 3 m $ " % r F = mcos" m cos = " 1 3 m % $ ' ( ) ( = 3 cos P ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 10 μπάλα μήκος σανίδας CM θ m mcosθ $. H εφαπτοµενική επιτάχυνση του φλιτζανιού είναι: a ". = %r $. = 3 cos r $. ". Για να πέσει η µπάλα στο φλιτζάνι πρέπει α y > a y = a ". $. cos% = 3 cos % r ". cos " για r ". = cos$ max % 3 r $% 3 $ 35.3 max Όταν η µπάλα µπαίνει στο φλιτζάνι τα σώµατα έχουν τις ίδιες συντεταγµένες. Η µπάλα όµως βρίσκεται πάντοτε στη θέση x=cosθ ενώ το φλιτζάνι σε κύκλο ακτίνας r φλ. Εποµένως r ". = cos >
Κύλιση και περιστροφή Είδαµε τις εξισώσεις για την περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα Τι ισχύει για συνδυασµένη κίνηση? µεταφορά και περιστροφή Ø Αν F = 0 και " = 0 Τότε υπάρχει ισορροπία. ΦΥΣ 131 - Διαλ.3 11 Ούτε µεταφορά ούτε περιστροφή Ø Αν F = 0 και " 0 Τότε υπάρχει περιστροφή αλλά όχι µεταφορά Ø Αν F 0 " και " 0 Τότε υπάρχει περιστροφή και µεταφορά Μια µπάλα που κυλά προς τα κάτω σε κεκλιµένο επίπεδο