Ολοκληρώμτ Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = f()d = lim f(ξ κ ) + κ= Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης
. Αρχική συάρτηση ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Ορισµός: Αρχική (ή πράγουσ) της f που ορίζετι στο διάστηµ λέγετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F () = f(), γι κάθε. Θεώρηµ: Έστω η F είι µί πράγουσ της f στο διάστηµ. Τότε: H συάρτηση G()=F()+c, µε c R στθερά, είι πράγουσ της f στο Κάθε πράγουσ G της f στο, έχει µορφή G()=F()+c, µε c R στθερά O y=f() +c3 y=f() +c y=f() y=f() +c Πρτηρήσεις -Πράγουσ συάρτηση Το θεώρηµ της σελ.34 µπορεί διτυπωθεί κι ως εξής: «Έστω F() µι ρχική της f() σ έ διάστηµ. Μι συάρτηση G ορισµέη στο είι ρχική της f κι µόο υπάρχειc R τέτοιος ώστε: G()=F()+c R». Κάθε συεχής συάρτηση σε διάστηµ, έχει πράγουσ στο διάστηµ υτό Στο ορισµό της ρχικής συάρτησης F πρέπει επισηµάουµε ότι ορίζουµε ρχική ή πράγουσ F µις συάρτησης f σε έ διάστηµ ( οποισδήποτε µορφής συεχές διάστηµ, συέπει ΘΜΤ), =διάστηµ(συεχές), F πργωγίσιµη στο. Η πράγουσ µις συάρτησης f ( υπάρχει), δε είι µοδική Το θεώρηµ της σελ.34 ισχύει µόο γι συάρτηση ορισµέη σε διάστηµ συεχές. Γιτί προέρχετι πό τη πρότση συέπει του Θ.Μ.Τ.-στις πργώγους f ( ) = g ( ) f ( ) = g( ) + c, ( = συεχές διάστηµ) Ατιπράδειγµ. Η συάρτηση: f ( ) =, (, ) (, + ) = Α, έχει ρχική τη F ( ) = +, Α, φού F ( ) = f ( ), Α. Οµοίως η συάρτηση +, > είι ρχική της f στο Α G ( ) = + +, < Όµως, > G ( ) F ( ) = δε είι στθερή., < Α F, G ρχικές συρτήσεις τω συρτήσεω f, g σ έ διάστηµ τίστοιχ, τότε ποδεικύετι ότι: ) η συάρτηση F είι ρχική της f στο διάστηµ, R ) η συάρτηση F+G είι ρχική της f+g στο διάστηµ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης
Υπάρχου συρτήσεις που έχου ρχική λλά υτή δε µπορεί εκφρστεί µε στοιχειώδεις συρτήσεις. e ηµ συ πχ,,,, e, εφ,,... ln Με το Θεµελιώδες Θεώρηµ του Ο.Λ. προκύπτει ότι κάθε συεχής συάρτηση σε διάστηµ έχει µί ρχική. Από το θεµελιώδες θεώρηµ προκύπτει ότι µι συάρτηση f δε έχει ρχική τότε δε είι συεχής. Μπορεί όµως µι συάρτηση f που δε είι συεχής σε έ διάστηµ έχει F ρχική συάρτηση( που θ είι πργωγίσιµη στο ), F ( ) = f ( ) κι η f δε είι συεχής, σ έ τουλάχιστο σηµείο του. Το όριστο ολοκλήρωµ πρλείπετι (σελ. 35) κι ισχύει ο πρκάτω πίκς τω πργουσώ µερικώ σικώ συρτήσεω. Α/Α Συάρτηση Πράγουσες f ( ) = G( ) = c, c R, f ( ) = G( ) = + c, c R 3 f ( ) 4 f ( ) = 5 f ( ) = G( ) = ln + c, c R + G( ) = + c, c R + = συ G( ) = ηµ+ c, c R 6 f ( ) 7 8 = ηµ G( ) = συ+ c, c R f ( ) = G( ) = εφ+ c, c R συ f ( ) = G( ) = σφ+ c, c R ηµ 9 f ( ) = e G( ) = e + c, c R f ( ) = G( ) = + c, c R ln Οι εφρµογές τω σελίδω 36 κι 37 γίου µε τη χρήση τω ρχικώ συρτήσεω. Ν λυθού οι σκήσεις, 4, 5 κι 7 της Α Οµάδς. Ατιπράδειγµ ηµ, ηµ συ, F ( ) = κι f ( ) = χ, =, = η f δε είι συεχής στο, όµως F ( ) = f ( ) R Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3
. Ορισµέο ολοκλήρωµ Το ορισµέο ολοκλήρωµ Γι ορίσουµε το ορισµέο ολοκλήρωµ πρέπει : ) Ν έχουµε µι συεχή συάρτηση f σε κλειστό διάστηµ [,]. ) Ν κάουµε µι διµέριση του [,] σε µικρότερ ισοµήκη υποδιστήµτ πλάτους = -, µε µί πρεµολή - ριθµώ άµεσ στ κι κι επιλέξουµε γι κάθε [ k-, k ], έ τυχίο ξ κ [ k-, k ] κι σχηµτίσουµε το άθροισµ : f(ξ ) + f(ξ ) + f(ξ 3 ) + + f(ξ κ ) +..+ f(ξ ) = κ = f(ξ ) ξ ξ ξ3 ξκ ξ = 3 κ = γ) Ν ρούµε το όριο lim ( + κ = f(ξ ) κ κ- κ+ ) που είι πργµτικός ριθµός. - - κ Το όριο οοµάζετι ορισµέο ολοκλήρωµ της f πό έως κι συµολ. f()d f ( )d lim = + ( f (ξ κ ) ) κ = Γεωµετρική ερµηεί του ορισµέου ολοκληρώµτος Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = Ότ γι τη συάρτηση f ισχύει f() κι f συεχής γι κάθε [,] τότε: Το άθροισµ f (ξ κ ) πριστάει το άθροισµ τω εµδώ τω ορθογωίω που έχου κ = άση τ υποδιστήµτ της διµέρισης κι ύψος τη τίστοιχη τιµή f(ξ κ ). Το άθροισµ όµως υτό είι µί προσέγγιση του εµδού του χωρίου που ορίζετι πό τη C f, το άξο κι τις ευθείες = κι =. Όσο υξάει ο ριθµός τω διστηµάτω ( + )έχουµε κι κλύτερη προσέγγιση του εµδού. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4
Έτσι λοιπό: Α f(), κι f συεχής στο [,] τότε: Το ολοκλήρωµ f ()d ισούτι µε το εµδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη C f, το άξο κι τις ευθείες = κι =. C f Ω Πρτήρηση: Το f()d είι εξάρτητο πό τη εκλογή τω σηµείω ξ κ Έτσι γι τη εφρµογή του ορισµού επιλέγουµε (συήθως) τ δεξιά άκρ τω διστηµάτω της διµέρισης τ οποί είι ξ = + -, ξ = + -,..., ξ κ = + κ -,..., ξ = + - = Το σύµολο Σ. = κ + + 3 +.+ κ= Ιδιότητες του συµόλου Σ ( + )= +, κ κ κ κ κ= κ= κ= λ =λ, λ στθερός (ο στθερός όρος τίθετι εκτός Σ) κ κ= κ= κ Βσικά θροίσµτ Με το συµολισµό Σ µπορούµε δηλώσουµε συοπτικά κάποι γωστά θροίσµτ (+) ++3+.+ = κ = + +3 +.+ (+)(+) = κ = κ= κ= 6 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 5
Iδιότητες του ορισµέου ολοκληρώµτος f ( )d. Α f() τότε f()d. Α f() στο [,] κι η f δε µηδείζετι πτού στο [,] τότε f()d > 3. f()d= 4. f()d = - f()d 5. λf()d=λ f()d 6. [f()+g()]d= f()d+ g()d κι γεικά 7. 8. 8. [λf()+µg()]d=λ f()d+µ g()d γ f()d= f()d+ f()d, γ Cf (Γεωµετρικά Ω = Ω + Ω ) ισχύει γι τυχί,,γ Ω Ω γ Πρτηρήσεις Το ολοκλήρωµ f ( ) d εξρτάτι πό τη συάρτηση f κι τ άκρ κι κι όχι πό τη «οοµσί» της µετλητής ολοκλήρωσης : f ( ) d= f ( t) dt Το σύµολο d στο ολοκλήρωµ δηλώει ότι η µετλητή ολοκλήρωσης είι. Οτιδήποτε άλλο θεωρείτι στθερά. g( t) f ( ) d= g( t) f ( ) d Πράδειγµ. t( ) d= t ( ) d, Το ολοκλήρωµ f ( ) d είι εξάρτητο πό τη επιλογή της πράγουσς Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 6
Πράδειγµ. d= [ ] = = 3κι Υπολογισµός του ορισµέου ολοκληρώµτος Χωρίζουµε το διάστηµ [,] σε ίσ µέρη µε πλάτος = - Θεωρούµε τ δεξιά άκρ τω διστηµάτω ξ κ = + κ - d = [ + 3] = + 3 ( + 3) = 3 f()d µε το ορισµό Τότε το ολοκλήρωµ υπολογίζετι πό το τύπο f ( )d = lim ( + κ = f (ξ ) κ Βσικό ολοκλήρωµ c d = c(-), γι κάθε c R ( Εφρµογή σχολ.σελ.33 ) Πράδειγµ. Ν υπολογισθεί µε το ορισµό ότι d = 3. Μέθοδος άµεσης ολοκλήρωσης Άµεση ολοκλήρωση έχουµε ότ το ολοκλήρωµ µπορεί υπολογισθεί άµεσ µε τις ιδιότητες τω ολοκληρωµάτω κι τις ρχικές συρτήσεις (πλώ ή σύθετω). Α δε µπορούµε υπολογίσουµε το ολοκλήρωµ άµεσ τότε εφρµόζουµε µε τη σειρά :. µέθοδο τικτάστσης κι. µέθοδο πργοτικής ολοκλήρωσης. Θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού Έστω f µι συεχής συάρτηση σ έ διάστηµ [, ]. Α G είι µι πράγουσ της f στο [, ], τότε f ( t) dt= G( ) G( ) Βσικά ολοκληρώµτ πλώ κι σύθετω (f () + g ())d = [f () + g()] (f ()g() + f ()g ())d = [f ().g()] f ()g() f ()g () f () d = [ ] g () g() f (g())g ()d = [f (g()).] Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 7
d = [] f ()d = [f ()] λd = [ λ ] d = [ ] λf ()d = [ λ f ()] f ()f ()d = [ f ()] d + =[ ] + f ()f ()d + + =[ f ()] d = [ ] f () f () d = [ f ()] ηµd = [-συ] ηµf () f ()d=[-συf()] συd =[ηµ] συf() f ()d=[ηµf()] συ d= e ηµ d= d = [e ] (+εφ )d=[εφ] (+σφ )d=[-σφ] συ f() f ()d = ηµ f() f ()d = e f () ( ) f () f ()d = [e ] +εφ f() f () d = [εφf()] ( ) +σφ f() f () d = [-σφf()] d = [ln ] -+ d = [ ] -+ f () f () f () d = [ln f () ] -+ -+ f ()d=[ f ()] µ d= µ µ + d = [ ] µ + f µ () f ()d= µ f () µ + f () f ()d=[ ] µ + d = [ ] ln f() f() f ()d=[ ] ln Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 8
4. Μέθοδος ολοκλήρωσης µε τικτάστση(λλγή) µετλητής Η µέθοδος υτή εφρµόζετι ότ το ολοκλήρωµ περιέχει σύθετη f(g()) συάρτηση, η g είι πργωγίσιµη στο διάστηµ =[, ], η g είι συεχής στο κι η f είι συεχής g( ). ) Α θέλουµε υπολογίσουµε το f(g())g ()d ) Θέτουµε u=g(), οπότε du=g ()d κι u =g(), u =g() γ) Tότε f(g())g ()d = u u f(u) du (Εφρµογές λ. σελ.33-34 κι 337-338) 5. Μέθοδος πργοτικής ολοκλήρωσης Η µέθοδος υτή εφρµόζετι( το ολοκλήρωµ είι «ευκολότερο») ότ έχουµε γιόµεο δύο συρτήσεω κι εκφράζετι µε το τύπο της πργοτικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= [f()g()] - f ()g()d Εφρµόζουµε τη Πργοτική ολοκλήρωση ότ έχουµε γιόµεο δύο πό τις συρτήσεις:. e λ +κ Σειρά προτεριότητς. ηµ(λ+κ) ή συ(λ+κ ) γι επιλογή ρχικής 3. P() πολυώυµο ή a = a 4. ln(f() Α f(),g() δύο εκ τω πρπάω, τότε όποι είι πιο «ψηλά» στη σειρά προτεριότητς, έστω η g(), τη κάω g() = G () οπότε έχω: f()g ()d = [f()g()] - f '()g()d Α χρειστεί εφρµοστεί κι δεύτερη φορά, τότε θ χρησιµοποιήσουµε το ίδιο πράγοτ γι τη επιλογή της ρχικής. (Εφρµογές λ. σελ.3-3) Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 9
Πράδειγµ. Ολοκλήρωµ Λύση 9 e d 9 9 9 9 () 9 9 3 3 3 e d= ( ) e d= [ e ] ( e ) d= [ e ] e d= 9e e 5e + e= 4e 9 (*) e d= Θ έτουµε u= οπότε u = γι = u= = u=,,, 9 3 (*) 3 3 3 3 u u u 3 u 3 u 3 u 3 u = u e du= u ( e ) du= [ u e ] ue du= 9e e u( e ) du= 9e e [ ue ] + e du= = 9e e [ ue ] [ e ] 9e e 6e + e+ ( e e) = 5e e 3 u 3 u 3 3 3 3 3 + = () 3 6. Μορφές µε ολοκλήρωση κτά πράγοτες ΜΟΡΦΗ Ρ()ηµ(κ+λ)d Ρ()συ(κ+λ)d Ρ()eκ+λ d eκ+λ ηµ(g())d, eκ+λ συ(g())d Ρ() ln d όπου Ρ() πολυωυµική θµ.ρ() = κ, λ πργµτικοί όπου Ρ() πολυωυµική θµ.ρ() = κ, λ πργµτικοί g() συεχής κ, λ πργµτικοί όπου Ρ() πολυωυµική θµ.ρ() = ΤΡΟΠΟΣ Eφρµόζουµε πργοτική ολοκλήρωση φορές (=θµ.ρ()) φού γράψουµε τη τριγωοµετρική συάρτηση ως πράγωγο. Άσκηση : ηµd (σχολ.iv σελ.36) Eφρµόζουµε πργοτική ολοκλήρωση φορές (=θµ.ρ()) φού γράψουµε τη εκθετική συάρτηση ως πράγωγο. Άσκηση : e - d (σχολ.i σελ.36) Γράφουµε κτά προτίµηση τη εκθετική σ πράγωγο κι εφρµόζουµε πργοτική ολοκλήρωση. Συήθως εφρµόζετι φορές κι δηµιουργείτι εξίσωση µε άγωστο το ρχικό ολοκλήρωµ Ι, το οποίο υπολογίζουµε πό τη λύση της εξίσωσης. Άσκηση : e ηµd (σχολ.i σελ.36) Εφρµόζουµε πργοτική ολοκλήρωση φού γράψουµε τη πολυωυµική συάρτηση ως πράγωγο. Άσκηση : 3 lnd (σχολ.iii σελ.36) Α η εφρµογή της πργοτικής ολοκλήρωσης δε υπολογίζει το ολοκλήρωµ: ) Το χωρίζουµε σε ολοκληρώµτ που προσδιορίζοτι ) Εφρµόζουµε τις µεθόδους ολοκλήρωσης Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης
7. Ολοκληρώµτ Ρητώ συρτήσεω Ρ() Ολοκλήρωµ ρητής συάρτησης d, εξετάζουµε ο ριθµητής προέρχετι πό Q() τη πργώγιση του προοµστή. Α γίετι Πράδειγµ. f () d [ln f() ] =, f () ( + ) 5 d= d = [ln( + )] = ln 5 ln = ln + + Α δε γίετι f (), τότε εξετάζουµε ισχύει: f () Α) θµός ριθµητή < θµό προοµστή Αλύουµε το κλάσµ σε άθροισµ πλώ κλσµάτω κι µετά ολοκληρώουµε (Εφρµογές σελ34-35) Πράδειγµ. Ν υπολογιστεί το Θέτουµε + 5+ 6 d, (πργοτοποίηση προοµστή) + (-)(-3) = A - + B, γι κάθε R-{,3} +=A(-3)+B(-)(), γι R-3 {,3} () (A+B-)=3A+B+, άρ A+B-= κι 3A+B+=, οπότε Α= -5 κι Β=7 + -5 7 d = ( + )d= 5[ln ] + 7[ln 3 ] (-)(-3) - -3 Β) θµός ριθµητή Ρ() θµό προοµστή Q() Εκτελούµε τη διίρεση Ρ() : Q(), Π()=πηλίκο κι υ()=υπόλοιπο, τότε Ρ() = Q().Π()+υ() µε θµ.υ()<θµ.q(), άρ Ρ() d = Q() υ() Π ()d + d. Q() Το πρώτο ολοκλήρωµ υπολογίζετι εύκολ κι το δεύτερο είι η περίπτωση Α. 3 - Πράδειγµ. Ν υπολογιστεί το d (άσκηση 7iii, σελ. 37 σχολ. Βιλ.) + 3+ Κάουµε τη διίρεση, οπότε 3-5+ 6 5+ 6 5+ 6 d = ( 3 + )d = ( 3)d+ d = [ 3] + d + 3+ + 3+ + 3+ + 3+ 5+ 6 5+ 6 A B = = +, R-{-,-} έχουµε Α+Β=5 κι Α+Β=6, + 3+ (+ )(+ ) + + άρ Α= κι Β=4, οπότε 5+ 6 4 d = ( + )d = [ln + ] + 4[ln + ] + 3+ + + Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης
8. Τριγωοµετρικές συρτήσεις Χρήσιµοι τριγωοµετρικοί τύποι: *!!! µόο δοθού οι τύποι * ) ) εφ ηµ =, +εφ -συ ηµ =, -εφ συ =, +εφ +συ συ =, εφ εϕ =, τύποι έκφρσης τριγ. ριθµώ µε -εφ -συ εϕ = τύποι «ποτετργωισµού». +συ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ηµ Με τικτάστση, εφd = d =... συ ηµ ηµ -συ u=συ, du= - ηµd ηµ ηµ Με τικτάστση, d= d= d= u=συ, du= - ηµd συ = du = [ln u ] u συ συ συ συ = du=ρητ ή µορϕή u συ εφ συ συ d= d= d= συ συ -ηµ Με τικτάστση, u=ηµ, du= συd ηµ = du =ρητ ή µορϕή u ηµ συ3 d= συ συd= = (-ηµ )συd= Με τικτάστση, u=ηµ, du= συd εφρµόζετι ότ υπάρχει περιττή δύµη ηµ ή συ µορφές ηµ+ συ κ d ηµ = ή (- u )du= ηµ συ+ ηµ κ d * -συ ηµ d= d= Τύποι «ποτετργωισµού» κι διάσπση -συ = d= [] [ηµ] 4 4 +συ * συ d= ( * R (ηµ, συ) d ) d= R=ρητή πράστση ηµ,συ Τύποι «ποτετργωισµού» κι διάσπση. Η µέθοδος εφρµόζετι γεικά σε γιόµεο µόο µε άρτιες δυάµεις ηµ ή συ Θέτουµε u=εφ, τότε du = ( ) d συ du = ( +εφ )d du άρ d= + u. = ( +συ +συ )d=... 4 δηλδή στη µορφή ηµ συ κ d Χρήσιµοι τύποι εφ εφ ηµ=,συ= +εφ + εφ εφ εφ= εφ, +εφ = συ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης
9. Εκθετικά κι Άρρητ ολοκληρώµτ Α. Εκθετικά R(eκ, e λ,..., e µ ) d (R= ρητή πράστση εκθετικώ δυάµεω) Με µέθοδο τικτάστσης: Θέτουµε u=e κι πίρουµε ολοκλήρωµ ρητής συάρτησης Πράδειγµ. e + e e + e + d =(θέτουµε u= e du= e d ) e u+ e (u + u+ ) e du= du = [ln(u + u+ )] e u + u+ u + u+ e e Β. Άρρητ ολοκληρώµτ - µε µέθοδο τικτάστσης µ f (, κ+λ, κ+λ,...)d κ+λd, Με τικτάστση θέτουµε u= ε κ+λ θέτουµε u=κ+λ ή u= κ+λ d κ+λ κ+λ κ+λ f (,, µ,...)d θέτουµε u= κ+λ ε γ+δ γ+δ γ+δ όπου ε = Ε.Κ.Π. (,µ, ) όπου ε = Ε.Κ.Π. (, µ,...) k f (, - )d θέτουµε = ηµu k k f (, - )d θέτουµε = k ηµu k k f (, + )d θέτουµε = εφ u Πράδειγµ. π π 4 4 θέτουµε =εφu εϕ u+ = 3 d du συ συ +d=( ) du= du = u u συ u. Αγωγικοί τύποι Η µέθοδος εφρµόζετι ότ στη συάρτηση υπάρχει δύµη µε εκθέτη φυσικό ριθµό κι το ολοκλήρωµ υπολογίζετι πό τ προηγούµε ολοκληρώµτ (Ι -, Ι -, ) Η εφρµογή του γίετι ως εξής: Ζητάµε υπολογίσουµε το ολοκλήρωµ Ι = f ()d Mε πργοτική ολοκλήρωση (συήθως) ρίσκουµε µί σχέση που συδέει τ ολοκληρώµτ Ι, Ι -, Ι -, (δροµικός τύπος). Αγόµστε έτσι στο υπολογισµό κάποιω ρχικώ ολοκληρωµάτω Ι, Ι, Ι κ.τ.λ. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3
Α δίετι το ολοκλήρωµ Ι = f ()d µε δροµικό τύπο, ο ριθµός δε είι συγκεκριµέος, τότε ποδεικύουµε το τύπο µε µθηµτική επγωγή. Πράδειγµ. Ν ρεθεί γωγικός τύπος γι τ ολοκληρώµτ ) Ι = (ln) d= () (ln) d=[(ln) ] - ((ln) ) d==[(ln) ] - (ln)- d= ) - - - - Ι =εφ d= εφ.εφ d= εφ.(+εφ -)d= εφ.(+εφ )d-εφ d= - =...(u=εφ, du=(+εφ )d)...= u du -Ι- γ) Ι = e d µε > κι, ποδείξετε ότι Ι = e - + Ι - (-) - -.. Ολοκλήρωµ συρτήσεω πολλπλού τύπου ή µε πολύτες f( ), < γ Α. Γι υπολογίσουµε το f ( ) d, όπου f ( ) = f ( ), γ δείχουµε ότι η συάρτηση είι συεχής κι δισπάµε το ολοκλήρωµ γ γ γ γ κι γ (, ), f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d στ σηµεί που λλάζει ο τύπος της συάρτησης ( υτά ήκου στο διάστηµ τω άκρω του ολοκληρώµτος). Β. Γράφουµε τη συάρτηση χωρίς πόλυτ, µε τις ιδιότητες, οπότε γίετι πολλπλού τύπου κι εργζόµστε όπως στη περίπτωση Α. Άσκηση : π π f()d, π < γ f ( ) = ηµ, π (σχολ.8ii σελ.339) Άσκηση : ( )d (σχολ.8i σελ.339) Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4
. Επισηµάσεις στο ορισµέο ολοκλήρωµ Α F ( ) = f ( ) [, ], τότε f ( ) d= [ F( )] f ( ) d= [ f ( )] Το ολοκλήρωµ f ( ) d ή f ( ) d= F ( ) d= [ F( )] εξρτάτι πό τη συάρτηση f κι τ άκρ κι κι όχι πό τη µετλητή ολοκλήρωσης. f ( ) d= f ( t) dt= f ( u) du f ( ) d= στθερός ριθµός, οπότε ( f ( ) d) = Α η f συεχής στο [,] τότε ορίζετι το ολοκλήρωµ f ( ) d ( ) ( ) Α f = g [, ] πάτ. Α f ( ) d= g( ) d. Το τίστροφο δε ισχύει, f, g συεχείς, τότε f ( ) d= g( ) d τότε δε προκύπτει πάτ f ( ) = g( ) Α f ( ) [, ] κι f συεχής, τότε f ( ) d. Το τίστροφο του δε ισχύει πάτ. Α f ( ) d τότε δε συµίει πάτ f ( ), [, ] f ( ) κι δε είι πτού µηδέ, τότε f ( ) d> [, ] f ( ) g ( ) Α f, g συεχείς, τότε f ( ) d g( ) d [, ] Απόδειξη : θεωρούµε συάρτηση h( ) = f ( ) g( ), ισχύει h( ) [, ]. Α f είι συεχής στο [,], τότε δε συµίει Το τίστροφο του δε ισχύει πάτ. Α f ( ) d g( ) d πάτ f ( ) g( ), [, ] f ( ) d f ( ) d., Απόδειξη: ισχύει f ( ) f ( ) f ( ), [, ], οπότε µε τ πρπάω προκύπτει: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Α η f συεχής στο [,], τότε f ( [,])=[m,m] ή m f ( ) M, [, ] άρ m( ) f ( ) M ( ) Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 5
3. Η Συάρτηση F( )= f ( t) dt A f συεχής στο διάστηµ κι έ σηµείο του τότε ορίζετι στο η συάρτηση F() = f ( t) dt,, είι µι πράγουσ της f στο, ισχύει F ( ) = ( f ( t) dt) = f ( ), = µετλητή πργώγισης (πάτ άω άκρο), = κάτω άκρο ολοκληρώµτος, t = µετλητή(ουή) ολοκλήρωσης. ( ) Στο ορισµό της ρχικής συάρτησης F πρέπει επισηµάουµε ότι ορίζουµε ρχική ή πράγουσ F µις συάρτησης f σε έ συεχές διάστηµ κι όχι άλλης µορφής σύολο, µε F ( ) = f ( ) =διάστηµ(συεχές), F πργωγίσιµη κι F συεχής στο. Πρτηρήσεις. Γι το ολοκλήρωµ κάθε άλλο γράµµ, εκτός του t = µετλητή(ουή) ολοκλήρωσης, θεωρείτι στθερά. g( ) f ( t) dt= g( ) f ( t) dt a. Το διάστηµ µπορεί είι οιχτό ή κλειστό µε άπειρ ή πεπερσµέ άκρ. ηλδή (,), [,), (,], [,], [,+ ), ( + ), (-,], (-,), (-,+ ). a 3. Αγκί προϋπόθεση γι τη ύπρξη της F είι η συέχει της f σε διάστηµ. Η F ορίζετι σε διάστηµ κι όχι σε έωση διστηµάτω. 4. Από το ορισµό της F κάθε τιµή της F( ) = f(t)dtείι ορισµέο ολοκλήρωµ. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 6
5. Γι το ορισµό της F µπορούµε επιλέξουµε οποιδήποτε - κάτω άκρο ολοκληρώµτοςρκεί είι στθερό στοιχείο του. ιφορετική επιλογή του µς δίει διφορετική ρχική συάρτηση F της f. Όµως όλες οι συρτήσεις φού είι ρχικές της f, διφέρου κτά µι στθερά c η οποί µπορεί υπολογιστεί: Έστω κι,, κι οι συρτήσεις: F ()= f (t)dt, F ()= f (t)dt Τότε ισχύει: F ( ) - F () = f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = f (t)dt = c, 6. d d f ( t ) dt f ( ), ώ f ( t ) dt d = ε = dt a a 7. Ισχύει: g ( ) f t dt = f g g ( ( ) ) ( ( )) ( ) µε τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι. 8. Α Q = Q( t) η ρχική τιµή εός µεγέθους Q( t) κι Q ( t) συεχής(ο ρυθµός µετολής), τότε Q( t) Q Q ( y) dy t = + 9. Η F είι πργωγίσιµη κι συεχής στο, επίσης η F είι συεχής στο.. Η F είι συεχής στο, άρ γι o. Υπολογισµός, lim F ( ) = F ( o) ή lim ( ) o f t dt= f ( t ) dt o o f (t)dt d = F()d µε πργοτική ( όπου F() = f (t)dt & F()= ) F()d = () F()d = [F()] F ()d =F( ) F( ) f ()d =F( ) f ()d. Α F() = f (t)dt, F()= άρ η C F διέρχετι πό το σηµείο (,) ( τέµει το χ χ) Το πεδίο ορισµού της F, F()= f ( t) dt, είι το «ευρύτερο» διάστηµ, υποσύολο του Α f, Α f, µέσ στο οποίο ήκει το, το, η f είι συεχής κι ισχύει F () = f(),. Πρέπει τ, ήκου πάτ στο ίδιο διάστηµ (συεχές). Γεικά γι τη συάρτηση g ( ) = f t dt (f, g, h δοσµέες συρτήσεις) h( ) F( ) ( ) «Ές ριθµός ήκει στο σύολο ορισµού της F κι µόο Α Α κι g( ), h( ) κι f συεχής στο». περιπτώσεις: F( ) f ( t) dt g h =, = g ( ) F( ) f ( t) dt Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 7
t t Πράδειγµ. Α F()= dt, τότε η είι συεχής στο (,) (, + ) t t κι το στοιχείο του (,), άρ το πεδίο ορισµού είι το (,) Πράδειγµ. Α F()= t dt, τότε η t είι συεχής στο =[-,] κι στοιχείο του, άρ το πεδίο ορισµού της F είι το [-,]. Πράδειγµ. Α F()= 3 t dt, τότε η t είι συεχής στο =(-,-] [,+ ) κι επειδή 3 [, + ) πρέπει κι [, + ), άρ το πεδίο ορισµού της F είι το [, + ) Πράδειγµ. Α F()= ln 3 t dt, τότε η t είι συεχής στο = (-,-] [,+ ) κι επειδή 3 [, + ) πρέπει ln [, + ) κι >. > > Προκύπτει το σύστηµ: οπότε ln ln ln e e άρ το πεδίο ορισµού της F είι το [ e, + ) Πράδειγµ. Α F()= ln 5 =(-,-] [,+ ) κι ( ορισµού λύουµε: Οπότε η F ορίζετι στο [9, + ) t 4dt, τότε η > κι 5 > 5 5 > > e 9 ln 9 5 Πράδειγµ. Α f είι συεχής µε f :[, + ) e t 4 είι συεχής στο > g(), h() πργωγίσιµες) οπότε γι το σύολο ή 6 > 5 > ln 5 R κι g()= f (3 t ) dt, δύτο H συάρτηση f(3-t) είι συεχής ως σύθεση συεχώ κι ορίζετι γι t R, 3 t Οπότε t 3 t (,3 ] Η g ορίζετι κι µόο η f(3-t) είι συεχής στο [, 6], πρέπει [,6] (,3 ], άρ 3 6 Άρ το πεδίο ορισµού της g είι το [, + ) Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 8
H Πράγωγος της συάρτησης F F()= f ( t) dt,, Α η f είι συεχής στο, τότε η F είι πργωγίσιµη κι συεχής στο κι η F ()=f() συεχής,. η περίπτωση: Α η f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ κι η συάρτηση g είι ορισµέη κι πργωγίσιµη σ έ σύολο Ι κι ισχύει : g( ) γι κάθε Ι,τότε η F()= g( ) f ( t) dt είι πργωγίσιµη στο Ι. Θεωρούµε φ()= f ( t) dt οπότε φ ()= f ( ), F()=φ(g())= g( ) f ( t) dt, ορίζετι ως σύθεση άρ F ()=(φ(g())) = φ (g())g ()=f(g()) g (). η περίπτωση: F() = g( ) h( ) f ( t) dt, η f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ κι οι συρτήσεις g κι h είι ορισµέες κι πργωγίσιµες σ έ σύολο Ι κι ισχύου: g( ) κι h( ), γι κάθε Ι. Σχηµτικά: g, h : I R (πργωγίσιµες) Ι R (συεχής) g() h() ξ f : Τότε, η συάρτηση F είι πργωγίσιµη στο Ι. Γι ρούµε τη πράγωγο της F εργζόµστε ως εξής: Α τρόπος. Θεωρούµε ξ κι έχουµε γι κάθε Ι : F()= ξ h( ) g ( ) g ( ) h( ) f ( t) dt+ f ( t) dt= f ( t) dt f ( t) dt g ( ) h( ) ξ ξ ξ F ()= ( f ( t) dt f ( t) dt) = f ( g( )) g ( ) f ( h( )) h ( ) ξ ξ Β τρόπος. Α G είι µί πράγουσ της f στο τότε G ( ) = f ( ), Έχουµε F() = g( ) h( ) f ( t) dt = G(g())-G(h()), οπότε η πράγωγος της F είι F () = G (g())g () - G (h())h () = f(g()) g ()- f(h()) h () Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 9
Εύρεση ρχικής συάρτησης µις συεχούς συάρτησης f Α f είι συεχής στο διάστηµ, τότε γι ρούµε µί ρχική της (πράγουσ) F Υπολογίζουµε F() = f (t)dt, Πράδειγµ(σκ.iii, σελ 33 σχολικό) Ν ρεθεί η f(), ισχύει f () + f () =, Λύση f () f () e f () e f () e e f () e ( ) + = + = = () Πρέπει ρούµε µί ρχική(πράγουσ) της µί ρχική είι: e, φού η t t t t t t ( ) ή F() = te dt= t e dt = [te ] e dt = [te ] [e ] = e e + Οπότε : () ( e f ()) = ( e e ) ( e f ()) = ( e ( ) ) Άρ, = +, οπότε e f () e ( ) c f () = ( ) + ce. e είι συεχής στο R, Πράδειγµ Ν ρεθεί ρχική της f()=ln, > Λύση f είι συεχής, οπότε ρχική της f είι F() = ln tdt = (t) ln tdt = [t ln t] t. dt= ln [t] = ln + t F () = e e ή G() = ln, Πράδειγµ. Ν ρεθεί η ρχική της f ( ) = ln, > lim f ( ) = η f είι συεχής στο (,) (, + ) κι στο, γιτί lim f ( ) = lim (ln ) = + + άρ η f είι συεχής στο R. Η συάρτηση + c, F ( ) = γι είι ρχική της f πρέπει ln + c, > είι συεχής στο, άρ πρέπει lim F ( ) = lim F ( ) = F () + c = + c + Α c =, τότε c = ½ Πράδειγµ. ίετι η πργωγίσιµη συάρτηση f : R R µε f()= κι ισχύει η σχέση f ()-f()=3. N ρεθεί η συάρτηση f. Λύση ( ) ( ) ( ) f f 3 f 3 f ( ) f( ) = 3 = = 3 + c, < Άρ f ( ) = c, = 3 +, > c f συεχής στο, άρ lim f ( ) = f () 3+ c = c = 5 c = 5 c= 3 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης
4. Μελέτη συρτήσεω που ορίζοτι πό ολοκλήρωµ Α. Μελέτη συάρτησης F που ορίζετι µε ολοκλήρωµ: F()= f ( t) dt µπορεί µελετηθεί µε το πρόσηµο της πρώτης κι της δευτέρς πργώγου. Πράδειγµ. ίετι η συάρτηση f ( ) = t dt.ν ρείτε το σύολο ορισµού της κι µελετήσετε µοοτοί, κρόττ κι σηµ. κµπής ( D f = [, + ),... Πράδειγµ. ίετι η συάρτηση f ( ) =, f γ. ύξουσ, ελάχιστο το f() ) t f ( ) = e dt, R. Ν µελετηθεί η συέχει της f κι ρείτε τη f () θέτουµε u=t, οπότε du=dt κι γι t=, t= έχουµε u= κι u = u u u, f ( ) = e du f ( ) = e du f ( ) = e du προκύπτει µε πργώγιση e + f ( ) = e f ( ) = e e,., Πράδειγµ. Α η συάρτηση f είι συεχής κι γ. ύξουσ στο R, µε 3 f ( t ) dt = κι Ν ρείτε το σύολο τιµώ της 5 f ( t ) dt = 3. 3 + g( ) = f ( t) dt στο διάστηµ [,3] ( g ( ) = f ( + ) f ( ) >, g γ. ύξουσ, g([,3])=[, 3] Πράδειγµ. Α η συάρτηση f είι συεχής στο R κι, R. Ν ρείτε τη πράγωγο της F( ) = f ( t) dt. Θέτουµε u=-t οπότε du= -dt κι F( ) = f ( u) du. Α G πράγουσ της f, G (u)=f(u), u R, οπότε F()=G(-)-G(-) κι F () = f(-)-f(-) Β. Εύρεση συάρτησης. Θ δίετι µι ισότητ που περιέχει ολοκλήρωµ της µορφής f ( t) dt κι θ ζητείτι ρεθεί η συάρτηση f, πργωγίζουµε κτά µέλη κι πίρουµε µί ισότητ που περιέχει τη f ή τη f Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης
* Πράδειγµ. Α f είι συεχής f : R R t κι f ( ) = + dt f ( t) ) Ν δείξετε ότι: f()>, ) Ν ρείτε το τύπο της f. )f συεχής κι f(), οπότε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο R, f()=> άρ f()> ) f ( ) = ( f ( )) = ( ) f ( ) = + c + f ( ) =. f ( ) Πράδειγµ. Ν ρεθεί συάρτηση f : (, + ) Rσυεχής τέτοι ώστε ισχύει f ( ) = + f ( t) dt, > () f ( ) = + f ( t) dt f ( ) + f ( ) = + f ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) = ln + c Από () f()=, οπότε c= κι f ( ) = ln + Πρτήρηση. : Α πργωγίζουµε ως προς τη κ f ( ) = λ + f ( t) dt g ( ) Τότε πολ/ζουµε µε g(), ώστε έχουµε g ( ) f ( ) = λ g ( ) + κ f ( t ) dt που «πργωγίζετι» ευκολότερ. a a a Πρτήρηση. : Στο ολοκλήρωµ g( ) f ( t) dt η µετλητή ολοκλήρωσης είι η t, οπότε η g() στο ολοκλήρωµ είι ές ριθµός κι έχουµε : a g( ) f ( t) dt= g( ) f ( t) dt, πργωγίζουµε µόο µετά τη «εξγωγή». a a Πρτήρηση 3. : Στο ολοκλήρωµ f ( t, ) dt η µετλητή ολοκλήρωσης είι η t, οπότε κάθε άλλη ποσότητ στο ολοκλήρωµ θεωρείτι στθερή. Χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες γι έχουµε µόο τη µετλητή ολοκλήρωσης στο ολοκλήρωµ ή κάουµε λλγή µετλητής (φού ρούµε πρώτ το πεδίο ορισµού, χρειάζετι). Πράδειγµ. Ν ρεθεί συάρτηση f : t f ( ) = e f ( t ) d t, R () Λύση θέτουµε u=-t... R Rσυεχής τέτοι ώστε ισχύει Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης
Γ. Ισότητες µε ολοκληρώµτ Εφρµόζουµε τις µεθόδους ολοκλήρωσης Πράδειγµ. Α f()+f(+-)=c () ποδειχθεί ότι: Ι= + - f() d = (-)f( )= (f()+f()) f() d = (c-f(+-) d= (θέτουµε u=+-, du= -d)=c(-)+ f(u)du = c(-)- f(u)du Ι= c(-) c Ι= ( ), πό () γι = + + έχουµε f( ) = c. Αισότητ κι ολοκλήρωµ ) Α ζητείτι.δ.ο. f ( ) d, τότε ρκεί.δ.ο. f ( ), [, ] ) Α ζητείτι.δ.ο. f ( ) d g( ) d, τότε ρκεί f ( ) g( ), [, ] Θεωρούµε τη συάρτηση F( ) = f ( ) g( ), [, ] κι ρκεί.δ.ο F( ) η ισότητ µπορεί προκύψει πό τη µοοτοί ή τ κρόττ. γ) Α f συεχής στο [,], τότε f ([, ]) = [ m, M ].οπότε προκύπτει m( ) f ( ) d M ( ) δ) f ( ) d f ( ) d Πράδειγµ. Ν δείξετε ότι : 9 9 ln( + ) d ( ) d Λύση. Θεωρούµε τη συάρτηση F ( ) = ln( + ) +, [, 9 ] Είι πργωγίσιµη κι F ( ) = + =, [, 9 ] + + Οπότε η F είι γ. ύξουσ στο [,9], άρ F() F()= Ε. Ύπρξη σηµείου. Θεωρούµε οηθητική συάρτηση τη οποί εκλέγουµε πό τη µορφή της ζητούµεης σχέσης. Εφρµόζουµε (άλογ µε τη περίπτωση) τ θεωρήµτ Bolzano, Rolle, ΘΜΤ, Θ.Fermat... Πράδειγµ. Έστω, R µε << κι η συεχής συάρτηση f : (,+ ) R µε f (t)dt =. Θεωρούµε τη συάρτηση g()= + f (t)dt. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3
i) N δειχθεί ότι υπάρχει (,) στο οποίο η εφπτοµέη στη Cgείι πράλληλη στο άξο χ χ. ii) N δειχθεί g( )=+f( ) Λύση i) g()= g()= g συεχής κι πργωγίσιµη στο (,+ ) άρ κι στο [,] ως γιόµεο πργωγισίµω σύµφω µε το Θ. Rolle υπάρχει. (,) : g ( )=, άρ η εφπτοµέη της C g στο (, g( )) είι πράλληλη στο άξο χ χ. ii) g() = + f (t)dt g() = + f (t)dt. Οπότε (g()) = (+ f (t)dt) g() + g () = + f () Γι = o, g( ) + g ( ) = + f ( ) g( ) = + f ( ) o o o o o o (i) Πράδειγµ. Α f είι συεχής στο R κι F( ) = f ( t) dt, R i) Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) : F ( ξ ) =, ii) ξ f ( t) dt= ξ f ( ξ ) Πράδειγµ. A f : R Rσυεχής συάρτηση τέτοι ώστε: + h f ( t) dt h,, h R. Ν δείξετε ότι ( ), f = R Λύση. Έστω F() ρχική της f, οπότε f ( t) dt= F( + h) F( ) + h h F ( + h) F ( ) F ( + h) F ( ) F ( + h) F ( ) h h h h h h Από κριτήριο πρεµολής : F ( + h ) F ( ) F ( ) = lim = κι F ( ) = f ( ) = h h ΣΤ. Όριο κι ολοκλήρωµ. ) Α η f είι συεχής στο, η F()= f (t)dt είι πργωγίσιµη κι συεχής στο, οπότε lim F() o = F( o), o κι το limf() = F( ) = ή lim f (t)dt = f (t)dt = Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4
Πράδειγµ. Ν ρείτε τ όρι i) lim( t dt), ii) lim t d ω i) Α F()= t dt η F() είι πργωγίσιµη κι συεχής στο [, + ) 3 3 άρ limf() = F() = t 8 7, ii) lim t dt lim[ ] lim( ) = = = 3 3 3 3 ) Υπολογίζουµε το ολοκλήρωµ( είι δυτό) κι µετά ρίσκουµε το όριο Πράδειγµ. Ν ρείτε τo όριo + + lim( ln tdt) + ln tdt = + + + + + + t ( t) ln tdt= [ t ln t] t dt= [ t ln t] [ t] = ( + )ln( + ) ln lim( ln tdt) = lim(( + )ln( + ) ln ) = ln = + + * η ( + )ln( + ) είι συεχής κι *.( ) ln DLH (ln ) lim( ln ) = lim = lim = lim = + + + + ( ) Μπορούµε εφρµόζουµε το κό D L Hospital γι τις µορφές / κι / + Πράδειγµ. Ν ρείτε: lim( + ) t dt φ()= + t dt συεχής οπότε κι η F()=φ(+) συεχής, άρ lim F() = F() =ϕ () = + ( t dt) + + lim( t dt) lim lim[( ( ).( ) ] 5 + = = + + + = ( ) γ) Γι το g() lim f(t)dt + δουλεύουµε : h() Με το κριτήριο πρεµολής ή m(-) f ( ) d Μ(-) ή Με το θεώρηµ µέσης τιµής Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 5
Πράδειγµ. Ν ρεθεί το όριο Α. Τρόπος + lim + 3+ t dt > t + t ( + ) + 3 t + 3 + 4 + 7 + 3 t + 3 + 4 + 7 Άρ + + + dt dt dt + 3 t + 3 + 4+ 7 Προκύπτει ότι : + + + [ t] [ ] dt t + 3 + 3 + 4 + 7 t + + lim [ t] = lim [ ] = + t + Β. Τρόπος + 3 + 4+ 7 +. Άρ lim + dt= 3+ t ( + 3) f ( ) =, f ( ) = =, + 3 ( + 3) ( + 3) + 3 γι χ> είι f ( ) <, η f είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο [, +] άρ f([, +])=[f(+), f()], οπότε m=f(+) κι M=f() εποµέως ισχύει + + + + m f ( ) M m dt f ( t) dt M dt m( + ) f ( t) dt M( + ) + + f ( + ) f ( t) dt f ( ) dt 3 + ( + ) 3 + t 3 + Με το κριτήριο πρεµολής προκύπτει ότι : Γ. Τρόπος + lim dt + = + t Α F είι ρχική της f ( ) = + 3 συεχής, τότε F(+) - F() = + dt t + 3 Εφρµόζουµε το ΘΜΤ γι τη F στο διάστηµ [χ, χ+], άρ υπάρχει έ τουλάχιστο ξ() εξρτώµεο του κι +, τότε ξ( ) + (γιτί χ < ξ(χ) < χ+) τέτοιο ώστε F ( + ) F ( ) f ( ξ ) = F ( + ) F ( ) = f ( ξ ) dt = + t + 3 ξ ( ) + 3 lim lim + dt = = ξ ( ) + 3+ t 3 + ξ ( ) + Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 6
Z. Ολοκλήρωµ τίστροφης Γι το ολοκλήρωµ f ( )d λ κ - θέτουµε = f ( u) f ( ) = u, d= f ( u) du - µε τ έ όρι ολοκλήρωσης κ = f ( ) f ( κ ) = κι λ = f ( ) f ( λ ) =. λ Οπότε f ()d = uf (u)du = f ()d κ Στο διάστηµ [,] η f πρέπει είι πργωγίσιµη κι «-». Η. «ιπλά» Ολοκληρώµτ Περίπτωση. Α τρόπος ( f (t)dt)d γ Θεωρούµε τη συάρτηση Οπότε µε πργοτική ολοκλήρωση F() = f (t)dt, F(γ)=. = = = γ ( f (t)dt)d F()d () F()d [F()] f ()d Β τρόπος Βρίσκουµε τη συάρτηση το ολοκλήρωµ Περίπτωση. οπότε F ( )d γ ( f (t)dt)du. Το ολοκλήρωµ f ( t)dt γ γ γ ( f (t)dt)du = f (t)dt du = ( ) f (t)dt γ F( ) = f (t)dt κι στη συέχει υπολογίζουµε γ γ είι ριθµός, Περίπτωση 3. u ( f (t)dt)du Θεωρούµε τη συάρτηση Οπότε µε πργοτική ολοκλήρωση, u F(u ) = f (t)dt, οπότε F()= u = = = = ( f (t)dt)du F(u)du (u) F(u)du [uf(u)] uf (u)du F() uf (u)du δ δ δ Περίπτωση 4. ( f (t)dt)d = f (t)dt d = ( ) f (t)dt γ γ γ άσκηση 5 σχολικού ιλίου σελ. 35. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 7
Πράδειγµ. ίετι η συάρτηση f()= 3 +- ) Ν δειχθεί ότι η f τιστρέφετι κι ρεθεί το πεδίο ορισµού της f - ) Ν υπολογισθεί το ολοκλήρωµ Ι = f ()d Λύση. ) f ( ) = 3 + >, R, η f πργ. είι γ. ύξουσ άρ «-» Το πεδίο ορισµού της f - είι το σύολο τιµώ της f που είι το R κι f - γ. ύξουσ ) γι το υπολογισµό του Ι= f ()d, θέτουµε f ( u) f ( ) u = =, κι - - - d= f ( u) du γι = - κι = f ([-,]) = [ f (-), f ()] = f u = u + u u u + = u = 3 ( ) ( ) 3 = f ( u ) = u + u u = άρ 4 3u u 3 5 I = uf (u )du = u (3u + )du = [ + ] = + = 4 4 4 5. Εµδά χωρίω Σε κάθε µί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση µις τουλάχιστο συάρτησης f κι πό κάποιες ευθείες, έ επίπεδο χωρίο Ω, γι το οποίο θέλουµε υπολογίσουµε το εµδό του Ε(Ω). Βσική προϋπόθεση σε όλες τις περιπτώσεις είι η συέχει τω συρτήσεω.. Χωρίο που ορίζετι πό τη C f, το άξο χ χ, κι τις ευθείες = κι = Γεικός τύπος υπολογισµού του εµδού: Ε(Ω) = f ( ) d Βρίσκουµε τις ρίζες κι το πρόσηµο της f στο διάστηµ [, ] κι έχουµε :. Α f(), γι κάθε [ ], τότε = Cf = Ε(Ω) = f ( )d Ω Ο. Α f() γι κάθε [ ], τότε Ο Ε(Ω) = - f ( )d = - f ( )d = Ω Cf = Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 8
γ. Α η f δε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο [, ] τότε το εµδό είι το άθροισµ τω εµδώ τω χωρίω στ διστήµτ που η f είι θετική ή = = ρητική. Cf Ε(Ω)=Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 )= γ δ f()d+ -f()d+ f()d γ δ Ω γ Ω δ Ω3 όπου γ,δ οι ρίζες της f στο διάστηµ [,] Άσκηση Ν ρεθεί το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, κι τις ευθείες που δίοτι σε κάθε περίπτωση: π 3π ) f()=,, =, =4 ) f()=συ,, =, = γ) f()=ln,, = e, =e. Χωρίο που ορίζετι πό τις C f κι C g κι τις ευθείες = κι =. Γεικός τύπος υπολογισµού του εµδού: Ε(Ω) = f ( ) g ( ) d Cg Ω γ Ω δ Ω3 Cf = = Βρίσκουµε τις ρίζες κι το πρόσηµο της διφοράς f()-g() στο διάστηµ [,]. Τότε: γ Ε(Ω) = Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 ) = [ ] + [ ] + [ ] δ f() g() d g() f() d f() g() d γ δ όπου γ,δ οι ρίζες της διφοράς f()-g() στο διάστηµ [,] Άσκηση Ν ρεθεί το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες που δίοτι: f()=ηµ, g()=συ, =, =π Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 9
3. Χωρίο που ορίζετι πό τη τοµή τω γρφικώ πρστάσεω τω f κι g Cf Cg γ δ = = Λύουµε τη εξίσωση f() = g() κι ρίσκουµε τις τετµηµέες τω σηµείω τοµής. Α = η µικρότερη κι = η µεγλύτερη πό τις τετµηµέες το εµδό είι Ε(Ω) = f ( )-g ( ) d Σχόλιο: Με τη ίδι µέθοδο ρίσκουµε το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τη τοµή της γρφικής πράστσης της f κι το άξο (f()=) Άσκηση 3 Ν ρεθεί το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g ότ: f() = 3, g() = - 4. Χωρίο που ορίζετι πό γρφικές πρστάσεις περισσοτέρω τω δύο συρτήσεω (οι οριζότιες ευθείες, ο άξος χ χ, οι εφπτόµεες, θεωρούτι γρφικές πρστάσεις συρτήσεω) Cg Ch Cf Ω Ω Ω3 Cφ Ο γ δ Κάουµε έ πρόχειρο σχήµ κι ρίσκουµε τις κορυφές του Από κάθε κορυφή φέρουµε κτκόρυφες ευθείες κι χωρίζουµε το χωρίο σε µικρότερ χωρί γ Το εµδό είι: Ε(Ω)= δ [f ( )-g ( )] d + [f ( )-h ( ) ]d + [φ ( )-h ( ) ]d γ δ Άσκηση 4 Αφού πρώτ κάετε πρόχειρο σχήµ, ρεθεί το εµδό του χωρίου που ορίζετι ) Από τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f()=3, g()= κι τις ευθείες y=3 κι = ) Από τη C f, f()=, τη εφπτοµέη στο σηµείο Α(,) κι το άξο χ χ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3
5. Χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της τίστροφης συάρτησης f -, το άξο χ χ, κι τις ευθείες = κι = Ε(Ω) = f ( ) dµε «λλγή µετλητής» Α f () = =, d= f ( u) du - θέτουµε f ( u) f ( ) u = f ( ) f ( ) = κι κ κ = f ( ) f ( ) =. λ λ f() = f - () Cf y= C f - Ω Οπότε λ f ()d = uf (u)du = f ()d Περίπτωση κ Το εµδό του χωρίου Ω µετξύ C f, χ χ κι = είι ίσο µε το εµδό µετξύ τω C f, y y κι y= (λόγω συµµετρίς τω C f, C f ως προς τη y=) Εποµέως θ είι: Ε(Ω)= f ()d = [-f( )]d, (όπου f()=) Άσκηση 5. ίετι η συάρτηση f()= e +- ) Ν µελετηθεί ως προς τη µοοτοί. ) Ν δειχθεί ότι η f τιστρέφετι κι ρεθεί το πεδίο ορισµού της τίστροφής της f - γ) Ν υπολογισθεί το εµδό του χωρίου µετξύ της C - f, του άξο χ χ κι της ευθείς =e. Α > κι f συεχής στο [-,]. Τότε ισχύου: ) Α f άρτι, τότε Ασκήσεις στ ολοκληρώµτ f ()d= f ()d, ) Α f περιττή, τότε f ()d=. Έστω η συάρτηση f()=+ 4, >. ) Ν δείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης f, το άξο χ χ κι τις ευθείες =λ, =λ+, όπου λ>, είι Ε(λ)=λ++4ln(+ λ ) ) Ν προσδιορίσετε τη τιµή του λ γι τη οποί το εµδό Ε(λ) γίετι ελάχιστο 3. i) Α f συεχής στο [, ]. Ν ποδείξετε ότι: f ()d= f ( + )d ii) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ d, > Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3
4. ) Α h, g συεχείς στο [,] µε h()>g(), γι κάθε [,], δειχθεί h()d> g()d ) ίετι η πργωγίσιµη στο R συάρτηση f γι τη οποί f()-e -f() = -, R κι f() = i) N εκφρσθεί η f ως συάρτηση της f ii) Ν δείξετε ότι <f()<f (), γι κάθε > iii) Ν δείξετε ότι < E< f (), όπου Ε το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τη C f, το κι τις 4 =, = 5. Έστω η συάρτηση f()= 5 + 3 + ) Ν µελετήσετε τη f ως προς τη µοοτοί, τ κοίλ κι δείξετε ότι η f έχει τίστροφη ) Ν δείξετε ότι f(e ) f(+), γι κάθε R γ) Ν δείξετε ότι η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της f στο σηµείο (,) είι άξος συµµετρίς τω γρφικώ πρστάσεω της f κι της f - δ) Ν υπολογισθεί το εµδό του χωρίου µετξύ της γρ. πράστσης της f -, του άξο χ χ κι της ευθείς =3 + γι τη οποί ισχύου 6. Ν ρεθεί η συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το (, ) η C f διέρχετι πό το σηµείο Α(,) κι f ( ) =, > 7. Α f συάρτηση µε f: (, + ) R f ( ) + f ( ) =, >. Ν ρείτε τη f. γι τη οποί ισχύου, f()= κι 8. Α f συάρτηση f είι συεχής στο [, 5] κι f ( ) > γι κάθε [,5] υπάρχει γ, γ (,5) τέτοιο ώστε : 9. Α f: R R συεχής κι 3 4 f ()d+ 3 f ()d= γ f (t)dt 9,. Ν ρείτε τη συάρτηση f, µε f: R R, ισχύου: οριζότι σύµπτωτη στο + τη ευθεί y=. 3 γ R, ρείτε το f(3). Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3. Ν ποδείξετε ότι f ( ) =, R κι η f e C έχει. ίετι η συεχής συάρτηση f γι τη οποί ισχύει f()=e t + e f (t)dt, γι κάθε R ) Ν ρεθεί ο τύπος της f ) Ν λυθεί η εξίσωση e = - e γ) Ν ρεθεί η εφπτοµέη της C f, η οποί διέρχετι πό τη ρχή τω ξόω. Α f είι συεχής κι γησίως ύξουσ στο (, + ) µε + 4 3 f (t)dt= κι 4 f (t)dt= 3. Θεωρούµε τη συάρτηση F() = f (t)dt, >. ) Ν µελετήσετε τη µοοτοί της F. + ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει γ (, 5) ώστε: f(ξ+) - f(ξ+) = - 4 5
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 4 ο () Έστω µι πργµτική συάρτηση f, συεχής στο σύολο τω πργµτικώ ριθµώ ΙR, γι τη οποί ισχύoυ οι σχέσεις: i) f(), γι κάθε ΙR ii) f() = - t f (t) dt, γι κάθε ΙR. Έστω κόµη g η συάρτηση που ορίζετι πό το τύπο g() = -, γι κάθε ΙR. f(). Ν δείξετε ότι ισχύει f () = - f () Μοάδες. Ν δείξετε ότι η συάρτηση g είι στθερή. Μοάδες 4 γ. Ν δείξετε ότι ο τύπος της συάρτησης f είι: f() = +. Μοάδες 4 δ. Ν ρείτε το όριο lim ( f() ηµ). Μοάδες 7 + ΘΕΜΑ 4 ο (επ) Έστω µι πργµτική συάρτηση f, συεχής στο (,+ ) γι τη οποί ισχύει:. Ν δείξετε ότι η f είι πργωγίσιµη στο (,+ ). Μοάδες 3 t f(t) f () = + dt µε >. Ν δείξετε ότι ο τύπος της συάρτησης f είι: f ( ) = + ln, > Μοάδες 7 γ. Ν ρείτε το σύολο τιµώ της f. Μοάδες 6 δ. Ν ρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f. Μοάδες 4 ε. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης f, το άξο κι τις ευθείες =, =e. Μοάδες 5 ΘΕΜΑ ο (επ) ίετι η συάρτηση e f ( ) =, IR. e +. Ν δείξετε ότι η f τιστρέφετι κι ρείτε τη τίστροφη συάρτηση f. Μοάδες. Ν δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει µοδική ρίζ το µηδέ. Μοάδες 5 γ. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ Μοάδες f () d Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 33
ΘΕΜΑ 4 ο (επ) Έστω η συάρτηση f, ορισµέη στο ΙR. µε δεύτερη συεχή πράγωγο, που ικοποιεί τις σχέσεις: f ()f() + (f ( )) = f()f (), ΙR. κι f() = f () =.. Ν προσδιορίσετε τη συάρτηση f. Μοάδες. Α g είι συεχής συάρτηση µε πεδίο ορισµού κι σύολο τιµώ το διάστηµ [,], δείξετε ότι η εξίσωση g(t) dt = + f (t) έχει µί µοδική λύση στο διάστηµ [,]. Μοάδες 3 ΘΕΜΑ 3 ο (3) Έστω η συάρτηση f() = 5 + 3 +.. Ν µελετήσετε τη f ως προς τη µοοτοί κι τ κοίλ κι ποδείξετε ότι η f έχει τίστροφη συάρτηση. Μοάδες 6. Ν ποδείξετε ότι f(e ) f(+) γι κάθε IR. Μοάδες 6 γ. Ν ποδείξετε ότι η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της f στο σηµείο (,) είι ο άξος συµµετρίς τω γρφικώ πρστάσεω της f κι της f Μοάδες 6 δ. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, το άξο τω κι τη ευθεί µε εξίσωση =3 Μοάδες 8 ΘΕΜΑ 3 ο (3επ) ίετι η συάρτηση f() = +.. Ν ποδείξετε ότι lim f() =. Μοάδες 5 +. Ν ρείτε τη πλάγι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της f, ότ το τείει στο. Μοάδες 6 γ. Ν ποδείξετε ότι f () + + f() =. Μοάδες 6 δ. Ν ποδείξετε ότι d ln ( ) Μοάδες 8 = + + ΘΕΜΑ 4 ο (4) Έστω η συεχής συάρτηση f: IR IR τέτοι ώστε f()=. Α γι κάθε R, ισχύει 3 ( ) = z f ( t) dt 3 z+ ( ) z g όπου z=+i C, µε, IR*, τότε:. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση g είι πργωγίσιµη στο IR κι ρείτε τη g. Μοάδες 5. N ποδείξετε ότι z z+ z = Μοάδες 8 γ. Με δεδοµέη τη σχέση του ερωτήµτος ποδείξετε ότι Re(z ) = Μοάδες 6 δ. A επιπλέο f()=>, f(3)= κι >, ποδείξετε ότι υπάρχει (,3) τέτοιο ώστε f( )=. Μοάδες 6 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 34
ΘΕΜΑ 4 ο (4 επ) Έστω συάρτηση f συεχής στο [, + ) R τέτοι, ώστε f() = + f(t)dt.. Ν ποδείξετε ότι η f είι πργωγίσιµη στο (, + ). Μοάδες 7. Ν ποδείξετε ότι f() = e ( + ). Μοάδες 7 γ. Ν ποδείξετε ότι η f() έχει µοδική ρίζ στο [, + ). Μοάδες 5 δ. Ν ρείτε τ όρι lim f() κι lim f(). Μοάδες 6 ΘΕΜΑ 4 ο (5) + Έστω µι συάρτηση f πργωγίσιµη στο R τέτοι, ώστε ισχύει η σχέση f () = e f( ) γι κάθε R κι f() =. + e. Ν δειχθεί ότι: f() = ln. Ν ρεθεί το: lim f( ηµχ t). Μοάδες 6 dt. Μοάδες 6 γ. ίδοτι οι συρτήσεις: h() = t 5 7 f(t)dt κι g() = 7. είξτε ότι h() = g() γι κάθε R. Μοάδες 7 δ. είξτε ότι η εξίσωση t 5 f(t) dt = 8 έχει κριώς µί λύση στο (, ). Μοάδες 6 ΘΕΜΑ 4 ο (5επ.) f() ίετι η συεχής συάρτηση f: IR IR,γι τη οποί ισχύει lim = 5. Ν δείξετε ότι:.. Ν ρείτε το λ R έτσι, ώστε: i. f()= Μοάδες 4 ii. f ()=. Μοάδες 4 ( ) ( f() ) + λ f() lim = 3. Μοάδες 7 + γ. Α επιπλέο η f είι πργ/µη µε συεχή πράγωγο στο R κι f ()>f() γι κάθε R, δείξετε i. f()> γι κάθε. Μοάδες 6 ii. f()d < f(). Μοάδες 4 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 35
ΘΕΜΑ ο (6) Θεωρούµε τη συάρτηση f() =+(-) µε.. Ν ποδείξετε ότι η f είι -. Μοάδες 6. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η τίστροφη συάρτηση f - της f κι ρείτε το τύπο της. Μοάδες 8 γ. i. Ν ρείτε τ κοιά σηµεί τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω f κι f - µε τη ευθεί y =. Μοάδες 4 ii. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f κι f -. Μοάδες 7 ΘΕΜΑ ο (6επ.) ίετι η συάρτηση + e f() =, R. + e +. Ν µελετήσετε τη συάρτηση f ως προς τη µοοτοί της στο R. Μοάδες 9. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ d. Μοάδες 9 f() γ. Γι κάθε < ποδείξετε ότι: f(5 )+f(7 )<f(6 )+f(8 ). Μοάδες 7 ΘΕΜΑ 3 ο (6επ.) Έστω οι µιγδικοί ριθµοί z, που ικοποιού τη ισότητ (4 z) = z κι µί συάρτηση f µε τύπο f() = ++, R.. Ν ποδείξετε ότι οι εικόες τω µιγδικώ z ήκου στη ευθεί =. Μοάδες 7. Α η εφπτοµέη (ε) της γρφικής πράστσης της συάρτησης f στο σηµείο τοµής της µε τη ευθεί = τέµει το άξο y y στο y = 3, τότε i. ρείτε το κι τη εξίσωση της εφπτοµέης (ε). Μοάδες 9 ii. υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι µετξύ της γρφικής πράστσης της f, της εφπτοµέης (ε), του άξο κι της ευθείς 3 =. Μοάδες 9 5 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 36
ΘΕΜΑ 4 ο (7) Έστω f µι συεχής κι γησίως ύξουσ συάρτηση στο διάστηµ [, ] γι τη οποί ισχύει f() >. ίετι επίσης συάρτηση g συεχής στο διάστηµ [, ] γι τη οποί ισχύει g() > γι κάθε ε [, ]. Ορίζουµε τις συρτήσεις: F() = f(t)g(t)dt, ε [, ], G() = g(t)dt, ε [, ].. Ν δειχθεί ότι F() > γι κάθε στο διάστηµ (, ].. Ν ποδειχθεί ότι: f() G() > F() γι κάθε στο διάστηµ (, ]. F ( ) F ( ) γ. Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: γι κάθε στο διάστηµ (, ]. G ( ) G ( ) δ. Ν ρεθεί το όριο: lim ( f(t)g (t)d t ) ( g (t)d t ) + 5 ηµt d t. ΘΕΜΑ 3 ο (7 επ.) ίετι η συάρτηση ( ) f = e eln, > Α) Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση f( ) είι γήσι ύξουσ στο διάστηµ (,+ ) Μ. Β) Ν ποδείξετε ότι ισχύει f( ) e γι κάθε > Μ.7 + + 4 f t dt f t dt f t dt έχει κριώς µι ρίζ στο + + 3 Γ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = ( ) + ( ) διάστηµ ( ),+ Μ.8 ΘΕΜΑ 4 ο (8) Έστω f µι συάρτηση συεχής στο γι τη οποί ισχύει 3 f ( ) = ( + 3 ) f ( t ) dt 45. Ν ποδείξετε ότι : f()= 3 +6 45 Μ.8. ίετι επίσης µι συάρτηση g δύο φορές πργωγίσιµη στο IR. Ν ποδείξετε ότι g ( ) = g ( ) g ( h ) lim h h Μ.4 γ. Α γι τη συάρτηση f του ερωτήµτος () κι τη συάρτηση g του ερωτήµτος () ισχύει ότι g( + h ) g( ) + g( h ) lim = f ( ) + 45 κι g()=g ()=, τότε h h i. ποδείξετε ότι g()= 5 + 3 ++ Μ. ii. ποδείξετε ότι η συάρτηση g είι Μ.3 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 37
ΘΕΜΑ 4ο (8 επ.) Έστω f µι συεχής συάρτηση στο διάστηµ [, + ) γι τη οποί ισχύει f() > γι κάθε. Ορίζουµε τις συρτήσεις: F ( ) f(t)dt, [, + ), F ( ) h ( ) = tf ( t ) dt, (, + ). = t. Ν ποδείξετε ότι e [f (t ) + F (t )] dt = F ( ) Μοάδες 6. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση h είι γησίως φθίουσ στο διάστηµ (, + ). Μοάδες 8 γ. Α h()=, τότε: i. Ν ποδείξετε ότι f ( t ) dt < t f ( t ) dt Μοάδες 6 ii. Ν ποδείξετε ότι F ( t ) dt = F ( ) Μοάδες 5 ΘΕΜΑ 4 ο (9) Έστω f µί συεχής συάρτηση στο διάστηµ [, ] γι τη οποί ισχύει ( t - ) f(t)dt = Ορίζουµε τις συρτήσεις H() = tf(t)dt, [, ], H() f(t)dt + 3, (,] G() = t 6 lim, = t t. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση G είι συεχής στο διάστηµ [, ].. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση G είι πργωγίσιµη στο διάστηµ H() (, ) κι ότι ισχύει : G () =, < < Μοάδες 6 γ. Ν δείξετε ότι υπάρχει ές ριθµός (, ) τέτοιος ώστε ισχύει Η()=. δ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ές ριθµός ξ (, ) τέτοιος ώστε ισχύει ξ t f ( t ) d t = ξ f ( t ) d t ΘΕΜΑ 4 ο (9επ) ίετι µι συάρτηση f: [,] R η οποί είι δύο φορές πργωγίσιµη κι ικοποιεί τις συθήκες f () -4f () +4f() =k e, 4 f () =f(), f () =f() + e, f() = e όπου k ές πργµτικός ριθµός. f () -f(). Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση g() =3 -, e ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµτος του Rolle στο διάστηµ [,]. Μοάδες 4. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε ισχύει ξ f (ξ) +4f(ξ) =6ξ e +4 f (ξ) Μοάδες 5 γ. Ν ποδείξετε ότι k = 6 κι ότι ισχύει g() = γι κάθε [,]. Μοάδες 6 δ. Ν ποδείξετε ότι 3 f() = e, Μοάδες 5 ε. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ f() d Μοάδες 4 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 38
ΘΕΜΑ 4ο. Έστω δύο συρτήσεις h, g συεχείς στο [, ]. Ν ποδείξετε ότι h() > g() γι κάθε [, ], τότε κι h ( ) d > g ( ) d. Μοάδες. ίετι η πργωγίσιµη στο ΙR συάρτηση f, που ικοποιεί τις σχέσεις: f () f () e =, ΙR κι f() =. ι) Ν εκφρστεί η f ως συάρτηση της f. Μοάδες 5 ιι) Ν δείξετε ότι < f() < f (), γι κάθε >. Μοάδες ιιι) ΘΕΜΑ Γ() Α Ε είι το εµδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = κι το άξο, δείξετε ότι < E < f (). Μοάδες 6 4 ίετι η συάρτηση f()=+ln( +), R Γ. Ν µελετήσετε ως προς τη µοοτοί τη συάρτηση f. Μοάδες 5 Γ. Ν λύσετε τη εξίσωση: ( 3 + ) = ln ( ) 3 + 4 + Μοάδες 7 Γ3. Ν ποδείξετε ότι η f έχει δύο σηµεί κµπής κι ότι οι εφπτόµεες της γρφικής πράστσης της f στ σηµεί κµπής της τέµοτι σε σηµείο του άξο ψ ψ. Μ. 6 Γ4. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ f ( ) d Μοάδες 7 ΘΕΜΑ () ίετι η συεχής συάρτηση f : f ( ), R R η οποί γι κάθε R ικοποιεί τις σχέσεις: t f ( ) = 3 + d t f ( t ) t. Ν ποδείξετε ότι η f είι πργωγίσιµη στο R µε πράγωγο f ( ) f ( ) =, R Μοάδες 5 f ( ). Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση = ( ), R, είι στθερή. Μοάδες 7 g ( ) f ( ) f ( ) 3. Ν ποδείξετε ότι 4. Ν ποδείξετε ότι + + f ( ) 9, = + + R Μοάδες 6 f ( t ) d t < f ( t ) d t, R Μοάδες 7 + Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 39
ΘΕΜΑ () ίοτι οι συεχείς συρτήσεις f,g : R R, οι οποίες γι κάθε R ικοποιού τις σχέσεις: i) f()> κι g()> ii) iii) f ( ) = e g( ) = e t e dt g(+ t ) t e d t f ( + t ) Ν ποδείξετε ότι οι συρτήσεις f κι g είι πργωγίσιµες στο R κι ότι f()=g() γι κάθε R. Μοάδες 9. Ν ποδείξετε ότι: f() = e, R. Μοάδες 4 3. Ν υπολογίσετε το όριο: l n f ( ) l i m Μοάδες 5 f 4. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης F() = f ( t ) dt τους άξοες κι y y κι τη ευθεί µε εξίσωση = Μοάδες 7 ΘΕΜΑ ( Ε ) ίοτι η συάρτηση f : R R, η οποί είι 3 φορές πργωγίσιµη κι τέτοι, ώστε: iv) f() li m = + f() v) f () < f() - f() κι vi) f () γι κάθε R. Ν ρείτε τη εξίσωση της εφπτοµέης της γρφικής πράστσης της συάρτησης f στο σηµείο της µε τετµηµέη =. Μοάδες 3. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση f είι κυρτή στο R. Μοάδες 5 Α επιπλέο g( )= f( ) -, R τότε: ηµ 3. Ν ποδείξετε ότι η g προυσιάζει ολικό ελάχιστο κι ρείτε το : lim Μοάδες 6 g() 4. Ν ποδείξετε ότι f ( ) d > Μοάδες 5 5. Α το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης g, το άξο κι τις ευθείες µε εξισώσεις = κι = είι Ε(Ω)= e - 5 τότε υπολογίσετε το ολοκλήρωµ f ( ) d κι στη συέχει ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( t) dt = Μοάδες 6 ξ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4
ΘΕΜΑ () Έστω η συεχής συάρτηση f:(,+ ) R, η οποί γι κάθε > ικοποιεί τις σχέσεις: f() -+ f(t)dt e l nt t ln = dt+ e f(t) f(t). Ν ποδείξετε ότι η f είι πργωγίσιµη κι ρείτε το τύπο της. Μοάδες Α είι f()=e (ln ), >, τότε:. Ν υπολογίσετε το όριο: li m ( ) + f() ηµ f() Μοάδες 5 f() 3. Με τη οήθει της ισότητς ln -, που ισχύει γι κάθε >, ποδείξετε ότι η συάρτηση F() = f(t)dt, > όπου >, είι κυρτή (µοάδες ). Στη συέχει ποδείξετε ότι: F() + F(3) > F(), γι κάθε > (µοάδες 4). Μοάδες 6 4. ίετι ο στθερός πργµτικός ριθµός >. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει µοδικό ξ (,) τέτοιο ώστε: F() + F(3) = F(ξ) Μοάδες 4 ΘΕΜΑ ( Ε ) Έστω η πργωγίσιµη συάρτηση f:a R µε A=(,+ ) γι τη οποί ισχύου σχέσεις: f(α) = (-,] η πράγωγος της f είι συεχής στο (,+ ), κι f() + + + + f(t) f() e = e f (t) t dt t Θεωρούµε επίσης τη συάρτηση F() = f(t)dt, >. Ν ποδείξετε ότι f() = ln, > Μοάδες 8 +. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της F έχει µοδικό σηµείο κµπής Σ(,F( )), >, το οποίο κι ρείτε. Στη συέχει ποδείξετε ότι υπάρχει µοδικό ξ (,) µε >, τέτοιο ώστε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της F στο σηµείο M(ξ,F(ξ)) είι πράλληλη προς τη ευθεί ε: F() ( )y+( )= Μοάδες 6 3. Α >, ποδείξετε ότι η εξίσωση 5 3 F() +( )f() ( ) ( + ) + = 3 έχει µί τουλάχιστο ρίζ, ως προς, στο διάστηµ (,3) Μοάδες 5 4. Ν ποδείξετε ότι t f dt ( ) tf t dt, γι κάθε > Μοάδες 6 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4
Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η συάρτηση F () = ln - είι µι πράγουσ της συάρτησης f () = ln. Σ Λ. Κάθε συεχής συάρτηση σε έ διάστηµ, έχει µόο µι πράγουσ στο. Σ Λ 3. Α F, F είι δυο πράγουσες µις συάρτησης f, τότε υτές διφέρου κτά µι στθερά c. Σ Λ 4. H συάρτηση f () = ln + δε έχει πράγουσ στο διάστηµ [, + ). + 5. Α f, g πργωγίσιµες συρτήσεις, θ ισχύει ο τύπος f () g () d = [f () g ()] - f () g () d 6. Α η f είι συεχής ισχύει: f () d = [f ()]. Σ Λ 7. Οι γρφικές πρστάσεις τω πργουσώ F, F, F 3 µις συάρτησης f, που φίοτι στο διπλό σχήµ, έχου πράλληλες εφπτοµέες σε κάθε σηµείο τους µε τετµηµέη. y y CF CF Σ Σ Σ Λ Λ Λ 8. Οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω F () = e + c, έχου εφπτόµεες πράλληλες σε κάθε σηµείο τους µε τετµηµέη. 9. Ισχύει: f () d g () d = (f () g ()) d. Α f (t) = t Σ Λ - - 4. Ισχύει ότι d 3 + d, τότε t - d = f (t). Σ Λ = ( - 4) d. Σ Λ 3 ( + ) d. Ισχύει: f () d = f () - f () d. Σ Λ 3. Ισχύει: f () d + f () d=. Σ Λ 4. Ισχύει: f () d =. Σ Λ 5. Ισχύει: f (t) dt = f (). Σ Σ Λ Λ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4
6. Ισχύει: 7. Ισχύει: 8. Ισχύει: g () h () f (t) dt = f (g ()) g (). f (t) dt = - f (). g () f (t) dt = f (h ()) h () + f (g ()) g (). Σ Λ Σ Σ Λ Λ y 9. Στο σχήµ φίετι η γρφική πράστση της συάρτησης που πριστάει το dt. t y=ln Σ Λ y 4. Ισχύει cd = 8 cd, c στθερά. 6 Σ Λ y. Το εµδό του σκισµέου τµήµτος είι ίσο µε f () d + c, c. y. Α f συεχής στο R κι f () =, τότε ισχύει: = f () + f () d. Σ Λ 3. Ισχύει: ηµd = - συ. Σ Λ 4. Α θεωρήσουµε ότι e,7, τότε ισχύει e d =,7. Σ Λ C f Σ Λ 5. Α Α = f () d ) f (ω) dω = Α, τότε: Σ Λ ) f (t) dt = - Α Σ Λ γ) (3 f (z) - 4) dz= 3A - 8 ln Σ Λ 6. Α f () >, τότε ισχύει f () d >. Σ Λ 7. Α f () d τότε f () γι κάθε [, ]. Σ Λ 8. Α f () g () γι κάθε [, ], τότε θ ισχύει ότι f () d g () d. Σ Λ 9. Α <, τότε ισχύει ότι f () d f () d. Σ Λ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 43
3. Α η f είι συεχής στο [, 3], τότε ισχύει ότι 3 () d < f () d + 3 f f () d. Σ Λ 3. Γι τη συάρτηση του σχήµτος ισχύει ότι: () d < 3 f f () d. π 3. Ισχύει: ηµd =. 33. Γι τη συάρτηση του σχήµτος, ισχύει y 3 ότι f () d =, γι κάθε >. - 34. Α η f είι συεχής στο [, ], τότε το f () d είι το εµδό που y C f Σ Λ περικλείετι µετξύ της C f, του άξο κι τω ευθειώ =, =. Σ Λ y y y= 3 Σ Σ Λ Λ π 35. Ισχύει: (- 4συ ) d >. Σ Λ π 3 36. Ισχύει: dt = ln, >. Σ Λ t 37. Α f () d = g () d 38. Η ιδιότητ του ορισµέου ολοκληρώµτος f () d = f () d +. 39. Ισχύει ο τύπος ln γ, τότε f () = g () γι κάθε [, ]. γ f (t) dt = - f () d, ισχύει µόο εφόσο < γ < f (t) dt. 4. Ισχύει: e d = -,, >. Σ Λ ln 4. Το εµδό του σκισµέου χωρίου του σχήµτος δίετι πό τη σχέση: y Σ Σ Σ Λ Λ Λ 3 Ε = ( - ) d. (Οι γρφικές πρστάσεις στο σχήµ είι οι f () = κι g () = 3 ). Σ Λ y Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 44
4. Γι το εµδό του σκισµέου χωρίου που φίετι στο σχήµ, ισχύει: Ε = - - f () d. y - 43. Α η συάρτηση f είι συεχής στο [, ] κι f () = f (), τότε y Σ Λ f () d =. Σ Λ 44. Α 5 είι 3. f () d =, το ελάχιστο της f στο διάστηµ [, 5] δε µπορεί y Σ Λ 45. Το εµδό του σκισµέου χωρίου είι ίσο µε C f Ε = f () d. Σ Λ y 46. Το σκισµέο εµδό του σχήµτος είι µεγλύτερο πό το σκισµέο εµδό του σχήµτος. Σ Λ y y y= y=+ηµ y=ηµ - π - π - - y y Σχήµ Σχήµ ιλιογρφί. Α. Μπάρλς «Μθηµτικά κτευθ. Γ Λυκείου». Γ. Μυρίδης «Μθηµτικά κτευθ. Γ Λυκείου» 3.. Μπουάκης «ιδ. Υλικό Ολοκληρωτικός λογισµός» 4. Κυρικόπουλος Ατώης «Συρτήσεις που ορίζοτι πό Ολοκληρώµτ» 5. Ρϊκόφτσλης Θωµάς 6. Μύρος Ιωάης 7. Χτζόπουλος Μάκης 8. Έκδοση ΚΕΕ, Αξιολόγηση Γ λυκείου 9. Θέµτ Πελληίω -. Σχολικό ιλίο οεδ «Μθηµτικά κτευθ. Γ Λυκείου» Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 45