ΜΑΘΗΜΑ 6 Κεφάλαιο o : Γεωµετρία Υποενότητα.6: Λόγος εµβαδών όγκων οµοίων σχηµάτων Θεµατικές νότητες:. Λόγος µβαδών Οµοίων Σχηµάτων.. Λόγος Όγκων Οµοίων Σχηµάτων. Α. ΛΟΓΟΣ ΜΒΑ ΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Ο λόγος των εµβαδών δύο οµοίων σχηµάτων είναι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητας. ηλαδή αν ο λόγος οµοιότητας µεταξύ δύο σχηµάτων είµαι λ, τότε ισχύει: =λ Β. ΛΟΓΟΣ ΟΓΚΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Ο λόγος των όγκων δύο οµοίων στερεών είναι ίσος µε το κύβο του λόγου οµοιότητας. ηλαδή αν ο λόγος οµοιότητας µεταξύ δύο σχηµάτων είµαι λ, τότε V ισχύει: V =λ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 0 -
ΜΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Πολλές φορές στις ασκήσεις θα χρειαστεί να ξέρουµε το εµβαδό και τον όγκο κάποιων σχηµάτων και στερεών. Για αυτό λοιπόν θυµίζουµε ότι: µβαδόν Τριγώνου: β υ = µβαδόν Τραπεζίου: = ( Β+β) υ µβαδόν Τετραγώνου: =α Όγκος Τετραγώνου: V=α µβαδόν Παραλληλογράµµου: =α β Όγκος Παραλληλεπιπέδου: V=α β γ µβαδό Κυρτής πιφάνειας Κυλίνδρου: = πρ υ Όγκος Κυλίνδρου: V=πρ υ µβαδό της Παράπλευρης πιφάνειας Πυραµίδας: = ( περιµετρος βασης ) υ Όγκος Πυραµίδας: V= β υ, όπου β το µβαδό της βάσης της πυραµίδας. µβαδό Κυρτής πιφάνειας Κώνου: =πρ λ Όγκος Κώνου: V= πρ υ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
ΘΥΜΙΖΟΥΜ ΌΤΙ Ο λόγος των περιµέτρων δύο οµοίων σχηµάτων είναι ίσος µε το λόγο οµοιότητας τους. ηλαδή αν ο λόγος οµοιότητας µεταξύ δύο σχηµάτων Π είµαι λ, τότε ισχύει: =λ Π Ο λόγος των εµβαδών δύο οµοίων σχηµάτων είναι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητας. ηλαδή αν ο λόγος οµοιότητας µεταξύ δύο σχηµάτων είµαι λ, τότε ισχύει: =λ Ο λόγος των όγκων δύο οµοίων στερεών είναι ίσος µε το κύβο του λόγου οµοιότητας. ηλαδή αν ο λόγος οµοιότητας µεταξύ δύο σχηµάτων είµαι λ, τότε V ισχύει: V =λ υο κανονικά πολύγωνα που έχουν τον ίδιο αριθµό πλευρών είναι όµοια και ισχύει: λ R α = = µε λ, λ το µήκος των πλευρών των δύο πολυγώνων, R, R οι λ R α ακτίνες των δύο περιγγεγραµµένων κύκλων και α,α τα αποστήµατα των δύο κανονικών πολυγώνων. ΡΩΤΗΣΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΙΣ. Αν δύο όµοια τρίγωνα ΑΒΓ και Ζ έχουν λόγο οµοιότητας, να βρείτε 5 το λόγο των εµβαδών του.. ύο όµοια τρίγωνα ΑΒΓ και Ζ έχουν λόγο οµοιότητας. Αν το εµβαδό 4 του ΑΒΓ είναι = 7cm, να βρείτε το εµβαδό του Ζ τριγώνου. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
. ύο όµοια τρίγωνα ΑΒΓ και Ζ έχουν λόγο οµοιότητας. Αν το εµβαδό του ΑΒΓ είναι = 0cm, να βρείτε το εµβαδό του Ζ τριγώνου. 4. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει διαστάσεις 0cm και 5cm. Να βρείτε τις διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου όµοιου προς αυτό που έχει τετραπλάσιο εµβαδό. 5. ύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Ζ είναι όµοια και έχουν υποτείνουσες ΒΓ = 8cm και Ζ = cm. Αν το εµβαδόν του ΑΒΓ είναι = 6cm, να βρείτε το εµβαδό του Ζ τριγώνου. 6. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε ΑΒ= Γ. Αν Ο είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του, να βρείτε το λόγο των εµβαδών των τριγώνων ΑΟΒ και ΟΓ. 7. Με πλευρά το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ να κατασκευάσετε νέο ισόπλευρο τρίγωνο. Να δείξετε ότι το εµβαδο του νέου τριγώνου είναι ίσο µε τα 4 του εµβαδού του ΑΒΓ. 8. Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι: ΑΒ = cm και ΑΓ = 6cm. Να βρείτε την υποτείνουσα του τριγώνου που είναι όµοιο µε το ΑΒΓ και έχει πενταπλάσιο εµβαδό. 9. Να βρείτε το εµβαδόν τετραγώνου, του οποίου η πλευρά είναι ίση µε τα της πλευράς ενός τετραγώνου που έχει εµβαδό 400 cm. 0. Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι: ΑΒ = 8cm, ΑΓ = 6cm και ΒΓ = 9cm. Να υπολογίσετε τις πλευρές ενός τριγώνου που είναι όµοιο µε το ΑΒΓ και έχει τετραπλάσιο εµβαδό.. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Ζ έχουν ΑΒ = m, ΑΓ = 7m = 9cm, Ζ = cm και Α=. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα είναι όµοια και να βρείτε το λόγο των εµβαδών τους. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -
. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε ΑΒ = 4cm και Γ = 0cm. Αν Ο είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του, να βρείτε το λόγο των εµβαδών των τριγώνων ΑΟΒ και ΟΓ.. Ο λόγος των όγκων δύο κύβων είναι. Να βρείτε τη σχέση των όγκων 4 τους. 4. ύο κύβοι έχουν λόγο οµοιότητας λ=. Να βρείτε πόσες φορές ο όγκος του ενός κύβου είναι µεγαλύτερος από τον άλλο. 5. ύο όµοιοι κύλινδροι έχουν ακτίνες ρ = cm και R = 6cm. Να βρείτε πόσες φορές ο όγκος του ενός κυλίνδρου είναι µεγαλύτερος από τον άλλο. 6. ύο όµοιοι κύλινδροι έχουν ακτίνες ρ = cm και R = 5cm. Αν ο όγκος του πρώτου κυλίνδρου είναι 68 cm, να βρείτε τον όγκο του δεύτερου κυλίνδρου. 7. Τα ύψη δύο όµοιων κώνων είναι υ = 5cm και Υ = 8cm. Να βρείτε το λόγο των όγκων τους. 8. Ο λόγος των όγκων δύο κύβων είναι 64. Να βρείτε το λόγο των ακµών 5 τους. 9. Ο όγκος µιας πυραµίδας είναι 48 cm και το ύψος της είναι 6cm. Μια άλλη πυραµίδα όµοια µε την πρώτη έχει όγκο 96 cm. Να βρείτε το αντίστοιχο ύψος της δεύτερης πυραµίδας. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 4 -