Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ

Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Ειρήνη Αριστοτέλους, Χρυστάλλα Περικλέους, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία επιδιώκει να εξετάσει το χειρισµό έργων µετάφρασης συνόλων, από µια µορφή αναπαράστασης σε άλλη, από προπτυχιακούς και µεταπτυχιακούς φοιτητές, του Τµήµατος Επιστηµών της Αγωγής του Πανεπιστηµίου Κύπρου. Επιπλέον, επιχειρεί να εντοπίσει το είδος µετάφρασης, το οποίο οι φοιτητές φαίνεται να χειρίζονται µε µεγαλύτερη ευκολία ή δυσκολία. Για τη συλλογή των δεδοµένων της έρευνας, εβδοµηνταπέντε φοιτητές κλήθηκαν να συµπληρώσουν δοκίµιο, που περιλάµβανε έργα µετάφρασης στα σύνολα, από ένα είδος αναπαράστασης σε άλλο. Τα αποτελέσµατα της έρευνας έδειξαν ότι οι φοιτητές φαίνεται να αντιµετωπίζουν µε όµοιο τρόπο τα έργα µετάφρασης συνόλων, ανεξάρτητα από το είδος µετάφρασης. Επιπρόσθετα, οι φοιτητές στο σύνολο τους αντιµετωπίζουν µεγαλύτερη δυσκολία όταν ο στόχος της µετάφρασης είναι η συµβολική αναπαράσταση, ενώ φαίνεται να θεωρούν πιο εύκολα τα έργα µετάφρασης µε στόχο τη διαγραµµατική αναπαράσταση. Όσον αφορά στην πηγή της µετάφρασης φαίνεται να µεταφράζουν ευκολότερα από τη λεκτική αναπαράσταση στα άλλα δύο µέσα αναπαράστασης. Τέλος, µε βάση τα αποτελέσµατα, οι µεταπτυχιακοί φοιτητές παρουσιάζουν ψηλότερη επίδοση σε έργα µετάφρασης σε σχέση µε τους προπτυχιακούς φοιτητές. 1. Θεωρητικό Πλαίσιο Η εκπαιδευτική πράξη, ως µια έκφραση της ανθρώπινης σκέψης, χαρακτηρίζεται από τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων µε στόχο την απόδοση ιδεών µε διαφορετικούς τρόπους (Γαγάτσης, Μιχαηλίδου & Σιακαλλή, 2001). Η µαθηµατική εκπαίδευση ως αναπόσπαστο µέρος της εκπαιδευτικής πράξης, που περιλαµβάνει σύνολα ιδεών και εννοιών, αποτελεί επίσης τοµέα της ανθρώπινης δραστηριότητας και σκέψης, ο οποίος χαρακτηρίζεται από τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων. Απαραίτητες προϋποθέσεις, όµως, για την αποτελεσµατική κατανόηση µιας έννοιας αποτελούν α) η ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας όταν αυτή παρουσιάζεται µε µια ποικιλία ποιοτικά διαφορετικών συστηµάτων αναπαράστασης, β) η ικανότητα ευέλικτου χειρισµού της έννοιας µέσα στα συγκεκριµένα συστήµατα και γ) η ικανότητα µετάφρασης της έννοιας από το ένα σύστηµα στο άλλο ( Lesh, Behr & Post, 1987). Πέρα από την κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών µέσα από την αναγνώριση και την ευέλικτη χρήση τους σε ποιοτικά διαφορετικά συστήµατα αναπαραστάσεων (λεκτικό, εικονικό, συµβολικό), βασικός στόχος της διδασκαλίας, στα πλαίσια της αναπαραστατικής προσέγγισης των µαθηµατικών, πρέπει να είναι και η ικανότητα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 219

Ε. Αριστοτέλους κ.ά. µετάφρασης από το ένα σύστηµα στο άλλο. Ο όρος «µετάφραση αναπαραστάσεων» αναφέρεται στις ψυχολογικές διαδικασίες που εµπλέκονται στη µετάβαση από ένα σύστηµα αναπαράστασης σε άλλο και αποτελεί σηµαντικό κριτήριο αξιολόγησης για την κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών και παράλληλα αποτελεσµατικό µέσο επίλυσης µαθηµατικού προβλήµατος (Janvier, 1987). Για να γίνει η µετάφραση χρειάζονται δύο τουλάχιστον µορφές αναπαράστασης και η πηγή, δηλαδή η αρχική αναπαράσταση, πρέπει να ιδωθεί από την οπτική γωνία της δεύτερης. Αυτό το πέρασµα από το ένα σύστηµα αναπαράστασης στο άλλο, δεν είναι πάντα φυσικό, αλλά αποτελεί µια από τις σηµαντικότερες δυσκολίες επίλυσης µαθηµατικού προβλήµατος (Janvier, 1987). Στα µαθηµατικά και στη µαθηµατική παιδεία, το ενδιαφέρον επικεντρώνεται λιγότερο στις αναπαραστάσεις και περισσότερο στους µετασχηµατισµούς ανάµεσά τους. Η ικανότητα µετάφρασης µεταξύ των συστηµάτων αναπαράστασης αποτελεί σηµείο αναφοράς για την κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών και χρησιµοποιείται από τους µαθητές κατά την επίλυση προβλήµατος (Janvier, 1987), αφού σύµφωνα µε τους Carpenter et al., (1993), µέσα από τη διαδικασία µετάφρασης τα παιδιά αναπτύσσουν βασικές στρατηγικές επίλυσης προβλήµατος. Βέβαια, κάθε πεδίο έκφρασης παρέχει πληροφορίες για ορισµένες πτυχές της έννοιας, χωρίς να µπορεί να την περιγράψει ολοκληρωτικά, γι αυτό και οι διάφορες αναπαραστάσεις της ίδιας έννοιας αλληλοσυµπληρώνονται, µε αναφορές σε διαφορετικά επίπεδα της γνωστικής δραστηριότητας. Ο Janvier (1987) µελετώντας την ερµηνεία των καρτεσιανών γραφικών και των διαφόρων µορφών αναπαράστασης τους, εντοπίζει τρία διαφορετικά µέσα αναπαράστασης (λεκτικό, γραφικό, συµβολικό) και δύο διαφορετικά είδη διαδικασιών για την επίτευξη της µετάφρασης από τη µια αναπαράσταση στην άλλη: Άµεσες διαδικασίες, που αφορούν στην απευθείας µετάφραση από το ένα είδος αναπαράστασης στο άλλο. Έµµεσες διαδικασίες, που αφορούν στη µετάφραση από το ένα είδος αναπαράστασης στο άλλο µέσω ενός τρίτου. Θεωρούνται πιο αποτελεσµατικές για την κατανόηση των διαφόρων µορφών αναπαράστασης. Οι Gagatsis, Hadjichristou & Konstantinou (2001) µελέτησαν την ικανότητα των µαθητών της πρώτης Γυµνασίου να µεταφράζουν από µια αναπαράσταση σε άλλη στο πλαίσιο των πράξεων των συνόλων. Οι µαθητές είχαν ήδη διδαχθεί το κεφάλαιο των συνόλων σαν ένα µέρος της προγραµµατισµένης διδασκαλίας των µαθηµατικών. Εξετάστηκαν τρεις µορφές αναπαράστασης: η λεκτική έκφραση, η συµβολική έκφραση και η γραφική αναπαράσταση των αντίστοιχων πράξεων των συνόλων. Τα αποτελέσµατα υποδεικνύουν ότι οι µαθητές αυτής της ηλικίας συναντούν µεγάλες δυσκολίες στα έργα που προτείνουν µεταφράσεις σε λεκτικές εκφράσεις. Τα αποτελέσµατα αυτής της έρευνας αποτέλεσαν την αρχική ιδέα και της έρευνάς µας σε φοιτητές πανεπιστηµίου ώστε να εξεταστεί αν οι δυσκολίες των µαθητών επιµένουν και σε µεγαλύτερες ηλικίες. Όπως κάθε µαθηµατική έννοια, έτσι και η έννοια του συνόλου εκφράζεται και γίνεται κατανοητή µέσα από εξωτερικές αναπαραστάσεις. Η έννοια του συνόλου, που θεωρείται ως θεµελιώδης στα σύγχρονα µαθηµατικά, πρωτοεµφανίστηκε το 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 220

Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων δεκατοέννατο αιώνα. Ο Georg Cantor, που ασχολήθηκε για πρώτη φορά συστηµατικά µε την έννοια και δηµιούργησε τη θεωρία των συνόλων, ορίζει το σύνολο ως κάθε συνάθροιση (συλλογή) από ορισµένα και διακεκριµένα µεταξύ τους αντικείµενα της διαίσθησης ή της σκέψης µας (που τα βλέπουµε) σαν ένα όλο (στους Fischbein & Baltsan, 1999). Η θεωρία του Cantor επηρέασε σε βάθος τη µαθηµατική σκέψη, αν και οι περισσότεροι από τους συναδέλφους του µαθηµατικούς αρχικά απέρριψαν τις ιδέες του. Σήµερα η έννοια του συνόλου είναι ένα αναπόσπαστο τµήµα των µαθηµατικών, και ένα από τα κεντρικότερα και δηµιουργικότερα συστατικά τους. Οι βασικές έννοιες για τα σύνολα εισάγονται σήµερα ακόµα και στο ηµοτικό σχολείο και δίνουν µια σύγχρονη µορφή στη στοιχειώδη διδασκαλία. Η µορφή αυτή επιτρέπει στη διδασκαλία να φτάνει σε πιο µακρινούς στόχους από ότι στο παρελθόν (Σεργίδης & εληγιάννης, 2003). Ένα σύνολο µπορεί να εκφραστεί µε διάφορους τρόπους συµβολική, λεκτική και διαγραµµατική έκφραση. Σύµφωνα µε το Γαγάτση (1985), ένα σύνολο µπορεί να παρασταθεί: Με αναγραφή: Γράφονται τα στοιχεία του µέσα σε δύο άγκιστρα και χωρίζονται µεταξύ τος µε κόµµατα, χωρίς να λαµβάνεται υπόψη η σειρά. Με περιγραφή των στοιχείων του: ίνεται µια χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων του συνόλου. Με διάγραµµα: Με µια απλή κλειστή γραµµή µέσα στην οποία σηµειώνονται µε τελείες τα στοιχεία του συνόλου. Λόγω του ότι ο πρώτος που µελέτησε και παρέστησε τα σύνολα µε διαγράµµατα ήταν ο John Venn, τα διαγράµµατα ονοµάζονται και Βέννεια διαγράµµατα. Επιπρόσθετα, η έννοια του συνόλου περιλαµβάνει τριών ειδών πράξεις στα σύνολα, την ένωση, την τοµή και το συµπλήρωµα συνόλων. Έστω ότι υπάρχουν δύο σύνολα, Α και Β, µέσα σε ένα σύνολο αναφοράς Ω. Η ένωση συνόλων αναφέρεται σε ένα νέο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των συνόλων Α και Β και συµβολίζεται µε «ΑUΒ». Η τοµή συνόλων αναφέρεται στο σχηµατισµό ενός νέου συνόλου, που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β και συµβολίζεται µε «Α Β». Το συµπλήρωµα του συνόλου Α ή Β αναφέρεται στο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του συνόλου αναφοράς Ω που δεν περιέχονται στο σύνολο Α ή Β (Σεργίδης & εληγιάννης, 2003). Μέσω διαφορετικών συνδυασµών των τριών πράξεων στα σύνολα, µπορούν να δηµιουργηθούν ποικίλα και διαφορετικού βαθµού πολυπλοκότητας έργα, µε σκοπό τον έλεγχο της ουσιαστικής κατανόησης της έννοιας του συνόλου. Αυτής της µορφής έλεγχος µπορεί να επιτευχθεί και µέσω της εξέτασης της ικανότητας µετάφρασης από µια µορφή αναπαράστασης σε άλλη, σε τέτοιου είδους έργα. 2. Η έρευνα Σκοπός της έρευνας Η έρευνα αυτή είχε σκοπό να εξετάσει το χειρισµό έργων µετάφρασης συνόλων, από µια µορφή αναπαράστασης σε άλλη, από προπτυχιακούς και µεταπτυχιακούς φοιτητές, του Τµήµατος Επιστηµών της Αγωγής του Πανεπιστηµίου Κύπρου. Πιο αναλυτικά, στην παρούσα έρευνα τέθηκαν οι πιο κάτω ειδικότεροι στόχοι: 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 221

Ε. Αριστοτέλους κ.ά. Να εντοπιστούν οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους οι φοιτητές του Τµήµατος Επιστηµών της Αγωγής, του Πανεπιστηµίου Κύπρου χειρίζονται µεταφράσεις από µια µορφή αναπαράστασης σε άλλη και να διερευνηθούν πιθανές σχέσεις µεταξύ των µεταφράσεων από τη µια µορφή αναπαράστασης στην άλλη (λεκτική, συµβολική, διαγραµµατική). Να εντοπίσει το είδος µετάφρασης στο οποίο οι φοιτητές φαίνεται να παρουσιάζουν περισσότερες δυσκολίες. Να εντοπίσει το είδος µετάφρασης το οποίο φαίνεται να είναι το πιο εύκολο για τους φοιτητές. Να διερευνηθεί πιθανή διαφορά στην επίδοση σε έργα µετάφρασης ανάµεσα στους προπτυχιακούς και µεταπτυχιακούς φοιτητές. Με βάση την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και µε γνώµονα το σκοπό και τους ειδικότερους στόχους της έρευνας έχουν προέκυψαν οι ακόλουθες υποθέσεις: Οι φοιτητές χειρίζονται µε όµοιο τρόπο τα έργα µε βάση το είδος µετάφρασης που ζητείται. Οι φοιτητές αντιµετωπίζουν µεγαλύτερη δυσκολία όταν ο στόχος της µετάφρασης είναι η συµβολική αναπαράσταση. Οι φοιτητές µεταφράζουν ευκολότερα από τη διαγραµµατική αναπαράσταση στα άλλα δύο µέσα αναπαράστασης (συµβολικό ή λεκτικό). Οι µεταπτυχιακοί φοιτητές παρουσιάζουν ψηλότερη επίδοση σε έργα µετάφρασης σε σχέση µε τους προπτυχιακούς φοιτητές. Μεθοδολογία Καθορισµός πληθυσµού είγµα Τον πληθυσµό της έρευνας αποτέλεσαν 25 µεταπτυχιακοί φοιτητές στο πρόγραµµα της Μαθηµατικής Παιδείας και 50 προπτυχιακοί φοιτητές, του Τµήµατος Επιστηµών της Αγωγής του Πανεπιστηµίου Κύπρου. Η επιλογή του δείγµατος έγινε µε επιλεκτική δειγµατοληψία. ιαδικασία Εκτέλεσης της Έρευνας Για την επίτευξη των στόχων της έρευνας χρησιµοποιήθηκε δοκίµιο, το οποίο καταρτίστηκε από τις ερευνήτριες, για την εξέταση του χειρισµού έργων µετάφρασης συνόλων, από µια µορφή αναπαράστασης σε άλλη. Οι ερευνήτριες δεν επενέβηκαν καθόλου στη διαδικασία συµπλήρωσης των ερωτηµατολογίων, παρά µόνο σε περιπτώσεις που τους ζητήθηκε να διευκρινίσουν ορισµένα σηµεία. Καταρτισµός οκιµίου Το δοκίµιο που δόθηκε στους εκπαιδευτικούς, για τη συλλογή των δεδοµένων της παρούσας έρευνας, περιλάµβανε τρεις ασκήσεις, µε τέσσερα ερωτήµατα στην καθεµία. Κάθε ερώτηµα ζητούσε δύο έργα µετάφρασης έτσι δηµιουργήθηκαν 24 διαφορετικές µεταβλητές. Στην παρούσα έρευνα χρησιµοποιήθηκαν τρία είδη εξωτερικών αναπαραστάσεων: κείµενα, βέννεια διαγράµµατα και αλγεβρικά σύµβολα. Στην πρώτη άσκηση δόθηκε η συµβολική αναπαράσταση διαφορετικών έργων στα σύνολα και 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 222

Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων ζητήθηκε από τους φοιτητές η διαγραµµατική και λεκτική αναπαράσταση. Στη δεύτερη άσκηση δόθηκε η διαγραµµατική αναπαράσταση και ζητήθηκε η λεκτική και συµβολική αναπαράσταση και τέλος στην τρίτη άσκηση δόθηκε η λεκτική αναπαράσταση και ζητήθηκε η διαγραµµατική και συµβολική αναπαράσταση. Για τη βαθµολόγηση των έργων του δοκιµίου χρησιµοποιήθηκε η κλίµακα 0-1. Τα έργα βαθµολογήθηκαν µε µηδέν (0), αν η µετάφραση ήταν λανθασµένη και µε ένα (1), αν η µετάφραση ήταν ορθή. Σύµφωνα µε το δείκτη αξιοπιστίας του Cronbach, το δοκίµιο, έχει συντελεστή άλφα.88. Μεταβλητές της έρευνας Οι µεταβλητές της έρευνας ορίστηκαν ως συνδυασµός δύο γραµµάτων και ενός αριθµού. Το πρώτο γράµµα δηλώνει την πηγή της µετάφρασης, δηλαδή την αρχική αναπαράσταση (D: διαγραµµατική αναπαράσταση, S: συµβολική αναπαράσταση L: λεκτική αναπαράσταση). Το δεύτερο δηλώνει το στόχο της µετάφρασης, δηλαδή την τελική αναπαράσταση (d: διαγραµµατική αναπαράσταση, s: συµβολική αναπαράσταση, l: λεκτική αναπαράσταση) και ο αριθµός δηλώνει το ερώτηµα. Για παράδειγµα ο συµβολισµός «Ds4», αναφέρεται στο ερώτηµα 4 του δοκιµίου, στο οποίο οι φοιτητές καλούνται να κάνουν µετάφραση από διαγραµµατική σε συµβολική αναπαράσταση. Ανάλυση εδοµένων Στατιστικές Τεχνικές Για τη στατιστική ανάλυση των δεδοµένων χρησιµοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο SPSS. Ειδικότερα για την εξαγωγή των αποτελεσµάτων και των συµπερασµάτων χρησιµοποιήθηκαν στοιχεία της περιγραφικής στατιστικής: µέσος όρος, τυπική απόκλιση. Επιπρόσθετα, εφαρµόστηκε το Συνεπαγωγικό Στατιστικό Μοντέλο του Gras. Με τη χρήση του λογισµικού προγράµµατος CHIC (Gras, Peter, Briand & Philippe, 1997), η συνεπαγωγική ανάλυση των δεδοµένων κατέληξε σε τρία διαγράµµατα: α) διάγραµµα οµοιότητας, στο οποίο οι µεταβλητές συνδέονται µεταξύ τους ανάλογα µε την οµοιότητα ή µη που παρουσιάζουν, β) συνεπαγωγικό διάγραµµα, στο οποίο φαίνονται οι συνεπαγωγικές σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές, γ) δενδροδιάγραµµα ιεράρχησης, το οποίο παρουσιάζει συνεπαγωγές, όπως και το συνεπαγωγικό διάγραµµα, µε τη διαφορά ότι µπορεί να αφορούν και κλάσεις µεταβλητών. 3. Αποτελέσµατα Στον πίνακα 1 παρουσιάζονται τα ποσοστά επίδοσης των φοιτητών στα έργα του δοκιµίου, το συνολικό ποσοστό στο κάθε είδος µετάφρασης, καθώς και το συνολικό ποσοστό επίδοσης στο δοκίµιο. Σύµφωνα µε τον πιο πάνω πίνακα, το µεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας (98.7%) αφορά στο έργο 1 µετάφρασης από συµβολική σε διαγραµµατική αναπαράσταση (Sd1). Ακολουθούν, το έργο 1 µετάφρασης από διαγραµµατική σε λεκτική αναπαράσταση µε ποσοστό επιτυχίας 94.7% (Dl1) και το έργο 1 µετάφρασης από λεκτική σε διαγραµµατική αναπαράσταση µε ποσοστό επιτυχίας 93.3% (Ld1). Το χαµηλότερο ποσοστό επιτυχίας συγκεντρώνουν το έργο 2, όταν ζητείται µετάφραση από λεκτική σε συµβολική αναπαράσταση (Ls2: 26.7%) και το έργο 1, όταν ζητείται µετάφραση από διαγραµµατική σε συµβολική αναπαράσταση 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 223

Ε. Αριστοτέλους κ.ά. (Ds1: 33.3%). Στα υπόλοιπα έργα του δοκιµίου τα ποσοστά επιτυχίας των µεταφράσεων υπερβαίνουν το 50%. Όσον αφορά στη συνολική επίδοση ανάλογα µε το είδος µετάφρασης, το µεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας παρατηρείται όταν γίνεται µετάφραση από λεκτική σε διαγραµµατική αναπαράσταση (84%), ενώ το χαµηλότερο ποσοστό παρατηρείται στη µετάφραση από διαγραµµατική σε συµβολική αναπαράσταση (53.3%). Το συνολικό ποσοστό επιτυχίας στο δοκίµιο είναι 68.73%. Πίνακας 1: Ποσοστά επίδοσης στα έργα του δοκιµίου Σύνολο ΕΡΓΟ Είδους Έργο 1 Έργο 2 Έργο 3 Έργο 4 ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ Μετάφρασης Συµβολικό - ιαγραµµατικό (Sd) 98.7 68 64 56 71.7 Συµβολικό Λεκτικό (Sl) 74.7 49.3 54.7 52 57.7 ιαγραµµατικό Λεκτικό (Dl) 94.7 74.7 70.7 77.3 79.4 ιαγραµµατικό Συµβολικό (Ds) 33.3 56 70.7 53.3 53.3 Λεκτικό ιαγραµµατικό (Ld) 93.3 86.7 68 88 84 Λεκτικό - Συµβολικό (Ls) 88 26.7 69.3 81.3 66.3 ΣΥΝΟΛΟ ΣΤΟ ΟΚΙΜΙΟ 68.73 Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει τους µέσους όρους επιτυχίας, των µεταπτυχιακών και προπτυχιακών φοιτητών, στο δοκίµιο. Όπως φαίνεται από τον πίνακα 2, οι µεταπτυχιακοί φοιτητές έχουν ψηλότερη επίδοση στις µεταφράσεις στα σύνολα, µε µέσο όρο 19.68, σε σχέση µε τους προπτυχιακούς φοιτητές που έχουν µέσο όρο επίδοσης 14.90. Η διαφορά αυτή ανάµεσα στους µέσους όρους επίδοσης των δύο οµάδων φοιτητών είναι στατιστικά σηµαντική (t = 4.51, df = 64, 2-tailed p = 0.00). Πίνακας 2: Μέσοι όροι επίδοσης σε όλα τα έργα του δοκιµίου των µεταπτυχιακών και προπτυχιακών φοιτητών Μ.Ο. Τ.Α. Μέγιστη Τιµή Μεταπτυχιακοί 19.68 3.74 24 Προπτυχιακοί 14.90 5.29 24 Μ.Ο.: Μέσος Όρος Τ.Α.: Τυπική Απόκλιση Στον πίνακα 3 παρουσιάζονται τα συνολικά ποσοστά επιτυχίας των φοιτητών, που αφορούν στις µεταφράσεις που έχουν είτε ως πηγή, είτε ως στόχο της µετάφρασης µια από τις τρεις µορφές αναπαράστασης που χρησιµοποιήθηκαν στο δοκίµιο, τη συµβολική, τη λεκτική και τη διαγραµµατική αναπαράσταση. Όπως φαίνεται στον πιο 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 224

Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων κάτω πίνακα, όσον αφορά στην πηγή της µετάφρασης, το µεγαλύτερο ποσοστό συγκεντρώνουν τα έργα που έχουν ως αρχική αναπαράσταση τη λεκτική µορφή (75.15%) και το χαµηλότερο τα έργα που έχουν ως αρχική αναπαράσταση τη συµβολική µορφή (64.70%). Όσον αφορά στο στόχο της µετάφρασης, οι φοιτητές φαίνεται να έχουν τη µεγαλύτερη επιτυχία στα έργα στα οποία ζητείται η διαγραµµατική αναπαράσταση (77.85%) και τη µικρότερη επιτυχία στα έργα στα οποία ζητείται η συµβολική αναπαράσταση (59.80%). Πίνακας 3: Ποσοστά επιτυχίας στα έργα µε βάση την πηγή και το στόχο αναπαράστασης Αναπαράσταση Πηγή- Αρχική Αναπαράσταση Στόχος- Τελική Αναπαράσταση Συµβολική Λεκτική ιαγραµµατική 64.70 59.80 75.15 68.55 66.35 77.85 Το διάγραµµα οµοιότητας ( ιάγραµµα 1) παρουσιάζει τις οµαδοποιήσεις έργων µε βάση τη συµπεριφορά των υποκειµένων κατά την επίλυση τους. Στο διάγραµµα αυτό σχηµατίζονται τρεις οµάδες οµοιότητας. Οι σηµαντικότερες σχέσεις οµοιότητας παρατηρούνται ανάµεσα στις µεταβλητές της οµάδας Β. Η οµάδα Β περιλαµβάνει τις µεταβλητές Sd2, Ds3, Ds4, Dl2, Ds2, Sd3, Sd4, Sl2, Sl3, Sl4, Ds1, Ls2, Sl1, Ld3, Ls3, Ls4. Μέσα στην οµάδα αυτή σχηµατίζονται δύο µεγάλες υποοµάδες. Οι µεταβλητές της πρώτης υποοµάδας αφορούν κυρίως σε έργα µετάφρασης µε πηγή το διάγραµµα ενώ της δεύτερης αφορούν σε έργα µε πηγή τη συµβολική και τη λεκτική αναπαράσταση. Η πιο ισχυρή σχέση οµοιότητας παρατηρείται ανάµεσα στις µεταβλητές Ds1 και Ls2, οι οποίες αφορούν στη µετάφραση από διαγραµµατική σε συµβολική αναπαράσταση και από λεκτική σε συµβολική αναπαράσταση αντίστοιχα. Η σύνδεση αυτή µπορεί να ερµηνευθεί από το γεγονός ότι οι συγκεκριµένες µεταβλητές αφορούν σε µετάφραση µε στόχο την ίδια µορφή αναπαράστασης, τη συµβολική. Επιπρόσθετα, οι δύο αυτές µεταφράσεις δυσκόλεψαν τους φοιτητές πιο πολύ από όλες τις µεταφράσεις του δοκιµίου, αφού όπως φάνηκε στον πίνακα 1, συγκέντρωσαν τα χαµηλότερα ποσοστά επιτυχίας. Το γεγονός αυτό πιθανό να οφείλεται στο είδος του έργου, αφού τα δύο έργα αφορούσαν στην ίδια µορφή συµβολικής αναπαράστασης, Α Β. Σηµαντική σχέση οµοιότητας παρουσιάζεται, επίσης, ανάµεσα στις µεταβλητές Sl3 και Sl4, στις οποίες ζητείται η µετάφραση από συµβολική σε λεκτική αναπαράσταση και αφορούν στην έννοια του συµπληρώµατος συνόλου. Η σύνδεση αυτή µπορεί να ερµηνευθεί από το γεγονός ότι οι συγκεκριµένες µεταβλητές αφορούν σε προβλήµατα που ζητούν την ίδια µορφή µετάφρασης και αφορούν στο ίδιο είδος 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 225

Ε. Αριστοτέλους κ.ά. έργου. Επιπρόσθετα, παρουσιάζεται σχέση οµοιότητας ανάµεσα στις µεταβλητές Sd3, Sd4, Sl2, Sl3 και Sl4, οι οποίες αφορούν σε έργα µετάφρασης µε την ίδια πηγή, τη συµβολική αναπαράσταση. Όσον αφορά στην οµάδα Α που σχηµατίζεται στο διάγραµµα οµοιότητας, περιλαµβάνει κυρίως µεταβλητές που αναφέρονται σε έργα µετάφρασης µε πηγή τη λεκτική αναπαράσταση. Παράλληλα, οι µεταβλητές που περιλαµβάνονται στην οµάδα Γ αφορούν κυρίως σε έργα µετάφρασης από διαγραµµατική σε λεκτική µορφή αναπαράστασης. Sd1 Ld2 Ld1 Ls1 Sd2 Ds3 Ds4 Dl2 Ds2 Sd3 Sd4 Sl2 Sl3 Sl4 Ds1 Ls2 Sl1 Ld3 Ls3 Ls4 Dl1 Dl4 Dl3 Ld4 Οµάδα Α Οµάδα Β Οµάδα Γ ιάγραµµα 1: ιάγραµµα οµοιότητας των µεταφράσεων από το σύνολο των φοιτητών. Το συνεπαγωγικό διάγραµµα ( ιάγραµµα 2) δείχνει τις συνεπαγωγές που προέκυψαν ανάµεσα στις µεταφράσεις των φοιτητών στα προβλήµατα του δοκιµίου. Συγκεκριµένα, η αλυσίδα συνεπαγωγής δείχνει ότι η επιτυχία των µαθητών στο πρόβληµα Ls2 συνεπάγεται την επιτυχία των φοιτητών σε αρκετά προβλήµατα του δοκιµίου, αφού η 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 226

Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων µετάφραση από τη λεκτική στη συµβολική αναπαράσταση στο δεύτερο έργο παρουσιάζεται ως η δυσκολότερη σε ολόκληρο το δοκίµιο, γεγονός που φαίνεται και Ls2 Sl2 Ds1 Ds4 Ds2 Sl4 Sd2 Ds3 Dl2 Sl3 Sd4 Sl1 Sd3 Ld3 Ls3 Ls4 ιάγραµµα 2: Αλυσίδα συνεπαγωγής των λύσεων των φοιτητών στα προβλήµατα του δοκιµίου 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 227

Ε. Αριστοτέλους κ.ά. από τα ποσοστά επιτυχίας στον πίνακα 1. Ακόµα, από την αλυσίδα συνεπαγωγής, είναι φανερό ότι το πρόβληµα Ls4, που αφορά στη µετάφραση από λεκτική σε συµβολική αναπαράσταση, ήταν για τους φοιτητές το ευκολότερο πρόβληµα. Παράλληλα, στο συνεπαγωγικό διάγραµµα παρουσιάζεται µια αλυσιδωτή συνεχόµενη σχέση ανάµεσα στα έργα µε πηγή τη συµβολική αναπαράσταση, γεγονός που επιβεβαιώνει τη συσχέτιση ανάµεσα στα έργα αυτά όπως φαίνεται στο διάγραµµα 1. Επιπρόσθετα, όσοι µπορούν να λύσουν τα έργα που έχουν ως πηγή τη συµβολική µορφή φαίνεται ότι µπορούν να λύσουν και τα έργα που έχουν ως πηγή τη λεκτική µορφή, µε εξαίρεση τη µετάφραση από τη λεκτική στη συµβολική αναπαράσταση στο δεύτερο έργο. Είναι σηµαντικό να αναφερθεί ότι τα έργα µετάφρασης από διαγραµµατική σε λεκτική αναπαράσταση και τα έργα µετάφρασης από λεκτική σε διαγραµµατική αναπαράσταση δεν εµφανίζονται στο συνεπαγωγικό διάγραµµα. Τα έργα αυτά, σύµφωνα και µε την κατάταξη τους στο διάγραµµα 1, φαίνεται να αντιµετωπίζονται µε διαφορετικό τρόπο από τα υπόλοιπα έργα του δοκιµίου. 4. Συµπεράσµατα Η κατανόηση της έννοιας του συνόλου είναι ένα πολυδιάστατο φαινόµενο που δεν µπορεί να περιγραφεί µόνο µε όρους µετάφρασης. Το γεγονός αυτό είναι σηµαντικό να τονιστεί αφού η κατανόηση της έννοιας του συνόλου διέρχεται από διάφορα στάδια που αφορούν όχι µόνο την έννοια της αναπαράστασης και τη µετάφραση µεταξύ αναπαραστάσεων αλλά και την εννοιολογική κατανόηση της έννοιας και τις επεξεργασίες που απαιτεί ο ιδιαίτερος συµβολισµός της έννοιας. Το παρακάτω σχήµα περιγράφει κατά την άποψή µας καλύτερα το φαινόµενο που εξετάζεται σε αυτή την εργασία: Κατανόηση της έννοιας του συνόλου Έννοια Επεξεργασίες Αναπαραστάσεις Είναι λοιπόν φανερό ότι στα συµπεράσµατα που ακολουθούν και που περιγράφονται µε όρους µετάφρασης να συνδυάζονται οι τρεις παραπάνω διαστάσεις του µοντέλου. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 228

Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων Αντιµετώπιση έργων µετάφρασης στα σύνολα Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα της παρούσας έρευνας, οι φοιτητές φαίνεται να αντιµετωπίζουν µε όµοιο τρόπο τα έργα µετάφρασης συνόλων, ανεξάρτητα από το είδος µετάφρασης. Το γεγονός αυτό υποδεικνύει ότι οι φοιτητές αντιµετωπίζουν τα έργα ως διαφορετικές µεταφράσεις της ίδιας έννοιας και η διαφοροποίηση της επίδοσης τους σε κάθε µετάφραση πιθανό να οφείλεται στη διαφορά της πολυπλοκότητας των έργων. Επιπρόσθετα, η υψηλή επίδοση των φοιτητών στα έργα του δοκιµίου, είναι πιθανό να εξηγείται από τον τρόπο αντιµετώπισης των έργων, αφού σύµφωνα µε τους Γαγάτση, Ηλία, Ρούσου-Μιχαηλίδου και Τσακίρη (2004), για την κατανόηση µιας έννοιας ο µαθητής χρειάζεται να έχει µια απόλυτα σαφή αντίληψη για τις σχέσεις και τις αντιστοιχίες ανάµεσα στις αναπαραστάσεις της έννοιας αυτής. Επιπλέον, οι Lesh et al., (1987), υποστηρίζουν ότι προϋπόθεση για την κατανόηση µιας έννοιας αποτελεί και η ικανότητα µετάφρασης της έννοιας από το ένα σύστηµα αναπαράστασης στο άλλο. Στην ανάλυση των αποτελεσµάτων της παρούσας έρευνας εξαίρεση, ως προς τον τρόπο αντιµετώπισης των έργων µετάφρασης του δοκιµίου, φαίνεται να αποτελούν τα έργα µετάφρασης από λεκτική σε διαγραµµατική αναπαράσταση, καθώς και τα έργα µετάφρασης από διαγραµµατική σε λεκτική, τα οποία παρουσιάζουν σχέσεις οµοιότητας ανάλογα µε το είδος µετάφρασης. Αντιµετώπιση έργων µετάφρασης στα σύνολα µε βάση την τελική αναπαράσταση Σύµφωνα µε τα ευρήµατα της παρούσας έρευνας, οι φοιτητές αντιµετωπίζουν µεγαλύτερη δυσκολία όταν ο στόχος της µετάφρασης είναι η συµβολική αναπαράσταση. Αυτό πιθανό να οφείλεται στη δυσκολία µετάβασης από µια αναπαράσταση, στην αντίστοιχη αναπαράσταση στη συµβολική µορφή (Παυλοπούλου, 2004). Ιδιαίτερα στην περίπτωση µετάφρασης από τη φυσική γλώσσα στην αντίστοιχη συµβολική γραφή παρουσιάζονται πολλές ιδιαιτερότητες, καθώς αυτή η διαδικασία βάζει σε αντιστοιχία δύο γλώσσες που έχουν διαφορετικούς κανόνες σύνταξης και διαφορετικές δυνατότητες περιγραφής των αντικειµένων ( αγδιλέλης, Παυλοπούλου & Τρίγγα, 1998). Επιπρόσθετα, οι φοιτητές πιθανό να αντιµετώπισαν µεγαλύτερη δυσκολία όταν η τελική αναπαράσταση ήταν η συµβολική, λόγω του ότι η συγκεκριµένη αναπαράσταση απαιτεί περισσότερες γνώσεις στην αλγεβρική µορφή των συνόλων και την ερµηνεία των συµβόλων και οι φοιτητές δεν είχαν ασχοληθεί µε τη θεωρία συνόλων για αρκετά χρόνια, αφού η διδασκαλία της γίνεται κυρίως στην Α Γυµνασίου. Αυτό επιβεβαιώνεται και από τα αποτελέσµατα του πίνακα 3, στον οποίο φαίνεται τα µικρότερα ποσοστά επιτυχίας να συγκεντρώνει η συµβολική αναπαράσταση, είτε είναι πηγή, είτε είναι στόχος της µετάφρασης. Αντίθετα, οι φοιτητές φαίνεται να παρουσιάζουν µεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας σε έργα µετάφρασης µε στόχο τη διαγραµµατική αναπαράσταση, σε σχέση µε τα άλλα δύο είδη αναπαράστασης. Αυτό πιθανό να οφείλεται στο γεγονός ότι, κατά τη διδασκαλία των συνόλων, δίνεται ιδιαίτερη έµφαση στην κατανόηση και αναπαράσταση συνόλων µε τη χρήση βένειων διαγραµµάτων. Επίσης, η επίλυση προβλήµατος γενικότερα στη µαθηµατική εκπαίδευση βασίζεται ιδιαίτερα στη χρήση και κατασκευή διαγράµµατος, αφού αυτές σύµφωνα µε το Schoenfeld (1985), αποτελούν σηµαντικές και αποτελεσµατικές στρατηγικές στην επίλυση προβλήµατος. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 229

Ε. Αριστοτέλους κ.ά. Αντιµετώπιση έργων µετάφρασης στα σύνολα, µε βάση την αρχική αναπαράσταση Οι φοιτητές φαίνεται να µεταφράζουν ευκολότερα από τη λεκτική αναπαράσταση στα άλλα δύο µέσα αναπαράστασης (συµβολικό ή διαγραµµατικό). Το γεγονός αυτό οδηγεί στην απόρριψη της τρίτης υπόθεσης της παρούσας έρευνας, σύµφωνα µε τη οποία οι φοιτητές αναµενόταν να παρουσιάζουν υψηλότερα ποσοστά επιτυχίας σε έργα µετάφρασης µε πηγή τη διαγραµµατική αναπαράσταση. Η υπόθεση αυτή στηρίχτηκε στο γεγονός ότι το διάγραµµα συµβάλλει αποτελεσµατικά στην επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων, αφού βοηθά το µαθητή να επικεντρώσει την προσοχή του στα δοµικά στοιχεία του προβλήµατος, γιατί παρουσιάζει µε ακρίβεια τις δοµικές του καταστάσεις (Γαγάτσης, & Ηλία, 2003). Επίσης, λόγω των οπτικών ιδιοτήτων των διαγραµµάτων, η επεξεργασία τους χρειάζεται λιγότερες γνωστικές µετατροπές από αυτές των κειµένων που δεν υπερβαίνουν τα όρια της βραχυπρόθεσµης µνήµης. Η δυαδική αυτή διάσταση των διαγραµµάτων τα κάνει αποτελεσµατικά στα χέρια των µαθητών που τα χρησιµοποιούν για να εξαγάγουν ή να αναπαραστήσουν τις σχέσεις µεταξύ των στοιχείων ενός κειµένου (Waller, 1981 στη Vekiri, 2002). Τα έργα µετάφρασης µε πηγή τη λεκτική αναπαράσταση παρουσιάζουν τα υψηλότερα ποσοστά επιτυχίας, αφού η λεκτική αναπαράσταση περιγράφει αναλυτικά τα στοιχεία και τις σχέσεις ανάµεσα στα σύνολα. Αντίθετα, τα διαγράµµατα και η συµβολική αναπαράσταση δε χαρακτηρίζονται από την πιο πάνω ιδιότητα, αλλά προαπαιτούν συγκεκριµένες γνώσεις για την ερµηνεία τους. Επίδοση και έργα µετάφρασης στις δύο οµάδες φοιτητών Οι µεταπτυχιακοί φοιτητές παρουσιάζουν ψηλότερη επίδοση σε έργα µετάφρασης σε σχέση µε τους προπτυχιακούς φοιτητές. Το εύρηµα αυτό ίσως εξηγείται από το γεγονός ότι οι µεταπτυχιακοί φοιτητές που συµµετείχαν στην παρούσα έρευνα παρακολουθούν πρόγραµµα σχετικό µε τη Μαθηµατική Παιδεία και πιθανό να έχουν αποκτήσει περισσότερες εµπειρίες στα µαθηµατικά σε σχέση µε τους προπτυχιακούς φοιτητές. Πιστεύουµε ότι είναι αναγκαίο σε µια νέα ερευνητική προσπάθεια να διευκρινιστούν τα όρια των τρων παραπάνω διαστάσεων που παρεµβαίνουν όχι µόνο στην κατανόηση της έννοιας του συνόλου αλλά στην κατανόηση των µαθηµατικών γενικότερα. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Γαγάτσης, Α. (1985). Προσέγγιση των µαθηµατικών στο νηπιαγωγείο. Θεσσαλονίκη: Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης- Υπηρεσία ηµοσιευµάτων. Γαγάτσης, Α., & Ηλία, Ι. (2003). Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωµετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηµατικών (τόµος 1). Λευκωσία: Intercollege. Γαγάτσης, Α., Ηλία, Ι., Ρούσου-Μιχαηλίδου, Π., & Τσακίρη, Μ. (2004). Η επίδραση των εικόνων στην επίλυση προβληµάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. Στον: Α. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 230

Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων Γαγάτση (Εκδ.), Σύγχρονες Τάσεις της ιδακτικής των Μαθηµατικών (σ.19-62). Λευκωσία: UNESCO. Γαγάτσης, Α., Μιχαηλίδου, Ε., & Σιακαλλή, Μ. (2001). Θεωρίες Αναπαράστασης και Μάθηση των Μαθηµατικών. Λευκωσία: Πανεπιστήµιο Κύπρου Erasmus IP1. Γαγάτσης, Α. & Μουγή, Α. (2000). Ικανότητα Μαθητών ηµοτικού Σχολείου για ιατύπωση Αλγεβρικών Σχέσεων σε Έργα Μετάφρασης. Στους Σ. Γεωργίου, Λ., Κυριακίδη & Κ. Χρίστου (Εκδ.), Σύγχρονη Έρευνα στις Επιστήµες της Αγωγής (σ.349-359). Λευκωσία: Παιδαγωγική Εταιρεία Κύπρου. Carpenter, T.P., Ansell, E., Franke, M. L., Fennema, E., & Weisbeck, L. (1993). Models of Problem Solving: A Study of Kindergarten Children s Problem- Solving Processes, Journal for Research in Mathematics Education, 24 (5), 428-441. αγδιλέλης, Β., Παυλοπούλου, Κ. & Τρίγγα, Π. (1998). ιδακτική: Μέθοδοι και Εφαρµογές. Αθήνα: Εκδ. Μενού. Fischbein, E., & Baltsan, M. (1999). The Mathematical Concept of Set and the Collection Model, Educational Studies in Mathematics, 37(1). Gagatsis, Α., Hadjichristou, Ch. & Konstantinou C.P. (2001) The role of Representations in Gymnasium students understanding of sets and their operations, in Gagatsis, A. (Edit.) Learning in Mathematics and Science and Educational Technology, Nicosia: Intercollege Press. Janvier, C. (1987). Translation Processes in Mathematics Education. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Lesh, R., Behr, M., & Post, T. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, (pp.33-40). Hillsdale, N.J.: Lwrence Erlbaum Associates. Παυλοπούλου, Κ. (2004). Ένα βασικό βήµα για την επίλυση προβλήµατος: Η µετάβαση από τη φυσική γλώσσα στη συµβολική γραφή. Στους: Α. Γαγάτση, Α. Ευαγγελίδου, Ι. Ηλία και Π. Σπύρου (Εκδ.), Αναπαραστάσεις και Μάθηση των Μαθηµατικών. Τόµος Ι (σ.91-132). Λευκωσία: Intercollege Press. Σεργίδης, Σ. & εληγιάννης, Κ., (2003). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου. Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισµού Κύπρου. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. Florida: Academic Press. Vekiri, I. (2002). What is the value of graphical displays in learning? Educational Psychology Review, 14 (3), 261-312. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 231

Ε. Αριστοτέλους κ.ά. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 232