M1; M2; M3; M; M0; S1; S2; S2; S; a; Z; Xcred1; Xcred2; Xcred3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Θεωρία Αξιοπιστίας Χαρτοφυλακίου Γεώργιος Πιτσέλης, Μάιος 2020 1. Το Μοντέλο του Buhlmann # Import data into R # Contracts X1 <- c(2.6,3.0,3.6,4.0) X2 <- c(2.8,3.2,3.8,4.2) X3 <- c(4.6,5.0,5.4,6.0) # Means (individual estimator) M1<-mean(X1) M2<-mean(X2) M3<-mean(X3) M<-cbind(M1,M2,M3) #combines the means in a vector # Overall mean (collective estimator) M0<-(M1+M2+M3)/3 # Individual variances S1<-(1/(4-1))*sum((X1- M1)^2) S2<-(1/(4-1))*sum((X2- M2)^2) S3<-(1/(4-1))*sum((X3- M3)^2) # Mean of variance S<-(S1+S2+S3)/3 # Variance of premiums a<-(1/(3-1))*sum((m-m0)^2)-s/4 # Credibility factor Z=(a*4)/(a*4+S) # Credibility estimator Xcred1<-Z*M1+(1-Z)*M0 Xcred2<-Z*M2+(1-Z)*M0 Xcred3<-Z*M3+(1-Z)*M0 # The results M1; M2; M3; M; M0; S1; S2; S2; S; a; Z; Xcred1; Xcred2; Xcred3

2. Το Μοντέλο του Buhlmann-Straub #import data into R X1<-c(1.5,2.0,1.2,1.0) X2<- c(0.6,0.4,0.6,1.0) W1<-c(2,1,2,1) W2<- c(3,4,2,1) w1<-6 w2<-10 w12<- as.vector(cbind(w1,w2)) w<-w1+w2 # Means (individual estimator) XW1<-as.numeric((t(X1)%*%W1) /w1) XW2<- as.numeric((t(x2)%*%w2)/ w2) XW<- as.numeric( cbind(xw1,xw2)) XWW<-as.numeric(( XW1* w1+ XW2* w2)/w) # Individual variances S1<-(1/(4-1))*sum(W1*(X1-XW1)^2) S2<-(1/(4-1))*sum(W2*(X2-XW2)^2) # Mean of variance S<-(S1+S2)/2 # Variance of premiums #a<-w/(w^2-(w1^2+w2^2))*(sum(w12*(xw-xww)^2)-(2-1)*s) a<-w/(w^2-(w1^2+w2^2))*(w1*(xw1-xww)^2+w2*(xw2-xww)^2-(2-1)*s) a <- ifelse(a>0,a,0) #if a<0 we put a=0 # Credibility factor Z1<-(a*w1)/(a*w1+S) Z2<-(a*w2)/(a*w2+S) # Credibility estimator Crw1<-Z1*XW1+(1-Z1)*XWW Crw2<-Z2*XW2+(1-Z2)*XWW # The results XW1; XW2; XWW; S1; S2; S; a; Z1; Z2; Crw1; Crw2

3. Το Μοντέλο του Hachemeister # Hachemeister's credibility Regression with no weights Y1<-c(2.6,3, 3.6,4) Y2<-c(2.8,3.2, 3.8, 4.2) Y3<-c(4.6, 5, 5.4, 6) # X<-c(1,2,3,4) #or X<-c(4,3,2,1) #XX<-c(1,1,1,1,1,2,3,4) XX<-c(1,1,1,1, 4,3,2,1) X<-matrix(XX,4,2) # design matrix 4x2 # Regression coefficients for the 3 contracts B1<-as.vector( solve(t(x)%*%x) %*% t(x)%*%y1) B2<- as.vector( solve(t(x)%*%x) %*% t(x)%*%y2) B3<- as.vector( solve(t(x)%*%x) %*% t(x)%*%y3) B<-cbind(B1,B2,B3) b<- (B1+B2+B3)/3 # Mean of the regression coefficients #Mean squares error (MSE) s1<-as.numeric(1/(4-2)*t(y1-x%*%b1) %*%(Y1-X%*%B1)) # MSE1 s2<- as.numeric (1/(4-2)*t(Y2-X%*%B2) %*%(Y2-X%*%B2)) # MSE2 s3 <-as.numeric (1/(4-2)*t(Y3-X%*%B3) %*%(Y3-X%*%B3)) # MSE3 S<-(s1+s2+s3)/3 I<-diag(2) # Identity matrix 2x2 A<-(1/(3-1))*(B-b)%*%t(B-b)-S*solve(t(X)%*%X) # Matrix 2x2 Z<-A%*%solve(A+S*solve(t(X)%*%X)) # Credibility factor, Matrix 2x2 Crd1<-Z%*%B1+(I-Z) %*%b Crd2<-Z%*%B2+(I-Z) %*%b Crd3<-Z%*%B3+(I-Z) %*%b # The results B1;B2;B3;b;s1;s2;s3;S;A;Z;Crd1;Crd2;Crd3

Παράρτημα Αʹ Σύντομη Εισαγωγή στο Λογισμικό R Σκοπός του παραρτήματος είναι να βοηθήσει τον αναγνώστη (ή να εκθέσει) στα βασικά βήματα για την εγκατάσταση, λειτουργία και χρήση του λογισμικού (γλώσσας, πακέτου) R, το οποίο βασίστηκε και αναπτύχθηκε με βάση τη γλώσσα προγραμματισμού S. Είναι δωρεάν και περιέχει πληθώρα πακέτων εφαρμογής στατιστικών μοντέλων, συμπεριλαμβανόμενων αναλογιστικών και χρηματοοικονομικών και άλλων μοντέλων. Στο κείμενο που ακολουθεί περιγράφεται λεπτομερώς ο τρόπος εγκατάστασης του λογισμικού και διαφόρων χρήσιμων πακέτων του R. Παρουσιάζονται μερικές από τις βασικές συναρτήσεις, έτσι ώστε ο αναγνώστης να έχει μια πιο φιλική προσέγγιση στην εκμάθηση του λογισμικού και επίλυση προβλημάτων στο R. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται το περιβάλλον Rcmdr, όπου η επεξεργασία δεδομένων, στατιστικών αναλύσεων και η παρουσίαση διαγραμμάτων μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της γραμμής εργαλείων R commander. Τέλος, παρουσιάζεται ένας κατάλογος με χρήσιμα πακέτα, που έχουν εφαρμογή στον αναλογισμό και στην ασφαλιστική επιστήμη. Αʹ.1 Εγκατάσταση του R (μέσω διαδικτύου) Στο google αναζητάτε το R project ή πληκτρολογούμε την ιστοσελίδα https : //www.r project.org/ Επιλέγουμε το CRAN. Αφού κάνουμε κλικ σε κάποια διεύθυνση (π.χ. University of Crete) εμφανίζονται τα κάτωθι: (http : //cran.cc.uoc.gr/mirrors/cran/)

286 Παράρτημα Κάνουμε κλικ στο Download R for Windows, αν έχουμε το Office, ή σε κάποιο άλλο λειτουργικό (Linux h Macintosh) και λαμβάνουμε: Κάνουμε κλικ στο base και έχουμε: Κάνουμε κλικ στο Download R 3.3.1 for Windows (ή την πιο πρόσφατη έκδοση) και ακολουθούμε τα βήματα που εμφανίζονται (Run, Save). Στο τέλος, θα πρέπει να εμφανιστεί στην οθόνη μας ένα μεγάλο R και από κάτω R 3.3.1 for Windows (ή την πιο πρόσφατη έκδοση). Αʹ.2 Εγκατάσταση πακέτων (Packages) Στο R project επιλέγουμε το CRAN. Αφού κάνουμε κλικ σε κάποια διεύθυνση (οποιαδήποτε), στην αριστερή πλευρά εμφανίζεται το Packages. Κάνουμε κλικ στο Table of available packages, sorted by name και επιλέγουμε το πακέτο που επιθυμούμε να εγκαταστήσουμε. Για παράδειγμα

Παράρτημα 287 επιλέγοντας το actuar, λαμβάνουμε: actuar : Actuarial Functions and Heavy Tailed Distributions Παρακάτω (Downlowds:) εμφανίζονται διάφορα χρήσιμα βοηθήματα (εγχειρίδια), που αφορούν το πακέτο actuar (Reference manual, Vignettes) Για να εγκαταστήσουμε το actuar, κάνουμε κλικ στο actuar 2.1 0.zip (ή την πιο πρόσφατη έκδοση) και αποθηκεύουμε το πακέτο στο φάκελλο που επιθυμούμε. Παρατήρηση 27 Κάθε φορά που φορτώνουμε κάποιο πακέτο, θα πρέπει να προσέχουμε την ημερομηνία εγκατάστασης (δημιουργίας ή ανανέωσης) του πακέτου καθώς και της R. Αν το πακέτο δημιουργήθηκε πρόσφατα, δεν θα λειτουργήσει με παλαιά εγκατάσταση του R. Γι αυτό, καλό είναι να ανανεώνουμε κάπου κάπου την εγκατάσταση της R. Αʹ.3 Φόρτωση πακέτων (1ος τρόπος) Στη γραμμή εργαλείων του R, αφού κάνουμε κλικ στα Install Package(s), εμφανίζεται ένα παράθυρο Packages, από το οποίο επιλέγουμε τα πακέτα που επιθυμούμε να φορτώσουμε (πχ. το actuar).

288 Παράρτημα Αʹ.4 Φόρτωση πακέτων (2ος τρόπος) Πληκτρολογούμε τα κάτωθι: > install.packages("actuar"); library(actuar) Παρατήρηση 28 Μερικές φορές, όταν επιλέξουμε το Install Package(s), εμφανίζεται πρώτα ένα παράθυρο με τις χώρες από τις οποίες θέλουμε να προέρχονται τα πακέτα. Αφού επιλέξουμε τη χώρα ("Greece" κατά προτίμηση), συνεχίζουμε με την επιλογή πακέτων από το παράθυρο Packages, όπως προηγουμένως. Παρατήρηση 29 Το σύμβολο # το χρησιμοποιούμε ως επεξηγηματικό μέσα σε ρουτίνες του R. Το R δεν λαμβάνει υπόψη οτιδήποτε υπάρχει στη ίδια σειρά και δεξιά του # (τις επεξηγήσεις μπορείτε να τις γράφετε με Λατινικούς ή Ελληνικούς χαρακτήρες). Αʹ.5 Help (Βοήθεια) Για λεπτομέρειες της γλώσσας προγραμματισμού R μπορείτε να ανατρέξετε στη γραμμή εργαλείων του R κάνοντας κλικ στο Help (βοήθημα), το οποίο μας δίνει ένα κατάλογο με χρήσιμες πληροφορίες. Μπορούμε να επιλέξουμε διαδοχικά ( ) τα κάτωθι: Help console # Μας παρέχει συντομογραφίες με τη βοήθεια της κονσόλας Help RFAQ Frequently Asked Questions on R# Συχνές Ερωτήσεις Help search help # Ψάχνουμε την επί μέρους συνάρτηση που επιθυμούμε

Παράρτημα 289 Help Manuals (PDF) An introduction in R # Εισαγωγή στο R Αʹ.6 Help Manuals (PDF) R Data Import/Export/ # Εισαγωγή/ Αποθήκευση δεδομένων # εξαγωγή δεδομένων Τα δεδομένα μας τα αποθηκεύουμε στο δίσκο C με το όνομα loss.txt (Text Document). Στην επιφάνεια εργασίας κάνουμε δεξί κλικ στο ποντίκι και επιλέγουμε διαδοχικά: New TextDocument Θα εμφανιστεί ένα παράθυρο New Text Document ()-Notepad. Αφού γίνει καταγραφή των δεδομένων, τα αποθηκεύουμε στο δίσκο C με το όνομα loss.txt. Στη συνέχεια πληκτρολογούμε loss < read.table( c : loss.txt, header = TRUE) και καλούμε τα δεδομένα με το όνομα loss (διατηρούμε το ίδιο όνομα, αν και θα μπορούσαμε να το αλλάξουμε). Αν διαδοχικά επιλέξουμε attach(loss) loss > enter τα δεδομένα εμφανίζονται στην επιφάνεια εργασίας του R. Το header=true δεν λαμβάνει υπόψη τα ονόματα των μεταβλητών ως τιμές. Αʹ.7 Εισαγωγή και αποθήκευση δεδομένων από άλλα λογισμικά Μεταφορά Δεδομένων από το SPLUS. Από την επιφάνεια εργασίας του SPLUS (το αρχείο έχει αποθηκευτεί ως dataframe), για να αποθηκεύσουμε τα δεδομένα στο δίσκο C με το όνομα loss.txt, επιλέγουμε διαδοχικά File Export datato File > Browse επιλέγουμε το δίσκο C και στη συνέχεια επιλέγουμε Files of Type ASCII file space delimited (asc; dat; txt; pm) και κάνουμε κλικ στο ΟΚ. Τα δεδομένα μας έχουν αποθηκευτεί στο δίσκο C μαζί με τα ονόματα των μεταβλητών.

290 Παράρτημα Αʹ.8 Μεταφορά δεδομένων από το SPSS ή από το Excell Εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία, που εφαρμόσαμε για τη μεταφορά δεδομένων από το SPLUS. Δηλαδή, μετατροπή των αρχείων σε.txt και μεταφορά τους στο R. Παρατήρηση 30 Η μεταφορά δεδομένων στο R μπορεί να γίνει κατ ευθείαν από το Excell, αλλά θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στο πως έχουμε ορίσει στο Excell το κόμμα, δηλαδή, με (,) ή (.). Για περισσότερες πληροφορίες για εισαγωγή ή εξαγωγή δεδομένων επιλέξτε διαδοχικά Help Manuals(PDF) R Data Import/Export Παρατήρηση 31 Το πληκτρολόγιο πρέπει να είναι στα αγγλικά, γιατί, αν π.χ. ορίσετε τον πίνακα Α με ελληνικό πληκτρολόγιο και το καλέσετε μετά με αγγλικό πληκτρολόγιο, πιθανά θα λάβετε το μήνυμα, Error: object A not found Παρατήρηση 32 Το βελάκι δεξιά στο πληκτρολόγιο με 1 κλικ (2 κλικ, κλπ) επαναφέρει στην επιφάνεια εργασίας ό,τι είχαμε γράψει άμεσα προηγούμενα (προ προηγούμενα, κλπ). Παρατήρηση 33 Επειδή το R θυμάται τις προηγούμενες μεταβλητές, που έχετε προηγουμένως ορίσει, καλά θα είναι, κάπου-κάπου να αφαιρείται οτιδήποτε έχει υπολογιστεί μέχρι τότε. Για να επιτευχθεί αυτό, στη γραμμή εργαλείων του R κάνουμε κλικ στο Misc () και επιλέγουμε διαδοχικά: Misc Remove all objects το οποίο απομακρύνει οτιδήποτε έχει υπολογιστεί προηγουμένως. Για να τερματίσουμε τον τρέχοντα υπολογισμό, σε περίπτωση που έχει κολλήσει η διαδικασία υπολογισμού, επιλέγουμε διαδοχικά Misc Stop current computation

Παράρτημα 291 Αʹ.9 Εισαγωγή στη γλώσσα προγραμματισμού R > q() # Τερματίζει το R > ls() #παρουσιάζει λίστα δεδομένων που έχουν αποθηκευτεί [1].Last.value last.dump last.warning > attach(data1) #επαναφέρει τα δεδομένα (data) που είναι αποθηκευμένα Αʹ.10 Μαθηματικές πράξεις > y < 10 # Στην μεταβλητή y θέτουμε την τιμή 10 > y # Πληκτρολογώντας το y λαμβάνουμε την τιμή 10 [1] 10 > x < 3 + 5 # Η πρόσθεση καταχωρείται στο γράμμα x > x [1] 8 > 11 4 # Αφαίρεση [1] 7 > 3 5 # Πολλαπλασιασμός [1] 15 > 10/3 # Διαίρεση [1] 3.333333 > 2 3 # 2 στη δύναμη 3 (2 3 ) [1] 8 > i < 1 : 7 # Αύξουσα σειρά από το 1 μέχρι και το 7 > i [1] 1 2 3 4 5 6 7 > length(i) # Μας δίνει το μέγεθος του διανύσματος i (πλήθος στοιχείων) [1] 7

292 Παράρτημα Παρατήρηση 34 Το βελάκι < έχει την ίδια λειτουργία με το = (πχ, αντί για y < 10 μπορείτε να πληκτρολογήστε y = 10). Αʹ.11 Χρήσιμες συναρτήσεις > f1 < exp(2) # e 2 > f2 < abs( 7) # 7 > f3 < sin(60) # ημίτονο του 60 > f4 < cos(60) # συνημίτονο του 60 > f5 < sin(2pi) # ημίτονο του 2π > f6 < sqrt(25) # 25 > f7 < log(2) # φυσικός λογάριθμος του 2 > f8 < log10(100) # λογάριθμος του 100 με βάση του 10 > f8 < pi # π Αʹ.12 Χρήσιμες εντολές > x < c(1.3234, 44.22224, 5.67321) > Cx < ceiling(x) # μας δίνει τον μεγαλύτερο ακέραιο > Cx # κάθε στοιχείου του x [1] 2 45 6 > F x < floor(x) # μας δίνει τον μικρότερο ακέραιο κ > F x # κάθε στοιχείου του x [1] 1 44 5

Παράρτημα 293 > Rx < round(x, digits = 2) # Μας δίνει κάθε στοιχείο του x > Rx # με 2 δεκαδικά ψηφία [1] 1.32 44.22 5.67 > Sx < signif(x, digits = 4) # Μας δίνει κάθε στοιχείο του x > Sx # με 4 ψηφία [1]1.323 44.220 5.673 Παρατήρηση 35 Σε μια σειρά μπορούμε να πληκτρολογήσουμε περισσότερες από μία εντολές, αρκεί να υπάρχει το σύμβολο του ερωτηματικού ; μεταξύ των εντολών. Για παράδειγμα, οι τρεις προηγούμενες εντολές μπορούν να πληκτρολογηθούν σε μια σειρά ως > x < c(1.3234, 44.22224, 5.67321; Cx < ceiling(x); Cx [1] 2 45 6 Αʹ.13 Επαναλήψεις > rep(1 : 4, 3) # Επαναλαμβάνει τους αριθμούς από το 1-4, [1] 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 # τρεις φορές > rep(1 : 4, 1 : 4) # Επαναλαμβάνει το 1 μία φορά, το 2 δύο φορές, [1] 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 # το 3 τρεις φορές και το 4 τέσσερις φορές Αʹ.14 Δημιουργία διανυσμάτων και πινάκων x = 1 2 2, y = 1 1 3, A = 1 1 1 2 2 2 3 3 3, B = 1 2 3 1 2 3 1 2 3, D = 1 3 2 2 2 2 4 2 3

294 Παράρτημα Αʹ.15 Δημιουργία διανυσμάτων > x < c(1, 2, 2) # Δημιουργία του διανύσματος x > x [1] 1 2 2 > y < c(1, 1, 3) # Δημιουργία του διανύσματος y > y [1] 1 1 3 Αʹ.16 Δημιουργία του πίνακα A > p1 < c(1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3) # Δημιουργία του διανύσματος p1 > p1 [1] 1 2 3 1 2 3 1 2 3 > A < matrix(p1, 3, 3) # και του πίνακα A με βάση το διάνυσμα p1 > A [,1] [,2] [,3] [1,] 1 1 1 [2,] 2 2 2 [3,] 3 3 3 Αʹ.17 Δημιουργία του πίνακα B Για τη δημιουργία του πίνακα A, αν θέσουμε μέσα στην παρένθεση byrow = T, παίρνουμε τον ανάστροφο πίνακα A (A = B), δηλαδή, οι σειρές γίνονται στήλες και οι στήλες γίνονται σειρές (με βάση το διάνυσμα p1) > B < matrix(p1, 3, 3, byrow = T ) # Δημιουργία του πίνακα B > B [,1] [,2] [,3] [1,] 1 2 3 [2,] 1 2 3 [3,] 1 2 3

Παράρτημα 295 Αʹ.18 B < t(a) > B [,1] [,2] [,3] [1,] 1 2 3 [2,] 1 2 3 [3,] 1 2 3 Δημιουργία του πίνακα B ως ανάστροφο (transpose) του πίνακα A # Ανάστροφος του πίνακα A Αʹ.19 Δημιουργία του πίνακα D > p2 < c(1, 2, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 3) # Δημιουργία του διανύσματος p2 > D < matrix(p2, 3, 3) # και του πίνακα F με βάση το διάνυσμα p2 > D [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 2 [2,] 2 2 2 [3,] 4 2 3 Αʹ.20 Επιλογή συγκεκριμένων σειρών και στηλών από έναν πίνακα > A[1 : 3, 2 : 3] # Από τον πίνακα A επιλέγουμε [,1] [,2] # τις σειρές 1-3 και τις στήλες 2-3 [1,] 1 1 [2,] 2 2 [3,] 3 3 > A[c(1, 3), c(2, 3)] # Από τον πίνακα A επιλέγουμε [,1] [,2] # τις σειρές 1 και 3 και τις στήλες 2 και 3 [1,] 1 1 [2,] 3 3 > A[, 2 : 3] # Από τον πίνακα A επιλέγουμε τις στήλες 2-3 [,1] [,2] [1,] 1 1 [2,] 2 2 [2,] 3 3

296 Παράρτημα > A[, 3] # Από τον πίνακα A επιλέγουμε τη στήλη 3 [1] 1 2 3 > A[2, ] # Από τον πίνακα A επιλέγουμε τη σειρά 2 [1] 2 2 2 > A[5] # Από τον πίνακα A επιλέγουμε το 5ο στοιχείο, αριθμώντας ανά στήλη [1] 2 > A[8] # Από τον πίνακα A επιλέγουμε το 8ο στοιχείο, αριθμώντας ανά στήλη [1] 2 Αʹ.21 Πράξεις διανυσμάτων και πινάκων Θέλουμε να κάνουμε τις παρακάτω πράξεις με εντολές του R x y = [1 2 2] 1 1 3, Ax = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2, AD = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 3 2 2 2 2 4 2 3, A 1. Αʹ.22 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων και πινάκων > t(x)% %y # Πολλαπλασιασμός του ανάστροφου του διανύσματος x με το y [, 1] > 9 > A% %x # Πολλαπλασιασμός του πίνακα A με το διάνυσμα x [,1] [1,] 5 [2,] 10 [2,] 15

Παράρτημα 297 > A% %D #Πολλαπλασιασμός του πίνακα A με τον πίνακα D [,1] [,2] [,3] [1,] 7 7 7 [2,] 14 14 14 [3,] 21 21 21 > A D # Πολλαπλασιασμός πινάκων [,1] [,2] [,3] # στοιχείο με στοιχείο [1,] 1 3 2 [2,] 4 4 4 [3,] 12 6 9 Αʹ.23 Αντίστροφο πινάκων > solve(a) # Ο αντίστροφος του πίνακα A δεν υπάρχει # (και παίρνουμε το κάτωθι μήνυμα) Error in solve.def ault(a) : Lapack routine dgesv : system is exactly singular : U[2, 2] = 0 > D1 < D (0.5) # Μας δίνει το αντίστροφο κάθε > D1 # στοιχείου του πίνακα D [,1] [,2] [,3] [1,] 1.000000 1.732051 1.414214 [2,] 1.414214 1.414214 1.414214 [3,] 2.000000 1.414214 1.732051 Αʹ.24 Δημιουργία πίνακα από την ένωση σειρών δύο διανυσμάτων > P inak2 < rbind(c(15, 3, 2), c(20, 6, 4)) > P inak2 [,1] [,2] [,3] [1,] 15 3 2 [2,] 20 6 4

298 Παράρτημα Αʹ.25 Δημιουργία πίνακα από την ένωση στηλών δύο διανυσμάτων > P inak3 < cbind(c(15, 3, 2), c(20, 6, 4)) > P inak3 [,1] [,2] [1,] 15 20 [2,] 3 6 [3,] 2 4 Αʹ.26 Δημιουργία πίνακα με στοιχεία από το 1-16 με 4 στήλες ανά σειρά > P inak4 < matrix(1 : 16, ncol = 4, byrow = T ) > P inak4 [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 2 3 4 [2,] 5 6 7 8 [3,] 9 10 11 12 [4,] 13 14 15 16 Αʹ.27 Δημιουργία πίνακα με στοιχεία από το 1 μέχρι το 16 με 8 στήλες ανά σειρά P inak5 < matrix(1 : 16, ncol = 8, byrow = T ) > P inak5 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [1,] 1 2 3 4 5 6 7 8 [2,] 9 10 11 12 13 14 15 16 Αʹ.28 Διαγώνιος πίνακας x < c(2, 3, 3) > diag(x) # Μας δίνει έναν διαγώνιο πίνακα, που στην κύρια [,1] [,2] [,3] # διαγώνιο έχει τα στοιχεία του διανύσματος x [1,] 2 0 0 [2,] 0 3 0 [3,] 0 0 3

Παράρτημα 299 Αʹ.29 Αντικατάσταση στοιχείων > x c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) > x[3] < 1.5 # Αντικαθιστά το 3ο στοιχείο του > x < replace(x, 3, 1.5) # διανύσματος x με το 1.5 > x [1] 1.0 2.0 1.5 4.0 5.0 6.0 7.0 > z2 < replace(x, c(3, 7, 8), 0) # Αντικαθιστά το 3ο, το 7ο και το 8ο > z2 # στοιχείο του διανύσματος x με το 0 [1] 1 2 0 4 5 6 0 0 Αʹ.30 Άθροισμα στοιχείων > y < c(5, 6, 2, 1, 8, 4, 9) # Ορίζουμε το διάνυσμα y > s1 < sum(y) # Αθροίζει όλα τα στοιχεία του του διανύσματος y > s1 [1] 35 Δημιουργία συστοιχιών (Array) Μία συστοιχία είναι ένα πολυδιάστατο σύνολο από στοιχεία, διανύσματα ή πίνακες. Μία συστοιχία δημιουργείται ως εξής: > p2 < c(1, 2, 4, 3, 2, 5, 2, 6, 3, 7, 8, 8) > dim(p2) < c(3, 2, 2) # Δημιουργεί μία συστοιχία με 2 πίνακες > p2 # διαστάσεων 3 2,, 1 [,1] [,2] [1,] 1 3 [2,] 2 2 [3,] 4 5,, 2 [,1] [,2] [1,] 2 7 [2,] 6 8 [3,] 3 8

300 Παράρτημα > dim(p2) < c(2, 2, 3) # Δημιουργεί μία συστοιχία με 3 πίνακες > p2 # διαστάσεων 2 2,, 1 [,1] [,2] [1,] 1 4 [2,] 2 3,, 2 [,1] [,2] [1,] 2 2 [2,] 5 6,, 3 [,1] [,2] [1,] 3 8 [2,] 7 8 > p2[,, 2] [,1] [,2] [1,] 2 2 [2,] 5 6 > z1 < c(2, 2, 2, 3, 9, 11, 15, 4, 3, 9) # Ορίζουμε το διάνυσμα z1 > sort(z1) # Διατάσσει τα στοιχεία του [1] 2 2 2 3 3 4 9 9 11 15 # διανύσματος z1 κατά αύξουσα σειρά

Παράρτημα 301 Αʹ.31 Περιγραφικά στοιχεία > m1 < mean(y) # Μέση τιμή των τιμών του διανύσματος y > m1 # y < c(5, 6, 2, 1, 8, 4, 9)) [1] 5 > ma1 < max(y) # Μέγιστο των τιμών του διανύσματος y > ma1 [1] 9 > mi1 < min(y) # Ελάχιστο των τιμών του διανύσματος y > mi1 [1] 1 > ra1 < range(y) # Εύρος των τιμών του διανύσματος y > [1] 1 9 > d < c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) > s2 < sum(d) # Αθροίζει όλα τα στοιχεία > s2 # του διανύσματος d [1]55 > s3 < sum(d < 5) # Υπολογίζει το πλήθος των στοιχείων > s3 # του διανύσματος μικρότερα του 5 [1] 5 Αʹ.32 Παραγοντικό - Διάταξη > f actorial(4) # Παραγοντικό του 4 [4!=(4)(3)(2)(1)=24] [1] 24 > choose(49, 6) # ( 49 6 ) [1] 13983816

302 Παράρτημα Παράδειγμα 92 Να υπολογιστεί το άθροισμα 7 (0.1)(0.9 i 1 ) i=1 > sum(0.1 0.9 (1 : (7))) # Μας δίνει το αποτέλεσμα του αθροίσματος [1] 0.5217031 Παράδειγμα 93 Να λυθεί το σύστημα εξισώσεων 3x + 4y = 12 x + 2y = 8 > L < matrix(c(3, 1, 4, 2), nrow = 2) # Ορίζουμε τον πίνακα L με τους > L # συντελεστές των x και y [,1] [,2] [1,] 3 4 [2,] 1 2 > Y 22 < matrix(c(12, 8), nrow = 2) # Ορίζουμε τον πίνακα Y 22 > Y 22 # με τα ίσα των εξισώσεων [,1] [1,] 12 [2,] 8 > solve(l, Y 22) # Μας δίνει τη λύση των εξισώσεων [,1] [1,] 4 [2,] 6 Αʹ.33 Δημιουργία συνάρτησης Θέλουμε να κατασκευάσουμε μία συνάρτηση, που να μας δίνει τον έλεγχο t (t test) για δύο δείγματα x1 και x2, t = x 1 x 2 s 2 ()1/n 1 + 1/n 2 ), s2 = (n 1 1)s 2 1 + (n 2 1)s 2 2. n 1 + n 2 2

Παράρτημα 303 ttest2 < f unction(x1, x2) { n1 < length(x1) n2 < length(x2) mx1 < mean(x1) mx2 < mean(x2) s1 < var(x1) s2 < var(x2) # Ορίζουμε τη συνάρτηση ttest # Πλήθος στοιχείων στο δείγμα x1 # Πλήθος στοιχείων στο δείγμα x2 # Μέση τιμή του δείγματος x1 # Μέση τιμή του δείγματος x2 # Διασπορά του δείγματος x1 # Διασπορά του δείγματος x2 s12 < ((n1 1) s1 + (n2 1) s2)/(n1 + n2 2) test2 < (mx1 mx2)/sqrt(s12 (1/n1 + 1/n2)) } > stat2 < ttest2(m, F ) # Κάνουμε τον έλεγχο t test > stat2 # για M: Άνδρες και F : Γυναίκες

304 Παράρτημα Αʹ.34 Παλινδρόμηση (Regression) Απλή παλινδρόμηση της μορφής Y = β 0 + β 1 X 1 > Y < c(2.6, 3.0, 3.6, 4) # Εξαρτημένη μεταβλητή Y > Y [1] 2.6 3.0 3.6 4.0 > X1 < c(4, 3, 2, 1) # Ανεξάρτητη μεταβλητή X1 > X2 < c(1, 1, 1, 1, 4, 3, 2, 1) > X2 [1] 1 1 1 1 4 3 2 1 X < matrix(x2, 4, 2) # Πίνακας σχεδιασμού X > X [,1] [,2] [1,] 1 4 [2,] 1 3 [3,] 1 2 [4,] 1 1 > B < solve(t(x)% %X)% %t(x)% %Y > B [, 1] [1,] 4.50 # Ο συντελεστής β 0 [2,] 0.48 # Ο συντελεστής β 1 Αʹ.35 Παλινδρόμηση χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lm( ) > Reg < lm(y X1) # Y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή και > Reg # X1 είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή Call : lm(formula = Y X1) Coefficients : (Intercept) X1 4.50 0.48 # Συντελεστές παλινδρόμησης, β 0, και β 1

Παράρτημα 305 > summary(reg) # Αποτελέσματα παλινδρόμησης Call : lm(formula = Y X1) Residuals : 1 2 3 4 0.02 0.06 0.06 0.02 Coefficients : Estimate Std.Error t value P r(> t ) (Intercept) 4.50000 0.07746 58.09 0.000296 X1 0.48000 0.02828 16.97 0.003454 Signif. codes : 0 0.0010 0.010 0.050 0.10 1 Residual standard error : 0.06325 on 2 degrees of f reedom Multiple R squared : 0.9931, Adjusted R squared : 0.9897 F statistic : 288 on 1 and 2 DF, p value : 0.003454 Αʹ.36 Γραφικές παραστάσεις > z1 < c(1, 2, 3, 4) > z2 < c(2, 3, 4, 4) # Μας δίνει τη γραφική παράσταση του z1 (άξονας x) > plot(z1, z2) # και του z2 (άξονας y) > plot(sin(z1)) # Μας δίνει τα ημίτονα του διανύσματος z1 > plot(cos(z1), type = l ) # Μας δίνει τα συνημίτονα του διανύσματος z1 # το type = l συνδέει τα διάφορα σημεία # με γραμμή Αʹ.37 The par() function The par() function μας δίνει τη δυνατότητα να παρουσιάζουμε περισσότερες από μία γραφικές παραστάσεις σε ένα γράφημα.

306 Παράρτημα par(mfrow = c(2, 2)) # μας δίνει ένα γράφημα με τις παρακάτω # 4 γραφικές παραστάσεις Αʹ.38 plot(cos(z1), type = l ) plot(sin(z1), type = l ) plot(log(z1), type = l ) plot(sqrt(z1), type = l ) Μεταφορά από το R στο Latex Για να μετατρέψουμε ένα πίνακα που κατασκευάστηκε στο R σε πίνακα του Latex, θα πρέπει πρώτα να φορτώσουμε στο R το πακέτο xtable. > p2 < c(1, 2, 4, 3, 2, 5, 2, 6, 3) # Δημιουργία του διανύσματος p2 > D < matrix(p2, 3, 3) # Δημιουργία του πίνακα D από το οποίο λαμβάνουμε τον πίνακα, όπως πρέπει να γραφεί στο Latex. > D [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 2 [2,] 2 2 6 [3,] 4 5 3 > \xtable(d) \begin{table}[ht] \centering \begin{tabular}{rrrr} \hline & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 1.00 & 3.00 & 2.00 \\ 2 & 2.00 & 2.00 & 6.00 \\ 3 & 4.00 & 5.00 & 3.00 \\ \hline \end{tabular} \end{table} Στη συνέχεια, αντιγράφουμε τον παραπάνω πίνακα από την οθόνη του R και την μεταφέρουμε στο κείμενο του Latex (copy - paste).

Παράρτημα 307 Αʹ.39 Επιφάνεια εργασίας Script Στην επιφάνεια εργασίας Script μπορούμε να γράψουμε και να αποθηκεύσουμε διάφορες εντολές στο R. Για να ενεργοποιήσουμε την εντολή που θέλουμε, διαδοχικά επιλέγουμε: File NewScript όπου εμφανίζεται η επιφάνεια εργασίας Untitled R editor, στην οποία, α- φού γράψουμε τις εντολές που επιθυμούμε, την αποθηκεύουμε σε κάποιο φάκελο που του δίνουμε κάποιο όνομα αρχείου. Αν θέλουμε να ανοίξουμε το συγκεκριμένο αρχείο, διαδοχικά επιλέγουμε: File OpenScript Για να ενεργοποιήσουμε το R στο Script, επιλέγουμε την εντολή που θέλουμε και ταυτόχρονα κάνουμε κλικ στο Ctrl και το γράμμα R. Εναλλακτικά, επιλέγουμε τις εντολές, που θέλουμε να εκτελέσουμε, κάνουμε δεξί κλικ στο ποντίκι και επιλέγουμε Run line or Selection. Η εντολή εκτελείται με τον ίδιο τρόπο, όπως αν την είχαμε γράψει κατευθείαν στην επιφάνεια εργασίας του R. Αʹ.40 Περιβάλλον Rcmdr Το περιβάλλον Rcmdr είναι σε πρώιμο στάδιο και δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε όλα τα πακέτα του R. Ωστόσο, παρουσιάζουμε περιληπτικά τη λειτουργία του. Η επεξεργασία δεδομένων και στατιστικών αναλύσεων και η παρουσίαση διαγραμμάτων γίνεται με τη βοήθεια της γραμμής εργαλείων R commander. Για τη δημιουργία της επιφάνειας εργασίας R commander πρέπει να φορτώσουμε το πακέτο Rcmdr, το οποίο, όταν το κατεβάζουμε για πρώτη φορά, μας ζητάει και κάποια άλλα αρχεία (πακέτα), τα οποία κατεβαίνουν με ένα κλικ στα παραθυράκια που εμφανίζονται διαδοχικά στην οθόνη του R (χρειάζεται λίγα λεπτά για τη φόρτωσή του). Λειτουργεί όπως τα περισσότερα πακέτα στατιστικής, χωρίς να γράφουμε τις εντολές, απλά κάνουμε κλικ στη γραμμή εργαλείων. Πριν ξεκινήσουμε την επεξεργασία των δεδομένων, θα πρέπει να φορτώσουμε διάφορα πακέτα. Π.χ. μπορούμε να εγκαταστήσουμε ένα βασικό πακέτο (Plugin ) το RcmdrPlugin.KMggplot2. Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιούμε διάφορα στατιστικά από την γραμμή εργαλείων του R commander. Ετσι, από την βασική οθόνη του R επιλέγουμε διαδοχικά: Packages Installpackage(s) RcmdrPlugin.KMggplot2

308 Παράρτημα Για να πραγματοποιηθεί αυτό, από την γραμμή εργαλείων επιλέγουμε διαδοχικά: Εργαλεία φόρτωση πακέτου πακέτα RcmdrPlugin.KMggplot2 Στη γραμμή εργαλείων εμφανίζεται το KMggplot2 αριστερά από τα εργαλεία. Πριν κάνουμε οποιοδήποτε στατιστικό, πρέπει να καταγράψουμε τα δεδομένα σε Text Document και μετά να τα μεταφέρουμε στο R commander. Αʹ.41 Διάφορα παραδείγματα Στην επιφάνεια εργασίας κάνουμε δεξί κλικ στο ποντίκι και επιλέγουμε διαδοχικά: New TextDocument Θα εμφανιστεί ένα παράθυρο New Text Document ()-Notepad. Αφού περάσουμε τα δεδομένα, αποθηκεύουμε τον φάκελο με το όνομα NT D1, όπως φαίνεται παρακάτω: Παράδειγμα 94 Αν θέλουμε να κάνουμε τον μη παραμετρικό έλεγχο Wilcoxon για 2 δείγματα, επιλέγουμε διαδοχικά: Στατιστικά Μη παραμετρικές δοκιμές Τέστ Two-Sample Wilcoxon

Παράρτημα 309

310 Παράρτημα Παράδειγμα 95 Αν θέλουμε να βρούμε τα ποσοστημόρια της κανονικής κατανομής, επιλέγουμε διαδοχικά: Διωνυμικές Συνεχείς Κανονική κατανομή κανονικά ποσοστημόρια Στο παραθυράκι (κανονικά ποσοστημόρια) που εμφανίζεται, πρέπει να επιλέξουμε τις πιθανότητες (ποσοστημόρια που θέλουμε), τη μέση τιμή, την τυπικά απόκλιση, καθώς και αν θέλουμε την κάτω ουρά ή την επάνω ουρά. Α- κολουθούμε τον ίδιο τρόπο για κάποιες άλλες κατανομές (συνεχείς ή διακριτές). Αʹ.42 Χρήσιμα πακέτα του R για την αναλογιστική επιστήμη actuar Μας παρέχει διάφορες εντολές για την εφαρμογή συναρτήσεων που αφορούν διάφορους τομείς του αναλογισμού (πχ. Κατανομές Απώλειας, Αξιοπιστία Χαρτοφυλακίου, Χρεοκοπία, κλπ). ActuDistns Υπολογίζει τη συνάρτηση πιθανότητας, τη συνάρτηση ρυθμού διακινδύνευσης (hazard rate function) για 44 μοντέλα επιβίωσης. bootruin Κάνει ελέγχους Bootstrap για την πιθανότητα χρεοκοπίας στο κλασσικό μοντέλο κινδύνου. ChainLadder Το πακέτο αυτό μας παρέχει μεθόδους αποθεματοποίησης (loss reserving) όπως Chain Ladder και πολυμεταβλητής (Chain Ladder. CompLognormal Υπολογίζει τη συνάρτηση πιθανότητας, τη συνάρτηση κατανομής, τη συνάρτηση ποσοστημορίων, κλπ, βασιζόμενο στη Λογαριθμοκανονική κατανομή. DCL Μας δίνει μοντέλα εκτίμησης αποθεμάτων(double Chain Ladder Model) - Martinez Miranda, Nielsen and Verrall (2012). demography Μας δίνει συναρτήσεις για δημογραφικές αναλύσεις, τη δημιουργία πινάκων επιβίωσης, μοντελοποίηση του μοντέλου Lee Carter, συναρτησιακή ανάλυση δεδομένων ποσοστών θνησιμότητας, ποσοστά γονιμότητας,

Παράρτημα 311 αριθμούς καθαρής μετανάστευσης και στοχαστική πρόβλεψη του πληθυσμού. ecdfht Υπολογίζει την εμπειρική συνάρτηση κατανομής και μας δίνει γραφικές παραστάσεις, για να διαγνώσουμε αν κάποια δεδομένα προέρχονται από κατανομές με μακριά ουρά (heavy tailed) και γίνεται σύγκριση των μοντέλων. finiteruinprob Υπολογίζει την πιθανότητα χρεοκοπίας για ορίζοντα περιορισμένου χρονικού διαστήματος κάνοντας χρήση της διαδικασίας Wiener. fitdistrplus Με τη βοήθεια του πακέτου μπορούμε να κάνουμε προσαρμογή λογοκριμένων δεδομένων (Censored) ή μη (non-censored), σε κάποια συγκεκριμένη κατανομή με μακριά ουρά. lifecontingencies Μας επιτρέπει να κάνουμε χρήση αναλογιστικών πινάκων (Life Contingencies). raw Μας παρέχει ένα σύνολο δεδομένων για γενικές ασφαλίσεις και προτείνει ένα σύνολο πακέτων στην R για αναλογιστές. ReIns Μας παρέχει συναρτήσεις για το βιβλίο Αντασφάλιση - Αναλογιστικές και Στατιστικές Απόψεις (Reinsurance: Actuarial and Statistical Aspects (Wiley, 2017) by Hansjoerg Albrecher, Jan Beirlant and Jef Teugels). StMoMo Μας παρέχει εφαρμογές διαφόρων μοντέλων στοχαστικής θνησιμότητας, που προτείνονται στην αναλογιστική και δημογραφική βιβλιογραφία, συμπεριλαμβανομένου του μοντέλου Lee Carter (1992). Περιλαμβάνει συναρτήσεις για την εφαρμογή μοντέλων θνησιμότητας και εκτέλεση προβολών θνησιμότητας και προσομοίωσης.