ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥΣ ΣΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ

Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥΣ ΣΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Λούκας Τσούκκας, Χρύσω Κύπρου, Αθανάσιος Γαγάτσης Πανεπιστήµιο Κύπρου, Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο σκοπός της παρούσας έρευνας είναι διπλός. Πρώτο, να εξετάσει την επίδραση των διαφορετικών µορφών αναπαράστασης στην επίδοση των µαθητών σε µοτίβα απλής και σύνθετης δοµής µε βάση τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων των µοτίβων: α) εµπειρική αφαίρεση των µαθηµατικών σχέσεων, β) υπονοούµενη χρήση ενός γενικού κανόνα και γ) ρητή χρήση ενός γενικού κανόνα, και δεύτερο να ελέγξει αν τα τρία αυτά επίπεδα µπορούν να αποτελέσουν τη βάση για το σχεδιασµό και την εφαρµογή δραστηριοτήτων µοτίβων κατάλληλων για την εισαγωγή των µαθητών στην άλγεβρα. Σε 143 µαθητές Στ τάξης δηµοτικού χορηγήθηκε αρχικό και τελικό δοκίµιο µοτίβων µε δραστηριότητες οι οποίες αφορούσαν στη συνέχιση ενός µοτίβου, τη συµπλήρωση µεγαλύτερων όρων του µοτίβου και τη διατύπωση γενίκευσης. Σε 49 από αυτούς έγινε διδακτική παρέµβαση. Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι η αρχική µορφή αναπαράστασης επηρέασε την επίδοση των µαθητών κυρίως στα σύνθετα µοτίβα και ότι αντιµετώπισαν µε µεγαλύτερη δυσκολία τη λεκτική µορφή αναπαράστασης και µε µικρότερη τη συµβολική, ενώ η εικονική ήταν η πλέον εύκολη. Η διδακτική παρέµβαση είχε ως αποτέλεσµα τη βελτίωση της ικανότητας των µαθητών να επιλύουν απλά και σύνθετα µοτίβα και να κάνουν γενίκευση. 1. Εισαγωγή Τα µοτίβα βρίσκονται στην καρδιά των µαθηµατικών. Η ικανότητα των µαθητών να αναγνωρίζουν ή να αναπτύσσουν µοτίβα σχετίζεται µε την ικανότητά τους να συλλογίζονται µαθηµατικά (Liljedahl & Zazkis, 2001). O Schoenfeld (1992) περιγράφει τα Μαθηµατικά ως την επιστήµη των µοτίβων. Όπως ακριβώς τα µοτίβα, τα οποία περιλαµβάνουν µια σειρά από συστατικά µέρη που εξελίσσονται µ ένα σαφή και σταθερό τρόπο, έτσι και τα µαθηµατικά συνεπάγονται µια συστηµατική προσπάθεια για ανακάλυψη της φύσης των αρχών και των νόµων που διέπουν µε λογικό και συνεπή τρόπο διαφορετικά θεωρητικά συστήµατα ή µοντέλα του πραγµατικού κόσµου. Τα τελευταία χρόνια, οι δραστηριότητες µε µοτίβα έχουν γίνει ένα χαρακτηριστικό γνώρισµα του αναλυτικού προγράµµατος των µαθηµατικών και πολλές προσπάθειες αποσκοπούν στη µέτρηση της επίδρασης και της αξίας τέτοιων εµπειριών στην ποιότητα και το σύνολο της µάθησης (Orton & Orton, 1996). Με βάση τις υποδείξεις διεθνών οργανισµών (π.χ. NCTM, 2000), πολλές χώρες έχουν προβεί στην εισαγωγή κεφαλαίου άλγεβρας στα νέα αναλυτικά τους προγράµµατα από τα προσχολικά χρόνια, γεγονός που αποδεικνύει το αυξανόµενο ενδιαφέρον γι αυτό το θέµα, καθώς επίσης και τη σπουδαιότητα και ανάγκη για ανάπτυξη αλγεβρικού συλλογισµού από µικρή ηλικία. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 203

Λ. Τσούκκας, κ.ά. 2. Θεωρητικό µέρος Αναπαραστάσεις και κατανόηση των µοτίβων Οι µαθητές έρχονται καθηµερινά σε επαφή µε µια ποικιλία αναπαραστάσεων στο µάθηµα των Μαθηµατικών. Αυτές οι αναπαραστάσεις είναι αναγκαίες για την παρουσίαση και την επικοινωνία µαθηµατικών ιδεών, όπως τα µοτίβα και µπορούν να πάρουν µια ή περισσότερες µορφές: λεκτική, συµβολική, εικονική κ.ά. (Gagatsis & Elia, 2004). Οι Zazkis & Liljedahl (2002) διακρίνουν τα µοτίβα σε διάφορες κατηγορίες µε βάση τη µορφή αναπαράστασης ή άλλα κριτήρια π.χ. αριθµητικά µοτίβα, γεωµετρικά µοτίβα, µοτίβα µε υπολογιστικές διαδικασίες, γραµµικά µοτίβα και µοτίβα δευτεροβάθµιας εξίσωσης, επαναλαµβανόµενα µοτίβα κ.ά. Σύµφωνα µε τους Orton, Orton & Roper (1999) οι διαφορετικές αναπαραστάσεις ενεργοποιούν διαφορετικές διαδικασίες και στρατηγικές. Η ενεργοποίηση κατάλληλων στρατηγικών εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από τον τρόπο µε τον οποίο θα αναπαρασταθούν τα στοιχεία του µοτίβου. Ο σηµαντικός ρόλος των διαφορετικών αναπαραστάσεων στη µάθηση των µαθηµατικών φάνηκε µέσα από πολλές έρευνες όσον αφορά στην κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών και τη λύση προβλήµατος (Duval, 2002; Gagatsis & Elia, 2004; Mousoulides & Gagatsis, 2004). Με βάση τα αποτελέσµατα των προαναφερθείσων ερευνών, η κατανόηση µιας έννοιας προϋποθέτει την ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας σε µια ποικιλία αναπαραστάσεων και την ικανότητα ευέλικτου χειρισµού της έννοιας µέσα σε συγκεκριµένα συστήµατα αναπαράστασης. Εποµένως, η αναγνώριση σχέσεων στα µοτίβα σε διαφορετικές αναπαραστάσεις και ο συνδυασµός διαφορετικών µορφών αναπαράστασης ενός µοτίβου µπορεί να παίζει σηµαντικό ρόλο στην κατανόηση της γενίκευσης από τους µαθητές και στην ανάπτυξη αλγεβρικού συλλογισµού. Ο Lannin (2005) εξέτασε τις αιτιολογήσεις που δίνουν µαθητές Στ τάξης δηµοτικού για τις γενικεύσεις που κάνουν στα µοτίβα σε εικονική ή λεκτική αναπαράσταση και τον τρόπο µε τον οποίο αυτές οι αιτιολογήσεις τους βοηθούν να κατανοήσουν τις γενικεύσεις που κάνουν, χρησιµοποιώντας προγράµµατα υπολογιστικών φύλλων ως εργαλείο διδασκαλίας. Οι αιτιολογήσεις που έδιναν οι µαθητές για τα µοτίβα κατηγοριοποιήθηκαν σε πέντε επίπεδα, ως ακολούθως: Επίπεδο 0: Καµιά αιτιολόγηση, Επίπεδο 1: Προσφυγή σε εξωτερική βοήθεια, Επίπεδο 2: Εµπειρική απόδειξη, Επίπεδο 3: Γενικό παράδειγµα και Επίπεδο 4: Επαγωγική αιτιολόγηση. Οι Michael et al. (προς δηµοσίευση) εξέτασαν την επίδραση των διαφορετικών µορφών αναπαράστασης στην επίδοση µαθητών Ε και Στ τάξης δηµοτικού σε µοτίβα απλής και σύνθετης δοµής σε δραστηριότητες οι οποίες αφορούσαν στη συνέχιση ενός µοτίβου, την εύρεση όρων σε µεγαλύτερες θέσεις και τη διατύπωση γενίκευσης. Η κατανόηση των µαθηµατικών σχέσεων των µοτίβων κατηγοριοποιήθηκε σε τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας: εµπειρική αφαίρεση των µαθηµατικών σχέσεων, υπονοούµενη χρήση ενός γενικού κανόνα και ρητή χρήση ενός γενικού κανόνα. Επίσης, τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι η αρχική µορφή αναπαράστασης επηρέασε την επίδοση των παιδιών, κυρίως στα σύνθετα µοτίβα. Οι µαθητές αντιµετώπιζαν µε µεγαλύτερη ευκολία την εικονική µορφή αναπαράστασης σε σχέση µε τη λεκτική µορφή. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 204

Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις Οι Kyriakides & Gagatsis (2003) ερεύνησαν την αναπτυξιακή επίδοση σε δραστηριότητες µε µοτίβα µαθητών Α µέχρι Στ τάξης δηµοτικού, αναπτύσσοντας και επικυρώνοντας ένα µοντέλο το οποίο περιλαµβάνει έξι παράγοντες (κατηγορίες µοτίβων), ως ακολούθως: α) επαναλαµβανόµενα µοτίβα µε συµβολική αριθµητική µορφή, β) επαναλαµβανόµενα µοτίβα µε γεωµετρικά σχήµατα, γ) αναπτυσσόµενα µοτίβα µε συµβολική αριθµητική µορφή, δ) αναπτυσσόµενα µοτίβα µε γεωµετρικά σχήµατα ε) απλά µοτίβα που απαιτούν απλές αριθµητικές πράξεις και στ) σύνθετα µοτίβα που απαιτούν πιο σύνθετες αριθµητικές πράξεις. Εισαγωγή στην άλγεβρα µέσα από δραστηριότητες µοτίβων Η παραδοσιακή διδασκαλία της άλγεβρας στο σχολείο έχει κατακριθεί για την απλή ενασχόληση µε σύµβολα που συνήθως δεν έχουν πραγµατικό νόηµα για τους µαθητές (Mason, 1996). Αρκετοί ερευνητές έχουν προτείνει τη διερεύνηση µέσω δραστηριοτήτων µοτίβων ως εναλλακτική λύση για την εισαγωγή στην άλγεβρα. Η διερεύνηση µοτίβων αποτελεί µια βασική δραστηριότητα στα µαθηµατικά, αλλά και σε όλες τις επιστήµες. Οι µαθητές που προσπαθούν να εκφράσουν τα µοτίβα µαθηµατικά βρίσκονται σε πολύ ευνοϊκή θέση για να µάθουν την αλγεβρική γλώσσα και να ασχοληθούν µε την αλγεβρική δραστηριότητα (Lee & Freiman, 2006). Η διερεύνηση µοτίβων µπορεί να οδηγήσει σε ένα πλούσιο αλγεβρικό συλλογισµό για τις µεταβλητές και τους άγνωστους όρους, για την ισοδυναµία των αλγεβρικών εκφράσεων, για το χειρισµό συµβόλων και για τη λύση εξίσωσης µε σκοπό την εύρεση του αγνώστου. Οι English και Warren (1998) εισηγούνται µια προσέγγιση µε µοτίβα για την εισαγωγή της έννοιας της µεταβλητής. Υποστηρίζουν ότι στην παραδοσιακή διδασκαλία οι µεταβλητές εισάγονται ως άγνωστοι όροι σε εξισώσεις, όπου δε φαίνεται η πραγµατική τους φύση. Επιπρόσθετα, µια προσέγγιση µε µοτίβα δίνει στους µαθητές την ευκαιρία να παρατηρήσουν και να εκφράσουν γενικεύσεις και να τις καταγράψουν συµβολικά. Προτείνουν οι δραστηριότητες µοτίβων να µην περιορίζονται µόνο στην εισαγωγή της έννοιας της µεταβλητής, καθώς παρέχουν µια χρήσιµη και σταθερή βάση για εργασία µε σύµβολα. Η χρήση προγραµµάτων υπολογιστικών φύλλων στη διδασκαλία Από ένα πλήθος ερευνών σχετικών µε τη χρήση προγραµµάτων υπολογιστικών φύλλων στο µάθηµα των Μαθηµατικών έχει βρεθεί ότι η χρήση της τεχνολογίας µπορεί να βοηθήσει τους µαθητές να κάνουν διασυνδέσεις ανάµεσα στις άτυπες ιδέες τους και στις τυπικές αναπαραστάσεις (Sutherland & Rojano, 1993; Healy & Hoyles, 1999). Επιπρόσθετα, τα υπολογιστικά φύλλα επιτρέπουν στους µαθητές να συλλογίζονται ευέλικτα και να προβαίνουν σε γενικεύσεις µε βάση επαναληπτικό (recursive) συλλογισµό ή µε ρητή (explicit) γενίκευση. Αυτή η ευελιξία µπορεί να κάνει πιο προσιτή τη γενίκευση προβληµατικών καταστάσεων στους µαθητές. Κατά τη διάρκεια της παρούσας έρευνας, το πρόγραµµα υπολογιστικών φύλλων Excel αποτέλεσε ένα ευέλικτο εργαλείο, το οποίο είχε σκοπό τόσο να ενθαρρύνει όσο και να εξαναγκάσει τους µαθητές να αιτιολογούν τις γενικεύσεις στις οποίες προέβαιναν κατά τη διδακτική παρέµβαση. Καθώς οι µαθητές χρησιµοποιούσαν το 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 205

Λ. Τσούκκας, κ.ά. πρόγραµµα, µπορούσαν εύκολα να καταλήξουν τόσο σε επαναληπτικούς (recursive) όσο σε ρητούς (explicit) γενικούς κανόνες. 3. Η έρευνα Η παρούσα έρευνα βασίστηκε σε προηγούµενη έρευνα των Michael et al. (προς δηµοσίευση) καθώς και σε αντίστοιχη έρευνα του Lannin (2005). Το θεωρητικό µοντέλο που προτείνουµε µε βάση τις προαναφερθείσες δύο έρευνες είναι: Επίπεδο 1: Εµπειρικό παράδειγµα. Τα παιδιά συµπληρώνουν το µοτίβο µέσα από την ακρίβεια συγκεκριµένων παραδειγµάτων. Επίπεδο 2: Γενικό παράδειγµα. Συµπληρώνουν µεγαλύτερους όρους του µοτίβου. Επίπεδο 3: Επαγωγικός συλλογισµός. Τα παιδιά γενικεύουν το µοτίβο, δίνοντας ένα συµβολικό κανόνα ή µια γενική αιτιολόγηση. Λαµβάνοντας υπόψη τα πιο πάνω, η παρούσα µελέτη επιχείρησε να διερευνήσει τα ακόλουθα ερευνητικά ερωτήµατα: 1. Μπορούν τα προτεινόµενα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων των µοτίβων να επικυρωθούν εµπειρικά µε βάση την επίδοση των µαθητών σε έργα µοτίβων που σχεδιάστηκαν να αντιστοιχούν σ αυτά τα επίπεδα; 2. Πώς επηρεάζει η αρχική αναπαράσταση την επιτυχή συµπλήρωση απλών και σύνθετων µοτίβων σε κάθε ένα από τα τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας; 3. Τα τρία προτεινόµενα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα µπορούν να αποτελέσουν βάση για σχεδιασµό, οργάνωση και εφαρµογή δραστηριοτήτων µοτίβων που αποσκοπούν στην επιτυχή εισαγωγή των µαθητών στην τυποποιηµένη άλγεβρα; Μεθοδολογία Το δείγµα της έρευνας αποτέλεσαν 143 µαθητές Στ τάξης δηµοτικού από έξι τµήµατα δηµοτικών σχολείων µιας αγροτικής περιφέρειας της Κύπρου, 73 κορίτσια και 70 αγόρια. Πριν από την έρευνα οι µαθητές δε συµµετείχαν συστηµατικά σε δραστηριότητες γενίκευσης µοτίβων. Κάθε µαθητής συµπλήρωσε πρώτα ένα δοκίµιο µοτίβων στο διάστηµα µιας διδακτικής περιόδου. Ακολούθως, 49 από τους µαθητές αυτούς δέχτηκαν παρεµβατική διδασκαλία διάρκειας έξι διδακτικών περιόδων. Μετά από µια βδοµάδα επαναχορηγήθηκε στους µαθητές το δοκίµιο µοτίβων. οκίµιο µοτίβων Το δοκίµιο περιελάµβανε τα ακόλουθα έξι µοτίβα: (α) ένα λεκτικό µοτίβο απλής µορφής (όπως ακριβώς δίνεται από τους Kyriakides & Gagatsis, 2003) µε τη γενίκευση ν + 3, (β) ένα απλό συµβολικό µοτίβο µε τη γενίκευση ν + 1, (γ) ένα απλό εικονικό µοτίβο µε τη γενίκευση ν + 2 (Michael et al., προς δηµοσίευση), (δ) ένα σύνθετο λεκτικό µοτίβο µε τη γενίκευση (ν ν) + 2, (ε) ένα σύνθετο συµβολικό µε τη γενίκευση (ν ν) + 1 και (στ) ένα σύνθετο εικονικό µε τη γενίκευση ν (ν +1). Για κάθε ένα από τα προαναφερθέντα µοτίβα ζητήθηκε πρώτα από τους µαθητές να συνεχίσουν το µοτίβο, συµπληρώνοντας τους τρεις επόµενους όρους σ έναν πίνακα (επίπεδο 1). Ακολούθως, έπρεπε να βρουν όρους σε µεγαλύτερες θέσεις, όπως τον 20 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 206

Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις και τον 100 (επίπεδο 2). Τέλος, ζητήθηκε από τους µαθητές να γράψουν ένα γενικό κανόνα για το µοτίβο, χρησιµοποιώντας σύµβολα ή, αν προτιµούσαν, λέξεις (επίπεδο 3). Παραδείγµατα των έργων φαίνονται στο Παράρτηµα. Για την κωδικοποίηση των απαντήσεων των µαθητών σε κάθε ένα από τα έργα χρησιµοποιήθηκαν τα ακόλουθα σύµβολα: S = απλά µοτίβα, C = σύνθετα µοτίβα, v = λεκτική µορφή, p = εικονική µορφή, s = συµβολική µορφή, 1 = επίπεδο 1, 2 = επίπεδο 2, 3 = επίπεδο 3. Για παράδειγµα, η µεταβλητή «Cv1» αντιπροσωπεύει τη συνέχιση του σύνθετου µοτίβου λεκτικής µορφής βρίσκοντας τους τρεις επόµενους όρους. ιδακτική παρέµβαση Βασικό στοιχείο στην έρευνα αυτή είναι ότι οι δραστηριότητες µοτίβων επιλέγηκαν, σχεδιάστηκαν και οργανώθηκαν µε βάση τα τρία προτεινόµενα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα και την ιεραρχική τους διάταξη, µε σκοπό να διερευνηθεί αν τα επίπεδα αυτά µπορούν να αποτελέσουν βάση για σχεδιασµό, οργάνωση και εφαρµογή δραστηριοτήτων µοτίβων που αποσκοπούν στην επιτυχή εισαγωγή των µαθητών στην τυποποιηµένη άλγεβρα. Σηµαντικό επίσης στοιχείο αποτελεί το γεγονός ότι στη διδακτική παρέµβαση συµπεριλήφθηκαν έργα µοτίβων µε διαφορετική αρχική µορφή αναπαράστασης (λεκτική, συµβολική, εικονική). Αυτό έγινε γιατί ένας από τους βασικούς σκοπούς της εργασίας ήταν να µελετήσει την επίδραση της αρχικής αναπαράστασης στην επιτυχή συµπλήρωση απλών και σύνθετων µοτίβων. Επίσης, λόγω του ότι πολλοί ερευνητές (π.χ. Orton et al., 1999) τονίζουν την αξία διδακτικών καταστάσεων που επιτρέπουν στους µαθητές µε τη βοήθεια γεωµετρικών µορφών να συνδέσουν το γενικό κανόνα µε µια εικονική αναπαράσταση. Έτσι, στη διδακτική παρέµβαση συµπεριλήφθηκαν περισσότερα έργα µοτίβων µε µια προφανή γεωµετρική σύνδεση, όπως τα προβλήµατα µε τις κάρτες και τα κουτιά σοκολάτων και καραµέλων (αναφέρονται στη συνέχεια). Η παρουσίαση των µοτίβων µε εικονική αναπαράσταση βοήθησε τους µαθητές να εµβαθύνουν στην κατανόηση της έννοιας των πράξεων και των διαδικασιών, που χρησιµοποίησαν στους κανόνες που διατύπωσαν (Lannin, 2003, 2004). Σύµφωνα µε πολλούς ερευνητές (Lannin, 2005; Zazkis & Liljedahl, 2002) µια ορθή, ισχυρή αιτιολόγηση του γενικού κανόνα του µοτίβου από τους µαθητές - που αποτελεί απόδειξη της σε βάθος και όχι επιφανειακής κατανόησής του - προϋποθέτει τη σύνδεσή του µε µια γενική σχέση που υπάρχει στο πλαίσιο της συγκεκριµένης µαθηµατικής κατάστασης. Για το λόγο αυτό στη διδακτική παρέµβαση δόθηκε έµφαση στη συσχέτιση, εύρεση και επεξήγηση της απευθείας (explicit) γενίκευσης (γενικού κανόνα) µε βάση το αρχικό πλαίσιο του προβλήµατος, εικονικό ή λεκτικό. Κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέµβασης ήταν εµφανής η προσπάθεια να οδηγηθούν οι µαθητές σε µια τέτοια σύνδεση. Υποβάλλονταν ερωτήµατα και προβληµατισµοί που παρέπεµπαν τους µαθητές στο αρχικό πλαίσιο του προβλήµατος όπως είναι: α) Μπορείτε να δείξετε στο αρχικό σχήµα πώς καταλήξατε στους δύο γενικούς κανόνες ν (ν+2), ν ν +2; β) Παρουσιάστε τους 7 πρώτους όρους του µοτίβου ν (ν+3) µε σχήµα, γ) Μπορείτε να σκεφτείτε µια λεκτική µαθηµατική κατάσταση για το µοτίβο ν ν+3 και δ) Συγκρίνετε τα σχήµατα που παρουσιάζουν τα δύο µοτίβα. Ο ρόλος του δασκάλου ήταν σηµαντικός και συνέβαλε στο να ανατρέχουν οι µαθητές πίσω στο 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 207

Λ. Τσούκκας, κ.ά. πλαίσιο της µαθηµατικής κατάστασης. Όταν οι µαθητές κλήθηκαν να συσχετίσουν το γενικό κανόνα που διατύπωσαν για ένα µοτίβο µε ένα διάγραµµα, µια εικόνα ή µια µαθηµατική κατάσταση ωθήθηκαν να αναπτύξουν περαιτέρω συνδέσεις µεταξύ του πλαισίου και του κανόνα. Έτσι, για το πιο κάτω πρόβληµα κατασκεύασαν τα σχήµατα που φαίνονται στο Σχήµα 1 για να δικαιολογήσουν τους κανόνες που διατύπωσαν για τον υπολογισµό των σοκολάτων σε οποιοδήποτε κουτί. Οι super σοκολάτες είναι τακτοποιηµένες σε κουτιά µε τέτοιο τρόπο που µια καραµέλα τοποθετείται στο κέντρο τεσσάρων σοκολάτων, όπως φαίνεται δίπλα. Εξήγησε µε λέξεις και µε σχέδιο και περίγραψε έναν κανόνα, που θα σου επιτρέπει να βρεις τον αριθµό των καραµέλων και των σοκολάτων που περιέχει οποιοδήποτε κουτί. (ν+1) ν 1 ν ν Μία καραµέλα (ν+1) Κουτί 1 ( ν =1) ύο καραµέλες Κουτί 2 ( ν =2) (ν+1) (ν+1) ν ν + 2 ν + 1 Σχήµα 1: Σχήµατα των µαθητών για τους γενικούς κανόνες (ν+1) (ν+1) και ν ν + 2 ν + 1 Όπως επισηµαίνεται από τους Lannin (2005) και Rivera & Becker (2005) η κατανόηση µιας γενικής σχέσης που υπάρχει σε ένα πλαίσιο µπορεί να επιτρέψει στους µαθητές να την εφαρµόσουν σε άλλες σχετικές παρόµοιες καταστάσεις προβλήµατος, βελτιώνοντας έτσι την ικανότητά τους να προβαίνουν σε γενικεύσεις. Για το λόγο αυτό κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέµβασης, οι µαθητές ενθαρρύνονταν να εξετάζουν και να συγκρίνουν µοτίβα µε ίδια ή παρόµοια µαθηµατική δοµή (Σχήµα 2). Έτσι για παράδειγµα, τέθηκαν ερωτήµατα όπως: α) Σε τι διαφέρει το µοτίβο µε γενικό κανόνα ν (ν+2) από το µοτίβο ν (ν+1) και το µοτίβο ν ν+2; Παρουσιάστε τα µοτίβα µε σχήµα, και β) Με βάση το µοτίβο 4 ν+1 παρουσιάστε το µοτίβο 3 v+1. Σε τι διαφέρουν και σε τι µοιάζουν τα δύο µοτίβα µεταξύ τους; Ποιο αυξάνεται µε πιο γρήγορο ρυθµό; Γιατί; ν 1 ν 2 1 ν (ν +1) ν (ν +2) ν ν +1 ν ν ν 1 ν 2 ν Σχήµα 2: Παρουσίαση µε διάγραµµα και σύγκριση όµοιων στη δοµή µοτίβων Σύµφωνα µε το Lannin (2004) πρέπει να γίνεται παρουσίαση και των δύο µορφών γενίκευσης ενός µοτίβου, επαναληπτική (recursive) και απευθείας (explicit), και συζήτηση για τον τρόπο που αυτές οι µορφές σχετίζονται µεταξύ τους, καθώς και των 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 208

Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις πλεονεκτηµάτων και των µειονεκτηµάτων τους και σύγκριση της αποτελεσµατικότητας της κάθε µιας. Η επαναληπτική (recursive) γενίκευση είναι σηµαντική και δεν πρέπει να παραγνωρίζεται (Rivera & Becker, 2005), γιατί µεταξύ άλλων θέτει τις βάσεις για κατανόηση των εννοιών του ρυθµού µεταβολής και της κλίσης της γραµµικής γραφικής παράστασης. Έτσι, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3, οι µαθητές συµπλήρωσαν το µοτίβο για το παρακάτω πρόβληµα, εκµεταλλευόµενοι την υπολογιστική δύναµη του προγράµµατος υπολογιστικών φύλλων Excel, εφαρµόζοντας και συγκρίνοντας και τους δύο τρόπους γενίκευσης. Σε µια τετραγωνική πισίνα θα τοποθετηθεί κεραµικό περίγραµµα όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήµα. Εξήγησε µε λέξεις και µε σχέδιο και περίγραψε έναν κανόνα, που θα σου επιτρέπει να βρεις τον αριθµό των κεραµικών που χρειάζονται για οποιαδήποτε τετραγωνική πισίνα. Α 1 Πλάτος Πισίνας Αριθµός κεραµικών 2 1 8 3 = A2+1 =B2+4 4 = A3+1 =B3+4 5 = A4+1 =B4+4....,,,,, 100 = A99+1 =B99+4 Β Σχήµα 3: Παρουσίαση και σύγκριση των δύο κανόνων στον Η/Υ Πρώτα οι µαθητές έµαθαν να γράφουν φόρµουλες στο λογισµικό πρόγραµµα Excel και στη συνέχεια να εκφράζουν τις αλγεβρικές σχέσεις (γενικούς κανόνες) µε τη βοήθεια του προγράµµατος. όθηκε ιδιαίτερη προσοχή ώστε να γίνεται συσχέτιση των εµπειρικών αποτελεσµάτων που παρέχονταν από το πρόγραµµα µε το συγκεκριµένο πλαίσιο του προβλήµατος, ώστε να αποθαρρύνονται οι µαθητές να εστιάζουν την προσοχή τους, µόνο στα εµπειρικά δεδοµένα που παρέχονταν από το πρόγραµµα. Ανάλυση δεδοµένων Αρχικά, βρέθηκαν τα ποσοστά επιτυχίας για τα έργα του δοκιµίου. Κατασκευάστηκαν επίσης ένα διάγραµµα οµοιότητας και ένα συνεπαγωγικό για όλο το δείγµα, µε τη χρήση του στατιστικού προγράµµατος CHIC (Bodin, Coutourier & Gras, 2000). 4. Αποτελέσµατα Η ανάλυση διακύµανσης ANOVA δεν έδειξε στατιστικά σηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο οµάδων (πειραµατικής και οµάδας ελέγχου) σε κανένα από τα έργα του αρχικού δοκιµίου, γι αυτό και τα δείγµατα µπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα. Όσον αφορά στην επίδοση των παιδιών στην επίλυση έργων µοτίβων στο αρχικό τεστ, τόσο για την πειραµατική οµάδα όσο και για την οµάδα ελέγχου, υπήρξε µεγάλη και στατιστικά σηµαντική διαφορά (F = 5,74, F= 4,21, αντίστοιχα, p=0,000) στην επιτυχία των µαθητών στα απλά (49-100%) και στα σύνθετα (16-88%) µοτίβα (Πίνακας 1). Α 1 Πλάτος Πισίνας Αριθµός κεραµικών 2 1 8 [= 4*(A2+1)] 3 2 12 4 3 16 5 4 20,,,,,,,,,,,,,,, 100 99 400 Β 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 209

Λ. Τσούκκας, κ.ά. Μεταβλητές Pretest -test test -test Post Pre- Post Βελτίωση Μεταβλητές Βελτίωση Απλά Μοτίβα % % % Σύνθετα µοτίβα % % % Sv1 100 100 0 Cv1 53 69 16 Sv2 63 94 31 Cv2 20 49 29 Sv3 59 94 35 Cv3 16 47 31 Ss1 98 100 2 Cs1 76 80 4 Ss2 55 88 33 Cs2 31 51 20 Ss3 49 86 37 Cs3 27 49 22 Sp1 98 100 2 Cp1 88 94 6 Sp2 63 92 29 Cp2 45 82 37 Sp3 59 90 31 Cp3 45 80 35 Πίνακας 1: Ποσοστά επιτυχίας της πειραµατικής οµάδας στο αρχικό και τελικό τεστ Τα απλά µοτίβα σε λεκτική µορφή φαίνεται να είναι τα πιο εύκολα για τα παιδιά (59-100%). Οι µαθητές ανταποκρίθηκαν µε µεγάλη επιτυχία στα ερωτήµατα που αφορούν στο πρώτο επίπεδο, συµπληρώνοντας τους τρεις επόµενους όρους του µοτίβου, ενώ λιγότερα παιδιά επιτυγχάνουν στα επίπεδα 2 και 3, όπου τους ζητείται να βρουν τους επόµενους όρους και να κάνουν γενίκευση. Στα σύνθετα µοτίβα, τα ψηλότερα ποσοστά επιτυχίας παρατηρήθηκαν σε αυτά µε εικονική µορφή (45-88%), ενώ τα χαµηλότερα στα µοτίβα µε λεκτική αρχική αναπαράσταση (16-53%). Όσον αφορά στα σύνθετα µοτίβα, οι µαθητές αντιµετώπισαν τα προβλήµατα του επιπέδου 1 µε µεγαλύτερη επιτυχία (53-88%) σε σύγκριση µε αυτά των επιπέδων 2 και 3 (16-45%). Παρόλα αυτά φαίνεται ότι οι µαθητές που µπόρεσαν να βρουν τους επόµενους όρους, µπόρεσαν να προχωρήσουν ένα βήµα πιο πέρα και να γενικεύσουν, διατυπώνοντας και το γενικό κανόνα. Η ανάλυση συνδιακύµανσης ANCOVA κατέδειξε στατιστικά σηµαντικές διαφορές στη γενική επίδοση των µαθητών της πειραµατικής οµάδας στο αρχικό και στο τελικό τεστ, αλλά και στην πλειοψηφία των επιµέρους έργων του δοκιµίου. Η βελτίωση των µαθητών στην αντιµετώπιση απλών και σύνθετων µοτίβων ήταν και στις δύο περιπτώσεις στατιστικά σηµαντική και περίπου ίση (Μ.Ο. pretest =6,45, Μ.Ο. posttest =8,42, F=29,39, p=0,000, Μ.Ο. pretest =4.00, Μ.Ο. posttest =6.00, F=34.38, p=0,000, αντίστοιχα). Μεγαλύτερη ήταν η βελτίωση στα επίπεδα 2 και 3 σε όλα τα έργα, µε µεγαλύτερη βελτίωση στο έργο µε αρχική αναπαράσταση τη συµβολική (33, 37%, αντίστοιχα) στα απλά µοτίβα και στο έργο µε εικονική µορφή (35, 37%, αντίστοιχα) στα σύνθετα. Η µικρότερη βελτίωση παρατηρήθηκε στο έργο µε αρχική τη συµβολική µορφή αναπαράστασης στα σύνθετα µοτίβα (20%, 22%, αντίστοιχα). Η µεγαλύτερη βελτίωση σε όλα σχεδόν τα έργα ήταν στο επίπεδο 3, κάτι που υποδεικνύει ότι η διδακτική παρέµβαση ήταν πιο αποτελεσµατική όσον αφορά στη διατύπωση ενός γενικού κανόνα. Η ανάλυση διακύµανσης ANOVA δεν έδειξε στατιστικά σηµαντικές διαφορές ανάµεσα στην επίδοση των µαθητών των δύο οµάδων (πειραµατικής και οµάδας ελέγχου) στο αρχικό δοκίµιο, ούτε ανάµεσα στην επίδοση των µαθητών της οµάδας ελέγχου στα ίδια έργα του αρχικού και τελικού δοκιµίου. Για το λόγο αυτό, τα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 210

Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις αποτελέσµατα που ακολουθούν αναφέρονται στους µαθητές και των δύο οµάδων και πηγάζουν µέσα και από τα δύο δοκίµια. Όπως φαίνεται από το διάγραµµα οµοιότητας ( ιάγραµµα 1), που προέκυψε µε τη µέθοδο Gras, δηµιουργούνται ξεχωριστές οµάδες οµοιότητας ανάµεσα στις απαντήσεις των µαθητών στα σύνθετα και στα απλά µοτίβα, ανάλογα και µε τα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητάς τους, κάτι που υποδεικνύει το σηµαντικό ρόλο της δοµής των µοτίβων στους τρόπους λύσης που εφαρµόζουν οι µαθητές, αλλά και µια αλληλεπίδραση του µαθηµατικού επιπέδου των µοτίβων και του είδους γνωστικής πολυπλοκότητάς τους. Sva1 Svb1 Spa1 Ssa1 Spb1 Sva2 Sva3 Cva2 Cva3 Csa2 Csa3 Cvb2 Cvb3 Csb3 Csb2 Cpb3 Cpa2 Cpa3 Cpb2 Cpa1 Svb2 Svb3 Spb3 Ssb2 Spb2 Ssb3 Ssa2 Ssa3 Spa2 Spa3 Cva1 Csa1 Cvb1 Csb1 Ssb1 Cpb1 ιάγραµµα 1: ιάγραµµα οµοιότητας για την οµάδα ελέγχου (αρχικό και τελικό δοκίµιο) Επίσης, στο διάγραµµα παρατηρείται ανάµειξη ανάµεσα στα έργα µε σύνθετα µοτίβα των δύο δοκιµίων. Μια ερµηνεία που µπορεί να δοθεί σ αυτό είναι ότι οι µαθητές αντιµετώπισαν µε συνέπεια τα σύνθετα µοτίβα των δύο δοκιµίων, κάτι που ενισχύει το συµπέρασµα ότι η µαθηµατική δοµή και πολυπλοκότητα των µοτίβων αποτελεί καθοριστικό παράγοντα που επηρεάζει τον τρόπο µε τον οποίο οι µαθητές αντιµετωπίζουν τα έργα µοτίβων. Οι περισσότερες από τις σχέσεις οµοιότητας στο διάγραµµα δείχνουν ότι η αρχική αναπαράσταση επηρέασε τους µαθητές στα σύνθετα µοτίβα στα επίπεδα 2 και 3. Είναι εµφανές ότι οι µαθητές και στα δύο τεστ αντιµετώπισαν µε παρόµοιο τρόπο απλά και σύνθετα µοτίβα στην ίδια µορφή αναπαράστασης (Sva2-Sva3, Svb2-Svb3, Ssa2- Ssa3, Spa2-Spa3, Cva2-Cva3, Csa2-Cas3, Cvb2-Cvb3, Csb2-Csb3, Cpa2-Cpa3, Cs2- Cs3, Cp2-Cp3, Cv2-Cv3), όταν κλήθηκαν να συµπληρώσουν µεγαλύτερους όρους ή να γράψουν ένα γενικό κανόνα (επίπεδα 2 και 3), γεγονός που υποδεικνύει το σηµαντικό ρόλο της αρχικής αναπαράστασης ενός µοτίβου στην επίδοση των µαθητών. Όπως φαίνεται από το ιάγραµµα 1, οι µαθητές αντιµετώπισαν µε παρόµοιο τρόπο απλά (Sva1, Svb1, Spa1, Ssa1, Spb1) και σύνθετα µοτίβα (Cva1, Csa1, Cvb1, Csb1, Cpb1) για την εύρεση των επόµενων όρων (επίπεδο 1), ανεξάρτητα από τη µορφή αναπαράστασής τους. Ίσως ο διαφορετικός τρόπος µε τον οποίο οι µαθητές προσέγγισαν τα απλά 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 211

Λ. Τσούκκας, κ.ά. µοτίβα στο επίπεδο 1 σε σχέση µε αυτά του επιπέδου 2 και 3 να οφείλεται στην απλότητα των µοτίβων αυτών και στο χαµηλό βαθµό δυσκολίας τους, κάτι που υποστηρίζεται από τα ψηλά ποσοστά επιτυχίας (Πίνακας 1) που είχαν οι µαθητές στα έργα αυτά (98-100%). Ωστόσο, η περίπτωση των σύνθετων µοτίβων επιπέδου 1 υποδεικνύει µε σαφή τρόπο την επίδραση που έχουν τα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας των έργων µαζί µε την πολυπλοκότητα της δοµής τους στον τρόπο που οι µαθητές αντιµετωπίζουν προβλήµατα µοτίβων. Ο σαφής διαχωρισµός των απαντήσεων των µαθητών στα έργα επιπέδου 1 και επιπέδων 2 και 3 φανερώνει την παρουσία στεγανοποίησης στους τρόπους επίλυσης των µαθητών, όταν καλούνται να συµπληρώσουν τους αµέσως επόµενους όρους και όταν καλούνται να υπολογίσουν µεγαλύτερους όρους ή να γενικεύσουν. Περαιτέρω υποστήριξη στη διαπίστωση αυτή παρέχει το γεγονός ότι οι µαθητές αντιµετώπισαν µε παρόµοιο τρόπο έργα που περιλαµβάνουν απλά (Ssb2- Spb2, Svb3-Spb3) και σύνθετα µοτίβα (Cva2-Csa2, Cvb3- Csb3) του ίδιου επιπέδου. Μέσα από το διάγραµµα οµοιότητας για την πειραµατική οµάδα ( ιάγραµµα 2) ενισχύονται τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από το αντίστοιχο διάγραµµα για την οµάδα ελέγχου. Παρατηρείται µάλιστα µεγαλύτερη οµοιογένεια στην επίλυση των έργων επιπέδου 2 και 3 στο ίδιο πεδίο αναπαράστασης, κάτι που ενισχύει το συµπέρασµα ότι η αρχική αναπαράσταση του µοτίβου αποτελεί καθοριστικό παράγοντα στον τρόπο που αντιµετωπίζουν και επιλύουν τα έργα αυτά οι µαθητές. εν είναι σαφής η διάκριση ανάµεσα στις απαντήσεις των µαθητών στα σύνθετα και στα απλά µοτίβα. Έτσι για παράδειγµα, όπως φαίνεται από την πιο ισχυρή κλάση οµοιότητας υπάρχει σηµαντική σχέση οµοιότητας ανάµεσα στις λύσεις των απλών έργων του αρχικού τεστ και των σύνθετων έργων του τελικού τεστ (επιπέδων 2 και 3) (π.χ. Ssa2, Ssa3-Cvb2, Cvb3). Μάλιστα, αυτή η σχέση οµοιότητας είναι περισσότερο ισχυρή από τη σχέση ανάµεσα στις λύσεις των σύνθετων έργων του αρχικού και τελικού τεστ στα ίδια επίπεδα (π.χ. Cvb2, Cvb3-Cva2, Cva3). Αυτό υποδεικνύει ότι η διδακτική παρέµβαση βελτίωσε την ικανότητα των µαθητών να αντιµετωπίζουν κάποια από τα σύνθετα έργα του τελικού τεστ µε την ίδια ευκολία όπως τα απλά έργα του αρχικού τεστ. Το συµπέρασµα αυτό ενισχύουν και τα αποτελέσµατα της σύγκρισης των σχετικών µέσων όρων µε τη βοήθεια του ελέγχου t-test, µε βάση τα οποία η επίδοση των µαθητών στα σύνθετα µοτίβα, στα επίπεδα 2 και 3 στο τελικό δοκίµιο αυξήθηκε σε στατιστικά σηµαντικό βαθµό (Μ.Ο. pretest =1,84, Μ.Ο. posttest =3,57, µε µέγιστη τιµή το 4, t=-5,81, p=0,000) σε σχέση µε την αντίστοιχη επίδοση στο αρχικό δοκίµιο. Πριν το παρεµβατικό πρόγραµµα όλα τα σύνθετα έργα στα επίπεδα 2 και 3 (Cva2-Cva3, Csa2-Csa3, Cpa2-Cpa3) αντιµετωπίζονταν µε παρόµοιο τρόπο από τους µαθητές και µε διαφορετικό τρόπο από τα αντίστοιχα έργα στο επίπεδο 1. Ωστόσο, αυτό δε συνέχισε να ισχύει µετά τη διδακτική παρέµβαση όσον αφορά στο σχετικό έργο λεκτικής αναπαράστασης (Cpa2-Cpa3), το οποίο αντιµετωπίστηκε µε παρόµοιο τρόπο µε το ερώτηµα στο επίπεδο 1 του ίδιου έργου (Cpa1-Cpa2-Cpa3) και στη συνέχεια µε απλά µοτίβα (Ssb2-Ssb3). εδοµένης επίσης της µικρής βελτίωσης του ποσοστού επιτυχίας των µαθητών στο έργο Cpa1 (6%), φαίνεται ότι το στοιχείο της 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 212

Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις διδακτικής παρέµβασης που συνέβαλε ώστε οι µαθητές να αντιµετωπίζουν τα τρία επίπεδα του Sva1 Svb1 Ssa1 Spa1 Sva2 Sva3 Ssa2 Ssa3 Spa2 Spa3 Cvb2 Cvb3 Csb2 Csb3 Cva1 Cva2 Cva3 Csa2 Csa3 Cpa2 Cpa3 Cvb1 Csb1 Csa1 Cpa1 Ssb2 Ssb3 Cpb1 Cpb2 Cpb3 Svb2 Svb3 Spb2 Spb3 Ssb1 Spb1 ιάγραµµα 2: ιάγραµµα οµοιότητας για την πειραµατική οµάδα (αρχικό και τελικό) εικονικού αυτού έργου µε παρόµοιο τρόπο είναι η βελτίωση της ικανότητάς τους να βασίζονται, να ερµηνεύουν και να χρησιµοποιούν το αρχικό πλαίσιο του προβλήµατος (στην περίπτωση αυτή την αρχική εικονική αναπαράσταση) ως βάση για την εύρεση µεγαλύτερων όρων και του γενικού κανόνα. Σε έρευνα του ο Lannin (2005) διαπίστωσε ότι όταν οι µαθητές αποτύγχαναν να κάνουν γενίκευση, αυτό οφειλόταν γενικά σε µια έλλειψη σύνδεσης µε µια εικονική αναπαράσταση, που να δηµιουργεί µια σχέση µεταξύ του κανόνα και του πλαισίου. Τα πιο πάνω σχετίζονται και µε τη διαφορά µεταξύ της βελτίωσης της επίδοσης των µαθητών στα επίπεδα 2 και 3 στο σύνθετο λεκτικό (επίπεδο 2: 29%, επίπεδο 3: 31%) και το συµβολικό µοτίβο (επίπεδο 2: 20%, επίπεδο 3: 22%). Φαίνεται ότι η µη ύπαρξη πλαισίου στο συµβολικό έργο περιόρισε το ποσοστό βελτίωσης των µαθητών, ενώ το λεκτικό πλαίσιο τους δυσκόλεψε σε λιγότερο βαθµό. Σε κάποιο βαθµό, η πιο πάνω διαφορά µπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι οι µαθητές ασχολούνται περισσότερο µε δραστηριότητες συµβολικών µοτίβων στην τάξη, άρα τα περιθώρια βελτίωσης ήταν πιο περιορισµένα παρά στα λεκτικά. Μια σφαιρική άποψη του συνεπαγωγικού διαγράµµατος των απαντήσεων των µαθητών της πειραµατικής οµάδας ( ιάγραµµα 3) δείχνει ότι η επιτυχία των µαθητών στην επίλυση σύνθετων µοτίβων συνεπάγεται την επιτυχία στο χειρισµό των απλών µοτίβων. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 213

Λ. Τσούκκας, κ.ά. Ssb3 Cva3 Ssb2 Csa3 Cva2 Cpa2 Cpa3 Cvb3 Csa2 Cva1 Ssa3 Csb3 Cvb2 Csb2 Ssa2 Cvb1 Spa3 Sva3 Csb1 Cpb3 Sva2 Spa2 Cpb2 ιάγραµµα 3: Συνεπαγωγικό διάγραµµα για την πειραµατική οµάδα Μια πιο αναλυτική παρατήρηση των µεταβλητών που αναφέρονται στα σύνθετα µοτίβα, αποκαλύπτει ότι επιτυχία στην εύρεση του γενικού κανόνα (επίπεδο 3), υπονοεί την επιτυχία στη συµπλήρωση όρων στις περαιτέρω θέσεις (επίπεδο 2), κάτι το οποίο συνεπάγεται στη συνέχεια την εύρεση των επόµενων όρων (επίπεδο 1) (π.χ. Cva3, Cva2, Cva1 και Csb3, Csb2, Csb1, αλλά και Csa3, Csa2). Οι συνεπαγωγές αυτές δείχνουν ότι τα έργα του επιπέδου 3 είναι δυσκολότερα για τους µαθητές από αυτά του επιπέδου 2 και αυτά πιο περίπλοκα από έργα του επιπέδου 1. Ο αριθµός των συνεπαγωγικών σχέσεων που έχουν προαναφερθεί είναι µικρότερος στο τελικό τεστ τόσο για τα σύνθετα όσο και για τα απλά µοτίβα. Το αποτέλεσµα αυτό σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι στο τελικό τεστ δεν παρατηρήθηκαν στατιστικά σηµαντικές διαφορές ανάµεσα στους µέσους όρους επιτυχίας των παιδιών στα επίπεδα 2 και 3 τόσο για τα απλά (t=1,429, p=0,159) όσο και για τα σύνθετα µοτίβα (t=1,709, p=0,83), φανερώνει πως η διδακτική παρέµβαση είχε ως αποτέλεσµα τη βελτίωση της ικανότητας των µαθητών να επιλύουν απλά και σύνθετα µοτίβα επιπέδου 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 214

Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις 3 σε µεγαλύτερο βαθµό παρά επιπέδου 2. Το αποτέλεσµα αυτό ήταν αναµενόµενο γιατί η διδακτική παρέµβαση εστίασε σε µεγαλύτερο βαθµό στη βελτίωση της ικανότητας των µαθητών να κάνουν γενίκευση. Είναι αξιοσηµείωτο ότι οι περισσότερες συνεπαγωγικές σχέσεις µεταξύ των απαντήσεων των µαθητών στα έργα των τριών επιπέδων διαµορφώνονται µέσα στην ίδια µορφή αναπαράστασης του µοτίβου (π.χ., Cva3, Cva2, Cva1 και Csb3, Csb2, Csb1), δείχνοντας ότι τα διαφορετικά επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας στην κατανόηση των µοτίβων από τους µαθητές είναι ενδο-αναπαραστατικά. Οι ανάλογες συνεπαγωγικές σχέσεις εµφανίζονται επίσης µεταξύ των µεταβλητών που αντιπροσωπεύουν την επιτυχία στα απλά µοτίβα (Ssa3, Ssa2 και Sva3, Sva2, Spa3, Spa2), µε εξαίρεση τις µεταβλητές που αντιπροσωπεύουν την επιτυχία στα έργα του επιπέδου 1. Οι απαντήσεις των µαθητών σε αυτά τα έργα που απαιτούν τη συνέχιση των επόµενων όρων ενός απλού µοτίβου δε συµπεριλαµβάνονται στο διάγραµµα, γεγονός που υποδεικνύει τον αυτόνοµό τους χαρακτήρα, δεδοµένου ότι είναι και τα έργα µε τα ψηλότερα ποσοστά επιτυχίας. Είναι πιθανόν για τον ίδιο λόγο να µη συµπεριλαµβάνονται µεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τις απαντήσεις των µαθητών της πειραµατικής οµάδας σε απλά µοτίβα επιπέδου 2 και 3 (π.χ. Svb2, Svb3) και σύνθετα µοτίβα επιπέδου 1 (Cpb1), γιατί τα έργα αυτά αντιµετωπίζονταν πλέον µε µεγαλύτερη ευκολία από αυτούς. Στο συνεπαγωγικό διάγραµµα, ο ρόλος και η σηµασία της αρχικής αναπαράστασης του µοτίβου στην επιτυχία των µαθητών ανιχνεύεται κυρίως στα σύνθετα έργα που απαιτούσαν τη διατύπωση ενός γενικού κανόνα (Cva3, Csa3, Cpa3 και Cvb3, Csb, Cpb3) και σε µικρότερο βαθµό σ αυτά που απαιτούσαν την εύρεση µεγαλυτέρων όρων του µοτίβου (Cvb2, Csb2, Cpb2 και Cva2, Csa2). Η επιτυχία των µαθητών στο λεκτικό µοτίβο συνεπάγεται την επιτυχία στο συµβολικό κάτι που στη συνέχεια συνεπάγεται την επιτυχία στο εικονικό. Η επιτυχία των µαθητών σε έργα επιπέδου 1 που απαιτούσαν τη συµπλήρωση των επόµενων όρων ενός µοτίβου δεν επηρεάζεται από την αρχική µορφή αναπαράστασης του µοτίβου πιθανώς λόγω του απλού χαρακτήρα τους. 5. Συζήτηση Τα αποτελέσµατα που προέρχονται από την εφαρµογή της στατιστικής συνεπαγωγικής µεθόδου του Gras για την επίδοση των µαθητών επικυρώνουν εµπειρικά τα τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων των µοτίβων που προτείνονται στην παρούσα έρευνα και την ιεραρχική τους σειρά. Το πρώτο επίπεδο αναφέρεται στην εµπειρική αφαίρεση των µαθηµατικών σχέσεων, η οποία στην έρευνα αυτή αφορά στη συνέχιση ενός µοτίβου. Στο δεύτερο επίπεδο, το οποίο αντιπροσωπεύει την υπονοούµενη χρήση ενός γενικού κανόνα, οι µαθητές είναι ικανοί να συµπληρώνουν το µοτίβο µεγαλύτερων όρων. Το τρίτο επίπεδο, το οποίο ενσωµατώνει τη σαφή χρήση ενός γενικού κανόνα, αφορά στη διατύπωση ενός γενικού κανόνα. Φάνηκε επίσης ότι οι µαθητές που είχαν ελλείψεις στο πρώτο επίπεδο κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα αντιµετώπιζαν δυσκολίες στο δεύτερο επίπεδο και απέτυχαν να εκφράσουν µε σαφήνεια µια γενίκευση στο τρίτο επίπεδο. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 215

Λ. Τσούκκας, κ.ά. Τα ευρήµατα της έρευνας δείχνουν ότι οι µαθητές λύνουν µε µεγαλύτερη επιτυχία τα απλά µοτίβα σε σχέση µε τα σύνθετα. Όλοι σχεδόν οι µαθητές έχουν κατακτήσει το πρώτο επίπεδο στα απλά µοτίβα. Συνεχίζουν µε ακρίβεια ένα µοτίβο, εφόσον είναι συνηθισµένοι σε έργα αυτής της µορφής. Το επόµενο στάδιο, το οποίο αφορά στη συνέχιση του µοτίβου µεγαλύτερων όρων, κατακτήθηκε από λιγότερους µαθητές, κυρίως στα σύνθετα µοτίβα. Οι Orton et al. (1999) έχουν διαπιστώσει ότι ένα σηµαντικό εµπόδιο στην επιτυχή γενίκευση είναι η αριθµητική ανικανότητα και η προσκόλληση σε επαναληπτικές µεθόδους. Οι µέθοδοι αυτές εµποδίζουν τους µαθητές να δουν τη γενική δοµή όλων των στοιχείων (Zazkis & Liljedahl, 2002). Όσον αφορά στο τρίτο επίπεδο συλλογισµού στα µοτίβα, µόνο ένας µικρός αριθµός µαθητών ήταν σε θέση να διατυπώσει ένα κανόνα στα σύνθετα µοτίβα. Αντίθετα, όπως διαφάνηκε µέσα από τα ψηλότερα ποσοστά επιτυχίας που είχαν οι µαθητές µετά τη διδακτική παρέµβαση, τα πιο πάνω εµπόδια µειώθηκαν σε µεγάλο, βαθµό γεγονός που υποδεικνύει την καταλληλότητα της παρέµβασης και ότι τα προτεινόµενα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας των µοτίβων µπορούν να αποτελέσουν βάση για σχεδιασµό, οργάνωση και εφαρµογή δραστηριοτήτων µοτίβων, που αποσκοπούν στην επιτυχή εισαγωγή των µαθητών στην τυποποιηµένη άλγεβρα. Σε αυτό συνηγορεί και το γεγονός ότι η παρέµβαση υποβοήθησε σε µεγαλύτερο βαθµό τους µαθητές να λύνουν σύνθετα µοτίβα, να βασίζονται στο πλαίσιο του προβλήµατος για τη διατύπωση ενός κανόνα (π.χ. εικονική αναπαράσταση) και να κάνουν γενίκευση, στοιχεία που σύµφωνα µε πολλούς ερευνητές (Lannin, 2005; Rivera & Becker, 2005; Lee & Freiman, 2006) αποτελούν βασικά στοιχεία στην οργάνωση δραστηριοτήτων µοτίβων που αποσκοπούν στην εισαγωγή των µαθητών στην τυποποιηµένη άλγεβρα. Ένα βασικό ερώτηµα αυτής της έρευνας ήταν επίσης η διερεύνηση του ρόλου των διαφορετικών αναπαραστάσεων σε δραστηριότητες που αφορούσαν απλά και σύνθετα µοτίβα στα τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα. Ανεξάρτητα από τον ενδο-αναπαραστατικό χαρακτήρα της ιεραρχίας των τριών επιπέδων γνωστικής πολυπλοκότητας (καθώς διατηρείται σε κάθε µορφή αναπαράστασης ενός µοτίβου), τα αποτελέσµατα αυτής της έρευνας και πιο συγκεκριµένα οι διαφορές ανάµεσα στις βαθµολογίες των µαθητών σε έργα ίδιου επιπέδου γνωστικής πολυπλοκότητας και ίδιας δοµής υποδεικνύουν την επίδραση των διαφορετικών αναπαραστατικών µορφών στην επίδοση των µαθητών. Στα σύνθετα µοτίβα, η εικονική µορφή αναπαράστασης διευκολύνει τους µαθητές να συµπληρώσουν µεγαλύτερους όρους του µοτίβου ή να εκφράσουν ρητά µια γενίκευση σε σχέση µε τη λεκτική µορφή αναπαράστασης. Η εικονική αναπαράσταση σ αυτές τις δραστηριότητες είναι πιο εύκολη λόγω του ότι πιθανόν να βοηθά τους µαθητές να αναγνωρίσουν κάποιες σχέσεις που δεν είναι ορατές στη λεκτική αναπαράσταση. Τα αποτελέσµατα αυτά βρίσκονται σε συµφωνία µε τα ευρήµατα του Lannin (2005), των Rivera & Becker (2005) και Michael et al. (προς δηµοσίευση), τα οποία εισηγούνται ότι τέτοιες καταστάσεις επιτρέπουν στους µαθητές να συσχετίσουν τον κανόνα µε την οπτική αναπαράσταση. Τα σύνθετα µοτίβα λεκτικής µορφής φαίνεται να δυσκολεύουν περισσότερο όλους τους µαθητές σε όλα τα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας σε σχέση µε τις άλλες µορφές αναπαράστασης. Ένας πιθανός λόγος αυτής της δυσκολίας είναι το γεγονός ότι οι µαθητές έπρεπε να κωδικοποιήσουν τα δεδοµένα του λεκτικού 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 216

Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις µοτίβου σε σύµβολα και στη συνέχεια να συγκρίνουν τους όρους µε τους αριθµούς. Στα µοτίβα απλής δοµής, ο ρόλος της αναπαράστασης φάνηκε να υποχωρεί, ίσως επειδή οι µαθητές ήταν ικανοί να αναγνωρίσουν το ίδιο µοτίβο πίσω από τις διαφορετικές αναπαραστάσεις. Πιστεύουµε ότι θα ήταν ενδιαφέρουσα µια έρευνα που θα προτείνει και θα επικυρώνει εµπειρικά ένα µοντέλο το οποίο να ενσωµατώνει τις λειτουργίες και τις διασυνδέσεις των τριών διαστάσεων της κατανόησης των µοτίβων, οι οποίες έχουν ερευνηθεί στην παρούσα έρευνα π.χ. επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας, πολλαπλές αναπαραστάσεις, δοµή των µοτίβων, µε σκοπό να αναλυθεί η κατανόηση των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα και να καθοριστούν οι παράγοντες που επηρεάζουν την ανάπτυξή της. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bodin, A., Coutourier, R., & Gras, R. (2000). CHIC: Classification Hiérarchique Implicative et Cohésive-Version sous Windows CHIC 1.2. Rennes: Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques. Duval, R. (2002). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 1(2), 1-16. English, L.D. & Warren, E.A. (1998). Introducing the variable through pattern exploration. Mathematics Teacher, 91(2), 166 170. Gagatsis, A., & Elia, I. (2004). The effects of different modes of representations on mathematical problem solving. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proc. 28 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 447-454). Bergen, Norway: PME. Kyriakides, L. & Gagatsis, A. (2003). Assessing Student Problem-Solving Skills. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 10 (4), 609-621. Lannin, J. K. (2005).Generalization and Justification: The challenge of Introducing Algebraic Reasoning Through Patterning Activities, Mathematical Thinking and Learning, 7(3), 231-258. Lee, L. (1996). An initiation into algebraic culture through generalization activities. In N. Bednarz, C. Kieran and Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 87 106. Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. In N. Bednarz, C. Kieran and Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 65 86. Michael, S., Elia, I., Gagatsis, A., Theoklitou, A., & Savva, A. (προς δηµοσίευση). Levels of understanding of patterns in multiple representations. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 217

Λ. Τσούκκας, κ.ά. Mousoulides, N., & Gagatsis, A. (2004). Algebraic and geometric approach in function problem solving. In M. J. Hoines & A. Berit Fuglestad (Eds.), Proc. 28 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 385-392). Bergen, Norway: PME. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards for School Mathematics, NCTM, Reston, VA. Orton, J. & Orton, A. (1996). Making sense of children s patterning. In L. Puig & A. Gutierrez (Eds.), Proc. 20 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 83-90). Valencia, Spain: PME. Orton, A., Orton, J. & Roper, T. (1999). Pictorial and practical contexts and the perception of pattern. In Orton, A. (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics. London: Cassell. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 334-370). New York: Macmillan. Zazkis, R. & Liljedahl, P. (2002). Generalization of patterns: The tension between algebraic thinking and algebraic notation. Educational Studies in Mathematics, 49, 379-402. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Η Βαλεντίνη θέλει να δηµιουργήσει ένα Φιλοτελιστικό Όµιλο. Την πρώτη βδοµάδα ο Όµιλός της είχε µόνο τρία µέλη. εν ανησυχεί όµως για τον αριθµό των µελών, γιατί τα σχέδιά της είναι κάθε νέο µέλος να βρίσκει καινούρια µέλη στο τέλος κάθε βδοµάδας. Έτσι, τη δεύτερη βδοµάδα ο Όµιλός της είχε έξι µέλη, την τρίτη έντεκα µέλη, την τέταρτη δεκαοκτώ α. Συνέχισε το πιο πάνω µοτίβο µε τις τρεις επόµενες βδοµάδες. β. Συµπλήρωσε τον πίνακα. Εβδοµάδα 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 20 η 100 η Μέλη γ. Μπορείς να περιγράψεις ένα κανόνα που θα σου επιτρέπει να βρεις τα µέλη του Οµίλου για οποιαδήποτε βδοµάδα; Γράψε τον και µε σύµβολα. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 218