Κύμα: Μηχανισμός διάδοσης μιας διαταραχής Απομάκρυνση σημείων ενός ταλαντούμενου μέσου από τη θέση ισορροπίας του Μεταβολή πυκνότητας Μηχανικά κύματα μέσο διάδοσης: νερό, χορδή, αέρας Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Δεν υπάρχει μέσο διάδοσης Τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια αλλά όχι ύλη
Μηχανικά Κύματα Τα μηχανικά κύματα απαιτούν: Μια πηγή που προκαλεί τη διέγερση Ένα φυσικό μέσο στο οποίο διαδίδεται η διαταραχή Έναν μηχανισμό μέσα από τον οποίο τα στοιχεία του μέσου επιδρούν το ένα στο άλλο Το κύμα είναι η διάδοση της διαταραχής μέσα στο μέσο.
Κύμα: Μηχανισμός διάδοσης μιας διαταραχής Με βάση τη σχετική διευθυνση κίνησης των σωματιδίων ως προς τη διεύθυνση κίνησης του κύματος, Εγκάρσια Διαμήκη
Εγκάρσιο κύμα Τα μόρια του μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος Ταχύτητα κύματος Διαμήκες κύμα Τα μόρια του μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος Πυκνώματα-αραιώματα Τα ηχητικά κύματα είναι διαμήκη
Ανάλογα με το χρόνο που διαρκεί η προσφορά ενέργειας από την πηγή: Κυματικός παλμός (η ενέργεια προσφέρεται σε σύντομο χρονικό διάστημα) Κυματικός συρμός ( η ενέργεια προσφέρεται συνέχεια στο σύστημα)
Αρμονικό (ή ημιτονοειδές) κύμα Αν η πηγή του κύματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α, συχνότητας f, γωνιακής συχνότητας ω Παράγεται μια συνεχής διαδοχή εγκάρσιων ημιτονοειδών κυμάτων που διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος της χορδής με ταχύτητα υ Κάθε σημείο της χορδής εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος
Δύο στιγμιότυπα ενός κυματικού συρμού Καθώς το κύμα μετατοπίζεται προς τα δεξιά με ταχύτητα v, όλη η καμπύλη (κυματομορφή) μετατοπίζεται κατά Δx σε χρόνο Δt. Το σημείο Α δεν είναι πραγματικό σωμάτιο του μέσου (π.χ της χορδής ) που ταλαντώνεται Κάθε σωμάτιο της χορδής εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον κατάκορυφο άξονα Χρειαζόμαστε μαθηματική περιγραφή (συνάρτηση ή κυματοσυνάρτηση) που να περιγράφει τη θέση (x) οποιουδήποτε σωματίδου του μέσου (π.χ της χορδής) κάθε χρονική στιγμή (t) y f ( x, t) y η απομάκρυνση κάθε σωματίου από τη θέση
Στιμιότυπο ενός εγκάρσιου παλμού τη χρονική στιγμή t0 (προσοχή το P δεν είναι ένα σωμάτιο της χορδής αλλά μια θέση στη μορφή (φάση) του παλμού) Ο παλμός διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ. Η μορφή του παλμού είναι ίδια σε κάθε επόμενη χρονική στιγμή t Συντεταγμένη y: εγκάρσια μετατόπιση ενός σωματίου της χορδής. Εξαρτάται από τη θέση x και το χρόνο t : yf(x,t) η f είναι μια συνάρτηση που περιγράφει τη μορφή του κύματος. Τη χρονική στιγμή t0 y(x,t0) f(x)
Συντεταγμένη y: εγκάρσια μετατόπιση ενός σωματίου της χορδής. yf(x,t) Τη χρονική στιγμή t0 : y(x,t0) f(x) H f είναι μια συνάρτηση που περιγράφει τη μορφή του κύματος. Η μορφή του παλμού παραμένει ίδια Η f πρέπει να περιγράφει τη κυματομορφή και τη χρονική στιγμή t H κυματομορφή τη χρονική στιγμή t έχει μετακινηθεί κατά υt. Άρα και οποιοδήποτε σημείο της P έχει μετατοπιστεί κατά υt. Σε σχέση με την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων Ο y x που κινείται μαζί με τον παλμό, η μορφή του περιγράφεται από μια συνάρτηση f(x ). Το Ο σύστημα απέχει από το Ο κατά x-υt y(x, t) f(x )f(x-υt) Μια συνάρτηση μπορεί να περιγράψει ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ αν όπου x x-υt f(x)x f(x-υt)(x-υt)
Για έναν παλμό ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά y(x, t) f(x υt) Για έναν παλμό ο οποίος διαδίδεται προς τα αριστερά y(x, t) f(x + υt) Η κυματοσυνάρτηση δίνει την τεταγμένη y κάθε στοιχείου που βρίσκεται στο σημείο x σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t. Αν το t είναι σταθερό, η κυματοσυνάρτηση ονομάζεται κυματομορφή. Ορίζει μια καμπύλη που παριστάνει το γεωμετρικό σχήμα του παλμού τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή.
y(x, t) f(x )f(x-υt) Η μορφή του παλμού παραμένει ίδια Η συνιστώσα y P ενός σημείου P στη θέση x τη στιγμή t0 πρέπει να παραμένει ίδια Για κάθε σημείο P της κυματομορφής πρέπει η συνιστώσα του x να αυξάνεται με τέτοιο τρόπο ώστε : x-υt σταθερή dx dt dx dt υ υ 0 Φασική ταχύτητα του κύματος: Περιγράφει τη διάδοση της κυματικής διαταραχής
Την χρονική στιγμή t0 ένας παλμός που διαδίδεται εγκάρσια σε ένα σύρμα περιγράφεται από την συνάρτηση Γράψτε τη συνάρτηση yf(x,t) που περιγράφει τον παλμό αν αυτός διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα u-4.50m/s
Για δεδομένη χρονική στιγμή (στιγμιότυπο) y(x) t Για δεδομένη θέση x y(t) Η κυματοσυνάρτηση (εδώ ημιτονοειδές κύμα) για κάθε χρονική στιγμή t (tσταθερό) περιγράφει ένα στιγμιότυπο του κύματος (φωτογραφία) Για ένα συγκεκριμένο σωμάτιο του μέσου (πχ της χορδής) με θέση ισορροπίας x (xσταθερό), περιγράφει την απομάκρυνσή του ( y) από τη θέση ισορροπίας συναρτήσει του χρόνου καθώς διεγείρεται από τη διαταραχή και ταλαντώεται
Για δεδομένη χρονική στιγμή (π.χ t0) η μορφή της χορδής είναι: Μήκος κύματος λ : το μήκος ενός πλήρους κυματικού σχήματος Η κυματομορφή διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα υ Διανύει απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος σε χρονικό διάστημα μίας περιόδου Τ
Κάθε σωμάτιο ενός ημιτοειδούς κύματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ: Στη διάρκεια του χρόνου Τ, το κύμα διανύει απόσταση ίση με το μήκος κύματος λ λ υ Τ
Η περίοδος, Τ, είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται ώστε δύο αντίστοιχα σημεία διαδοχικών κυμάνσεων να περάσουν από το ίδιο σημείο. Η περίοδος του κύματος είναι ίδια με την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης ενός στοιχείου του μέσου. Η συχνότητα ƒ είναι ο αριθμός των κορυφών (ή οποιουδήποτε άλλου σημείου που ανήκει στο κύμα) που διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο στη μονάδα του χρόνου. Η συχνότητα του κύματος είναι ίδια με τη συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης ενός στοιχείου του μέσου. f 1 T
Για ένα σημείο της χορδής με δεδομένη θέση ισορροπίας x (εδώ x0) Απλάτος σχετίζεται με την ενέργεια του κύματος Τ Περίοδος είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται ώστε δύο αντίστοιχα σημεία διαδοχικών κυμάνσεων να περάσουν από το ίδιο σημείο Η περίοδος του κύματος είναι ίδια με την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης ενός σωματιδίου του μέσου (της χορδής).
Για δεδομένη χρονική στιγμή: Για δεδομένη θέση x0 Ταχύτητα διάδοσης: u λ T u λf
Μαθηματική περιγραφή ημιτονοειδούς κύματος Έστω ο αρμονικός κυματοσυρμός που ταξιδεύει προς τα δεξια με ταχύτητα u η συνιστώσα ενός σημείου π.χ O στη θέση x0: Φάση της ταλάντωσης y( x 0, t) A sinωt A sin π f Σημείο M που βρίσκεται σε απόσταση x (ut) t Μ x x θα αρχίσει να εκτελεί ταλάντωση την χρονική στιγμή t x/u η μετατόπισή y του σημείου Μ στη θέση x είναι ίση με την μετατόπιση του σημείου O (x0 )την χρονική στιγμή t-x/u y( x, t) x A sinω t u y( x, t) π x A sin t T u
oς τρόπος
η τρόπος Ημιτονοειδές κύμα Τη χρονική στιγμή t0 y(x, 0) A sin ax Απλάτος a πρέπει να προσδιοριστεί y0 : xλ/ Αν το κύμα κινείται προς τα δεξιά σε χρόνο t :
Μαθηματική περιγραφή κύματος- συνέχεια T f 1 f u λ Εξίσωση αρμονικού κύματος λ sin ), ( x T t A t x y π Φάση του κύματος x x u x t A t x y ω sin ), ( u x t T A t x y π sin ), ( Τ λ u
Μαθηματική περιγραφή κύματος y( x, t) A sin ω ( t kx) Εύρεση εγκάρσιας ταχύτητας και εγκάρσιας επιτάχυνσης σε δεδομένη θέση x Παραγώγιση μιας συνάρτησης με δύο μεταβλητές μερικές παραγώγους dy( x, t) dt x σταθερό y( x, t) t d y( x, t) dt x σταθερό y( x, t) t
Μαθηματική περιγραφή κύματος y( x, t) A sin ω ( t kx) Εγκάρσια ταχύτητα σωματίου σε κάποιο x (δηλαδή xσταθερό) Εγκάρσια επιτάχυνση σωματίου u y y ( x, t) ω A cos ω t ( t kx) a y u y y ( x, t) ( x, t) ω A sin ω t t ( t kx) Σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή (δηλαδή tσταθερό) η μορφή της χορδής: y x ( x, t) k A cos ( ωt kx) x y ( x, t) k Asin ( ωt kx)
Μαθηματική περιγραφή κύματος ( ) kx t A t x t t x t u a y y y ω ω sin ), ( ), ( ( ) kx t A k t x x y ω sin ), ( ( ) ( ) sin sin u k kx t A k kx t A x y t y ω ω ω ω 1 t y u x y Κυματική εξίσωση. Η διαταραχή που περιγράφεται από αυτήν την εξίσωση διαδίδεται ως κύμα ταχύτητας u κατά μήκος του x Διαίρεση: ( ) kx t A t x y ω sin ), ( ω uk
Γραμμική εξίσωση κύματος x y u 1 t y Η σχέση αυτή ισχύει γενικά για διάφορους τύπους κυμάτων. Για ένα νήμα, το y είναι η κατακόρυφη μετατόπιση των στοιχείων του. Για ένα ηχητικό κύμα που διαδίδεται σε ένα αέριο, το y είναι η διαμήκης μετατόπιση των στοιχείων του αερίου από τη θέση ισορροπίας τους. Για ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, το y είναι μια συνιστώσα του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου.
Σύνοψη Κάθε στοιχείο του νήματος ταλαντώνεται κατακόρυφα εκτελώντας απλή αρμονική κίνηση με συχνότητα ίση με εκείνη της ταλάντωσης της πηγής του κύματος. y( x, t) A sin ω ( t kx) Tαυτόχρονα, το κύμα διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x με ταχύτητα μέτρου υ x y u 1 t y H ταχύτητα υ του κύματος είναι διαφορετική από την εγκάρσια ταχύτητα υ y ενός σημείου του μέσου (νήματος, κλπ). Σε ένα ομογενές μέσο, η ταχύτητα του κύματος υ είναι σταθερή, ενώ η εγκάρσια ταχύτητα υ y μεταβάλλεται ημιτονοειδώς.
Εφαρμογή: Η εξίσωση εγκάρσιου κύματος που διαδίδεται σε χορδή δίδεται από τη σχέση: y( x, t) (,0mm) sin (0 [ ] 1 1 mm ) x (600s ) t Βρείτε το πλάτος, τη συχνότητα, την ταχύτητα του κύματος και το μήκος κύματος Ποιά η μέγιστη εγκάρσια ταχύτητα; y( x, t) A sin ω ( t kx) Α,0mm k0mm -1 Μήκος κύματος: λ π k π 0mm 1 0,314mm Ταχύτητα: 1 ω 600s u 30mm / k 1 0mm s Μέγιστη ταχύτητα -1 max u Aω,0mm 600s 1,m / s
Βρείτε το μήκος κύματος, το πλάτος, την ταχύτητα διάδοσης του κύματος, την συχνότητα Από την κορυφή της διακεκομένης γραμμής (t0s ) εως την κορυφή της συμπαγούς γραμμής (t3s) Από την κορυφή π.χ της διακεκομένης γραμμής (t0s ) εως την επόμενη κορυφή της διακεκομένης γραμμής (t0s)
Ημιτονοειδές ηχητικό κύμα περιγράφεται από την κυματική εξίσωση: Βρείτε α) Το πλάτος, το μήκος κύματος και την ταχύτητα του κύματος b) τις στιγμιαίες μετατοπίσεις από την ισορροπία των στοιχείων του αέρα στη θέση x0.050m την χρονική στιγμή t3ms c) προσδιορίστε την μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωση ενός στοιχείου του αέρα
Ένα εγκάρσιο κύμα που διαδίδεται σε μια χορδή περιγράφεται από την συνάρτηση Βρείτε την εγκάρσια ταχύτητα και επιτάχυνση ενός σημείου της χορδής που βρίσεκται στη θέση 1.60m την χρονική στιγμή t0.00s Ποιο είναι το μήκος κύματος, η περίοδος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος?
Η κυματική εξίσωση ενός κύματος που διαδίδεται σε μια χορδή (κατά μήκος του άξονα x) είναι (στο SI) α) Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος? β) ποια είναι η κατακόρυφη θέση ενός στοιχείου της χορδής για t0s,x0.1m? γ) Ποιο είναι το μήκος κύματος και η συχνότητα του κύματος? δ) Ποια είναι η μέγιστη εγκάρσια ταχύτητα της χορδής? x y u 1 t y u y t y x
Ταχύτητα διάδοσης σε στερεά ράβδο : u Y ρ Υ μέτρο Υoung ρ πυκνότητα
Ταχύτητα διάδοσης κύματος σε χορδή: Ένα αρμονικό εγκάρσιο κύμα διαδίδεται σε ομογενή χορδή με ταχύτητα: u F µ Fτάση στη χορδή μγραμμική πυκνότητα της χορδής Η ταχύτητα του κύματος που διαδίδεται σε μια χορδή εξαρτάται από : τα φυσικά χαρακτηριστικά του νήματος (γραμμική πυκνότητα) την τάση που ασκείται στο νήμα
Πόσο χρόνο χρειάζεται ένα εγκάρσιο κύμα για να διανύσει το μήκος L του σχοινιού? (Η μάζα του σχοινιού είναι πολύ μικρότερη της μάζας του σώματος
Παράδειγμα: Ενα συνεχές ημιτονοειδές κύμα διαδίδεται σε σχοινί με ταχύτητα 40cm/s H μετατόπιση των σημείων του σκοινιού στο σημείο x10 cm μεταβάλλεται με το χρόνο ως εξής: y(5cm)sin(4s -1 t-1) H γραμμική πυκνότητα του σκοινιού είναι: 4g/cm Ποιά η συχνότητα και το μήκος κύματος του κύματος; Πόση είναι η τάση στο σκοινί; y( x, t) A sin ω ( t kx) ω 4s 1 kx 1 x10cm f ω 64Hz π 0, k 0,1cm 1 π λ 6,8 cm k τάση στο σκοινί u F µ F µ u 0, 064N
Ταχύτητα διάδοσης ηχητικών κυμάτων σε αέριο: Πηγή: έμβολο που εκτελεί απλή αρμονική κίνηση Διαμήκες ημιτονικό κύμα Ταχύτητα διάδοσης v B ρ όπου B είναι το μέτρο ελαστικότητας όγκου του υλικού (π.χ αέριο) ρ είναι η πυκνότητα του υλικού.
Ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα Η ταχύτητα του ήχου εξαρτάται επίσης από τη θερμοκρασία του μέσου. Για τον αέρα, η σχέση που συνδέει την ταχύτητα με τη θερμοκρασία είναι v TC (331 m/s) 1+ 73 όπου 331 m/s είναι η ταχύτητα του ήχου στους 0 o C. T C είναι η θερμοκρασία του αέρα σε βαθμούς Κελσίου.
Μερικά για τον ήχο..
Διάδοση ηχητικών κυμάτων σε αέριο: Η θέση κάθε στοιχειώδους τμήματος σχετικά με τη θέση ισορροπίας του: Η μεταβολή της πίεσης κάθε στοιχειώδους τμήματος σχετικά με την πίεση στη θέση ισορροπίας του: όπου ΔPmax η μέγιστη μεταβολή της πίεσης από την τιμή ισορροπίας : Ένα ηχητικό κύμα μπορεί να θεωρηθεί είτε ως κύμα μετατόπισης είτε ως κύμα πίεσης. Το κύμα της πίεσης και το κύμα της μετατόπισης έχουν διαφορά φάσης 90 o. Η πίεση είναι μέγιστη όταν η μετατόπιση είναι μηδενική, κ.λπ
Ενα ηχητικό κύμα κατά τη διάδοσή του στον αέρα παράγει μεταβολές πίεσης που δίδονται από την σχέσης: Βρείτε α) το πλάτος των μεταβολών της πίεσης, β) τη συχνότητα, c) το μήκος κύματος στον αέρα και d) την ταχύτητα διάδοσης
Μηχανική ενέργεια περιοδικών κυμάτων (π.χ ηχητικών περιοδικών κυμάτων) Καθώς τα κύματα διαδίδονται σε ένα μέσο, (π.χ σε ένα νήμα ) μεταφέρουν ενέργεια Κάθε στοιχείο έχει την ίδια συνολική ενέργεια Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κάθε στοιχείο έχει μάζα dm. Η κινητική ενέργεια που έχει ένα στοιχείο : dk ½(dm)v Για t0
Μηχανική ενέργεια περιοδικών κυμάτων (π.χ ηχητικών περιοδικών κυμάτων) H oλική μηχανική ενέργεια για ένα μήκος κύματος:
Ισχύς και Ένταση ηχητικών κυμάτων Ενταση ( Ι ) : Ροή ενέργειας στη μονάδα του χρόνου ανά μονάδα επιφάνειας Ή: Ισχύς (P) ανά μονάδα επιφάνειας (S) Για ηχητικά κύματα I P Α Η ένταση Ι ενός ηχητικού κύματος κύματος είναι ανάλογη : της ταχύτητας διάδοσής του του τετραγώνου της κυκλικής του συχνότητας του τετραγώνου του πλάτους του (μέγιστη μετατόπιση)
Ο παλμός που διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής γραμμικής πυκνότητας μ περιγράφεται από την κυματική εξίσωση: Η ποσότητα μέσα στην αγκύλη είναι το πλάτος. Υπολογίστε το λόγο P(x)/P(0), όπου P(0) είναι η ισχύς στο σημείο x0 και P(x) η ισχύς που μεταφέρεται από αυτό το κύμα σε τυχαίο σημείο x
Κύματα στο χώρο Σφαιρικά κύματα Σημειακή ηχητική πηγή ισχύος P Αρχή διατήρηση της ενέργειας Η ισχύς σε κάθε μέτωπο κύματος ισούται με την ισχύ που εκπέμπει η πηγή Η ένταση σφαιρικού κύματος σε απόσταση r από την πηγή : I P 4 π r r 1 Η ένταση σφαιρικού κύματος ελαττώνεται αντιστρόφως ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης από την πηγή I(r I(r r r 1 ) ) r r 1
Η ένταση ενός ηχητικού κύματος σε σταθερή απόσταση από πηγή που πάλλεται στα 1 kηz είναι 0.6 W/m. Υπολογίστε την ένταση εάν η συχνότητα αυξηθεί στα.5 khz ενώ το πλάτος της μετατόπισης παραμένει σταθερό Ισχύει: Ι Ι 1 f1 f I I1 0.6 (.5) khz f f 1
Αδιάστατη ποσότητα. Χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της έντασης του ήχου (ηχοστάθμη) Λογαριθμική κλίμακα έντασης: B 10 log I I 0 ( db) Ι ο ένταση αναφοράς Κατώφλι ανθρώπινης ακοής στα 1kHz I 1 0 W / 10 m
Στάθμη έντασης ηχητικού κύματος Εφαρμογή π.χ στάθμη ήχου 10 db B 10 log I I 0 ( db) 10 10 log I I 0 log I I 0 1 I I 0 0 1 11 10 I 10 I 10 10 W / m 10 W / m στάθμη ήχου 0 db I I 0 10 log 10 I 10 I0 I0 I0
Μερικά για τον ήχο..
Εφαρμογή: Κατά πόσα db ελαττώνεται η ένταση όταν διπλασιάζεται η απόσταση από σημειακή πηγή; β ( 10dB) log I I 0 I β1 ( 10dB) log I I β ( 10dB) log I 1 0 0 β β 1 ( 10dB) ( 10dB)( log I log I ) ( log I log I ) ( ) 10dB log I 1 I I log I 0 0 I log I 1 0 1 0 β r 1 β1 r 1 4 ( 10dB) 1 log ( 10dB) log 6dB I I 1 1 r r
Η ένταση σε απόσταση r είναι:
Πυροτέχημα σκάει σε ένα σημείο αρκετά μέτρα πάνω από το έδαφος. Σε απόσταση 400m από το σημείο της έκρηξης η ηχητική πίεσης φτάνει στη μέγιστη τιμή της 10 N/m. Υποθέτουμε ότι η ταχύτητα του ήχου είναι σταθερή 343m/s και ότι ο αέρας απορροφά τηνενέργεια του παραγόμενου ήχου με ρυθμό 7dB/Km. Πόση είναι η στάθμη του ήχου σε db σε απόσταση 4Km από την έκρηξη? I P 4 π r r 1 Η διαφορά της στάθμης του ήχου μεταξύ των δύο αποστάσεων είναι: Στα 0.4 Km Στα 4 Km Λόγω της απορρόφησης από τον αέρα:
η περιγραφή Spares
η περιγραφή Ημιτονοειδές κύμα Τη χρονική στιγμή t0 y(x, 0) A sin ax Απλάτος a πρέπει να προσδιοριστεί y0 : xλ/ Αν το κύμα κινείται προς τα δεξιά σε χρόνο t :
Κυματικός αριθμός k π λ u λf k π λ ω πf f u λ ω ku
Άλλες μορφές της κυματοσυνάρτησης y( x, t) x A sinω t u y( x, t) π x A sin t T u
Κάθε στοιχείο του νήματος ταλαντώνεται κατακόρυφα εκτελώντας απλή αρμονική κίνηση με συχνότητα ίση με εκείνη της ταλάντωσης του ελάσματος. Tαυτόχρονα, το κύμα διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x με ταχύτητα μέτρου v Τη χρονική στιγμή t 0 y A sin(kx ωt) H ταχύτητα v του κύματος είναι διαφορετική από την εγκάρσια ταχύτητα v y ενός σημείου του νήματος. Σε ένα ομογενές μέσο, η ταχύτητα v είναι σταθερή, ενώ η εγκάρσια ταχύτητα v y μεταβάλλεται ημιτονοειδώς. μέγιστες τιμές της εγκάρσιας ταχύτητας και της εγκάρσιας επιτάχυνσης
ω uk ( ) ( ) sin sin u k t kx A k t kx A x y t y ω ω ω ω 1 t y u x y ( ) t kx A k t x x y ω sin ), ( ( ) t kx A k t x x y ω cos ), ( Γραμμική εξίσωση κύματος
Μαθηματική περιγραφή κύματος y( x, t) Άλλη γραφή. Αντικαθιστώ το Τ A sin π Κυματικός αριθμός u λf t T k x λ T π λ ω πf f u λ λ u y( x, t) π y( x, t) A sin ( ut x) λ y( x, t) y( x, t) ut x A sin π λ λ A sin ω ku A sin ω ( kut kx) ( t kx)