Τα Μαθηματικά, ένα παιχνίδι. Τζεκάκη, Μ. & Χριστοδούλου, Ι. Στo Π. Χατζηκαμάρη & Μ. Κοκκίδου (επιμ.), Το παιχνίδι στην εκπαιδευτική διαδικασία, Πρακτικά Διημερίδας, 109-118. Θεσσαλονίκη: University Press, 2004 Tις τελευταίες δεκαετίες διάφοροι παράγοντες (κοινωνικοί, οικονομικοί, πολιτισμικοί αλλά και ατομικοί) έφεραν τα μαθηματικά στην πρώτη γραμμή των αναγκών και των γνώσεων που η κοινωνία οφείλει να καλύψει στον κάθε άνθρωπο (Τζεκάκη, 1993, σελ. 15). Η μαθηματική γνώση που ανέπτυξε ο άνθρωπος στην πάροδο των χρόνων, εσωτερικευμένη μέσα στον πολιτισμό που μας περιβάλλει, εμφανίζεται μέσα σε καταστάσεις και προβλήματα της καθημερινής ζωής, τα οποία απαιτούν τη χρήση των μαθηματικών για να αντιμετωπιστούν. Το γεγονός αυτό αιτιολογεί το ιδιαίτερο ενδιαφέρον για μαθηματική γνώση σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης ακόμη και της προσχολικής. Τα μαθηματικά στην προσχολική εκπαίδευση προσεγγίζονται ως ένα εργαλείο που θα βοηθήσει τα παιδιά να γνωρίσουν τον κόσμο που τα περιβάλλει και να προσαρμοστούν σ αυτόν. Ευνοούν τη γενικότερη ανάπτυξη εννοιών, ενδυναμώνουν τις γνώσεις που ήδη έχουν αποκτήσει τα παιδιά, εξισώνουν τις ευκαιρίες τους για επιτυχία ενώ συγχρόνως αποτελούν ένα πρώτο βασικό πλαίσιο στο οποίο θα στηριχθεί η εξέλιξη των μαθηματικών εννοιών (Τζεκάκη 1996, σ.14). Οι περισσότεροι ερευνητές στο χώρο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης συμφωνούν ότι η εκπαίδευση αυτή είναι μία προοδευτική διαδικασία που αρχίζει από τα προσχολικά και τα πρώτα σχολικά χρόνια καθώς «τη στιγμή που το παιδί για πρώτη φορά οικειοποιείται μια καινούργια για αυτό σημασία ή ορολογία, που είναι φορέας μιας επιστημονικής έννοιας ο σχηματισμός της δεν έχει ολοκληρωθεί αλλά μόλις αρχίζει» (Vygotsky 1934). Για το λόγο αυτό θεωρούν απαραίτητη την εμπλοκή των παιδιών σε κατάλληλες μαθηματικές δραστηριότητες οι οποίες ευνοούν την ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών σε ένα πρώτο στάδιο αναγκαίο για την ανάπτυξή τους σε ένα επόμενο. Τι είναι όμως μια μαθηματική δραστηριότητα;
Σε μια προσπάθεια αποσαφήνισης αυτού του ερωτήματος προκύπτουν δύο διαφορετικά ερωτήματα τα οποία πρέπει να απαντηθούν. Τα ερωτήματα αυτά είναι: α) πότε μία δραστηριότητα είναι μαθηματική και β) πότε μια κατάσταση που προτείνουμε στα παιδιά είναι δραστηριότητα. α) Πότε μια δραστηριότητα είναι μαθηματική; Μία δραστηριότητα είναι μαθηματική όταν συνδέεται με μια μαθηματική έννοια. Αν και η απάντηση στο ερώτημα αυτό φαίνεται απλή, πολύ συχνά οι εκπαιδευτικοί δυσκολεύονται να διακρίνουν μια μαθηματική δραστηριότητα-μια δραστηριότητα που αναπτύσσει μαθηματική γνώση- από δραστηριότητες που εμπλέκουν μαθηματικά ή από μαθηματικές διαδικασίες που δεν αναδεικνύουν ή δεν επιτρέπουν την κατανόηση της σημασίας τους. Μια δραστηριότητα, για παράδειγμα, όπου ο νηπιαγωγός ζητά από τα παιδιά να τοποθετήσουν αντικείμενα πάνω ή κάτω από το τραπέζι, χωρίς οι έννοιες αυτές να εντάσσονται και να γενικεύονται σε ένα ευρύτερο πλαίσιο, δεν είναι μαθηματική δραστηριότητα. Τα παιδιά για την αντιμετώπιση της κατάστασης που τους προτείνεται χρησιμοποιούν καθημερινές έννοιες οι οποίες δεν γενικεύονται και δεν εντάσσονται σε ένα μαθηματικό άξονα ανάπτυξης. Αντίθετα, μαθηματικές δραστηριότητες όπως είναι το παιχνίδι στο πλακόστρωτο, όπου τα παιδιά αναζητούν το ζευγάρι που θα συναντηθεί στο τετράγωνο στο οποίο βρίσκεται ο θησαυρός είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες για την ανάπτυξη της μαθηματικής έννοιας του συστήματος των συντεταγμένων. Η σύνδεση αυτή όμως θα επιτευχθεί όταν η συγκεκριμένη έννοια θα ακολουθήσει μια διαδικασία γενίκευσης από τα παιχνίδια στο πλακόστρωτο, στα παιχνίδια με πιόνια και από αυτά σε σχεδιαστικά παιχνίδια ή και σε αντίστροφα σχεδιαστικά. Η εμπλοκή μαθηματικών εννοιών σε δραστηριότητες δεν αναπτύσσει μαθηματική γνώση στα παιδιά, έστω και σε ένα πρώτο στάδιο, όταν: α) οι έννοιες αυτές δεν συνδέονται με τη μελλοντική τους εξέλιξη, η οποία αν και δεν αναφέρεται πρέπει να βρίσκεται κάτω από τον έλεγχο του εκπαιδευτικού και β) όταν οι έννοιες αυτές δεν επεκτείνονται σε μια ποικιλία καταστάσεων μέσα στις οποίες λειτουργούν και από τις οποίες παίρνουν το νόημά τους. Η χρήση μιας ή δύο δραστηριοτήτων για την ανάπτυξη μιας μαθηματικής έννοιας δημιουργεί περιορισμένη ή εσφαλμένη
αντίληψη στα παιδιά για την έννοια αυτή, γεγονός που μπορεί να αποτελέσει εμπόδιο για την μελλοντική της ανάπτυξη. Όσον αφορά τον τρόπο παρουσίασης των μαθηματικών εννοιών στην προσχολική ηλικία, αυτός θα πρέπει να αντιστοιχεί στον τύπο σκέψης του παιδιού αυτής της ηλικίας. Απαιτούνται δηλαδή μορφές προσέγγισης που να στηρίζονται στις προϋπάρχουσες γνώσεις του παιδιού και να επιτρέπουν τη διεύρυνσή τους. Με βάση αυτή την λογική προτείνονται δραστηριότητες που ξεκινούν από τα βιώματα και τις άμεσες εμπειρίες των παιδιών (βιωματικές δραστηριότητες), συνεχίζουν με τη μεταφορά αυτών των βιωμάτων και της δράσης στα αντικείμενα με τα μέλη του σώματος, τα χέρια, τα δάκτυλα (εμπράγματες δραστηριότητες) για να καταλήξουν τέλος στη μεταφορά της δράσης σε εικόνες, σχήματα, σύμβολα, σε πραγματικές ή νοερές αναπαραστάσεις (αναπαραστατικές δραστηριότητες) (Tζεκάκη 1996, σ. 22). β) Tί είναι δραστηριότητα; Δραστηριότητα είναι μια κατάσταση κατά την οποία το άτομο καλείται να δράσει, να αποφασίσει, να επιλέξει, να κατασκευάσει, κλπ. Για τη δράση αυτή κινητοποιεί την προηγούμενη γνώση του και όταν αυτή δεν είναι επαρκής την επανεξετάζει, την επανοργανώνει ή την διευρύνει (Nesher & Kilpatrick, 1990, Cobb et al., 1996). Η μάθηση μαθηματικών εννοιών απαιτεί την εμπλοκή και δράση του παιδιού σε ένα περιβάλλον μαθηματικής εμπειρίας. Το περιβάλλον αυτό είναι ένα σύνολο υλικών και νοητικών προϋποθέσεων, ειδικά σχεδιασμένων για κάθε έννοια, που δημιουργούν τις απαραίτητες συνθήκες για την προσέγγιση των εννοιών που επιδιώκουμε. Δρώντας το παιδί μέσα σε αυτό το περιβάλλον έχει την ευκαιρία να έρθει σε επαφή με δραστηριότητες που αφορούν μαθηματικές γνώσεις, διαδικασίες και ικανότητες(cobb et al., 1996, Aubrey, 1997), να αναπτύξει έννοιες για τις οποίες είναι έτοιμο και ακόμη να προετοιμαστεί για έννοιες που θα αναπτύξει στο μέλλον. Μια δραστηριότητα που στοχεύει στην ανάπτυξη μιας νέας γνώσης είναι απαραίτητο να οδηγεί το παιδί σε μία κατάσταση προβληματισμού. Το στοιχείο του προβληματισμού εξασφαλίζεται τόσο με το θέμα που διαπραγματεύεται και το οποίο ανταποκρίνεται στο επίπεδο και στον τρόπο σκέψης του παιδιού όσο και με το
πλαίσιο στο οποίο είναι οργανωμένη η δραστηριότητα (θέμα, σενάριο και υλικό) ώστε να ενθαρρύνεται η εμπλοκή του. Για την εμπλοκή του παιδιού στην κατάσταση που προτείνεται απαιτείται επίσης η ύπαρξη κινήτρου και ενδιαφέροντος. Τα παιδιά μαθαίνουν καλύτερα όταν έχουν κάποιο κίνητρο ή ενδιαφέρονται για κάτι. Aυτό με τη σειρά του κάνει τη μάθηση μια σκόπιμη και ευχάριστη εμπειρία. Οι δραστηριότητες-παιχνίδια εμπεριέχουν στοιχεία χαράς τα οποία συχνά είναι αρκετά στο να ενθαρρύνουν τα παιδιά να συγκεντρωθούν και να επιμείνουν σε μια δραστηριότητα τόσο ώστε να κατακτήσουν την επιδιωκόμενη γνώση (Griffiths 1994 in Edwards 1998, p. 2). Ακόμη και όταν τα μαθηματικά αρχίζουν να δυσκολεύουν, το κίνητρο και το ενδιαφέρον των παιδιών μπορούν να διατηρηθούν με την παρουσίαση των μαθηματικών σε αλληλεπιδραστικά παιγνιώδη πλαίσια τα οποία υποστηρίζουν και εμπνέουν τη μάθηση, κάτι που είναι πολύ δύσκολο να επιτευχθεί με τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας (Edwards, 1998, p.2). Η ώρα του μαθηματικού παιχνιδιού προσφέρει στα παιδιά πολύτιμες ευκαιρίες να εξασκήσουν τις δεξιότητές τους και να αποκτήσουν βαθιά γνώση των μαθηματικών ιδεών σε συνθήκες χωρίς πίεση. Μπορούν να μάθουν από και μαζί με τα άλλα παιδιά. Εξαιτίας της σχέσης που έχει το παιχνίδι με το παιδί και των κινήτρων που προσφέρει είναι απαραίτητο να επικρατήσει στον τρόπο που οι εκπαιδευτικοί παρουσιάζουν τις δραστηριότητες μάθησης (Moyles 1989 in Edwards 1998, p.6). Όταν το παιχνίδι περιλαμβάνεται και αξιολογείται στο πρόγραμμα η διαχείριση της μάθησης στην τάξη είναι πιο αποτελεσματική καθώς οι εκπαιδευτικοί ξοδεύουν λιγότερο χρόνο προσπαθώντας να κινητοποιήσουν τα παιδιά να μάθουν (Guha in Blenkin & Kelly, 1996, p.72). Αν και όσα προαναφέρθηκαν είναι σημαντικά στοιχεία μιας δραστηριότητας θα πρέπει να τονιστεί ιδιαίτερα η σημασία της λεκτικής διατύπωσης και των διαδικασιών ελέγχου που πρέπει αυτή να περιέχει. Η δημιουργία μιας έννοιας δεν ολοκληρώνεται χωρίς τη διατύπωσή της με λόγια. Για το λόγο αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό στο πλαίσιο μιας δραστηριότητας
το παιδί να έχει την ευκαιρία να διατυπώσει με λόγια τη δράση του, την απόφαση ή την κατασκευή του. Οι ερωτήσεις του εκπαιδευτικού για τη δράση του παιδιού, η συζήτηση στο τέλος της δραστηριότητας, οι ειδικά σχεδιασμένες δραστηριότητες διατύπωσης βοηθούν τα παιδιά να αποκτήσουν συνείδηση της δράσης τους, ενθαρρύνουν τη λεκτική έκφρασή τους και στηρίζουν τη σκέψη τους. Η μάθηση του ατόμου περνάει μέσα από τη λειτουργία των διαδικασιών ελέγχου. Η ύπαρξη διαδικασιών ελέγχου σε μια προτεινόμενη δραστηριότητα επιτρέπει στο παιδί να ελέγξει τη δράση του και το αποτέλεσμά της, να αντιληφθεί την ανεπάρκεια της προηγούμενης γνώσης του και να οδηγηθεί στην αναδόμησή της, στη διεύρυνσή της, στο μετασχηματισμό της Σε κάποιες δραστηριότητες το αποτέλεσμα της δράσης είναι άμεσα αντιληπτό (π.χ. στο παιχνίδι στο πλακόστρωτο τα παιδιά διασταυρώνονται σε τετράγωνο όπου δεν υπάρχει θησαυρός). Σε άλλες όμως δραστηριότητες πρέπει να προβλεφθεί με κάποιο τρόπο, όπως για παράδειγμα με πρότυπο προς σύγκριση, χρωματική αντιστοιχία, ή με εσωτερικό έλεγχο από την υπόλοιπη ομάδα παιδιών που ασχολείται με το ίδιο ζήτημα. Συνοψίζοντας μπορούμε να ισχυρισθούμε ότι μια μαθηματική δραστηριότητα είναι κατάλληλη όταν είναι παιχνίδι, κατασκευή, γενικά μια άγνωστη κατάσταση η οποία δραστηριοποιεί και: -Γεννά μια ιδέα στα παιδιά -Η ιδέα αυτή συνδέεται με τα μαθηματικά -Είναι πρόβλημα, δηλαδή μια κατάσταση της οποίας τα παιδιά δεν γνωρίζουν την αντιμετώπιση -Είναι με τέτοιο τρόπο οργανωμένη ώστε τα παιδιά να εμπλακούν στη «λύση» της. -Είναι επίσης με τέτοιο τρόπο οργανωμένη ώστε τα παιδιά να μπορούν να τη διαχειρισθούν χωρίς την παρέμβαση του εκπαιδευτικού. -Έχουν προβλεφθεί τρόποι ώστε τα παιδιά να διαπιστώσουν τα σωστά ή τα λάθη τους
-Και τέλος συνδυάζεται με άλλες δραστηριότητες ώστε να οδηγεί σε κάποιο γενικότερο συμπέρασμα. Ο εκπαιδευτικός είναι απαραίτητο να γνωρίζει τις μαθηματικές έννοιες με τις οποίες ασχολείται, να σχεδιάζει κατάλληλες δραστηριότητες που αναδεικνύουν αυτές τις έννοιες και να τις πλαισιώνει με κατάλληλο παιδαγωγικό υλικό (σενάρια, υλικά, μορφές αναπαράστασης) έτσι ώστε να κινεί το ενδιαφέρον των παιδιών και να επιτυγχάνει τη δραστηριοποίησή τους. Μετά την προετοιμασία του κατάλληλου για μάθηση περιβάλλοντος ο ρόλος του περιορίζεται στην ενθάρρυνση της δραστηριοποίησης των μαθητών και στην επανατοποθέτηση του προβλήματος, αν είναι αναγκαίο, χωρίς να βοηθά ή να δίνει λύσεις. Στη συνέχεια παρατίθενται κάποια παραδείγματα μαθηματικών δραστηριοτήτων που αφορούν την έννοια της συμμετρίας. Η συμμετρία είναι μια σημαντική γεωμετρική έννοια η οποία οργανώνει τις μορφές στο περιβάλλον. Εκτός από το σωματικό σχήμα και διάφορα φυσικά αντικείμενα (φύλλα, φρούτα, κλπ) που είναι συμμετρικά ένα μεγάλο μέρος του χτισμένου χώρου, όπως επίσης και από σχήματα, εικόνες, συνθέσεις είναι επίσης συμμετρικά. Εισάγουμε το παιδί στην έννοια της συμμετρίας ενθαρρύνοντάς το να παρατηρήσει διάφορα αντικείμενα που είναι κατασκευασμένα με βάση τη συμμετρία (κεντήματα, κεραμικά, κοσμήματα κλπ). Πραγματικές πράξεις όπως είναι το καθρέπτισμα ή το δίπλωμα εξοικειώνουν τα παιδιά με τις συμμετρικές μορφές (Τζεκάκη, 1996, σελ. 91). Παραδείγματα μαθηματικών δραστηριοτήτων O διαγωνισμός Στόχος αυτής της δραστηριότητας είναι η αναγνώριση της συμμετρίας με δίπλωση. Τα υλικά είναι: μία κούκλα κουκλοθεάτρου ο «Συμμετρικούλης», συμμετρικά και μη συμμετρικά σχέδια φωτοτυπημένα σε διαφανές χαρτί. Περιγραφή:
Τα παιδιά καθισμένα στον κύκλο ακούν την ιστορία του Συμμετρικούλη ο οποίος ήρθε από τη χώρα της Συμμετρίας ψάχνοντας για βοηθούς. Οι βοηθοί αυτοί πρέπει να μπορούν να ελέγχουν διάφορα σχέδια και να διαπιστώνουν αν είναι συμμετρικά ή όχι. Τα παιδιά χωρίζονται σε τρεις ομάδες. Κάθε παιδί κληρώνει και ένα σχέδιο το οποίο πρέπει να ελέγξει αν είναι συμμετρικό. Ο έλεγχος γίνεται από το κάθε παιδί με δίπλωση. Αφού τελειώσουν όλες οι ομάδες, τα παιδιά κάθε ομάδας δείχνουν τα σχέδιά τους στις άλλες και αιτιολογούν τις απαντήσεις τους. Kερδίζει η ομάδα με τα λιγότερα λάθη. Ο χορός των συμμετρικών σχημάτων Στόχος αυτής της δραστηριότητας είναι η εύρεση των συμμετρικών των σχημάτων. Τα υλικά είναι καρτέλες (από διαφανές χαρτί) με συμμετρικά σχήματα που έχουν κοπεί στα δύο. Περιγραφή: -Σκορπίζουμε στο πάτωμα τις καρτέλες με τα σχήματα. Κάθε παιδί κληρώνει μία καρτέλα. Αρχίζει ο χορός. Μόλις σταματήσει η μουσική πρέπει ο καθένας να βρει το συμμετρικό του ζευγάρι. Στη συνέχεια κάθε ζευγάρι παρουσιάζεται στο κέντρο, δείχνει τις καρτέλες και αιτιολογεί την επιλογή του. -Τα παιδιά χορεύουν με το ζευγάρι τους. Στο σταμάτημα της μουσικής παίζουν τους καθρέφτες. Με το ανάλογο σύνθημα μένουν ακίνητα και οι διοργανωτές του χορού ελέγχουν αν όλα τα ζευγάρια είναι συμμετρικά. Το πρόβλημα των σχημάτων Στόχος αυτής της δραστηριότητας είναι η κατασκευή συμμετρικών ως προς άξονα σχημάτων.
Τα υλικά είναι φωτοτυπίες (μία για κάθε παιδί) σε διαφανές τετραγωνισμένο χαρτί, που έχουν 4 σχήματα (1 τετράγωνο, 2 τρίγωνα, 1 κύβο), δύο με οριζόντιο και δύο με κάθετο άξονα συμμετρίας, κόκκινοι και μπλε μαρκαδόροι Περιγραφή Στον χορό των συμμετρικών σχημάτων θέλουν να πάνε και άλλα σχήματα που όμως δεν έχουν τα συμμετρικά τους. Ζητούν από τα παιδιά να κατασκευάσουν τα συμμετρικά τους. Κάθε παιδί παίρνει μία φωτοτυπία σε διαφανές και τετραγωνισμένο χαρτί η οποία περιέχει δύο σχήματα με κάθετο άξονα συμμετρίας (τρίγωνο, τετράγωνο) και δύο σχήματα με οριζόντιο άξονα συμμετρίας (τρίγωνο, ορθογώνιο). Στη συνέχεια πρέπει να κατασκευάσει τα συμμετρικά των σχημάτων με μπλε μαρκαδοράκι, να ελέγξει διπλώνοντας και να διορθώσει με κόκκινο μαρκαδοράκι. Το ντόμινο της συμμετρίας Στόχος αυτής της δραστηριότητας είναι να βρουν τα παιδιά τα συμμετρικά των σχημάτων και σχεδίων που βρίσκονται στις καρτέλες του ντόμινο. Περιγραφή: Κάθε παιδί κληρώνει μια καρτέλα και ο ένας μετά τον άλλο την τοποθετεί σε μία σειρά προσπαθώντας να σχηματίσει συμμετρικά σχήματα ή σχέδια. Ο έλεγχος γίνεται οπτικά τόσο από το ίδιο το παιδί όσο και από την υπόλοιπη ομάδα. Κάθε παιδί αιτιολογεί την δράση του.
Βιβλιογραφία Aubrey, C. (1997). Mathematics Teaching in the Early Years. London: The Falmer Press Cobb, P., Perlwitz,, M. & Underwood, D. (1996). Constructing and Activity Theory. In Mansfield, H. et al. (eds.). Mathematics for tomorrow s Young Children. Dortrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 10-58 Edwards S. (1998). Managing Effective Teaching of Mathematics 3-8. London: Paul Chapman Publishing Ltd Guha M. (1996). Play in school. In Blenkin G. & Kelly A. (eds). Early Childhood Education. London: Paul Chapman Publishing Ltd Nesher, P. & Kilpatrick, J. (eds.) (1990). Mathematics and Cognition, a Research Synthesis by International Group of PME. Cambridge: Cambridge University Press Τζεκάκη, Μ. (1993). Διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών ή από πού προέρχονται οι σωστές ιδέες. Χρονικά, τ. 3. Θεσσαλονίκη. Τζεκάκη Μ., (1996). Μαθηματικές δραστηριότητες για την Προσχολική Ηλικία. Αθήνα: Gutenberg Vygotsky, L. (1934). Thought and Language, (Greek version, Thessaloniki: Sihroni Ekpaideusi, 1998)