Ο πυκνωτής και το πηνίο

Πυκνωτής, ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο πυκνωτής και το πηνίο Αποτελείται από ύο οπλισµούς, µονωµένους µεταξύ τους, που µπορούν να αλληλεπιρούν. Κατά τη φόρτιση η πηγή µετακινεί φορτίο από τον ένα οπλισµό στον άλλο και έτσι φορτίζονται µε αντίθετα φορτία + και (έλλειµµα και πλεόνασµα ηλεκτρονίων αντίστοιχα). Φορτίο του πυκνωτή ονοµάζεται αυτό που µετακινήθηκε κατά τη φόρτιση από το ένα οπλισµό στον άλλο, ηλαή, πάντα θετικό, αφού εξάλλου θεωρούµε ότι τα φορτία που µετακινούνται στο κύκλωµα είναι θετικά (θυµηθείτε τη συµβατική φορά του ρεύµατος). Η τάση µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή είναι ανάλογη µε το φορτίο, και ο συντελεστής αναλογίας είναι η χωρητικότητά του πυκνωτή: = = = v Η χωρητικότητα ενός πυκνωτή εκφράζει την ικανότητά του να «συγκρατεί» φορτίο και να αποθηκεύει ηλεκτρική ενέργεια. Εξαρτάται από τα γεωµετρικά του χαρακτηριστικά, και από το µονωτικό υλικό µεταξύ των οπλισµών (αέρας ή κάποιο άλλο ιηλεκτρικό). Π.χ. σε επίπεο πυκνωτή είναι: = ε ε 0 Μεταξύ των οπλισµών του ηµιουργείται, όταν είναι φορτισµένος, οµογενές ηλεκτρικό πείο µε ένταση: E= Φόρτιση εκφόρτιση, ενέργεια φορτισµένου πυκνωτή l S l E, r Φόρτιση Εκφόρτιση ΣΧΗΜΑ Φόρτιση του πυκνωτή: Στο αριστερό Σχήµα βλέπουµε τη φόρτιση ενός πυκνωτή που ήταν αρχικά, προτού ηλαή να κλείσουµε το ιακόπτη, αφόρτιστος ( = 0, = 0).

Μόλις κλείσουµε τον ιακόπτη το κύκλωµα ιαρρέεται (για λίγο) από ρεύµα που το προκαλεί η πηγή. Τα και αυξάνονται σταιακά ενώ η ένταση του ρεύµατος µειώνεται. Σύντοµα, ο πυκνωτής φορτίζεται πλήρως και το ρεύµα µηενίζεται. Τότε, η τελική κατάσταση του κυκλώµατος είναι: _ = 0 = E = Q = E_ Ο πυκνωτής λειτουργεί κατά τη φόρτιση σαν αποέκτης. Αντιστέκεται ηλαή στη φόρτιση (παρατηρήστε την πολικότητα της και τη φορά του ρεύµατος). Έτσι παίρνει ενέργεια από την πηγή, που αποταµιεύεται µε µορφή ενέργειας ηλεκτρικού πείου: U Εκφόρτιση του πυκνωτή: E = ή U = v E Στο εξιό κύκλωµα του Σχήµατος βλέπουµε την εκφόρτιση ενός πυκνωτή, που είχε κάποιο αρχικό φορτίο = Q προτού κλείσουµε το ιακόπτη. Μόλις κλείσουµε τον ιακόπτη το κύκλωµα ιαρρέεται (για λίγο) από ρεύµα που τώρα το προκαλεί ο ίιος ο πυκνωτής. Λειτουργεί ηλαή σαν πηγή, ίνοντας στο κύκλωµα την ενέργεια που είχε αποθηκεύσει κατά την φόρτισή του. Τα, και µειώνονται σταιακά και σύντοµα µηενίζονται. Τελικά: = 0, = 0, = 0. Πηνίο, Το ιανικό πηνίο (σωληνοειές) αποτελείται από σύρµα αµελητέας αντίστασης, τυλιγµένο έτσι ώστε να σχηµατίζει Ν ιαοχικές κυκλικές σπείρες επιφάνειας S, µε παράλληλα επίπεα, πάνω στον ίιο άξονα (άξονας του σωληνοειούς) που καταλαµβάνουν µήκος l. Όταν ιαρρέεται από ρεύµα Ι ηµιουργείται στο εσωτερικό του οµογενές µαγνητικό πείο, µε Ν ένταση: B= µ µ 0 Ι l Το ιανικό πηνίο εν παρουσιάζει καθόλου αντίσταση στο σταθερό ρεύµα Ι που το ιαρρέει. Έτσι η τιµή του ρεύµατος καθορίζεται από τα άλλα στοιχεία του κυκλώµατος: Ι = Ε/(R+r). Όταν όµως µεταβάλλεται το ρεύµα τότε, εξαιτίας του φαινόµενου της αυτεπαγωγής, αναπτύσσεται στο πηνίο ΗΕ από αυτεπαγωγή: Ι Β E, r ΣΧΗΜΑ R E αυτ = d Το αρνητικό πρόσηµο είναι µια υπενθύµιση της σωστής πολικότητας (enz). Η Ε αυτ είναι ένα θετικό µέγεθος, και έχει πάντα τέτοια πολικότητα ώστε να αντιστέκεται στη µεταβολή d του ρεύµατος (στην αύξηση ηλαή ή στη µείωση του ρεύµατος). Ο συντελεστής αυτεπαγωγής εκφράζει την «αράνεια» του πηνίου στις µεταβολές του ρεύµατος και εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του:

= µµ 0 Ν S l Η Ε αυτ εµφανίζεται σαν τάση στα άκρα του πηνίου: v = Ε αυτ. Αποκατάσταση ιακοπή ρεύµατος στο πηνίο, ενέργεια µαγνητικού πείου R R E, r R v R v R R E, r ΣΧΗΜΑ 3 E, r Στο επάνω κύκλωµα του Σχήµατος 3 είναι και οι ύο ιακόπτες, ανοικτοί. Αποκατάσταση του ρεύµατος: Κλείνουµε τον ιακόπτη (αριστερό κύκλωµα του Σχήµατος 3) οπότε το ρεύµα αυξάνεται ξεκινώντας από αρχική τιµή = 0. Το πηνίο αντιστέκεται αναπτύσσοντας ΗΕ από αυτεπαγωγή, v = Ε αυτ, καθυστερώντας έτσι την αύξηση του ρεύµατος. Σύντοµα το ρεύµα φτάνει στην τελική του τιµή και το πηνίο εν αντιρά πλέον. Η τελική κατάσταση του κυκλώµατος είναι: _v = 0_ και _ = I = E/(R +r)_ Το πηνίο κατά την αύξηση του ρεύµατος λειτουργεί σαν αποέκτης. Αντιστέκεται ηλαή στη αύξηση (παρατηρήστε την πολικότητα της v και τη φορά του ρεύµατος). Έτσι παίρνει ενέργεια από την πηγή, η οποία µετατρέπεται σε ενέργεια µαγνητικού πείου στο πηνίο: ιακοπή του ρεύµατος: U B = Στη συνέχεια, ταυτόχρονα, κλείνουµε τον ιακόπτη και ανοίγουµε τον (εξιό κύκλωµα του Σχήµατος 3). Το πηνίο βρίσκεται στο νέο κύκλωµα µε αρχική ενέργεια U B = ½ I ιότι ιαρρέεται από το τελικό ρεύµα Ι του προηγούµενου κυκλώµατος. 3

εν υπάρχει πλέον η πηγή, το ρεύµα αρχίζει να µειώνεται και το πηνίο αντιρά στη µείωση του ρεύµατος αναπτύσσοντας ΗΕ που τείνει τώρα να συντηρήσει το ρεύµα (παρατηρήστε τη νέα πολικότητα της v ). Συµπεριφέρεται ηλαή σαν πηγή, µετατρέποντας τη µαγνητική ενέργεια σε ηλεκτρική στο κύκλωµα. Το ρεύµα µειώνεται σταιακά και τελικά όλα µηενίζονται: _ = 0 v = 0_ Κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων Στο κύκλωµα του ιπλανού Σχήµατος 4 ο ιακόπτης είναι ανοικτός και ο πυκνωτής έχει φορτίο µε αρχική τιµή Q. Μόλις τώρα κλείσουµε τον (έστω t = 0), το κύκλωµα ιαρρέεται από ρεύµα (Σχήµα 5, αριστερά) και ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται µέσω του πηνίου. Η αύξηση του ρεύµατος είναι σταιακή και όχι απότοµη, λόγω της ΗΕ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο πηνίο, τείνοντας να αντισταθεί στην αύξηση του ρεύµατος. ΣΧΗΜΑ 4 Q Αν το κύκλωµα είναι ιανικό (R = 0) και εν υπάρχουν θερµικές απώλειες, τότε ισχύει: _Ε = U E + U Β = σταθερή_ v v Έτσι, η ηλεκτρική ενέργεια U E του πυνωτή µετατρέπεται σταιακά όλη σε ενέργεια µαγνητικού πείου U Β στο πηνίο και τη στιγµή που µηενίζεται το φορτίο του πυκνωτή ( = 0), η ένταση του ρεύµατος απόκτά µέγιστη τιµή Ι. ΣΧΗΜΑ 5 ηλαή ισχύει: _Ε = U E,max + 0 = 0 + U Β,max _ ή αλλιώς: Q = I Στη συνέχεια (Σχήµα 5, εξιά), η τάση στα άκρα του πηνίου (ΗΕ από αυτεπαγωγή) αλλάζει πολικότητα, συντηρώντας τώρα το ρεύµα στο κύκλωµα ώστε η µείωσή του να είναι κι αυτή σταιακή. Συνεχίζει ηλαή η µετακίνηση των φορτίων και µετά την εκφόρτιση του πυκνωτή, µε αποτέλεσµα να φορτίζεται αυτός πάλι, αλλά µε αντίθετη πολικότητα. Έτσι η ενέργεια του µαγνητικού πείου U Β µετατρέπεται ξανά σε ηλεκτρική ενέργεια U E και τη στιγµή που µηενίζεται το ρεύµα ( = 0) το φορτίο του πυκνωτή φτάνει πάλι σε τιµή Q ίια µε την αρχική, αλλά µε αντίθετη πολικότητα από πριν. Η νέα αυτή ενεργειακή µετατροπή περιγράφεται από τη σχέση: _0 + U Β,max = U Ε,max + 0_ ή αλλιώς: I Q = Είναι εµφανές ότι στη συνέχεια τα ύο πρώτα στάια του φαινόµενου (εκφόρτιση του πυκνωτή επαναφόρτιση µε αντίθετη πολικότητα) θα επαναληφθούν, και τελικά το κύκλωµα θα επανέλθει στην αρχική κατάσταση από όπου ξεκίνησε τη στιγµή t = 0. Το φαινόµενο αυτό επαναλαµβάνεται µε τον ίιο τρόπο περιοικά και ονοµάζεται ηλεκτρική ταλάντωση. Η περίοος Τ της ταλάντωσης καθορίζεται από τις τιµές της χωρητικότητας και της αυτεπαγωγής του κυκλώµατος: 4

T= π και ω= ΣΗΜΕΙΩΣΗ : Ως φορτίο ενός πυκωτή έχουµε ορίσει «αυτό που µετακινήθηκε», όπως είαµε στην αρχή, πρόκειται ηλαή για µια θετική ποσότητα. Για να φαίνεται όµως αυτή η αλλαγή στην πολικότητα του φορτισµένου πυκνωτή, που συµβαίνει στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις, επιλέξαµε να εισάγουµε τη χρήση θετικού ή αρνητικού προσήµου στο φορτίο του, ώστε να ηλώνεται η εκάστοτε πολικότητα. Θυµηθείτε ότι είχαµε κάνει κάτι ανάλογο στα εναλλασσόµενα µε την ένταση του ρεύµατος, ώστε το θετικό ή αρνητικό της πρόσηµο να ηλώνει τη φορά του ρεύµατος. Αυτό ακριβώς θα κάνουµε κι εώ γενικότερα για όσα µεγέθη αλλάζουν πολικότητα ή φορά, ώστε αυτή να ηλώνεται µε το ανάλογο θετικό ή αρνητικό πρόσηµο. Για να επανέλθουµε λοιπόν στο φορτίο του πυκνωτή, αν θεωρήσουµε π.χ. ως «θετική» την πολικότητα που σηµειώνεται στο Σχήµα 4 (θετικός οπλισµός επάνω), τότε το αρχικό φορτίο του πυκνωτή ήταν «θετικό»: = +Q. Στη επόµενη κατάσταση φόρτισης όµως, όπου η πολικότητα έχει αντιστραφεί, το νέο φορτίο του πυκνωτή είναι «αρνητικό»: = Q (ηλαή έχει πάλι ίιο µέτρο, αλλά τώρα ο θετικός οπλισµός είναι κάτω). ΣΗΜΕΙΩΣΗ : d Η ένταση του ρεύµατος ορίζεται όπως γνωρίζουµε ως =, ηλαή ως «ο ρυθµός ιέλευσης φορτίου από µία ιατοµή του αγωγού» και πρόκειται για µια θετική ποσότητα. Επειή όµως το ρεύµα στην περίπτωσή µας είναι εναλλασσόµενο, θα εισάγουµε κι εώ τη χρήση της αλγεβρικλης τιµής, ώστε µε το πρόσηµο να ηλώνεται η εκάστοτε φορά. Ποια φορά όµως θα θεωρήσουµε θετική; Θα κάνουµε επιλογή θετικήςφοράς ανεξάρτητα από την επιλογή της θετικής πολικότητας που περιγράψαµε πιο πάνω; Ή µήπως αυτές οι ύο επιλογές σχετίζονται µεταξύ τους; Επειή η ιέλευση φορτίου στο κύκλωµα σχετίζεται άµεσα µε τη µεταβολή του d φορτίου του πυκνωτή, έχουµε συµφωνήσει ότι ο ρυθµός = της ιέλευσης φορτίου, εκφράζει ταυτόχρονα και το ρυθµό µεταβολής του φορτίου του πυκνωτή. Εποµένως η επιλογή της «θετικής φοράς» και της «θετικής πολικότητας», εν µπορεί να είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους (βλέπε και πιο κάτω στις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ). Η αυθαίρετη επιλογή της µίας, καθορίζει έµµεσα και την άλλη. Για παράειγµα, στο Σχήµα 4 επιλέξαµε την πολικότητα που σηµειώνεται ως θετική. εποµένως το αρχικό φορτίο του πυκνωτή θεωρείται «θετικό», >0. Με το κλείσιµο του ιακόπτη (Σχήµα 5, εξιά), το κύκλωµα ιαρρέεται από ρεύµα φοράς αντίθετης από αυτή των εικτών του ρολογιού και ο πυκνωτής εκφορτίζεται, ηλαή d<0. Μα τότε = d/ < 0. ηλαή η εν λόγω φορά, αντίθετα από τους είκτες του ρολογιού, θεωρείται στο παράειγµα αυτό αρνητική. 5

Συνοψίζοντας για το παράειγµα που µελετάµε, γράφουµε στον πιο κάτω πίνακα τις τιµές φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύµατος, σύµφωνα µε τις συµβάσεις που κάναµε για τα πρόσηµα: Χρόνος t 0 Τ/4 Τ/4 Τ/ Τ/ 3Τ/4 3Τ/4 Τ Φορτίο +Q 0 0 Q Q 0 0 +Q Ένταση 0 I I 0 0 +I +I 0 Αποεικνύεται ότι οι χρονικές εξισώσεις που περιγράφουν το φορτίο και την ένταση του ρεύµατος στο συγκεκριµένο παράειγµα είναι: _ = Q συν(ω t)_ και _ = I ηµ(ω t)_ Από τις µέγιστες τιµές των U Β και U E µπορούµε να υπολογίσουµε το µέγιστο ρεύµα: U Β,max = U Ε,max I = Q I= Q _Ι = ω Q_ Στην επόµενη σελία µπορείτε να είτε τις ιαοχικές καταστάσεις του κυκλώµατος κατά τη ιάρκεια µιας περιόου, καθώς και τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις των ιαφόρων µεγεθών της ηλεκτρικής ταλάντωσης, σε σχέση µε το χρόνο: 6

Χρόνος (t) 0 T/4 T/ 3T/4 T Φορτίο () +Q 0 Q 0 +Q Ρεύµα () 0 I 0 +I 0 Λειτουργία & εκφόρτιση UE max ενέργεια πυκνωτή Λειτουργία και ενέργεια πηνίου 0 (πηγή) 0 αποκατάσταση (αποέκτης) U B max φόρτιση (αποέκτης) ιακοπή (πηγή) 0 U Emax εκφόρτιση (πηγή) 0 αποκατάσταση (αποέκτης) U B max φόρτιση (αποέκτης) ιακοπή (πηγή) 0 U Emax v v v v +Q T/4 0 T/4 T/ 3T/4 T t Q +ωq 0 T/4 T/ 3T/4 T t ωq +Q/ v 0 T/4 T/ 3T/4 T t Q/ E U E U B 0 T/4 T/ 3T/4 T t 7

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ: Οι αλγεβρικές τιµές (η εναλλαγή ηλαή θετικών και αρνητικών τιµών) στα µεγέθη,, v και σχετίζονται από φυσική άποψη, για τα τρία πρώτα µε την εναλλαγή της πολικότητας, ενώ για το τελευταίο µε την εναλλαγή της φοράς. (Κατ αναλογία, στις µηχανικές ταλαντώσεις τα πρόσηµα της αποµάκρυνσης x, της ταχύτητας υ, κλπ. σχετίζονται µε την κατεύθυνση των αντίστοιχων ιανυσµατικών µεγεθών.) Πιο συγκεκριµένα, το φορτίο ενός φορτισµένου πυκνωτή είναι εξ ορισµού µια θετική ποσότητα. Σε µια ηλεκτρική ταλάντωση όµως ο πυκνωτής έχει ύο ιαφορετικές καταστάσεις φόρτισης, αφού η πολικότητά του αλλάζει περιοικά. Έτσι µπορούµε αυθαίρετα να θεωρήσουµε θετικό το φορτίο της µιας από τις ύο καταστάσεις και αρνητικό το φορτίο της άλλης (π.χ. >0 και <0). Η τάση του πυκνωτή, σύµφωνα µε τη σχέση =/, είναι οµόσηµη µε το φορτίο του. Η τάση v στο πηνίο ταυτίζεται µε αυτή του πυκνωτή (αφού έχουν κοινά άκρα). Από τον ο κανόνα του Krchhoff (ηλ. +v =0) προκύπτει ότι αλγεβρικά οι ύο τάσεις έχουν ιαρκώς αντίθετα πρόσηµα: v =. Η ΗΕ από αυτεπαγωγή του πηνίου ταυτίζεται µε την τάση v στα άκρα του, αφού το πηνίο είναι ιανικό (χωρίς αντίσταση): ε αυτ = v = d/. Τέλος, το πρόσηµο της έντασης σχετίζεται όπως είπαµε µε τη φορά του ρεύµατος (του ρολογιού ή την αντίθετη). Κι εώ µπορούµε αυθαίρετα να αντιστοιχίσουµε ένα πρόσηµο σε κάθε φορά, π.χ. >0 και <0. Η επιλογή των προσήµων του φορτίου και της έντασης γίνεται ως εξής: Επιλέγουµε αυθαίρετα το πρόσηµο ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΜΟΝΟ από τα ύο µεγέθη, ανάλογα µε το τι µας βολεύει (ή ανάλογα µε την εκφώνηση, αν ίνεται κάποια υπόειξη!). Π.χ., αν ο πυκνωτής είναι αρχικά φορτισµένος, µπορούµε να θεωρήσουµε θετικό το αρχικό του φορτίο. Ή, αν αρχικά το πηνίο ιαρρέεται από ρεύµα, µπορούµε να θεωρήσουµε ως θετικό αυτό ρεύµα. Αφού τώρα έχουµε καθορίσει το πρόσηµο του ενός από τα ύο µεγέθη, καθορίζουµε και το πρόσηµο του άλλου, σύµφωνα µε τον εξής κανόνα: Η ένταση και το φορτίο είναι οµόσηµα όταν ο πυκνωτής φορτίζεται, όταν ηλαή το ρεύµα κατευθύνεται προς τον θετικό (+) οπλισµό του. Τα ύο µεγέθη είναι βέβαια ετερόσηµα όταν ο πυκνωτής εκφορτίζεται:, οµόσηµα, ετερόσηµα Με την εφαρµογή αυτού του κανόνα, οι αλγεβρικές τιµές των και είναι σε συµφωνία µε τη σχέση ορισµού της έντασης του ρεύµατος: d (ρυθµός µεταβολής του φορτίου του πυκνωτή) = 8

Στο παράειγµα που µελετήσαµε προηγουµένως, θεωρήσαµε ότι ο πυκνωτής είχε αρχικά θετικό φορτίο ( = +Q). Στη συνέχεια εκφορτίζεται, εποµένως η ένταση έχει αντίθετο πρόσηµο, είναι ηλαή αρνητική. Η ηλεκτρική ταλάντωση παρουσιάζει αναλογία µε την ΓΑΤ αν θεωρήσουµε την αντιστοιχία: _ x_ και _ υ_ : Γενική µορφή ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ x = A ηµ(ω t + φ ο ) υ = ω A συν(ω t + φ ο ) Γενική µορφή ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ = Q ηµ(ω t + φ ο ) = ω Q συν(ω t + φ ο ) Αν για t=0 είναι x=+α τότε: φ ο =π/ x = A ηµ(ω t + π/) υ = ω A συν(ω t + π/) Αν για t=0 είναι =+Q τότε: φ ο =π/ = Q ηµ(ω t + π/) = ω Q συν(ω t + π/) ή ισούναµα x = A συν(ω t) υ = ω A ηµ(ω t) ή ισούναµα (περίπτωση σχολικού) = Q συν(ω t) = ω Q ηµ(ω t) Αν για t=0 είναι x=0 και υ>0 τότε: φ ο =0 x = A ηµ(ω t) υ = ω A συν(ω t) Αν για t=0 είναι =0 και >0 τότε: φ ο =0 = Q ηµ(ω t) = ω Q συν(ω t) και ούτω καθεξής. 9

Αντιστοιχία µεγεθών Μηχανικής και Ηλεκτρικής ταλάντωσης ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Σταθερά επαναφοράς D D ω= Ιιότητες του συστήµατος ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Χωρητικότητα Μάζα m m Συντελεστής αυτεπαγωγής D m T= π m D Μέγιστες τιµές µεγεθών ω= T= π Μέγ. αποµάκρυνση (πλάτος): Α Μέγ. φορτίο πυκνωτή Q Μέγ. ταχύτητα: υ max = Α ω Μέγ. ένταση ρεύµατος Ι = Q ω Μεγ. επιτάχυνση: α max = Α ω Μεγ. ρυθµ. µεταβολής ρεύµατος Μέγ. ύναµη επαναφοράς: F max = D A Μέγ. ΗΕ αυτεπαγωγής, Μεγ. τάσεις πην. / πυκν.: Ε d αυτ max = V = Q ω = V Μέγ. υν. / κιν. ενέργεια: U max = Κ max = E Μέγ. ηλ. / µαγν. ενέργεια U Ε,max = U Β,max = E Ολική ενέργεια: E = D A = m υ Ολική ενέργεια: max Στιγµιαίες τιµές µεγεθών E= Q = = I x x = Α ηµ(ω t + φ ο ) = Q ηµ(ω t + φ ο ) dx υ= υ = Α ω συν(ω t + φ ο ) dυ F α = = α = Α ω m ηµ(ω t + φ ο ) D x m α = 0 (Newton) Q d = = Q ω συν(ω t + φ ο ) d ε = αυτ d + d = Q ω ηµ(ω t + φ ο ) = 0 ή + v = 0 (Krchhoff) F = D x F = F max ηµ(ω t + φ ο ) = v = V max ηµ(ω t + φ ο ) d (F = m α) v = v = V max ηµ(ω t + φ ο ) U = D x U = E ηµ (ω t + φ ο ) U E = U E = E ηµ (ω t + φ ο ) K = m υ K = E συν (ω t + φ ο ) U B = U B = E συν (ω t + φ ο ) 0