. Μητρόπουλος Επαγωγή

Transcript

1 Μία ηλεκτροµηχανική ταλάντωση Μπορούµε άραγε να έχοµε ηλεκτρική ταλάντωση σε ένα κύκλωµα χωρίς τη σνύπαρξη πηνίο και πκνωτή C; Η πρώτη σκέψη είναι µάλλον «όχι» διότι όπως στη µηχανική είναι απαραίτητη προϋπόθεση η ύπαρξη «αδράνειας» m και «ελαστικότητας» D, η ικανότητα µ άλλα λόγια να αποθηκεύει το σύστηµα κινητική και δναµική ενέργεια, έτσι και στον ηλεκτρισµό το κύκλωµα θα πρέπει να µπορεί να αποθηκεύει ενέργεια µαγνητικού και ηλεκτρικού πεδίο. Αν το δούµε λίγο πιο προσεκτικά όµως, η ατεπαγωγή µπορεί να είναι αναντικατάστατη, αφού εκφράζει την «αδράνεια στις µεταβολές το ρεύµατος», ισχύει όµως το ίδιο και για τη χωρητικότητα C; Ο φορτισµένος πκνωτής είναι µια αποθήκη ενέργειας, πο κατά τη φόρτιση µετατρέπει το ηλεκτρικό έργο σε κάποια άλλη µορφή, ενώ κατά την εκφόρτιση σµβαίνει η αντίστροφη διαδικασία. Μα ατό ακριβώς δεν κάνει οποιαδήποτε επαναφορτιζόµενη πηγή; Ο πκνωτής βέβαια έχει και την ικανότητα να αλλάζει ταχύτατα πολικότητα και «σµπεριφορά» από αποδέκτης σε πηγή, κάτι πο είναι πρακτικά αδύνατο π.χ. σε µια µπαταρία λιθίο ή µολύβδο, εξαιτίας των εµπλεκοµένων χηµικών αντιδράσεων. Υπάρχον όµως κι άλλες «επαναφορτιζόµενες» µπαταρίες! Ένα τέτοιο παράδειγµα θα δούµε στη σνέχεια. η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ύο παράλληλοι αγωγοί Αz και Γz µεγάλο µήκος βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και σνδέονται στα άκρα τος Α, Γ µε ιδανικό πηνίο ατεπαγωγής. Τρίτος αγωγός µήκος l και µάζας m µπορεί να γλιστράει κατά µήκος τος και κάθετα προς ατούς χωρίς τριβές, µε τη βοήθεια δακτλίων. Κάθετα στο επίπεδο των αγωγών πάρχει οµογενές κατακόρφο µαγνητικό πεδίο έντασης Β. Ο αγωγός l, ακίνητος αρχικά, εκτοξεύεται τη στιγµή t µε αρχική ταχύτητα ο. Α) Να µελετήσετε την κίνησή το. Β) Να προσδιορίσετε τη χρονική σνάρτηση της έντασης το ρεύµατος πο διαρρέει το κύκλωµα. (Όλοι οι αγωγοί έχον µηδενική αντίσταση.) Γ B ΚΑΤΟΨΗ o (t ) m, l z z ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Α) Ο αγωγός l έχει αρχικά ταχύτητα ο και αναπτύσσεται πάνω το ΗΕ από επαγωγή Ε επ Β l ο πο τείνει να προκαλέσει επαγωγικό ρεύµα αναγκάζοντας έτσι το πηνίο να αντιδράσει µε ΗΕ από ατεπαγωγή. Η αύξηση το ρεύµατος είναι εποµένως σταδιακή κι όχι απότοµη και έστω η τιµή της έντασης κάποια στιγµή t Σελίδα (από 6)

2 λίγο µετά, όταν ο αγωγός θα έχει µετατοπιστεί κατά x από την αρχική θέση. Παράλληλα, το ρεύµα προκαλεί εµφάνιση δύναµης aplace πο αντιτίθεται στην κίνηση το αγωγού µειώνοντας την ταχύτητά το σε. Από τον β Krchhoff για το κύκλωµα (κατά τη φορά το ρεύµατος) τη στιγµή t έχοµε: Ε επ Ε ατ Β l dx Β l Β l dx Β l (x ) ( ) x () Την ίδια στιγµή ασκείται στον αγωγό σνολική δύναµη: ΣF F B l x και αν γράψοµε τη σχέση αλγεβρικά, δεδοµένο ότι η F έχει αντίθετη φορά από τη µετατόπιση x: ΣF F Βλέποµε δηλαδή ότι η F παίζει ρόλο δύναµης επαναφοράς, αναγκάζοντας τον αγωγό να εκτελέσει ΓΑΤ γύρω από την αρχική το θέση, ξεκινώντας µε µέγιστη ταχύτητα ο, δηλαδή χωρίς αρχική φάση. x Γ () B m, l o F x (t) (t) z z Η σταθερά επαναφοράς είναι: και η γωνιακή σχνότητα: ω Το πλάτος της ταλάντωσης είναι: και η εξίσωση της αποµάκρνσης: D (3) (4) _x ηµ(ω t) _ (6) Κατά τη µηχανική ατή ταλάντωση της ράβδο σµβαίνει µετατροπή της κινητικής της ενέργειας σε ενέργεια µαγνητικού πεδίο! Το πηνίο δηλαδή, σε σνδασµό φσικά µε το εξωτερικό πεδίο, λειτοργεί σαν ηλεκτροµαγνητικό ελατήριο, εξασφαλίζοντας την απαραίτητη «ελαστικότητα». Πράγµατι, από τις σχέσεις () και (5) προκύπτει ότι το µέγιστο ρεύµα είναι: (5) I m I (7) Οπότε: U D m I Σελίδα (από 6)

3 B) Παρατηρώντας από «ηλεκτρική» σκοπιά τώρα το κύκλωµα, βλέποµε ότι ο αγωγός σµπεριφέρεται από έως Τ/4 σαν πηγή, µετατρέποντας την κινητική το ενέργεια σε ηλεκτρική ενέργεια ρεύµατος στο κύκλωµα. Η ενέργεια ατή µετασχηµατίζεται σε ενέργεια µαγνητικού πεδίο στο πηνίο καθώς το ρεύµα αξάνεται. Ο αγωγός σµπεριφέρεται δηλαδή σαν ένας αρχικά φορτισµένος πκνωτής, λειτοργώντας σαν πηγή όταν αποµακρύνεται από τη θέση ισορροπίας το και σαν αποδέκτης όταν επιστρέφει σ ατήν. Θεωρώντας αρνητική τη φορά το αρχικού ρεύµατος, έχοµε: (6) (5) () x ηµ ( ωt) (7) ηµ ( ω t) Iηµ ( ω t) όπως ήταν αναµενόµενο. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: (8). Ο αγωγός θα µπορούσε να αντικατασταθεί «ισοδύναµα» µε ένα πκνωτή χωρητικότητας C, φορτισµένο σε τάση V, όπο: ω C V I C C m και m V m V Η τάση V προκύπτει δηλαδή ίση µε την ΗΕ πο αναπτύχθηκε αρχικά από επαγωγή στον αγωγό.. Εναλλακτικά, θα µπορούσαµε να καταλήξοµε στη διαφορική εξίσωση πο περιγράφει την κίνηση το αγωγού (ή στη διαφορική εξίσωση το ρεύµατος στο κύκλωµα). Π.χ.: d x () d x Bl ΣF m α B l m + x x d Η τελεταία έχει τη γνωστή µορφή + ω x, πο περιγράφει αρµονικά µεταβαλλόµενο µέγεθος. (9) η ΕΦΑΡΜΟΓΗ Μια τροποποίηση της προηγούµενης εφαρµογής θα ήταν να θεωρήσοµε το επίπεδο κίνησης κατακόρφο και να αφήσοµε τον αγωγό να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα, εξαιτίας το βάρος. ύο κατακόρφοι αγωγοί Αz και Γz µεγάλο µήκος σνδέονται στα πάνω άκρα τος Α, Γ µε ιδανικό πηνίο ατεπαγωγής. Τρίτος αγωγός µήκος l και µάζας m µπορεί να γλιστράει χωρίς τριβές κατά µήκος τος, µε τη βοήθεια δακτλίων, παραµένοντας οριζόντιος. Κάθετα στο επίπεδο των αγωγών πάρχει οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης Β. Σελίδα 3 (από 6)

4 Ο οριζόντιος αγωγός σγκρατείται αρχικά ακίνητος και τη στιγµή t αφήνεται ελεύθερος. Α) Να µελετήσετε την κίνησή το. Β) Να προσδιορίσετε τη χρονική σνάρτηση της έντασης το ρεύµατος πο διαρρέει το κύκλωµα. (Όλοι οι αγωγοί έχον µηδενική αντίσταση. ίνεται g). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Α) Ο αγωγός l ξεκινάει τη στιγµή t από ηρεµία µε την επίδραση το βάρος m g. Λίγο µετά έχει µετατοπιστεί κατά διάστηµα s, έχει αποκτήσει ταχύτητα και αναπτύσσεται πάνω το ΗΕ από επαγωγή, ανάλογη µε την ταχύτητα : Ε ΕΠ Β l () Το κύκλωµα διαρρέεται από ρεύµα έντασης και το πηνίο αντιδρά στην αύξηση µέσω της ΗΕ από ατεπαγωγή. Από τον β Krchhoff, κατά τη φορά το ρεύµατος, έχοµε: Ε επ Ε ατ Β l ds Β l Β l ds Β l (s ) ( ) Η δύναµη aplace πο αναπτύσσεται στον αγωγό και αντιστέκεται στην κίνησή το, είναι: F () Αρχικά είναι F < m g. H F όµως µεγαλώνει καθώς ο αγωγός κατέρχεται επιταχνόµενος, ώσπο σε κάποια θέση, πο βρίσκεται s o πιο κάτω από την αρχική, γίνεται ίση µε το βάρος: F m g g s () g (3) Μέχρι τη θέση ατή, εκτός από την αύξηση της έντασης το ρεύµατος, είχαµε αύξηση και της ΗΕ από επαγωγή, Ε ΕΠ Β l, αλλά και της ΗΕ από ατεπαγωγή, αφού Β l. Το ρεύµα δηλαδή αξανόταν όλο και πιο απότοµα. Τι θα γίνει από εδώ και κάτω; Η Ε ΕΠ θα σνεχίσει προφανώς να πάρχει και µάλιστα µε την ίδια πολικότητα, αφού εξαρτάται από την ταχύτητα. Ατό σηµαίνει όµως ότι το ρεύµα θα σνεχίσει να αξάνεται και µαζί το και η F πο αντιστέκεται στην κίνηση. Παρόλο όµως πο το ρεύµα σνεχίζει να αξάνεται, ισχύει τώρα F > m g και ο αγωγός επιβραδύνεται! s ο s x z (t) (t) m, l F B mg Γ Θ.I. z Σελίδα 4 (από 6)

5 Έτσι η αύξηση το ρεύµατος γίνεται σταδιακά λιγότερο απότοµη και φτάνει τη µέγιστη τιµή της τη στιγµή πο µηδενίζεται η ταχύτητα το αγωγού. Πράγµατι, για έχοµε, το ρεύµα φτάνει δηλαδή σε µέγιστο και ο αγωγός θα αρχίσει στη σνέχεια να ανεβαίνει επιταχνόµενος. Η κίνησή το είναι ΓΑΤ γύρω από τη θέση ισορροπίας s o όπως µπορούµε εύκολα να δείξοµε. Σε αποµάκρνση x από τη Θ.Ι. (µε θετική φορά προς τα κάτω) ισχύει: ΣF mg F mg mg ( s + x) ΣF x (4) mg mg x Παρατηρείστε ότι η σταθερά επαναφοράς είναι ίδια µε ατή της προηγούµενης εφαρµογής: D (5) Ίδια εποµένως προκύπτει και η γωνιακή σχνότητα: ω (6) Η κίνηση το αγωγού είναι δηλαδή ΓΑΤ µε πλάτος s o και η αποµάκρνση έχει εξίσωση: x s ηµ (7) Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι: E K max U max D g g Ή µήπως κάναµε κάπο λάθος; Ο αγωγός στην αρχική το θέση είχε δναµική ενέργεια (ως προς τη Θ.Ι.): U αρχ m g s o εν θα έπρεπε ατή ακριβώς η ενέργεια να εµφανίζεται µε µορφή κινητικής όταν περνάει από τη Θ.Ι.; Γιατί µόνο η µισή; Πο πήγε η πόλοιπη; Για να το καταλάβοµε καλύτερα, ας σκεφτούµε ένα ανάλογο παράδειγµα µηχανικής ταλάντωσης µε ελατήριο. Αν στηρίξοµε ένα σώµα m σε κατακόρφο ελατήριο k και το αφήσοµε ελεύθερο από τη θέση το ΦΜ, τότε το σώµα φτάνοντας στη θέση ισορροπίας το, έστω Η πιο κάτω, έχει χάσει βαρτική δναµική ενέργεια m g H. H ενέργεια της ταλάντωσης όµως, πο στη θέση ισορροπίας εµφανίζεται µε µορφή κινητικής, είναι µόνο η µισή: Ε ½ D Α² ½ k H² ½ k H H ½ m g H Η πόλοιπη χρησιµοποιήθηκε βέβαια για την επιµήκνση το ελατηρίο µέχρι τη ΘΙ: U ελ ½ k H² ½ k H H ½ m g H ΦΜ ΘΙ H max Σελίδα 5 (από 6)

6 Κάτι αντίστοιχο σµβαίνει και στην περίπτωσή µας. Το ρόλο της «ελαστικότητας» τον έχει αναλάβει, όπως είχαµε πει και στην η εφαρµογή, το πηνίο σε σνδασµό µε το εξωτερικό µαγνητικό πεδίο. Μέχρι να φτάσει ο αγωγός στη θέση ισορροπίας το, το πηνίο διαρρέεται ήδη από ρεύµα: s και στο µαγνητικό το πεδίο έχει ενέργεια: U B (8) F g Η ενέργεια ατή προέρχεται από την αρχική δναµική ενέργεια m g s o και µέσω το έργο της F µετατρέπεται σε ηλεκτρική και τελικά σε µαγνητική. Β) Η εξίσωση της έντασης µπορεί να βρεθεί εύκολα από τη σχέση (): ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: + x ( s+ x) + (8) ( s + x) ηµ + ηµ (9) και τελικά:. Θα µπορούσαµε φσικά και εδώ να καταλήξοµε στη διαφορική εξίσωση πο περιγράφει την κίνηση το αγωγού (ή στη διαφορική εξίσωση το ρεύµατος στο κύκλωµα). Π.χ.: ΣF m α m g Η τελεταία έχει τη µορφή αρχικών σνθηκών δίνει ως λύση την εξίσωση: Ή µπορούµε να µετασχηµατίσοµε την () σε: d ( s + x) + ω d s d s Bl + g d s + ω g () πο µε τη βοήθεια και των s s + sηµ ( s + x) g Από την επίλση της οποίας προκύπτει η: d x + ω x x s d x + g+ ω x g ηµ ιονύσης Μητρόπολος Σελίδα 6 (από 6)