Μαθηµατική Μοντελοποίηση
Μοντελοποίηση Απαιτητική οικονοµία και αγορά εργασίας Σύνθετες και περίπλοκες προβληµατικές καταστάσεις Μαθηµατικές και τεχνολογικές δεξιότητες Επίλυση σύνθετων προβληµάτων
Μαθηµατικοποίηση αυτό που χρειάζεται να µάθουν οι µαθητές δεν είναι τα µαθηµατικά ως ένα κλειστό σύστηµα, αλλά τα µαθηµατικά ως διαδικασία, ως διαδικασία µαθηµατικοποίησης της πραγµατικότητας και αν είναι δυνατό τη διαδικασία της µαθηµατικοποίησης των µαθηµατικών
Στόχοι Μαθηµατικής Μοντελοποίησης Αναγνώριση προβληµάτων σε πολλά θέµατα του αναλυτικού προγράµµατος Αναγνώριση σχετικών πληροφοριών και περιορισµών Αναπαράσταση εναλλακτικών λύσεων ή τρόπων λύσης Επιλογή µοντέλων και µαθηµατικοποίηση Έλεγχος και αξιολόγηση λύσεων Επικοινωνία αποτελεσµάτων
Μαθηµατική µοντελοποίηση Οδηγεί στην ανάπτυξη της ικανότητας λύσης προβλήµατος. Καλλιεργεί τις δεξιότητες διερεύνησης και δηµιουργικότητας και τις στρατηγικές επίλυσης προβλήµατος (Blum & Niss, 1991). Εµπερικλείει την ανάλυση και ερµηνεία προβληµατικών καταστάσεων, προτείνοντας, ελέγχοντας και βελτιώνοντας διάφορες λύσεις.
Μοντελοποίηση στο Δηµοτικό Βελτίωση µαθηµατικών ιδεών των µαθητών λόγω: Εφαρµογής δεδοµένων σε έτοιµα µαθηµατικά µοντέλα. Ανάπτυξης µοντέλων για την επίλυση ενός προβλήµατος. Εννοιολογική κατανόηση. Μαθηµατικοποίηση αντικειµένων, σχέσεων και µοτίβων. (Doerr & English, 2003)
Οι µαθητές δηµοτικού και γυµνασίου µπορούν να συµµετέχουν αποτελεσµατικά σε δραστηριότητες µοντελοποίησης. Οι δραστηριότητες µοντελοποίησης ενισχύουν τις γνωστικές και µεταγνωστικές στρατηγικές και την αυτορρύθµιση των µαθητών (Mousoulides, 2007: English, 2006). Οι δραστηριότητες µοντελοποίησης έχουν την ευελιξία να προσαρµόζονται στο επίπεδο και στις εµπειρίες των µαθητών. Η εφαρµογή διαφορετικών διαδικασιών επίλυσης µπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικά, ορθά µοντέλα και λύσεις. Η ορθότητα των λύσεων αξιολογείται από την αιτιολόγηση και τη χρήση µαθηµατικών κριτηρίων.
Μοντέλα Τα µοντέλα είναι νοερές οντότητες που αναπαριστούν µια κατάσταση, ένα αντικείµενο, µια ιδέα ή ένα σύστηµα. Συνίστανται από: Στοιχεία που συνθέτουν την προβληµατική κατάσταση Σχέσεις Διαδικασίες Κανόνες Περιγράφουν πώς τα στοιχεία αλληλεπιδρούν µεταξύ τους
Στοιχεία µοντελοποίησης Χρήση «αυθεντικών» προβληµατικών καταστάσεων. Καταστάσεις µε βάση τα ενδιαφέροντα και τις εµπειρίες των παιδιών Διασύνδεση των µαθηµατικών µε κοινωνικές διαδικασίες Ανάγκη για χρήση µαθηµατικών σχέσεων Δηµιουργία κινήτρων
Στοιχεία µοντελοποίησης Εφαρµογή άτυπων γνώσεων στη διαδικασία επίλυσης προβλήµατος. Εντοπισµός σχέσεων Εστίαση στις πληροφορίες του προβλήµατος Αλληλεπίδραση και επικοινωνία των µαθητών. Ενίσχυση της διαδικασίας επίλυσης προβλήµατος Χρήση κριτηρίων και περιορισµών από την πραγµατική ζωή Στοχασµός διαφορετικών τρόπων επίλυσης προβλήµατος Αξιολόγηση και βελτίωση λύσεων
Πλεονεκτήµατα Σύνδεση δεδοµένων µε προϋπάρχουσες γνώσεις και εµπειρίες Ανάπτυξη εννοιολογικής κατανόησης Ανάπτυξη δεξιοτήτων Διερεύνηση Περιγραφή Επεξήγηση Αναπαράσταση Αξιολόγηση Αναδιαµόρφωση στρατηγικών Ανάπτυξη µαθηµατικής σκέψης Ευελιξία στη λύση προβλήµατος
ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Διάκριση µεταξύ µοντέλων που αναπτύσσουν οι επιστήµονες για επεξήγηση της σκέψης των µαθητών. που χρησιµοποιούν οι µαθητές για να οικοδοµήσουν, περιγράψουν ή επεξηγήσουν σηµαντικά µαθηµατικά συστήµατα µε τα οποία έρχονται σε επαφή.
Η ανάπτυξη της γνώσης µοιάζει λιγότερο µε την κατασκευή µιας µηχανής ή µε την ανάπτυξη ενός λογισµικού προγράµµατος. Η ανάπτυξη της γνώσης µοιάζει περισσότερο µε την εξέλιξη µιας κοινότητας ζωντανών οργανισµών που προσπαθούν να προσαρµοστούν σε συγκεκριµένα δεδοµένα.
ΒΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Περιγραφή Επαλήθευση Διαχείριση Πραγµατικό Πρόβληµα Περιβάλλον Μοντελοποίησης Πρόβλεψη
ΒΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Ερµηνεία Πραγµατικό Πρόβληµα Απλοποίηση Μαθηµατικά αποτελέσµατα Μοντέλο Μαθηµατικοποίηση Υπολογισµοί Μαθηµατικό µοντέλο Ποικιλία µέσων αναπαράστασης γραπτά σύµβολα γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών διαγράµµατα γραφήµατα εικόνες
ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΕΡΜΗΝΕΥΕΙ ΤΙΣ ΕΜΠΕΙΡΙΕΣ ΤΟΥ
Τα µοντέλα είναι ολιστικά εννοιολογικά συστήµατα Ολιστικό σύστηµα σηµαίνει ότι δεν είναι το άθροισµα των επιµέρους στοιχείων του. Η δύναµη των εννοιολογικών συστηµάτων βρίσκεται στη δυνατότητά τους να εκφράζονται µέσω πολλών αλληλεπιδραστικών αναπαραστατικών µέσων.
Τα εννοιολογικά συστήµατα είναι ανάγκη να εκφραστούν µέσω εξωτερικών αναπαραστατικών συστηµάτων
Τα εννοιολογικά συστήµατα είναι ανάγκη να εκφραστούν µέσω εξωτερικών αναπαραστατικών συστηµάτων
Διδασκαλία Μοντελοποίησης Η διδασκαλία στηρίζεται σε CASE STUDIES-ή προσοµοιώσεις καταστάσεων της πραγµατικής ζωής στις οποίες τα µαθηµατικά είναι απαραίτητα. Ο στόχος δεν είναι απλώς η παραγωγή µιας συγκεκριµένης απάντησης σε συγκεκριµένο ερώτηµα. Ο στόχος είναι η ανάπτυξη ενός εννοιολογικού εργαλείου (µοντέλου) για κατασκευή, περιγραφή, ή επεξήγηση ενός σηµαντικού µαθηµατικού συστήµατος.
Παράδειγµα Νωρίς το πρωί η αστυνοµία ανακάλυψε ότι κάποιοι άνθρωποι επιδιόρθωσαν το περιτοίχισµα του πάρκου, που είχε καταστραφεί από τις βροχές του χειµώνα. Η κατασκευή του περιτοιχίσµατος είναι απαραίτητη για την ασφάλεια των παιδιών που παίζουν στο πάρκο. Οι γονείς των παιδιών θέλουν να ευχαριστήσουν τους ανθρώπους που είχαν επιδιορθώσει το περιτοίχισµα. Το µόνο, όµως, που βρήκε η αστυνοµία είναι τα ίχνη των παπουτσιών των ανθρώπων που εργάστηκαν για την επιδιόρθωση. Το ίχνος που φαίνεται στην εικόνα ανήκει πιθανώς σε κάποιο µεγαλόσωµο άτοµο. Η αστυνοµία είναι πιθανόν να ανακαλύψει την ταυτότητα των ανθρώπων από το ύψος τους. Για να βοηθήσετε την αστυνοµία να βρει αυτούς τους ανθρώπους, πρέπει να σκεφτείτε έναν τρόπο µε τον οποίο να υπολογίζετε το ύψος των ανθρώπων από το µέγεθος των παπουτσιών που φορούν.
Γιατί ενδιαφερόµαστε για δραστηριότητες που περιλαµβάνουν µοντελοποίηση; Δίνουν έµφαση σε ένα εύρος εννοιολογικών εργαλείων που είναι απαραίτητα για επιτυχία σε µια κοινωνία που στηρίζεται στην τεχνολογία και την πληροφορία. Συµβάλλουν στην ανάπτυξη της επίδοσης των µαθητών, γιατί δίνεται σε αυτούς η ευκαιρία να εκφράσουν, να δοκιµάσουν και να τροποποιήσουν το δικό τους τρόπο σκέψης παρά να ακολουθούν το δικό µας τρόπο σκέψης.
Γιατί ενδιαφερόµαστε για δραστηριότητες που περιλαµβάνουν µοντελοποίηση; Δραστηριότητες που οδηγούν στην κατασκευή εννοιών Δραστηριότητες που δείχνουν τον τρόπο σκέψης των µαθητών Δραστηριότητες που βοηθούν στην ανάπτυξη του δασκάλου
Αρχές κατασκευής δραστηριοτήτων µοντελοποίησης 1. Η ρεαλιστική αρχή 2. Η αρχή της κατασκευής µοντέλου 3. Η αρχή της αυτό-αξιολόγησης 4. Η αρχή της τεκµηρίωσης της έννοιας (Η αρχή της εξωτερίκευσης) 5. Η αρχή της µεταφοράς των γνώσεων και της επαναχρησιµοποίησης του µοντέλου
Δραστηριότητες µοντελοποίησης Vs Λεκτικά προβλήµατα Δραστηριότητες µοντελοποίησης Επίλυση σύνθετου προβλήµατος Βασισµένες σε πραγµατικές καταστάσεις Προάγουν γνωστικές και µεταγνωστικές δεξιότητες και τη µαθηµατικοποίηση Δραστηριότητες λύσης λεκτικών προβληµάτων Απλοποιηµένες µορφές προβληµάτων Δεν σχετίζονται µε την πραγµατικότητα Εξασκούν µια συγκεκριµένη µορφή µάθησης των µαθηµατικών
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Λήψης απόφασης Ανάλυσης και σχεδιασµού συστήµατος Επίλυσης δυσλειτουργιών σε συστήµατα
Παράδειγµα
Παράδειγµα