1. Περιοδικά Φαινόμενα Απλή Αρμονική Ταλάντωση

Περιοδικά φαινόμενα: 1. Περιοδικά Φαινόμενα Απλή Αρμονική Ταλάντωση Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που εξελίσσονται και επαναλαμβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Τέτοια φαινόμενα είναι η ομαλή κυκλική κίνηση, η κίνηση του «ιδανικού» εκκρεμούς, το χτύπημα του ξυπνητηριού μια συγκεκριμένη ώρα κάθε μέρα, η έκδοση ενός εβδομαδιαίου περιοδικού κ.α. Κάθε περιοδικό φαινόμενο χαρακτηρίζεται από τρία μεγέθη: την περίοδο, τη συχνότητα και τη γωνιακή (ή κυκλική) συχνότητα. Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Είναι δηλαδή ο ελάχιστος χρόνος στον οποίο ολοκληρώνεται το φαινόμενο. Αν σε χρόνο t το φαινόμενο εξελιχθεί πλήρως Ν φορές, τότε η περίοδος είναι ίση με: T = t N (Είναι ωστόσο αυτονόητο ότι αν στη θέση του Ν βάλουμε τη μονάδα, θα βγει η ταυτότητα Τ=Τ, απλώς εφαρμόζουμε συνήθως πειραματικά τον παραπάνω τύπο για να κερδίσουμε σε ακρίβεια) Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο S.I. είναι το 1 s (second - δευτερόλεπτο) (Συζήτηση για την περίοδο ενός ξυπνητηριού που χτυπάει καθημερινά στις 9:00 και ενός που χτυπάει στις 9:00 εκτός της Κυριακή) Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το πηλίκο του αριθμού των πλήρων επαναλήψεων του φαινομένου Ν σε ορισμένο χρόνο t. Εκφράζει δηλαδή τον αριθμό τον επαναλήψεων στη μονάδα του χρόνου και είναι το αντίστροφο της περιόδου: f = N t = 1 T Μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι 1 κύκλος/s ή 1 φορά/s ή 1/s=s 1 ονομάζουμε Ηz (Χερτζ). το οποίο το 1

Γωνιακή (ή κυκλική) συχνότητα (ω) ονομάζεται το πηλίκο: ω= π Τ =πf Το μέγεθος αυτό το έχουμε συναντήσει στην κυκλική κίνηση όπου το ονομάζαμε γωνιακή ταχύτητα και το ορίσαμε ως: ω= dφ dt (Η βασική της διαφορά από την κυκλική κίνηση είναι ότι στα περιοδικά φαινόμενα είναι μονόμετρο μέγεθος ενώ στην κυκλική κίνηση ήταν μέγεθος διανυσματικό που είχε φορά κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού.) Μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας είναι το 1 rad/s. Απλή αρμονική ταλάντωση: Α. Κινηματική προσέγγιση: Ταλάντωση ονομάζεται μία περιοδική παλινδρομική κίνηση.(συζήτηση για το «περιοδική κίνηση» και το «παλινδρομική») Όταν η ταλάντωση εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά ονομάζεται γραμμική ή απλή ταλάντωση. Μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης, είναι η απλή αρμονική ταλάντωση. Μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι κατ αρχήν ταλάντωση, κατά δεύτερον απλή (γραμμική) και επιπλέον αρμονική. Η λέξη αρμονική, σημαίνει ότι η ταλάντωση θα πρέπει να είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. Αρμονικές συναρτήσεις του χρόνου είναι στη γενικότερη μορφή τους η συναρτήσεις που γράφονται: x= A ημ ωt φ 0 [ ή x= A συν ωt φ 0 αλλά μας αρκεί η πρώτη γιατί ξέρουμε από τα μαθηματικά ότι η δεύτερη μπορεί να πάρει τη μορφή της πρώτης αν αφαιρέσουμε το π από το φ 0 ] Ως γνωστό, το ημίτονο μπορεί να πάρει τιμές στο διάστημα [-1,1]. Έτσι, η θέση x μπορεί να μεταβάλλεται στο διάστημα [-Α,Α] όπου Α ορίζουμε το πλάτος της ταλάντωσης και είναι η μέγιστη απόσταση από την αρχή 0 των αξόνων στην οποίο μπορεί να φτάσει το σώμα. Το φ 0 λέγεται αρχική φάση της ταλάντωσης. Παίρνει τιμές στο διάστημα [0,π ) και καθορίζει τον τρόπο (θέση και ταχύτητα) με τον οποίο ξεκινάει η ταλάντωση.(αφού αν θέσουμε t=0, μας δίνει την αρχική θέση αλλά και το αν η θέση αυτή αυξάνεται ή μειώνεται τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή) Για να βρούμε την αρχική φάση μιας ταλάντωσης, δεν αρκεί να μας δίνεται η θέση του κινητού τη χρονική στιγμή t=0 και να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο. Τα μαθηματικά, μας λένε

ότι εκτός από την περίπτωση που x 0 = A ή x 0 = A, παίρνουμε δύο διαφορετικές τιμές για το φ 0. Η μία από αυτές θα δούμε αργότερα ότι αντιστοιχεί σε θετική αρχική ταχύτητα, ενώ η άλλη σε αρνητική. Έτσι χρειαζόμαστε (συνήθως) και τη φορά κίνησης του σώματος στη στιγμή μηδέν για να υπολογίσουμε την αρχική φάση. Όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση της συγκεκριμένης κίνησης, αυτές στα μαθηματικά δίνονται από τους ορισμούς τους: dx du u = και a = {Βλέπε παραγώγους} dt dt Έτσι, συγκεντρωτικά στην απλή αρμονική ταλάντωση προκύπτουν οι τύποι: x= A ημ ωt φ 0 (1) u= Aωσυν ωt φ 0 () a= Aω ημ ωt φ 0 (3) Όπου Αω είναι η μέγιστη τιμή της ταχύτητας : u max = Aω και Αω είναι η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης : α max =Aω Φάση της ταλάντωσης καλείται ότι βρίσκεται μέσα στο ημίτονο ή το συνημίτονο: φ=ωt φ 0 (4) Συγκρίνοντας (ή και διαιρώντας κατά μέλη ) τις εξισώσεις (1) και (3) προκύπτει η εξίσωση: a= ω x (5) η οποία μπορεί να παρασταθεί σε διάγραμμα α x : Το στρεφόμενο διάνυσμα: Το σχολικό βιβλίο δεν αναφέρεται καθόλου σε ένα πάρα πολύ χρήσιμο «εργαλείο» της α.α.τ. Αυτό είναι το στρεφόμενο διάνυσμα που έχει πολλά κοινά αλλά και πολλές διαφορές από τον τριγωνομετρικό κύκλο που έχουμε δει στη Β Λυκείου {Βλέπε τριγωνομετρικό κύκλο}. Ωστόσο, κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη λύση ενός προβλήματος θεωρείται αποδεκτή από το υπουργείο παιδείας. Άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το «εκτός ύλης» παραπάνω διάγραμμα, αν πρώτα γράψουμε τη 3

φράση: «Κάθε αρμονικά μεταβαλλόμενο μέγεθος μπορεί να παρασταθεί με ένα στρεφόμενο διάνυσμα». Το στρεφόμενο διάνυσμα, είναι στην πραγματικότητα μια γραφική παράσταση (αλλά όχι συνάρτηση) της θέσης με την ταχύτητα. Αν πάρουμε τις εξισώσεις (1) και () και τις λύσουμε ως προς ημ(ωt+φ 0 ) και συν(ωt+φ 0 ) αντίστοιχα, προκύπτει: ημ ωt φ 0 = x Α και συν ωt φ 0 = u ωα Εφαρμόζοντας τώρα τη γνωστή ιδιότητα ημ (χ)+συν (χ)=1 έχουμε: x u A =1 (6) ωα που είναι μία εξίσωση έλλειψης. Επειδή όμως τα μεγέθη x και u είναι διαφορετικά και μετρώνται σε διαφορετικές μονάδες, μπορούμε να «στενέψουμε» την έλλειψη όσο χρειάζεται για να βγει κύκλος: Στο διάγραμμα αυτό, μπορούμε τώρα να προσθέσουμε και τη φάση ξεκινώντας από τα θετικά του άξονα των ταχυτήτων, έτσι ώστε η θέση (x) να πηγαίνει σαν ημίτονο και η ταχύτητα (u) να πηγαίνει σαν συνημίτονο (ακριβώς όπως στον τριγωνομετρικό κύκλο): Η προβολή λοιπόν της φάσης πάνω στον άξονα των x μας δίνει ανά πάσα στιγμή τη θέση του κινητού. Αντίστοιχα η προβολή της φάσης πάνω στον άξονα των u μας δίνει την ταχύτητά του. Γνωρίζοντας επίσης αρκετά καλά τον τριγωνομετρικό κύκλο μπορούμε να υπολογίσουμε αυτή τη φάση με βάση μια γνωστή θέση και το πρόσημο της ταχύτητας ή και το αντίστροφο. Τέλος, το στρεφόμενο διάνυσμα είναι πολύ χρήσιμο (σχεδόν απαραίτητο για όσους δεν είναι πραγματικά άνετοι στην τριγωνομετρία αλλά και 4

για όσους θέλουν να κερδίσουν χρόνο αποφεύγοντας τις πολλές περιπτώσεις της τριγωνομετρίας και το ρίσκο των λάθος πράξεων) για να υπολογίζουμε χρονικά διαστήματα: Ως γνωστό η φάση μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο. Βρίσκοντας έτσι τη φάση Δφ που θα διαγράψει ένα κινητό από θέση σε θέση, μπορούμε να εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών και να πούμε: Σε χρόνο Τ το κινητό διαγράφει φάση π»» Δt»»»» Δφ Δt = Δφ π Τ (7) (Στον οποίο τύπο μπορούμε να καταλήξουμε και με άλλους τρόπους: π.χ.: φ -φ 1 από τον τύπο της φάσης και τον ορισμό του ω). Αρχική φάση ίση με μηδέν (φ 0 0 = ): Αν θέσουμε την αρχική φάση ίση με μηδέν (που σημαίνει ότι το κινητό μας τη χρονική στιγμή μηδέν περνάει από τη Θέση Ισορροπίας x=0 του με θετική (μέγιστη) ταχύτητα), καταλήγουμε στους τύπους: x= A ημ ωt u= Aωσυν ωt a= Aω ημ ωt Οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω μεγεθών παίρνουν τη μορφή: (ΠΡΟΣΟΧΗ: Αυτές οι γραφικές παραστάσεις, προκύπτουν και μόνο από το στρεφόμενο διάνυσμα (οι πρώτες) ενώ η τρίτη από τη σχέση a = ω x με δεδομένη την 1 η. Επίσης με δεδομένη την πρώτη (απλώς από τον τριγωνομετρικό κύκλο ή από το ότι το ημίτονο ξεκινάει από μηδέν και αυξάνεται οι υπόλοιπες μπορούν να βγουν απλώς από τον ορισμό της ταχύτητας (ως κλήση της θέσης) και τον ορισμό της επιτάχυνσης (ως κλίση της ταχύτητας) σε διαγράμματα με το χρόνο. Τέλος πρέπει να προσέξουμε ότι έχουν τη συγκεκριμένη μορφή μόνο όταν η αρχική φάση είναι μηδέν. ) 5

Αρχική φάση διάφορη του μηδενός ( φ 0 0 ): Σε περίπτωση που μας δίνεται ένα πρόβλημα με άγνωστη αρχική φάση διάφορη του μηδενός, τότε πρέπει να την υπολογίσουμε (είτε χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία, είτε το στρεφόμενο διάνυσμα). Το αποτέλεσμά μας θα είναι εν γένει διαφορετικές λύσεις. Αν τα δεδομένα είναι επαρκή, τότε θα κρατήσουμε τη μία από τις δύο λύσεις (με βάση π.χ. το πρόσημο της ταχύτητας ή της θέσης). Αφού έχουμε υπολογίσει την αρχική φάση (ή αν μας δίνεται εξ αρχής), Μπορούμε να κατασκευάσουμε (χρησιμοποιώντας κατά προτίμηση το στρεφόμενο διάνυσμα, τις γραφικές παραστάσεις των x(t), u(t) και α(t). Παρουσιάζεται όμως ένα πρόβλημα. Πώς θα βρούμε τα χρονικά σημεία μηδενισμού. μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης των παραπάνω μεγεθών; Η λύση αυτού του προβλήματος, λύνεται είτε χρησιμοποιώντας τη γνωστή τριγωνομετρία (π.χ. 0=A ημ ωt π 3 και λύνοντας την υπολογίζουμε τα t μηδενισμού του x), είτε καλύτερα ως εξής: Με γνωστή την αρχική φάση, μπορούμε με τη μέθοδο των τριών να υπολογίσουμε πόσος χρόνος Δt έχει περάσει (είτε από τη σχέση (7) με Δφ=φ 0 είτε από τον ορισμό του ω που μας δίνει ξανά τη σχέση (7)- είτε από τη μέθοδο των τριών). Έτσι, τα χρονικά σημεία μηδενισμού. μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης των διαφόρων μεγεθών, προκύπτουν από τα γνωστά σημεία της περίπτωσης φ 0 = 0, αφαιρώντας το πλεόνασμα χρόνου Δt που βρίσκουμε παραπάνω και κρατώντας τους θετικούς χρόνους. Π.χ αν φ 0 = π 3 τότε προκύπτει Δt= Τ 3. Έτσι ξέραμε πως το πρώτο σημείο μεγιστοποίησης του x θα ήταν (αν φ 0 0 = ) το 4 T. Αφαιρώντας λοιπόν T T T T T = 3 4 = που το απορρίπτουμε γιατί είναι 4 3 1 1 1 T αρνητικός χρόνος. Ο επόμενος χρόνος μεγιστοποίησης θα είναι Τ+ = 5 T. 4 4 5T T T T 11T Κάνοντας την ίδια αφαίρεση προκύπτει: = 15 4 = Που είναι 4 3 1 1 1 θετικός και τον κρατάμε. Με τον ίδιο τρόπο, το πρώτο σημείο μηδενισμού, θα ήταν το T T T T T T. Κάνοντας την ίδια πράξη: = 3 = 3 6 6 6 Που είναι θετικός και τον T T κρατάμε. Το επόμενο σημείο μηδενισμού θα ήταν το Τ. Οπότε: T = Τέλος το 3 3 3T 3T T T T 5T σημείο ελαχιστοποίησης θα ήταν το. Οπότε: = 9 4 =. Αυτή η 4 4 3 1 1 1 διαδικασία, ισοδυναμεί στα μαθηματικά με το: x= A ημ ωt π π π = Α ημ t 3 Τ 3 =Α ημ π Τ t Τ 3 =f(t+ Τ 3, που σημαίνει ότι μετατοπίζουμε κατά Τ προς τα αριστερά όλη μας τη συνάρτηση, Άρα αφαιρούμε τον 3 αντίστοιχο χρόνο από κάθε γνωστό χρόνο. Τέλος, ένας ακόμα πιο γρήγορος και αποτελεσματικός τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε και πάλι το στρεφόμενο διάνυσμα και να δούμε ποια είναι η ελάχιστη 6

Δφ που χρειαζόμαστε για να φτάσουμε είτε στο πρώτο σημείο μηδενισμού, είτε στο πρώτο σημείο μεγιστοποίησης, είτε ελαχιστοποίησης (ανάλογα με την αρχική φάση που μας δίνεται). Μετατρέπουμε τη φάση αυτή σε χρόνο (π.χ από τον τύπο (7) ))Έπειτα προσθέτοντας 4 T πηγαίνουμε στο επόμενο σημείο (μηδενισμού, ελαχιστοποίησης η μεγιστοποίησης αντίστοιχα). Στο παραπάνω παράδειγμα έχουμε έτσι: Έχουμε έτσι Δt = T που είναι το πρώτο σημείο μηδενισμού του x. 6 Προσθέτοντας Τ/4 έχουμε: T T T + 3T T Σημείο ελαχιστοποίησης του x: t = + = = 5 6 4 1 1 Σημείο επόμενου μηδενισμού του x: 5T T 5T + 3T 8T T t = + = = = 1 4 1 1 3 T T 8T + 3T 11T Σημείο μεγιστοποίησης του x: t = + = = 3 4 1 1 Που είναι τα ίδια αποτελέσματα με τα προηγούμενα με πιο γρήγορο τρόπο. Η γραφική παράσταση x=f(t) παίρνει τη μορφή: Β. Δυναμική προσέγγιση: Για ένα οποιοδήποτε σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, ισχύει ο ος νόμος του Newton: 7

ΣF = ma Αντικαθιστώντας στον παραπάνω τύπο τη σχέση: a = ω x έχουμε: Σ F = mω x και θέτοντας: D = mω (8) Όπου D μία θετική σταθερά που ονομάζεται σταθερά επαναφοράς, καταλήγουμε στον τύπο: Σ F = Dx (9) Ο παραπάνω τύπος, ονομάζεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για να εκτελέσει ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση. Ικανή, γιατί αν ισχύει τότε το σώμα εκτελεί α.α.τ. (Άρα αρκεί να αποδείξουμε αυτόν τον τύπο για να έχουμε αποδείξει πως ένα σώμα εκτελεί α.α.τ και αυτό αρκεί για να ισχύουν οι τύποι (1), () και (3) της α.α.τ. ή για να υπολογίσουμε το D όταν δεν είναι αυτονόητο -όπως στην περίπτωση ενός οριζόντιου ελατηρίου όπου D=K από τον νόμο του Hook: Fελ = Κx ). Αναγκαία, γιατί εάν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, τότε σίγουρα ισχύει ο παραπάνω τύπος. Την παραπάνω συνισταμένη δύναμη, την ονομάζουμε δύναμη επαναφοράς γιατί λόγω του αρνητικού πρόσημου, τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση x=0. (Όταν το x είναι θετικό, η δύναμη είναι αρνητική και το αντίστροφο). Επίσης, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι στη θέση x=0 η παραπάνω εξίσωση μας δίνει ΣF=0 που σημαίνει πως το x μετριέται από τη θέση ισορροπίας. Άρα για την απόδειξη ότι ένα σώμα εκτελεί α.α.τ, πρέπει πρώτα να βρούμε τη θέση ισορροπίας και μετά να υπολογίσουμε το ΣF σε μία τυχαία απομάκρυνση x από τη Θ.Ι και να καταλήξουμε σε τύπο της μορφής του τύπου (9) όπου D θα είναι ένας θετικός αριθμός. Αντίθετα, όταν μιλάμε για ελατήριο, (είτε μιλάμε για τη δύναμη του ελατηρίου είτε για την ενέργειά του το x στο νόμο του Hook -και γενικότερα- μετριέται από τη Θέση Φυσικού Μήκους (Θ.Φ.Μ) του ελατηρίου). Γραφική παράσταση της ΣF με το x: Είναι προφανώς μία εξίσωση της μορφής f ( x) = ax η οποία περνάει από την αρχή των αξόνων, και έχει αρνητική κλήση ίση με D. Τα όρια στον άξονα τον x είναι τα Α και Α ενώ στον άξονα των y τα DA και DA. 8

Περίοδος (Τ) και σταθερά επαναφοράς: Με αφετηρία τη σχέση D = mω και χρησιμοποιώντας τον τύπο για το ω: ω= π Τ, έχουμε: D=m π Τ Τ D=m π T = m D π και επειδή η περίοδος Τα είναι θετικός αριθμός (χρόνος): T =π m D (10) Παρατηρούμε λοιπόν ότι η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης και αυτό είναι λογικό, αφού: Το σώμα μας θα κάνει μεν μεγαλύτερη διαδρομή αλλά θα την κανει και με μεγαλύτερη ταχύτητα (τύπος ()) Γ. Ενεργειακή προσέγγιση: Ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, έχει ταχύτητα που μεταβάλλεται σα συνάρτηση του χρόνου αλλά και της θέσης του. Κάθε σώμα που έχει ταχύτητα, έχει και μια αντίστοιχη κινητική ενέργεια (Κ) που δίνεται από τη σχέση: 1 K = mu (11) Επίσης, σε κάθε σώμα που εκτελεί α.α.τ, ασκείται μια συνισταμένη δύναμη Σ F = Dx. Για να μεταφέρουμε εμείς το σώμα από τη θέση ισορροπίας του σε μία τυχαία θέση x, πρέπει να ασκήσουμε μια F αντίθετη της ΣF. Το έργο της δύναμης αυτής που ασκούμε αποθηκεύεται στο σύστημα ως δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης (U). Δε μπορεί να δοθεί όμως από τον απλό τύπο W = F x επειδή η F δεν είναι σταθερή σε συνάρτηση με τη θέση. Πρέπει λοιπόν να την υπολογίσουμε από το εμβαδόν της γραφικής παράστασης της F με το x. Σχεδιάζουμε λοιπόν τη γραφική παράσταση F = ΣF = Dx και υπολογίζουμε το εμβαδόν της σε μία τυχαία θέση x: Το εμβαδόν μεταξύ της γραφικής παράστασης μας δίνει το έργο άρα και τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης. Από τον απλό τύπο του εμβαδού τριγώνου, θα έχουμε λοιπόν : 1 U = Dx (1) 9

Τέλος, η μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης θα δίνεται από τη σχέση: E = K + U (13) Χρησιμοποιώντας τους τύπους () και (1) αντίστοιχα με τους ορισμούς της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας στην τελευταία σχέση, έχουμε: E= 1 mu 1 Dx = 1 [ m ωασυν ωt φ 0 D A ημ ωt φ 0 ] Ε= 1 [ mω Α συν ωt φ 0 mω Α ημ ωt φ 0 ] Όπου χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό του D. Έχουμε λοιπόν: E= 1 mω Α [ συν ωt φ 0 ημ ωt φ 0 ] Το περιεχόμενο όμως της αγκύλης ισούται με μονάδα (γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα). Άρα με δεδομένο ότι u max = Aω καταλήγουμε: 1 1 E = DA = U max = mumax = K max (14) Από την παραπάνω σχέση, μπορούμε να βγάλουμε τα εξής συμπεράσματα: Η μηχανική ενέργεια Ε της ταλάντωσης: 1) είναι σταθερή (ανεξάρτητη του χρόνου της θέσης και της ταχύτητας) ) ισούται με τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης U max (αφού στις ακραίες θέσεις Α και Α που το μέτρο του x παίρνει τη μέγιστη τιμή του, η ταχύτητα άρα και η Κ- είναι μηδέν) 3) ισούται με τη μέγιστη κινητική ενέργεια της ταλάντωσης K max (αφού όταν το μέτρο της ταχύτητας γίνεται μέγιστο η απομάκρυνση από τη Θ.Ι. άρα και η U- είναι μηδέν) Σχέση ταχύτητας u και θέσης x: Ξεκινώντας από τη σχέση (13) έχουμε: 1 1 1 Ε=Κ+U DA = mu + Dx mω Α = mu + mω x u = ω ( Α x ) u = ± ω A x (15) Προσοχή η παραπάνω σχέση δεν περιέχεται στο βιβλίο και πρέπει να αποδεικνύεται πριν χρησιμοποιηθεί. Επίσης η ίδια σχέση θα μπορούσε να αποδειχτεί από τις σχέσεις (1) και () με δεδομένη την ταυτότητα συν ωt φ 0 ημ ωt φ 0 =1 10

Γραφική παράσταση των ενεργειών της ταλάντωσης ως προς την απομάκρυνση x: 1 U = Dx (με το x να παίρνει τις τιμές στο διάστημα [-Α,Α]) Που μας δίνει μια παραβολή με τα κοίλα άνω που περνάει από την αρχή των αξόνων και σταματάει στις θέσεις Α και Α. 1 Κ= mu Εδώ η σχέση είναι ως προς την ταχύτητα. Άρα πρέπει να τη μετατρέψουμε έτσι ώστε να σχετίζεται με την απομάκρυνση x. Ο πιο εύκολος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (13). Έτσι: 1 1 K = E U = DA Dx. Που μας δίνει μια παραβολή με τα κοίλα κάτω που στη θέση x=0 εχει την τιμή της Ε και στις θέσεις Α και Α μηδενίζεται. 1 Ε= DA Που μας δίνει μία ευθεία παράλληλη στον άξονα των x. Έχουμε λοιπόν η γραφική παράσταση (ανεξάρτητα από την αρχική φάση) έχει τη μορφή: Στο παραπάνω διάγραμμα, τα σημεία τομής των K και U βρίσκονται ως εξής Ε=Κ+U με Κ=U Άρα Ε=U U = E 1 1 1 Dx = DA x = ± A Προσοχή: Οι τύποι (13) και (14) πρέπει να χρησιμοποιούνται κάθε φορά με τέτοιο τρόπο ώστε να μας δίνουν τη σχέση που ζητάμε. Δηλαδή να μας μένει σχέση του x με το Α (όπως στο παραπάνω παράδειγμα). Αν π.χ. είχαμε να φτιάξουμε το αντίστοιχο διάγραμμα των ενεργειών με το u και όχι με το x θα εργαζόμασταν ως εξής: 1 K = mu (έτοιμη ως προς το u που ζητάμε) 1 U = Dx (δεν μας συνδέει το U με το u αλλά με το x Δεν μας κάνει) 1 1 U = E K = mu max mu (Αυτή είναι η σχέση που μας κάνει ) κ.τ.λ. Όσο για τα σημεία τομής: 1 1 1 1 Ε=Κ+U με K=U Άρα Ε=Κ Κ= E mu = mumax u = ± u max 11

Γραφική παράσταση των ενεργειών της ταλάντωσης ως προς το χρόνο t: Έχουμε ήδη δει ότι η κινητική ενέργεια εξαρτάται από την ταχύτητα η οποία εξαρτάται από την αρχική φάση της ταλάντωσης. Ομοίως η δυναμική ενέργεια εξαρτάται από την απομάκρυνση η οποία επίσης εξαρτάται από την αρχική φάση της ταλάντωσης. Άρα οι γραφικές παραστάσεις των ενεργειών ως προς το χρόνο θα εξαρτώνται εν γένει από την αρχική φάση της ταλάντωσης και δεν θα είναι ίδιες σε κάθε περίπτωση όπως οι προηγούμενες για τις οποίες συζητήσαμε. Αρχική φάση ίση με μηδέν (φ 0 0 = ): Αν θέσουμε την αρχική φάση ίση με μηδέν ισχύουν οι τύποι: x= A ημ ωt u= Aωσυν ωt Επομένως οι ενέργειες παίρνουν τη μορφή: Κ = 1 mu = 1 m A ωσυν ωt ) = 1 DA συν ωt (16) 1 U = 1 Dx = D( A ημ ωt ) = 1 DA ημ ωt (17) 1 Ε= DA (18) Εδώ πρέπει να παρατηρήσουμε ότι τα συν ( ωt ) και ηµ ( ωt ) παίρνουν μόνο θετικές τιμές και επειδή είναι στο τετράγωνο, δε μας απασχολεί το πρόσημό τους, άρα σε χρόνο μίας περιόδου της ταλάντωσης, οι ενέργειες Κ και U θα επαναλαμβάνονται φορές (αφού η τιμή 1 και -1 του ημιτόνου και του συνημιτόνου, τετραγωνίζονται και μας δίνουν ξανά μονάδα.) Αυτό σημαίνει πως η συχνότητα των ενεργειών f Eν. Κ και U είναι διπλάσια από τη συχνότητα της ταλάντωσης f Ταλ. : f E ν. = f Ταλ. και οι περίοδοι θα έχουν την αντίστροφη σχέση. Δηλαδή: Τ αλ. = Τ Εν. Στο παραπάνω συμπέρασμα (αλλά και σε άλλα χρήσιμα γενικά συμπεράσματα για τη μορφή της γραφικής παράστασης), θα μπορούσαμε να καταλήξουμε εφαρμόζοντας τις γνωστές από τη Β Λυκείου τριγωνομετρικές ταυτότητες: ημ 1 συν α α= και συν α= 1 συνα οπότε έχουμε: Κ = 1 1 συν ωt DA = 1 4 DA 1 συν ωt U = 1 1 συν ωt DA = 1 4 DA 1 συν ωt 1

Οι παραπάνω τύποι, εκτός του ότι μας λένε ότι η γωνιακή (άρα και η απλή) συχνότητα της ενέργειας είναι διπλάσια από τη συχνότητα της ταλάντωσης, μας δείχνουν επίσης, ότι η μορφή των γραφικών παραστάσεων θα είναι σαν συνημίτονο η πλην συνημίτονο μετατοπισμένο προς τα πάνω, τόσο ώστε η ελάχιστη τιμή του να είναι το 1 μηδέν (με κλήση μηδέν) και η μέγιστη τιμή θα είναι το DA (πάλι με κλίση μηδέν). Τους παραπάνω τύπους δε χρειάζεται ούτε να τους μάθουμε απ έξω ούτε να τους χρησιμοποιήσουμε στη γραφική παράσταση. Πρέπει όμως να κρατήσουμε το συμπέρασμα, ότι όταν η κινητική και η δυναμική ενέργεια παίρνουν τη μέγιστη 1 ( DA ) ή την ελάχιστη (μηδέν) τιμή τους, η κλήση των γραφικών παραστάσεων θα είναι ίση με μηδέν. Όσον αφορά τους χρόνους, θα δουλέψουμε ξανά με το στρεφόμενο διάνυσμα αποδεικνύοντας πρώτα ότι οι K και U συναντιόνται στα x = ± A. Έτσι η κινητική ενέργεια θα ξεκινάει από τη μέγιστη τιμή της (βλέπε σχέση (16) αλλά προσοχή: με κλίση μηδέν) και θα συναντάει για πρώτη φορά τη δυναμική μετά από μεταβολή φάσης π 4 άρα χρόνου 8 Τ (Απλή μέθοδος των τριών). Έπειτα θα πηγαίνει στο μηδέν μετά από μεταβολή φάσης άλλα π 4 άρα χρόνου Τ T.(Δηλαδή στα ). Συνεχίζουμε έτσι, μέχρι 8 4 να φτάσουμε στο Τ και προχωράμε λίγο ακόμα τη γραφική παράσταση για να δείξουμε ότι ο χρόνος άρα και το φαινόμενο συνεχίζεται. Ομοίως η δυναμική ενέργεια, ξεκινάει από το μηδέν (με κλήση μηδέν), συναντιέται με την κινητική στα Τ/8, παίρνει τη μέγιστη τιμή της στα Τ/4 και συνεχίζεται ανά Τ/8. Στα ίδια συμπεράσματα (εκτός της κλήσης μηδέν στις ακραίες τιμές των ενεργειών), θα μπορούσαμε να έχουμε καταλήξει από το στρεφόμενο διάνυσμα ελέγχοντας όμως μόνο το μέτρο της θέσης ή της ταχύτητας αφού στις ενέργειες αυτά τα μεγέθη τετραγωνίζονται. Έχουμε έτσι: 13

Αρχική φάση διάφορη του μηδενός (φ 0 0 ): Σε αυτή την περίπτωση οι τύποι των ενεργειών παίρνουν τη γενικότερη μορφή τους: K = 1 1 mu = m ( A ωσυν ωt φ0 ) = 1 DA συν ωt φ 0 1 U = 1 Dx = D( A ημ ωt φ 0 ) = 1 DA ημ ωt φ 0 1 Ε= DA Ο καλύτερος (γρηγορότερος) τρόπος να κάνουμε αυτή τη γραφική παράσταση είναι μέσω του στρεφόμενου διανύσματος (κοιτώντας μόνο το μέτρο των x και u). Κατ αρχήν εφαρμόζουμε τους παραπάνω τύπους με t=0 για να δούμε από ποια σημεία ξεκινάνε οι K και U. Έπειτα ελέγχουμε αν το μέτρο του u στην περίπτωση της K ή του x στην περίπτωση του U, αυξάνεται ή μειώνεται ώστε να δούμε αν η αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις πηγαίνουν προς τα πάνω η προς τα κάτω αντίστοιχα. Μετά, μέσω του στρεφόμενου διανύσματος και αφού αποδείξουμε ότι οι Κ και U τέμνονται στα x = ± A (που σημαίνει στα (k+1) π, βλέπουμε αν η πρώτη χρονική 4 στιγμή που μας ενδιαφέρει είναι σημείο τομής των δύο γραφικών ή σημείο μεγιστοποίησης της κάθε ενέργειας (που σημαίνει ότι το u ή το x θα παίρνουν τις τιμές ± 1 ) η μηδενισμού (που σημαίνει ότι το u ή το x παίρνουν την τιμή μηδέν). Με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε την πρώτη φάση που υπολείπεται για την τομή των δυο γραφικών ή τη μεγιστοποίηση-ελαχιστοποίηση της ενέργειας που σχεδιάζουμε. Με τη μέθοδο των τριών, υπολογίζουμε την πρώτη αυτή χρονική στιγμή που μας ενδιαφέρει και έπειτα προσθέτουμε χρόνο Τ/8 για να πάμε στο επόμενο σημείο τομής ή μεγιστοποίησηςελαχιστοποίησης φτάνοντας μέχρι τη στιγμή Τ που είναι η δεύτερη φορά που οι ενέργειες αρχίζουν να επαναλαμβάνονται και προχωρώντας για λίγο ακόμα τις γραφικές για να δείξουμε ότι ο χρόνος άρα και το φαινόμενο συνεχίζεται. Π.χ. στην περίπτωση της αρχικής φάσης φ 0 = π 3 έχουμε: 1 K(0)= E και το στρεφόμενο μας δείχνει ότι το μέτρο της u άρα και η Κ αυξάνεται. 4 3 U(0)= E και το στρεφόμενο μας δείχνει ότι το μέτρο του x άρα και το U μειώνεται. 4 Σίγουρα λοιπόν το πρώτο χρονικό σημείο που μας ενδιαφέρει είναι το σημείο τομής των δύο ενεργειών. Από το στρεφόμενο βλέπουμε πως αυτό θα γίνει στα 3π. Άρα έχουμε 4 μια μεταβολή φάσης Δφ= 3π 4 π 3 = 9π 8π = π (Βλέπε στρεφόμενο στην επόμενη 1 1 σελίδα) 14

T T που αντιστοιχεί (μέθοδος των τριών) σε. Προσθέτοντας ξανά και ξανά, Έχουμε 4 8 τους χρόνους: T 7T 5T 13T T 19T 11T,,,,,, 6 4 1 4 3 4 1 Έχουμε λοιπόν τη γραφική παράσταση: Ρυθμοί μεταβολής: dx dk ΣFdx 1) = u 4) = =ΣFu (Από Θ.Μ.Κ.Ε) dt dt dt du ) = a dt dp 3) = ΣF ( ος Νόμος Newton) dt 15