Ταλάντωση, γραφικές παραστάσεις και ρυθµοί µεταβολής

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ταλάντωση, γραφικές παραστάσεις και ρυθµοί µεταβολής"

ÍÊ Σωφρόνιος Κασιδιάρης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ταλάντωση, γραφικές παραστάσεις και ρυθµοί µεταβολής Σώµα µάζας m=kg ισορροπεί δεµένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=00 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο ακλόνητα στο έδαφος. Αποµακρύνουµε το σώµα από τη θέση ισορροπίας του (Θ.Ι) προς τα πάνω µέχρι το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του µήκος και από τη θέση αυτή εκτοξεύουµε το σώµα µε ταχύτητα µέτρου υ = 3 m και µε φορά προς τα κάτω. Η αντίσταση από τον αέρα θεωρείται αµελητέα, αρχή µέτρησης του χρόνου (t=0) λαµβάνουµε τη στιγµή της εκτόξευσης, θετική φορά λαµβάνουµε προς τα πάνω (τη φορά της αρχικής εκτροπής από τη Θ.Ι) και g = 10m. Το σώµα αµέσως µετά την εκτόξευσή του εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς ίση µε τη σταθερά σκληρότητας του ελατηρίου. Α) Να βρείτε το µέτρο της µέγιστης δύναµης επαναφοράς καθώς και το µέτρο της µέγιστης δύναµης που ασκεί το ελατήριο στο σώµα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. Β) Να σχεδιάσετε το διάγραµµα της φάσης της ταλάντωσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. Γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις αποµάκρυνσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης σε σχέση µε το χρόνο: χ-t, υ-t, α-t. ) Να βρείτε το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος όταν η αποµάκρυνσή του από τη Θ.Ι είναι x 1 = 0,1 3 m / Ε) Να βρείτε το χρονικό διάστηµα που χρειάζεται το σώµα για να µεταβεί για 1η φορά µετά από τη στιγµή t=0, σε ακραία θέση της ταλάντωσής του. Στ) Στο παραπάνω χρονικό διάστηµα να βρείτε τη µεταβολή της ορµής του σώµατος, το έργο της δύναµης επαναφοράς καθώς και το έργο της δύναµης του ελατηρίου.

2 Ζ) Τη χρονική στιγµή t κατά την οποία για πρώτη φορά, µετά τη στιγµή t=0, η κινητική ενέργεια του σώµατος γίνεται τριπλάσια της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης, να βρείτε: i) το ρυθµό µεταβολής της ορµής ii) iii) iv) το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος το ρυθµό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης το ρυθµό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας βαρύτητας v) το ρυθµό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου. Απάντηση Το σώµα εκτελεί ΑΑΤ γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας µε γωνιακή συχνότητα: D k m k m = = ω ω= ω= rad 10 Η αποµάκρυνση της θέσης έναρξης της ΑΑΤ από τη Θ.Ι, είναι ίση µε την αρχική συσπείρωση του ελατηρίου: mg x= lο = x= lο = 0,1m k Για να υπολογίσουµε το πλάτος της ΑΑΤ εξισώνουµε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης στη θέση έναρξης µε την ολική ενέργεια στην ακρότατη θέση: E E kx m ka ολ ( x= 0,1 m) = ολ ( x= A) + υ = mυ = + = k A x A 0,m Α) Το µέτρο της µέγιστης δύναµης επαναφοράς εµφανίζεται στις ακρότατες θέσεις της ταλάντωσης. Όταν: x=± A Σ Fmax =m ka, συνεπώς το µέτρο είναι ίσο µε: Σ Fmax = ka Σ Fmax = 40N Το µέτρο της δύναµης που ασκεί το ελατήριο στο σώµα δίνεται από τη σχέση: F = ελ k l όπου l η παραµόρφωση από το φυσικό µήκος του ελατηρίου. Προφανώς:

3 F = k l = k( l + A) F = 60N ελ (max) max 0 ελ (max) στην κάτω ακρότατη θέση της ταλάντωσης. Β) Ο υπολογισµός της αρχικής φάσης θα γίνει µε τη βοήθεια του περιστρεφόµενου διανύσµατος. Επειδή για t=0 το σώµα βρίσκεται στη θέση χ=0,1m έχοντας αρνητική ταχύτητα (υ<0) αφού εκτοξεύεται προς τα κάτω, το περιστρεφόµενο διάνυσµα θα σχηµατίζει µε τον αρνητικό ηµιάξονα των φάσεων γωνία: 0,1 1 π π ηµθ = = = ηµ θ = 0, 6 6 θ φ 0 οπότε η αρχική φάση είναι ίση µε τη γωνία που σχηµατίζει το περιστρεφόµενο αριστερόστροφα διάνυσµα µε το θετικό ηµιάξονα των φάσεων: π 5π ϕ0 = π = 6 6 Η φάση της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση: 5π ϕ = ωt+ ϕ0 ϕ = 10 t+ ( t, ϕ rad) 6 και παριστάνεται από το διάγραµµα του σχήµατος. Γ) Για το σχεδιασµό των γραφικών παραστάσεων προτείνω τον εξής τρόπο: Όταν ο ταλαντωτής ξεκινώντας από την αρχική θέση χ=0,1m µε υ<0 φθάνει στη Θ.Ι χ=0 µε υ<0, το περιστρεφόµενο διάνυσµα διαγράφει γωνία θ=π/6 σε χρόνο : π θ t t 6 Τ = = t=. ω π 1 Τ T ηλαδή τη χρονική στιγµή t 1 =, η φάση της ταλάντωσης είναι 5π/6+π/6=π και 1 ο ταλαντωτής διέρχεται από τη θέση χ=0, µε υ = υmax και α=0. Ξέρουµε ότι ανά Τ/4 η φάση της ταλάντωσης αυξάνει κατά π Τ π ϕ = ω t= =. Φτιάχνουµε τον Τ 4 ακόλουθο πίνακα τιµών, όπου µετά από τη στιγµή Τ/1 λαµβάνουµε αυξανόµενες

4 τιµές χρόνου ανά Τ/4, οπότε η φάση µετά την τιµή π θα αυξάνει κατά π/. Μετά τη χρονική στιγµή 5Τ/6, λαµβάνουµε τιµή χρόνου ίση µε την περίοδο για να ολοκληρωθεί µία πλήρης µεταβολή τιµών : t ωt+5π/6 χ=0,ηµ(10t+5π/6) υ=συν(10t+5π/6) α=-0ηµ(10t+5π/6) (S.I) (S.I) (S.I) 0 5π/6 0,1m 3 m/ 10 m π 0 - m/ 0 T/1 3π/ -0,m 0 T/3 0 m π 0 m/ 0 7T/1 5π/ 0,m 0 5T/6 0 m T 17π/6 0,1m 3 m/ 10 m Με βάση τις τιµές του πίνακα κατασκευάζουµε τις γραφικές παραστάσεις: Γραφικές παραστάσεις µε τις παραπάνω τιµές. a (m/ ) 0 T/1 T/3 7T/1-10 T t()

5 ) Το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος όταν η αποµάκρυνσή του από τη Θ.Ι είναι x1 = 0,1 3 m / υπολογίζεται από τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης: k m E = E ( ( ) ( 1 ) 1 1 x1 0,1 3 m) x A kx m ka A x ολ ολ = + υ = υ = υ = = m Ε) Στο χρονικό διάστηµα που χρειάζεται το σώµα για να µεταβεί για 1η φορά µετά από τη στιγµή t=0, σε ακραία θέση της ταλάντωσής του, δηλαδή στη θέση χ=-0,m, το περιστρεφόµενο διάνυσµα διαγράφει γωνία: θ=π/6 +π/=π/3 σε χρόνο: θ φ 0 π θ t t 3 Τ π = = t= t= ω π 3 15 Τ Στ) Στο παραπάνω χρονικό διάστηµα η µεταβολή της ορµής του σώµατος είναι ίση µε: r r r p= p p p 0 m( ) p m p 3 Kg τελ αρχ = υ = υ = Η θετική αλγεβρική τιµή δηλώνει ότι το διάνυσµα p r έχει θετική φορά, δηλαδή προς τα πάνω. Το έργο της συνισταµένης δύναµης που ασκείται στον ταλαντωτή (δύναµη επαναφοράς) κατά την κίνηση µεταξύ δύο ορισµένων θέσεων της τροχιάς, υπολογίζεται µε χρήση του Θεωρήµατος Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. Συνεπώς αρκεί να γνωρίζουµε την ταχύτητα του ταλαντωτή στην αρχική και τελική θέση της τροχιάς που ζητείται στην άσκηση: 1 WΣ F = Κ WΣ F =Κτελ Κ αρχ = 0 mυ WΣ F = 3J Η δύναµη του ελατηρίου είναι συντηρητική, οπότε το έργο της δεν εξαρτάται από τη διαδροµή που ακολουθεί ο ταλαντωτής, παρά µόνο από την αρχική και την τελική θέση της τροχιάς. Το έργο της δύναµης του ελατηρίου, υπολογίζεται εύκολα από τη σχέση:

6 1 1 W = U = U U = k l k l Fελ ελ ελ ( αρχ ) ελ ( τελ ) αρχ τελ όπου lαρχ, lτελ η παραµόρφωση από το φυσικό µήκος του ελατηρίου στην αρχική και την τελική θέση της τροχιάς. Έτσι έχουµε: 1 WF = U U ( ) U ( ) WF 0 k( l0 A) WF 9J ελ ελ = ελ αρχ ελ τελ = + = ελ ελ Ζ) Η κινητική ενέργεια του σώµατος γίνεται τριπλάσια της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης, K = U, στις θέσεις: 3 T A K+ UT = Eολ 4U T = Eολ UT = Eολ kx = ka x = A x =± Επειδή ζητάµε την 1η φορά, µετά τη στιγµή t=0, από το διάγραµµα χ-t βλέπουµε A ότι αυτό θα συµβεί στη θέση: x = x = 0,1m i) Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής ισούται µε τη συνισταµένη δύναµη στον ταλαντωτή, δηλαδή µε τη δύναµη επαναφοράς: dp =Σ F = Dx dp = kx = 0 Kgm dt dt ii) Ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας υπολογίζεται από τη σχέση: dk dwσ F ΣF dx dx = = =Σ F =ΣF υ= kx υ dt dt dt dt όπου Σ F, υ οι αλγεβρικές τιµές της δύναµης επαναφοράς Σ ur F και της ταχύτητας r υ τη συγκεκριµένη χρονική στιγµή. (Επειδή χρησιµοποιούµε τις αλγεβρικές τιµές οι οποίες καθορίζονται από τη φορά των διανυσµάτων, ο όρος συνθ όπου θ η γωνία µεταξύ της δύναµης επαναφοράς Σ ur F και της ταχύτητας r υ, παραλείπεται). Άρα: dk dk dk J = kx υ = kx ( ω A x ) = 00( 0,1)( 3) dt dt dt dk J = 0 3 dt Το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι η κινητική ενέργεια µειώνεται καθώς ο ταλαντωτής επιβραδύνεται αφού κινείται από τη Θ.Ι προς την αρνητική ακρότατη. iii) Ο ρυθµός µεταβολής της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση:

7 dut dk dut dk UT + K = EOΛ = σταθ + = 0 = = ΣF υ dt dt dt dt όπου Σ F, υ οι αλγεβρικές τιµές της δύναµης επαναφοράς Σ ur F και της ταχύτητας r υ τη συγκεκριµένη χρονική στιγµή. dut dk dut J Άρα: = = 0 3 dt dt dt Το θετικό πρόσηµο δηλώνει ότι η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης αυξάνεται καθώς ο ταλαντωτής κινείται από τη Θ.Ι προς την αρνητική ακρότατη. iv) Το βάρος είναι συντηρητική δύναµη, οπότε το έργο του υπολογίζεται ως εξής: W U U U dw du du dw = ( αρχ ) ( τελ ) = = = = du W dx συνθ dx du W dt dt dt dt = = συνθ = Wυσυνθ όπου θ η γωνία που σχηµατίζουν το βάρος W uur και η ταχύτητα r υ, ενώ υ είναι το µέτρο της ταχύτητας. Άρα ο ρυθµός µεταβολής της δυναµικής ενέργειας βαρύτητας είναι ίσος µε: du o du du J = Wυσυν 0 = mgυ = 0 3 dt dt dt du dt dw dt Το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι η δυναµική ενέργεια βαρύτητας µειώνεται καθώς το σώµα κατεβαίνει. v) Η δύναµη του ελατηρίου είναι συντηρητική, οπότε το έργο της υπολογίζεται ως εξής: du dw ελ Fελ WF = U ( ) U ( ) U dwf du du dw ελ ελ αρχ ελ τελ = ελ = ελ ελ ελ = F = ελ dt dt duελ Fελ dx συνθ dx duελ = = Fελ συνθ = Fελ υ συνθ dt dt dt dt uuur r όπου θ η γωνία που σχηµατίζουν η δύναµη του ελατηρίου F ελ και η ταχύτητα υ, ενώ υ, F ελ είναι τα µέτρα της ταχύτητας και της δύναµης του ελατηρίου. Άρα ο ρυθµός µεταβολής της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου είναι ίσος µε: duελ o duελ duελ J = Fελ υ συν180 = k( l0+ x) υ = 40 3 dt dt dt

8 Στο ίδιο συµπέρασµα φθάνουµε και µε χρήση της Αρχής ιατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας: dk du duελ K+ U + Uελ = Eολ = σταθ + + = 0 dt dt dt duελ dk du duελ J = ( + ) = 40 3 dt dt dt dt Το θετικό πρόσηµο δηλώνει ότι η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου αυξάνεται καθώς µεγαλώνει η παραµόρφωσή του. Θοδωρής Παπασγουρίδης

Σχετικά έγγραφα

1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις. Ενδεικτικές Λύσεις - Οµάδα Α.

1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις. Ενδεικτικές Λύσεις - Οµάδα Α. ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη Αυγούστου 05 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Οµάδα Α Θέµα Α Α.. Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση η αποµάκρυνση και η επιτάχυνση την ίδια