1 EΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ A Για κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 1. Μηχανικό σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,1ημ20 ( S.I ). Ελαττώνοντας συνεχώς την περίοδο του διεγέρτη διαπιστώνουμε ότι το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης ελαττώνεται και αυτό συνεχώς. Αν η σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι D=1000N/m, ποια από τις παρακάτω είναι μια δυνατή τιμή της μάζας του; α. 0,5kg β. 1kg γ. 2kg δ. 4kg ( Μoνάδες 5 ) 2. Σε μία αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου μεταβάλλεται χρονικά σύμφωνα με την εξίσωση U B=2συν 2 1000 ( S.I ). Τι από τα παρακάτω δεν είναι σωστό για την ταλάντωση αυτή; α. η μέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι ίση με 2J. β. τη χρονική στιγμή =0 ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος. γ. αν η χωρητικότητα του πυκνωτή έχει τιμή C=10mF, τότε ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου έχει τιμή L=0,1mH. δ. η ενέργεια του πυκνωτή μεγιστοποιείται με συχνότητα 1000/π Ηz. ( Μονάδες 5 ) 3. Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο και κάποια στιγμή η ταχύτητα του κέντρου μάζας του έχει τιμή υ cm. Τη στιγμή αυτή ένα σημείο της περιφέρειάς του έχει συνισταμένη ταχύτητα ίδιου μέτρου (υ=υ cm). To σημείο αυτό: α. βρίσκεται σ επαφή με το δάπεδο. β. απέχει από το δάπεδο απόσταση d<r, όπου R η ακτίνα του τροχού. γ. δεν έχει κεντρομόλο επιτάχυνση. δ. απέχει από το έδαφος απόσταση d=r. ( Μονάδες 5 )
2 4. Ο σταθμάρχης σ ένα σιδηροδρομικό σταθμό στέκεται στην αποβάθρα και ακούει τη σειρήνα ενός τρένου που μπαίνει στο σταθμό επιβραδύνοντας ομαλά μέχρι να ακινητοποιηθεί ακριβώς μπροστά του. Ποιο από τα ακόλουθα διαγράμματα παριστάνει (ποιοτικά) τη μεταβολή της συχνότητας του ήχου της σειρήνας που αντιλαμβάνεται ο σταθμάρχης σε συνάρτηση με το χρόνο, αν ως στιγμή =0 θεωρείται η στιγμή έναρξης της ομαλής επιβράδυνσης του τρένου; ( Mονάδες 5 ) f f f f α. β. γ. δ. 5. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε μιας από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση και Λάθος για τη λανθασμένη: α. Ένα στερεό σώμα με σταθερό άξονα περιστροφής δεν μπορεί να εκτελέσει σύνθετη κίνηση. β. Σε κάθε πλάγια κρούση μιας μικρής μπάλας με ακλόνητη επίπεδη επιφάνεια η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. γ. Mια υπεριώδης ακτινοβολία μπορεί να παραχθεί από διάσπαση ραδιενεργών πυρήνων. δ. Το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο απλών, αρμονικών ταλαντώσεων είναι πάντα μια απλή αρμονική ταλάντωση. ε. Η αρχή της επαλληλίας δεν ισχύει στα ωστικά κύματα εκρήξεων. ( Μονάδες 5 ) ΘΕΜΑ B Ι. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο τρέχοντος, γραμμικού κύματος, διαδιδόμενου κατά τη θετική φορά άξονα x Ox: y(cm) 20cm x Ο x(cm) Aν η παραπάνω χρονική στιγμή είναι 1=2s, τότε ποια από τις παρακάτω τιμές είναι η σωστή για τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του άξονα, με δεδομένο ότι το σημείο Ο άρχισε να ταλαντώνεται τη στιγμή o=1s με φορά προς τα επάνω; ( Μονάδες 2 )
3 α. 0,2π m/s β. 0,1 m/s γ. 0,1π m/s Δικαιολογήστε πλήρως την απάντησή σας. ( Μονάδες 6 ) ΙΙ. Η ομογενής σφαίρα του παρακάτω σχήματος εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή =0, κατακόρυφα προς τα επάνω με ταχύτητα και γωνιακή ταχύτητα. Η σφαίρα φτάνει στο ανώτατο σημείο της τροχιάς της τη χρονική στιγμή 1 και επιστρέφει στο σημείο εκτόξευσής τη χρονική στιγμή 2, ενώ η διεύθυνση κίνησης του κέντρου μάζας διατηρείται συνεχώς κατακόρυφη. Ποιο από τα ακόλουθα διαγράμματα Α, Β, Γ αναπαριστά σωστά την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο και ποιο από τα διαγράμματα Δ, Ε, ΣΤ αναπαριστά σωστά την αλγεβρική τιμή της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο; ( Μονάδες 2 ) Α) υ Β) υ Γ) υ υ 0 υ 0 υ 0 1 2 1 2 1 2 -υ 0 Δ) ω Ε) ω ΣΤ) ω ω 0 ω 0 ω 0 1 2 1 2 -ω 0 1 2 Δικαιολογήστε πλήρως την απάντησή σας. ( 6 μονάδες ) ΙΙΙ. Eξαιτίας ενός πολύ μεγάλου σεισμού, προκαλείται μετατόπιση ενός τμήματος του φλοιού της γης, από τον ισημερινό προς μεγαλύτερο γεωγραφικό πλάτος. Ποια από τις παρακάτω τιμές είναι πιθανή για τη νέα διάρκεια του ημερονυκτίου εξαιτίας της μετατόπισης αυτής; α. 24 h και 1s β. 23h, 59min και 59 s γ. 24h ( δεν υπάρχει μεταβολή ) ( 2 μονάδες ) Δικαιολογήστε πλήρως την απάντησή σας. ( 5 μονάδες )
4 ΘΕΜΑ Γ Στο παρακάτω κύκλωμα τα δύο ιδανικά πηνία Α και Β έχουν συντελεστές αυτεπαγωγής L A=4L B=10mH, ενώ η χωρητικότητα του πυκνωτή έχει τιμή C=1μF. Ο μεταγωγός μ βρίσκεται αρχικά τοποθετημένος στη θέση 1, οπότε το κύκλωμα του πηνίου Α εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με εξίσωση έντασης ρεύματος της μορφής i=0,1ημω ( S.I ). Τη χρονική στιγμή 1=3π/4ω γυρίζουμε ακαριαία το μεταγωγό στη θέση 2. Να βρείτε: α) Tην εξίσωση που περιγράφει το φορτίο του οπλισμού αναφοράς του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο, για το διάστημα 0<< 1. ( 8 μονάδες ) β) To λόγο των μέγιστων εντάσεων των ρευμάτων Ι Α/Ι Β που διαρρέουν τα δύο πηνία πριν και μετά τη χρονική στιγμή 1. ( 8 μονάδες ) γ) To ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή τη χρονική στιγμή 2=2 1. ( 9 μονάδες ) μ 1 2 L A C L B Δ ΘΕΜΑ Δ M R r K Τ k m Σ m/2 Κ d Στο παραπάνω σχήμα ο δίσκος Δ έχει μάζα Μ=5kg, ακτίνα R=20cm και μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδό του, διερχόμενο από το κέντρο του Κ. Ένα σώμα Σ, αμελητέων διαστάσεων σε σχέση με το δίσκο, και μάζας m=0,5kg είναι προσαρμοσμένο στο δίσκο σε απόσταση r=r/2 από το κέντρο του. Πάνω στο οριζόντιο δάπεδο ισορροπεί τροχός Τ, μάζας m/2 και ακτίνας R/2, στο κέντρο του οποίου είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k=600n/m, με το άλλο άκρο του ακλόνητο και ευρισκόμενο στο φυσικό του μήκος. Το κέντρο του τροχού Τ απέχει οριζόντια απόσταση d=1m από το σώμα Σ, στην κατάσταση που όλα τα παραπάνω σώματα ηρεμούν. Τη στιγμή =0 το σώμα Σ διασπάται ακαριαία, λόγω εσωτερικής έκρηξης, σε δύο τμήματα Α και Β, ίσων μαζών.
5 Αμέσως μετά την έκρηξη, το τμήμα Β κινείται οριζόντια, διατηρώντας πρακτικά σταθερή ταχύτητα, κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, και μετά από λίγο σφηνώνεται σ ένα σημείο του τροχού Τ, τέτοιο ώστε αμέσως μετά ο τροχός να εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση. Να βρείτε: α) Τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου Δ, αμέσως μετά τη διάσπαση του Σ, αν γνωρίζουμε ότι ο τροχός Τ αρχίζει να κινείται λόγω της κρούσης, τη χρονική στιγμή 1=0,1s. ( 4 μονάδες ) β) Αν το σύστημα δίσκος-τμήμα Α θα καταφέρει να εκτελέσει πλήρη ανακύκλωση μετά τη διάσπαση. ( 6 μονάδες ) γ) Την ενέργεια που απελευθερώθηκε από τη διάσπαση αν γνωρίζουμε ότι το 25% αυτής μετατράπηκε σε θερμική και το υπόλοιπο σε μηχανική. ( 5 μονάδες ) δ) Το πλάτος της απλής, αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος τροχός-ελατήριο μετά την κρούση του τμήματος Β με τον τροχό, αν δίνεται ότι ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης αυτής είναι ίση με D=2k/3. ( 5 μονάδες ) ε) Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος δίσκος Δ-τμήμα Α, κάποια στιγμή που το τμήμα Β απέχει από το δάπεδο κατακόρυφη απόσταση h=3r/4 και o ρυθμός μεταβολής της στροφικής κινητικής ενέργειας του συστήματος έχει αρνητική τιμή. ( 5 μονάδες )
6 ΛYΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α: 1-δ, 2-δ, 3-β, 4-, 5: i) Σ ii) Λ iii) Λ iv) Λ v) Λ ΘΕΜΑ Β: Ι. Σωστή απάντηση είναι η γ): Από το στιγμιότυπο φαίνεται ότι το πλάτος του κύματος έχει τιμή Α=20cm/2=10cm και ότι στο χρονικό διάστημα Δ= 2-1 =1s το κύμα έχει διαδοθεί κατά μισό μήκος κύματος, άρα Δ=T/2 T=2s. Συνεπώς, η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του άξονα θα είναι: II. υδιάγραμμα Α και ω διάγραμμα Ε: 2 2 umax 0,1m 0,1 m/s 2s Kατά τη διάρκεια της περιγραφείσας σύνθετης κίνησης της σφαίρας, η μόνη ασκούμενη δύναμη σ αυτήν είναι το βάρος της. Επειδή το σημείο εφαρμογής του είναι το κέντρο μάζας της, δεν προκαλείται ροπή στη σφαίρα, άρα η στροφική κίνησή της θα είναι ομαλή, διατηρώντας σταθερή γωνιακή ταχύτητα ( διάγραμμα Ε ). Η μεταφορική κίνηση θα είναι ομαλά επιβραδυνόμενη με επιβράδυνση τιμής α=-g άρα η ταχύτητα του κέντρου μάζας θα μεταβάλλεται με τη σχέση υ=υ ο -g (διάγραμμα Α). ΙΙΙ. Σωστή απάντηση η β): Η Γη δέχεται ως μόνη δύναμη, τη δύναμη Παγκόσμιας Έλξης από τον Ήλιο, η οποία ασκούμενη στο κέντρο της δεν προκαλεί ροπή ως προς τον άξονα της ιδιοπεριστροφής της. Συνεπώς, η στροφορμή της θα διατηρείται σταθερή. Η μετατόπιση του τμήματος του φλοιού της από τον Ισημερινό προς μεγαλύτερα γεωγραφικά πλάτη, δηλαδή πλησιέστερα στον άξονά της, θα προκαλέσει ελάττωση της ροπής αδράνειάς της ως προς τον άξονα αυτό. Άρα: ' L L ' ' ' ' Δηλαδή, η διάρκεια του ημερονυκτίου θα ελαττωθεί. ΘΕΜΑ Γ: α) Γνωρίζουμε ότι η ένταση του ρεύματος στο πηνίο, σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων, προηγείται του φορτίου του οπλισμού αναφοράς κατά π/2. Συνεπώς, η ζητούμενη χρονική εξίσωση στο διάστημα 0<< 1 θα είναι της μορφής q=qημ(ω-π/2) ( 1 ). Η γωνιακή συχνότητα ω υπολογίζεται εύκολα: 2 1 1 3 6 LC 1010 H10 F 4 10 rad / s ( 2 ) To μέγιστο φορτίο Q θα είναι: I 0,1 Q 4 10 rad / s 5 10 C ( 3 )
7 Τελικά: 2 (2)(3) 5 4 (1) q 10 (10 )(SI) β) Τη στιγμή 1 το φορτίο του οπλισμού αναφοράς του πυκνωτή έχει τιμή: 3 2 4 2 4 2 5 5 5 q1 10 10 10 C ( 4 ) Η τιμή αυτή του φορτίου εκφράζει τη μέγιστη τιμή Q B που θα έχει το φορτίο του πυκνωτή κατά τη διάρκεια της νέας ταλάντωσης που θα πραγματοποιηθεί, με το μεταγωγό στη θέση 2. Συνεπώς, ο ζητούμενος λόγος γράφεται: 1 QA 5 IA LC QA A LB QA (4) IA LB 10 2 I Q 1 Q L Q I 4L 5 10 LC 2 B B A B B B B B γ) Ο ζητούμενος ρυθμός γράφεται: du d E q Pc Vc i i ( 5 ) C Η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος του πηνίου Β θα είναι: L T 4 2 A A TB 2 LBC 2 C ( 6 ) Tη στιγμή 1 το ρεύμα στο πηνίο Β έχει μηδενική τιμή, άρα μετά από χρόνο 3T 3T 2 1,5T 4 2 A (6) B 2 1 1 1 1 B η ένταση του ρεύματος θα είναι και πάλι μηδενική, οπότε η ( 5 ) δίνει τελικά du E /d=0. ΘΕΜΑ Δ: d A A B cm '
8 α) Αμέσως μετά την έκρηξη-διάσπαση, το τμήμα Β εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ Β και, κινούμενο ευθύγραμμα ομαλά, καλύπτει την απόσταση d μέχρι τη χρονική στιγμή 1 που σφηνώνεται στο κέντρο του τροχού, οπότε και αρχίζει η αναφερόμενη ταλάντωση. Συνεπώς: d 1m 10m / s 0,1s 1 H στροφορμή του συστήματος δίσκος Δ-τμήμα Α, ως προς τον άξονα του δίσκου, θα διατηρηθεί σταθερή για το διάστημα λίγο πριν και αμέσως μετά την έκρηξη, αφού οι εξωτερικές δυνάμεις (βάρη δίσκου και τμήματος Α-αντίδραση άξονα) δεν προκαλούν ροπές. Η εφαρμογή διατήρησης στροφορμής μας δίνει τη ζητούμενη γωνιακή ταχύτητα αμέσως μετά τη διάσπαση: m 1 m m 2 2 L L 0 Br I 0 R r r m r 0,5kg 10m / s0,1m 0,5 2,43rad / s MR mr 5kg 0, 04m 0,5kg 0, 01m 0, 205 β) Για να εκτελέσει ανακύκλωση το σύστημα δίσκος Δ-τμήμα Α, μετά τη διάσπαση, θα πρέπει το τμήμα Α να φτάσει στην ανώτατη θέση της τροχιάς του ( βλ. σχήμα ) με το σύστημα να έχει μηδενική γωνιακή ταχύτητα: ω=0 U=0 Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για το σύστημα μεταξύ αυτών των δύο θέσεων: 1 2 m 1 2 K U U min g2r MR mr min 2mgr 2 2 2mgr 20,5kg 10m / s 0,1m min 9,52 3,08rad / s 1 1 MR mr 5kg 0, 04m 0,5kg 0, 01m Bρήκαμε ότι ω<ω min, συνεπώς το σύστημα δεν θα καταφέρει να εκτελέσει πλήρη ανακύκλωση. γ) Η κινητική ενέργεια του συστήματος δίσκος-σώμα αμέσως μετά την έκρηξη θα είναι:
9 1 1 m 1 1 2 2 K ά 0,105 2, 43 0, 25100 12,81J H συνολική εκλυόμενη ενέργεια θα ικανοποιεί τη σχέση: 25 12,81J E Q E 0, 75 17, 08J 100 0, 75 δ) Η κρούση του τμήματος Β με τον τροχό Τ υπόκειται στην αρχή διατήρησης της ορμής: m m m p p ( ) cm cm 5m / s Η διατήρηση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης μας δίνει: 1 1 1 K U U m DA 2 ' 2 cm ' I I cm cm / r m m cm 0,105 2500 0,525 A 0,83m D (2 / 3)k 400 ε) Ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής θα δίνεται από τη σχέση: dl dl w x (1) d d x h=3r/4 w Είναι προφανές ότι η μόνη θέση στην οποία μπορεί η απόσταση του τμήματος Α από το δάπεδο να είναι h=3r/4, είναι αυτή του σχήματος ( ή η συμμετρική της ως προς την κατακόρυφη που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου κατά την επαναφορά του συστήματος, αφού ανακύκλωση δεν θα πραγματοποιηθεί ). Στη θέση αυτή, ο ρυθμός μεταβολής της στροφικής κινητικής ενέργειας θα είναι αρνητικός όταν η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος είναι αρνητική, δηλαδή το σύστημα επιβραδύνεται, άρα από τα δύο πρόσημα της σχέσης ( 1 ) δεκτό θα γίνει το (-), οπότε: dl m m R R d 4 16 w x g r (R 3R / 4) g dl 0,25 10 0,0125 0,28Nm d