Έστω ένα Ανοικτό Σύστημα Μοναδιαίας ιαμέρισης όπου οι συγκεντρώσεις ηλεκτρολυτών και μοριακών ουσιών είναι σε ισορροπία. Θεωρούμε ότι m άτομα (ιόντα, μόρια) προστίθενται / μονάδα χρόνου σ ένα σύστημα εξισορρόπησης που περιέχει Μ άτομα της ίδιας ουσίας k=σταθερά ρυθμού αύξησης=m/m και υποθέτουμε ότι x άτομα επισήμανσης εισάγονται τότε η διαφορική εξίσωση λειτουργίας του συστήματος είναι dx x = k Αν x 0 άτομα επισήμανσης εισάγονται σε χρόνο t=0 τότε η λύση της διαφορικής είναι x = x e kt 0 Αν η ουσία επισήμανσης είναι ραδιοϊσότοπο με σταθερά λ τότε η διαφορική γίνεται dx = ( k + λ) t kx λx και η λύση x=x e 0 Β ιολογικός Χ ρόνος Η μιζωής( τ ): Ρ αδιενεργός Χ ρόνος Η μιζωής( τ ): Ε νεργό ς Χρόνος Ημιζωής (τ ) : eff b r ln τ = b k ln τ = r λ = + τ τ τ eff b r Σύμφωνα με τα παραπάνω ο ολικός όγκος νερού λειτουργεί με τ b ~ημέρες
Αν R=συνεχής εισαγωγή ραδιενεργών ατόμων ανά μονάδα χρόνου οπότε Η dx = + ( k λ) x+r ( k + λ) t R ( e ) x = k + λ ενεργότητα (=xλ), μετά από μεγάλο χρονικό διάστημα, φθάνει σε ισορροπία R/(k+λ) Ανοικτό Σύστημα υο Χώρων ιαμέρισης k k k(k): σταθερός ρυθμός εισόδου/εξόδου μορίων/μονάδα χρόνου στη διαμέριση () Θεωρούμε ότι δεν υπάρχει διάχυση προς τα πίσω από την στην dx = ( k + λ ) x dx = ( k + λ ) x + kx
Αν για t=0 έχουμε εισαγωγή επισήμανσης κατά x 0 άτομα ( k + λ) t x = x e 0 dx ( k λ ) x kx e 0 + + = ( k + λ ) t και η λύση της διαφορικής είναι για μικρούς χρόνους x ( ) x k = e e e x k k λt kt k t 0 ( ) Γραμμική αύξηση στη διαμέριση συναρτήσει του χρόνου k λt t x = Γραμμική αύξηση στη 0 Η ποσότητα x αυξάνει σε μέγιστη τιμή σε χρόνο t και εν συνεχεία μειώνεται. Αν διαφορίσουμε τη σχέση επειδή ln λ + t = k k k λ + k dx ( ) k λ x kx = + + ( ) x + k + λ x = kx ( + ) * k = ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( + )( + ) = 0 x = k + λ x kx k λ x k λ x kx = x + k + λ x x + k + k + λ x + k λ k λ x ax + bx + cx = 0 αρμονικός ταλαντωτής με επιβράδυνση 3
Για ισχυρή επιβράδυνση ( ) ( )( ) x + k + k + λ x + k + λ k + λ x = 0 ax + bx + cx = 0 αρμονικός ταλαντωτής με επιβράδυνση ( ) b ac k k 4 > 0 > 0 Ισχύει πάντα ένα φυσικό σύστημα ΕΝ είναι ποτέ ταλαντωμένο Εφαρμογή : Θεωρούμε τον θυρεοειδή αδένα που μετατρέπει πλάσμα ιωδίου σε θυρο-ορμόνη 3 Ι τ ½ =8, d k =ορυθμόςθ ό μετατροπής/λήψης ιωδίου από το πλάσμα = σταθερό (~% min - ) x /x 0 x =ποσοστό πλάσματος ιωδίου x =ποσοστό ιωδίου εντός του θυρεοειδούς 3 Ι τ ½ =,3 h ώρες Εφαρμόζουμε το μοντέλο ανοικτού συστήματος δύο διαμερίσεων χωρίς οπισθομεταφορά καμπύλες πρόσληψης για τα ισότοπα ιωδίου 3 Ικαι 3 Ι 4
Κλειστό Σύστημα δύο Χώρων ιαμέρισης k Οι διαφορικές εξισώσεις μεταφοράς χωρίς ραδιενεργό εκπομπή είναι 0 k + k dx = k x + k x dx =+ k x k x k Αν θεωρήσουμε εισαγωγή x 0 ραδιενεργών ατόμων στη διαμέριση κατά τη χρονική στιγμή t=0 η λύση είναι: k k ( k + k ) t x = x 0 + e k + k k x εξισορρόπηση k t k ( k + k ) t x k x = x e { } Εφαρμογή: Η ανάλυση αυτή εφαρμόζεται στην ανταλλαγή ατόμων επισημασμένου Καλίου διαμέσου των τοιχωμάτων του κυττάρου σ ένα σύστημα που αποτελείται από πλάσμα (διαμέριση ) και ερυθρά κύτταρα (διαμέριση ) in vitro Έστω V ο όγκος του πλάσματος και υ ο όγκος του ερυθροκυττάρου. Τότε ο αριθμός επισημασμένων ατόμων που εισέρχονται σ ένα ερυθροκύτταρο σε χρόνο x V συγκέντρωση επισημασμένων ατόμων στη διαμέριση Για σύστημα n ερυθροκυττάρων σε χρόνο x dx = nk V Σταθερά αναλογίας k 5
Κατά την οπισθομεταφορά από ένα ερυθροκύτταρο dx ατόμων στο πλάσμα dx =(x /υn)k και από n κύτταρα είναι dx =(x /υ)k εξισορρόπηση x x nk = k V υ dx dx = λόγος συγκεντρώσεων x k V = λόγος εξω κυτταρικής x k ενδο nυ συγκέντρωσης καλίου για τον άνθρωπο :40 Κλειστό Σύστημα ύο Χώρων ιαμέρισης με Οπισθομεταφορά & ιαφυγή στη Μια ιαμέριση ( Mamillary System) Ηλύσηείναι x x k k 0 k = x 0 = x 0 dx = k x k x + k x dx k x k x =+ bt ( ) ( ) k b e k b e 0 bt bt ( ) k e e b b b b b t bb = k k 0 b + b = k + k + k 0 6
Από αυτές τις λύσεις δείχνουν ότι το x αυξάνει μέχρι κάποιο μέγιστό και μετά μειώνεται μέχρι το 0. για x = max dx 0 k x k x = = k M = k M Επειδή κάθε στιγμή έχουμε δυναμική ισορροπία ίση μεταφορά μαζών και στις δύο κατευθύνσεις με Μ & Μ τις μαζικές δεξαμενές & x x για x =max η ειδική ενεργότητα α & α a a τωνδύοχώρωνδιαμέρισηςείναιστιγμιαία M = M = ίση Εφαρμογή : Παρόμοιες μελέτες εφαρμόζονται στη σύγκριση των μαζικών δεξαμενών πρωτεΐνης και μεταβολισμένης πρωτεΐνης όα όταν σαν χώροι δα διαμέρισης ορίζονται το πλάσμα αίματος και κυκλοφορικά αγγεία. Ηίδιαλειτουργία απαντάται στα ισότοπα Ca & Na όπου μια δεξαμενή έχει διαφυγή () και επικοινωνεί με μια άλλη δεξαμενή () με πολύ μικρούς ρυθμούς k,k. Η διαμεριστική ανάλυση για τη μελέτη των ραδιοϊσοτόπων είναι σημαντική στη διάγνωση όπου πιθανές βλάβες του οργανισμού από την επίπτωση αποφεύγονται. 7
Χώρος ιαμέρισης Η Ο του Ανθρώπινου Σώματος Το νερό μέσα στον ανθρώπινο οργανισμό θεωρείται σαν ένας χώρος διαμέρισης. Για τον προσδιορισμό του χώρου διαμέρισης του νερού εισάγεται νερό επισημασμένο με δευτέριο (d) ή τρίτιο (t). Μετά από ~3 ώρες (εξισορρόπηση) λαμβάνεται δείγμα πλάσματος και με τη μέθοδο της ισοτοπικής ανάλυσης προσδιορίζεται ρ η ποσότητα του ολικού νερού στο σώμα. d η χρήση του ανώδυνη από πλευράς επιβάρυνσης του οργανισμού λόγω ραδιενέργειας t η χρήση του δίνει ελάχιστη δόση (μερικές δεκάδες μgy) αλλά πιο φθηνή λύση Ακρίβεια προσδιορισμού ~-% 45lt Το Η Ο υποδιαιρείται σε Εξωκυτταρικό υγρό ενδοκυτταρικό υγρό (πλάσμα, Η Οεντέρων) Με ισοτοπική ανάλυση με ιχνηθέτες Να, Cl,Br 0 lt 5lt 8
Πρότυπο χώρων διαμέρισης ιαφορική ης τάξης 9
Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Νάτριο (Να) Το Να περιέχεται στο ανθρώπινο σώμα σε ποσότητα ~00 gr. Το 60% του Να περιέχεται στο εξω-κυτταρικό υγρό. Ραδιοϊσότοπο Να χορηγείται ενδοφλεβίως ή δια της στοματικής οδού και εξισορροπείται με το εξω-κυτταρικό Να για τον προσδιορισμό του εξωκυτταρικού όγκου. Το Να βρίσκεται, επίσης, στα οστά και μέρος αυτού εναλλάσσεται με το Να του εξω-κυτταρικού υγρού Μετά 4h από την χορήγηση του ραδιοϊσοτόπου η μέτρηση της ειδικής ενεργότητας καθορίζει την τιμή της δεξαμενής μάζας του εναλλασσόμενου Να. Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Το 4 Να (τ ½ ~5h) χρησιμοποιείται ευρύτατα για βραχύβιες παρατηρήσεις Το Να (τ ½ ~,6 y) χρησιμοποιείται για τη μέτρηση κατακράτησης πολύ μικρών ποσοτήτων λόγω εισαγωγής ενός ποσοστού στο χώρο διαμέρισης χωρίς εναλλαγή Παράδειγμα: Η χορήγηση,85 MBq Να δίνει τις παρατηρήσεις κατακράτηση 000 Bq μετά 0,7 χρόνια κατακράτηση 50 Bq μετά,3 χρόνια κατακράτηση 85 Bq μετά 6 χρόνια Αυτές οι μετρήσεις ΕΝ αντιστοιχούν σε εκθετικό νόμο αλλά περιγράφονται από μια σχέση της μορφής x=x 0 t -b 0
Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Κάλιο (Κ) Βρίσκεται κυρίως στο ενδοκυτταρικό υγρό με παράγοντα συγκέντρωσης 40 φορές μεγαλύτερο σε σχέση με αυτόν του εξω-κυτταρικού υγρού. Χρησιμοποιούνται τα ραδιοϊσότοπα 4 Κ & 43 Κ και η εξισορρόπηση μετά την χορήγηση στον άνθρωπο επέρχεται μετά από 4h με το εναλλασσόμενο κάλιο. Το κάλιο του οργανισμού μπορεί να προσδιορισθεί με μέτρηση δείγματος αίματος. Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Ασβέστιο (Ca) & Στρόντιο (Sr) To Ca αντιστοιχεί σε μάζα ~kgr στο σώμα και το 99,5% είναι στα οστά. Τα υπόλοιπα 5gr σχηματίζουν μια δεξαμενή ανταλλαγής που περιέχει: πλάσμα, εξωκυτταρικό υγρό, επιφάνεια οστών. Μετά την εισαγωγή Ca επέρχεται εξισορρόπηση σε 4h. Ένα μικρό ποσοστό (~0,5 gr/ημέρα) ανταλλάσσεται με το μη εναλλασσόμενο Caτων οστών. Η κατανομή του Ca με τους χώρους διαμέρισης παρίσταται στο διάγραμμα Ιδρώτας 50mgr/d 0 00mgr/d 50mgr/d 450mgr/d Πλάσμα 350mgr 3-5 lt εξαμενή Ανταλλαγής (5gr) Εξωκυτταρικό Υγρό 000mgr 5 lt Επιφάνεια Οστών 3650mgr 500mgr/d 500mgr/d Οστά 040gr Ούρα 50mgr/d
Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Το Ca ανταλλάσσεται από τη δεξαμενή ανταλλαγής με εκείνο των εντέρων, του ιδρώτα, των οστών & των ούρων σε ποσοστό 0,9/ημέρα που αντιστοιχεί σε βιολογικό χρόνο ημιζωής ln/0,9=3,7 ημέρες. Η λειτουργία του Ca στο σώμα είναι σημαντική για ραδιολογικές αιτίες διότι το χημικό ομόλογο στοιχείο το στρόντιο (Sr) παράγεται σε υψηλό ποσοστό κατά την πυρηνική σχάση ως ισότοπο 90 Sr με χρόνο ημιζωής 8 χρόνια και μπορεί να προκαλέσει βλάβη αν προσληφθεί από τον οργανισμό. Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Συνήθως το Sr εμφανίζεται σαν ιχνοστοιχείο στο σώμα με μοντέλο χώρων διαμέρισης παρόμοιο με το Ca Ιδρώτας 0,0 mgr/d,6 mgr/d, εξαμενή Ανταλλαγής (- mgr) 0,04 mgr/d 0, mgr/d Πλάσμα Εξωκυτταρικό Επιφάνεια Υγρό Οστών 0,05mgr 0,4 mgr 0,3mgr/d 0, mgr/d 0,88 mgr Οστά 350mgr Ούρα 0,4mgr/d Αλλά με διαφορετικούς ρυθμούς μεταφοράς. Αυτό έχει σημασία για τις ραδιολογικές μελέτες: Ρυθμός μεταφοράς από έντερα πλάσμα μισός από ρυθμό Ca Ρυθμός μεταφοράς απορρόφησης οστά σημαντικά λιγότερος από Ca Ιχνοστοιχείο 90 Sr μεταφέρεται στα οστά κατά παράγοντα 4 σε σχέση με το Ca Ειδική ενεργότητα 90 Sr ~4 φορές μικρότερη από Ca!!!!!! : η ραδιοϊσοτοπική επίπτωση του 90 Sr στον οργανισμό είναι σημαντική Όριο συγκέντρωσης στο πόσιμο νερό 700 Bq/lt
Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Σίδηρος (Fe) Σημαντικό στοιχείο συστατικό της αιμογλοβίνης των ερυθροκυττάρων του αίματος πάνω στα οποία στηρίζεται η μεταφορά οξυγόνου του οργανισμού. Απορροφάται από την τροφή και αποθηκεύεται στον μυελό των οστών όπου γίνεται η παραγωγή των κυττάρων του αίματος. Τα κύτταρα του αίματος έχουν χρόνο ημιζωής περίπου 0 ημέρες οπότε ο σίδηρος των ερυθροκυττάρων που καταστρέφονται ξαναχρησιμοποιείται για περαιτέρω παραγωγή ερυθροκυττάρων. Η μελέτη της κινηματικής του Fe διευκολύνεται με ραδιοϊσοτοπικό ιχνηθέτη 59 Fe (τ ½ =45 ημέρες) όπου μετράται η απορρόφηση από την τροφή και συγκρίνεται μεταξύ κανονικών και παθολογικών καταστάσεων. Με τον 59 Fe μελετούμε επίσης : μέτρηση ρυθμού καθαρισμού του πλάσματος, μέτρηση κύκλου χρήσης σιδήρου, μέτρηση χρόνου ζωής ερυθροκυττάρων. Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Μέθοδος διπλού ισοτόπου: ισότοπα συγχρόνως 59 Fe (ενδοφλεβίως) & 55 Fe (δια της στοματικής οδού) παρατηρείται ενσωμάτωση και των δύο στα ερυθροκύτταρα. Η μέτρηση της σχετικής απορρόφησης (σαν ποσοστό ως προς τη χρήση) του σιδήρου, για κάθε ισότοπο, από το έντερο και από το πλάσμα μας δίνουν πληροφορίες για την απορρόφηση του σιδήρου μέσω της διατροφής. Πειραματικά: Το ισότοπο 59 Fe εκπέμπει σωματίδια σωματίδια-β & ακτίνες-γ Το ισότοπο 55 Fe εκπέμπει χαρακτηριστικές ακτίνες-χ του 55 Mn Τα δύο ισότοπα μπορούν εύκολα να διαχωριστούν με τη χρήση κατάλληλων ανιχνευτών 3
Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Ιώδιο (Ι) Η σημασία του ιωδίου έγκειται στο γεγονός ότι είναι χρήσιμο στη σύνθεση της θυροξίνης μια διαδικασία που ελέγχεται από τον θυρεοειδή αδένα. Το Ι απορροφάται από τη διατροφή και εμφανίζεται στο πλάσμα σαν ανόργανο ιώδιο. καθαρίζεται από το πλάσμα μέσω του θυρεοειδούς και σε κανονικούς οργανισμούς το ποσό που μετακινείται ανά λεπτό είναι ισοδύναμο με το περιεχόμενο του ιωδίου ίσου περίπου με 5ml πλάσματος ήπερίπου0,μgr. To I που χάνεται από το πλάσμα αντικαθίσταται από το ιωδίδιο της αποθήκης ιωδιδίου, που περιέχει ~00 μgr και βρίσκεται κυρίως στο εξωκυτταρικό υγρό. Ο οργανισμός περιέχει 0 5 mgr Ι που είναι οργανικές ενώσεις και βρίσκονται στον θυρεοειδή αδένα. Η λειτουργία του θυρεοειδή αναλύεται σε 3 φάσεις Λήψη ιωδιδίου από το πλάσμα Μετατροπή ιωδιδίου σε θυροξίνη Έκκριση θρυροξίνης στο αίμα Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Τα ραδιοϊσότοπα μετρουν τους ρυθμούς των ανωτέρω διαδικασιών. Το ποσοστό χορήγησης Ιωδίου. εδομένα από 400 ασθενείς με κανονική λειτουργία θυρεοειδούς. Μεγιστο περίπου στο 30%. Ο έλεγχος ληψης σημαντικός. Σε μη κανονική λειτουργία διαφορετικό ποσοστό λήψης ιωδίου Θυρεοτοξικός αδένας (υπερενεργός) Ποσοστό λήψης 45 90% για μετά 4h από τη χορήγηση Μυξοιδηματικοί ασθενείς (υποενεργός Θυεροειδής) ποσοστό λήψης <0% Ποσοστό ασθ θενών σε % ποσοστού λήψ ψης Κατανομή Συχνότητας λήψης του θυρεοειδούς 3 5,5,5 ιαγνωστικός έλεγχος με ευρεία εφαρμογή Στην περίοδο 950 980 0,5 ~30% 0 0 40 60 Ποσοστό % λήψης, 4h μετά τη χορήγηση 4
Λειτουργία Συγκεκριμένων Στοιχείων στο Σώμα Ραδιενεργός δόση του θυρεοειδούς: 0-00mGyΣταδιακή μείωση: mgyγια 3 Ι(τ ½ =,3h) εκπέμπει β, γ Παράγεται από Te I 3 β 3 5 53 Ο μικρός χρόνος ημιζωής του 3 Ι επιβάλλει μετρήσεις ρυθμού διασπάσεων μετά h ή 4h από τη χορήγηση, για τη μελέτη του θυρεοειδούς. Άλλες μέθοδοι με μικρότερη ραδιενεργό επιβάρυνση αντικατέστησαν τη μέθοδο του ιωδίου. Πχ μετρηση ιωδιδίου των ούρων καθορίζει μία αντίστροφη σχέση της λειτουργίας του θυρεοειδούς. Επίσης γνωρίζοντας ότι η θυροξίνη είναι κατά 99% δέσμια με πρωτεϊνη στον οργανισμό, μετρείται το ιώδιο μετρείται το ιώδιο πού είναι δέσμιο με πρωτεΐνη αξιόπιστος δείκτης ρυθμού παραγωγής θυροξίνης. 5 Ι(τ ½ =60d) εκπέμπει γ(35,5 KeV) & X χρησιμοποιείται ευρύτατα λόγω της χαμηλής ενέργειας των γ 3 Ι(τ ½ =8,d) παράγεται στη σχάση των πυρηνικών αντιδραστήρων. Μολύνει το περιβάλλον και εισέρχεται στον άνθρωπο με την αναπνοή η τη διατροφή. Αντιμέτρο: το 3 Ι δεσμεύεται με χορήγηση KClO 4 ή ΚΙ 5