ΝΕΣΤΟΡΑΣ ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΤΗΣ ΠΥΛΟΥ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Η καµπυλόγραµµη κίνηση Σύµφωνα µε τον Πρώτο Νόµο του Νεύτωνα, που αφορά στην ισορροπία ενός υλικού σώµατος, αν δεν ενεργεί πάνω σε αυτό καµιά δύναµη, τότε αυτό είτε ηρεµεί ή κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Η ταχύτητα όµως είναι µέγεθος διανυσµατικό, όπως λέµε στα Μαθηµατικά, µε άλλα λόγια δεν έχει µόνο µέγεθος (ή µέτρο) αλλά και διεύθυνση. Π.χ. το µέγεθος της ταχύτητας ενός αυτοκινήτου φαίνεται στο ταχύµετρο του (κοντέρ), ενώ η διεύθυνση της κίνησης του είναι αυτή που καθορίζει ο οδηγός χειριζόµενος κατάλληλα το τιµόνι. Έτσι, όταν µιλάµε για σταθερή ταχύτητα, εννοούµε ταχύτητα σταθερή κατά το µέγεθος και κατά τη διεύθυνση, δηλαδή οµοιόµορφη κίνηση κατά µήκος µιας ευθείας. Για να µεταβληθεί η οµοιόµορφη και ευθύγραµµη αυτή κίνηση, πάνω στο υλικό σώµα πρέπει να ενεργήσει µια δύναµη. Η επίδραση της δύναµης αυτής καθορίζεται από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα, ο οποίος εκφράζεται από την πολύ απλή σχέση: F = m x a Από τον Νόµο αυτό προκύπτουν τα ακόλουθα: Αν η δύναµη ενεργήσει πάνω στο κινούµενο σώµα κατά τη φορά της (ευθύγραµµης) κίνησής του, τότε αυτό θα επιταχυνθεί, δηλαδή θα µεταβάλει το µέτρο της ταχύτητας του, αλλά όχι τη διεύθυνσή της. Αν ενεργήσει κάθετα (εγκάρσια ή πλευρικά) προς τη διεύθυνση της κίνησης, τότε απλά θα µεταβάλει τη διεύθυνση της κίνησης του σώµατος. Αν τώρα το σώµα πρέπει να κινηθεί πάνω σε µια καµπύλη τροχιά, τότε η εγκάρσια αυτή δύναµη πρέπει να ενεργεί συνεχώς πάνω στο σώµα, διότι, αν πάψει να ενεργεί, το σώµα θα ξεφύγει από την τροχιά και θα κινηθεί ευθύγραµµα κατά µήκος της εφαπτόµενης καµπύλης.
Ειδικότερα, αν το σώµα πρέπει να διατηρηθεί πάνω σε µια κυκλική τροχιά, απαιτείται να ενεργεί πάνω του µόνιµα µια δύναµη F n µε σταθερό µέτρο και µε διεύθυνση που θα κατευθύνεται σταθερά προς το κέντρο του κύκλου της τροχιάς. Η δύναµη αυτή ονοµάζεται κεντροµόλα και έχει µέτρο: F n = v 2 /R όπου ν είναι το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος πάνω στην κυκλική τροχιά και R η ακτίνα της τροχιάς αυτής. Ο παραπάνω τύπος µας οδηγεί σε ενδιαφέροντα συµπεράσµατα: α) Αν αυξηθεί το µέτρο της ταχύτητας, τότε η κεντροµόλα δύναµη αυξάνεται κατά το τετράγωνο του µέτρου αυτού. Αν π.χ τρέχουµε µε αυτοκίνητο σε έναν κυκλικό δρόµο και αυξήσουµε την ταχύτητά του κατά 10 %, η κεντροµόλα δύναµη αυξάνεται κατά 12,1%, ενώ η αύξηση της ταχύτητας 15% συνεπάγεται αύξηση κεντροµόλας κατά 32,25%. β) Την αύξηση της δύναµης αυτής, που χρειάζεται για να µας διατηρήσει πάνω στην κυκλική τροχιά, την αντιλαµβανόµαστε ως µια αντίθετη δύναµη, την οποία ονοµάζουµε φυγόκεντρη και η οποία τείνει να µας εκτρέψει από την τροχιά µας. Η δύναµη αυτή δεν υπάρχει στην πραγµατικότητα. Απλώς εκφράζει την τάση του υλικού µας σώµατος να κινηθεί ευθύγραµµα κατά την εφαπτοµένη της κυκλικής τροχιάς του. γ) Όσο πιο µικρή γίνεται η ακτίνα καµπυλότητας R, µε άλλα λόγια όσο πιο απότοµη είναι µια στροφή, τόσο µεγαλώνει η κεντροµόλα δύναµη που αναπτύσσεται. Αν µάλιστα η ακτίνα αυτή γίνει πάρα πολύ µικρή, τότε µπορεί ακόµη και να γίνει προβληµατική η παραµονή του οχήµατος στην τροχιά, και να εκσφενδονισθεί έξω από τον δρόµο. Το πρόβληµα αυτό είναι ιδιαίτερα σοβαρό για τους πιλότους των µαχητικών αεροσκαφών: ένα αεροσκάφος που έχει πίσω του ένα εχθρικό αεροσκάφος, πρέπει να εκτελέσει, όσο πιο γρήγορα και όσο πιο απότοµα γίνεται, στροφή 180 ο και να βρεθεί πίσω από αυτό, ώστε από τη θέση αυτή να µπορέσει να χρησιµοποιήσει µε επιτυχία τον επιθετικό οπλισµό του. Εδώ
απότοµα αυξάνει το µέτρο της ταχύτητας, ενώ η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς µειώνεται, οπότε η κεντροµόλα δύναµη προκαλεί επιτάχυνση προς το κέντρο, που µπορεί να φθάσει µέχρι και 9 φορές την επιτάχυνση της βαρύτητας, µε άλλα λόγια το βάρος του πιλότου αυξάνεται κατά 9 φορές! Η οµηρική διατύπωση Στο ψ της Ιλιάδας συναντούµε το ίδιο πρόβληµα. Εδώ εµφανίζεται ο Αχιλλέας, µετά τις νεκρώσιµες τελετές για τον φίλο του Πάτροκλο, να οργανώνει αγώνες προς τιµήν του µε σπουδαία βραβεία για τους νικητές. Μεταξύ των άλλων αγωνισµάτων προβλέπονταν και αρµατοδροµία, στην οποία λαµβάνει µέρος και ο Αντίλοχος, γιος του Νέστορα, βασιλιά της Πύλου. Καθώς τα άλογα του Αντίλοχου φαίνονται να υστερούν απέναντι στα άλογα των ανταγωνιστών του, ο Νέστορας τον συµβουλεύει πώς να κερδίσει µε τη γνώση µάλλον παρά µε τη δύναµη των αλόγων του. Τα λόγια του Νέστορα είναι µια όντως εκπληκτική παράθεση των φυσικών νόµων που διατυπώθηκαν παραπάνω:
«Αντίλοχε, σε αγάπησαν βέβαια ο ίας και ο Ποσειδώνας, παρ ότι είσαι νέος, και σε δίδαξαν κάθε είδους ιππική τέχνη για τούτο και δεν είναι καθόλου µεγάλη ανάγκη να σε διδάξω γιατί ξέρεις καλά να στρέφεις το άρµα στο τέρµα αλλά οι ίπποι σου είναι πάρα πολύ βραδείς για να τρέχουν για τούτο ακριβώς νοµίζω ότι θα συµβούν κακά πράγµατα οι ίπποι των άλλων είναι ταχύτεροι, αλλά βέβαια δεν ξέρουν αυτοί να σκεφτούν περισσότερα από σένα τον ίδιο αλλά εµπρός λοιπόν εσύ, αγαπητέ µου, βάλε µέσα στο νου σου κάθε είδους σύνεση, για
να µη σου ξεφύγουν τα πρώτα βραβεία µε τη σύνεση δε ο ξυλοκόπος είναι πιο πολύ ικανός παρά µε τη δύναµη µε τη σύνεση δε πάλι ο κυβερνήτης σκουρόχρωµο πέλαγος διευθύνει γρήγορο πλοίο που παρασύρεται από τους ανέµους µε τη σύνεση δε ο ηνίοχος ξεπερνάει τον άλλον ηνίοχο. Αλλά όποιος µεν έχοντας εµπιστοσύνη στο άρµα, χωρίς σύνεση, σε µεγάλη έκταση τρέχει εδώ κι εκεί, τότε οι ίπποι περιπλανώνται στον ιππόδροµο και δεν τους συγκρατεί όποιος όµως ξέρει αυτό που συµφέρει, παρ ότι διευθύνει κατώτερους ίππους, αποβλέποντας συνεχώς προς το τέρµα, στρέφει το άρµα πολύ κοντά, και δεν του διαφεύγει πώς να βάλει από την αρχή σε καλπασµό µε τα ηνία, αλλά κατευθείαν διευθύνει και αυτόν που τρέχει µπροστά τον παραφυλάει. Θα σου πω δε ένα σηµάδι πολύ ευδιάκριτο, ώστε δεν θα σου διαφύγει. Πάνω από τη γη βρίσκεται ξερό ξύλο περίπου µια οργιά ή από βελανιδιά ή από πεύκο αυτό δεν σαπίζει από τη βροχή δύο λίθοι λευκοί είναι χωµένοι στο έδαφος από τα δύο µέρη του στη συµβολή του δρόµου, οµαλός δε ιππόδροµος είναι γύρω-γύρω. `Η κάποιου θνητού που πέθανε προ πολλού (είναι το ξύλο) µνήµα ή αυτό ήταν η στροφή του ιπποδρόµου στους παλαιότερους ανθρώπους και τώρα ο δυνατός στα πόδια θείος Αχιλλέας τοποθέτησε αυτό σαν τέρµα σ αυτό εσύ αφού πας πάρα πολύ κοντά, να οδηγείς τα άρµα κοντά και τους ίππους, συ δε να κλίνεις στον ελαστικό δίφρο ελαφρά προς τα αριστερά αυτών το δεξιό ίππο αφού τον προτρέπεις µε δυνατή φωνή, να τον χτυπάς µε το µαστίγιο, και µε τα χέρια να του χαλαρώνεις τα ηνία ο δε ίππος ο αριστερός ας περάσει πάρα πολύ κοντά στη στροφή για να φανεί το άκρο του καλοφτιαγµένου τροχού ότι έφτασε στην επιφάνεια να αποφύγεις όµως να πλησιάσεις το λίθο, µήπως τραυµατίσεις τους ίππους και συντρίψεις το άρµα, πράγµα το οποίο είναι αντικείµενο χαράς για τους άλλους, για σένα όµως τον ίδιο θα είναι όνειδος αλλά, αγαπητέ µου, να είσαι προσεκτικός, µε σύνεση. Γιατί αν κοντά στο όριο βέβαια µπροστά από τους άλλους περάσεις τρέχοντας, δεν υπάρχει άλλος που θα σε φτάσει αφού τρέξει από πίσω, ούτε θα σε περάσει, κι αν ακόµη έτρεχε κατόπιν από το θείο Αρίωνα, το γρήγορο ίππο του Αδράστου που καταγόταν από τους θεούς, ή τους ίππους του
Λαοµέδοντα που εδώ τουλάχιστον ανατράφηκαν υπέροχοι. Έτσι αφού είπε ο γιος του Νηλέα, ο Νέστορας, πάλι στη θέση του κάθισε, αφού στο γιο του υπέδειξε τον τρόπο της εκτέλεσης του καθενός. Ο Μηριόνης δε έπειτα σαν πέµπτος προετοίµασε τους δικούς του καλλίτριχους ίππους. Ανέβηκαν δε στους δίφρους, έβαλαν δε µέσα στην περικεφαλαία κλήρους τους ανακάτεψε πρώτος ο Αχιλλέας, βγήκε δε πρώτος ο κλήρος του Αντίλοχου, του γιου του Νέστορα µετά δε απ αυτόν κληρώθηκε ο αρχηγός Εύµηλος, µετά δε απ αυτόν ο Ατρείδης, ο ξακουστός στο δόρυ Μενέλαος, µετά δε απ αυτόν ο Μηριόνης κληρώθηκε να τρέχει τελευταίος δε από το άλλο µέρος κληρώθηκε να οδηγεί τους ίππους ο Τυδείδης που ήταν άριστος στάθηκαν δε στη σειρά, σηµείωσε δε το τέρµα ο Αχιλλέας µακριά στην οµαλή πεδιάδα, κοντά δε σαν σκοπό τοποθέτησε τον ισόθεο Φοίνικα, τον ακόλουθο του πατέρα του, για να παρακολουθεί την αρµατοδροµία και για να πει την αλήθεια. Εκείνοι δε συγχρόνως όλοι µαζί σήκωσαν τα µαστίγια εναντίον των ίππων, χτύπησαν δε µε τους ιµάντες και τους παρότρυναν µε λόγια µε γρηγοράδα εκείνοι δε µε συντοµία πέρασαν την πεδιάδα γρήγορα µακριά από τα πλοία κάτω δε από τα στέρνα τους κουρνιαχτός σηκωνόταν που έµοιαζε µε νέφος ή µε θύελλα, και οι χαίτες τους κυµάτιζαν µε το φύσηµα του ανέµου. Τα δε άρµατα άλλοτε µεν πλησίαζαν στη γη που τρέφει πολλούς άλλοτε δε πηδούσαν µετέωρα εκείνοι δε οι αρµατηλάτες κάθονταν εκτός των δίφρων, του καθενός δε χτυπούσε η καρδιά του, γιατί επιθυµούσαν τη νίκη ο καθένας δε παρακινούσε τους ίππους του, αυτοί δε πετούσαν σηκώνοντας κουρνιαχτό στην πεδιάδα. Σύµφωνα µε την παραπάνω αφήγηση ο ιππόδροµος είχε επίµηκες σχήµα. Κατά µήκος του έτρεχαν τα άρµατα, τα οποία ξεκινούσαν από την αρχή, έφθαναν στο τέλος του και εκεί έπρεπε να εκτελέσουν στροφή 180 ο για να επιστρέψουν στην αφετηρία. Η στροφή αυτή είναι ανθωρολογιακή, εκτελείται δηλαδή µε φορά αντίθετη από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Το τέλος του διαδρόµου οριοθετούσε ένας ξύλινος
στύλος, γύρω από τον οποίο τα άρµατα έπρεπε να εκτελέσουν αναστροφή, να κινηθούν δηλαδή πάνω σε ηµικυκλική τροχιά, ώστε να κινηθούν προς την αντίθετη κατεύθυνση. Είναι φανερό ότι το σηµείο αυτό της αγωνιστικής διαδικασίας ήταν και το πιο δύσκολο, επειδή απαιτούσε όχι µόνο γρηγοράδα των αλόγων, αλλά και µεγάλη δεξιοτεχνία από µέρους του ηνιόχου στον χειρισµό των δυνάµεων που αναπτύσσονται στην κυκλική κίνηση και οι αναπτύχθηκαν παραπάνω. Παρατηρούµε τα εξής (Σχ.9.3): 1. Ο Νέστορας συµβουλεύει τον Αντίλοχο να κινηθεί όσο πιο κοντά στον στύλο γίνεται (όχι όµως τόσο κοντά, ώστε οι ρόδες του άρµατος να προσκρούσουν στις δύο πέτρες που τον συγκρατούν όρθιο, διότι τότε το άρµα του θα ανατραπεί). Πρόκειται για µια προφανή επιλογή, αφού το µήκος της ηµικυκλικής τροχιάς είναι ανάλογο προς την ακτίνα της. Συγκεκριµένα, αν η ακτίνα της τροχιάς είναι R, το µήκος S είναι S=π x R, όπου π= 3,1416, µε άλλα λόγια διπλάσια ακτίνα σηµαίνει πάνω από εξαπλάσια διαδροµή. Είναι δηλαδή ο γνωστός «εσωτερικός διάδροµος» των αγώνων δρόµου.
2. Πέρα όµως από αυτό, η ακτίνα στροφής για το αριστερό άλογο θα γίνει πάρα πολύ µικρή, γεγονός που σηµαίνει ότι η κεντροµόλα δύναµη τείνει να αυξηθεί πάρα πολύ, εκτός αν η ταχύτητα του αλόγου µειωθεί ανάλογα. Αυτό πράγµατι συµβαίνει, και έτσι ο λόγος v 2 /R διατηρείται σε ανεκτά όρια. 3. εν συµβαίνει όµως το ίδιο µε το δεξιό άλογο, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο µεγαλύτερη από ό,τι το αριστερό. Έτσι, για να διατηρηθούν και τα δύο άλογα πάνω στην ίδια ακτίνα (για να µην κινδυνέψουν να λυθούν από τον ζυγό), το δεξιό άλογο πρέπει, αντίθετα, να επιταχύνει την πορεία του, πράγµα που επίσης συνιστά ο Νέστορας στον Αντίλοχο να επιδιώξει, προτρέποντας µε φωνή το άλογο, µαστιγώνοντάς το και αφήνοντας χαλαρά τα ηνία του. 4. Κύρια απαίτηση παραµένει η εκτέλεση της αναστροφής στον ελάχιστο δυνατό χρόνο, δηλαδή η ταχύτητα της κίνησης να παραµένει η µέγιστη δυνατή, χωρίς η κεντροµόλα δύναµη να ξεπεράσει κάποιο όριο, πάνω από το οποίο το άρµα ανατρέπεται προς τα έξω της τροχιάς. Η κεντροµόλα δύναµη επιβάλλεται στο άρµα µέσω της πλευρικής τριβής των τροχών του µε το έδαφος, κατευθυνόµενη προς το κέντρο της τροχιάς. Αντίθετα η αδρανειακή δύναµη, που εκφράζει την τάση της µάζας του άρµατος να παραµένει σε ευθύγραµµη τροχιά και εκδηλώνεται ως «φυγόκεντρη» δύναµη, εφαρµόζεται στο κέντρο βάρους του άρµατος (ακριβέστερα του συστήµατος άρµα-ηνίοχος), κατευθυνόµενη προς τα έξω της τροχιάς. Οι δύο αυτές δυνάµεις αποτελούν ένα ζεύγος που παράγει τη ροπή ανατροπής του άρµατος (Σχ.9.3), η οποία µπορεί να µειωθεί: α) αν το κέντρο βάρους του άρµατος κατέβει χαµηλότερα και β) αν ο ηνίοχος µετακινώντας και ταυτόχρονα χαµηλώνοντας το σώµα του προς τα αριστερά δηµιουργήσει ροπή αντίθετα προς τη ροπή ανατροπής. Αυτό ακριβώς συνιστά ο Νέστορας στον Αντίλοχο, όταν του συνιστά να κλίνει τον ελαστικό δίφρο προς τα αριστερά.
Το όλο εγχείρηµα, της ελαχιστοποίησης δηλαδή του χρόνου αναστροφής, είναι τόσο δύσκολο, ώστε ο Νέστορας να δηλώνει ότι, αν ο Αντίλοχος κατορθώσει να περάσει πρώτος, κανένα άλλο άρµα, ακόµη και µε τα ταχύτερα άλογα, δεν θα µπορέσει να τον ξεπεράσει, περιγραφή που συµφωνεί απόλυτα µε τους νόµους της καµπυλόγραµµης κίνησης, όπως εκτέθηκαν στο παρόν.