ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων"

Πήγασος Κορωναίος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων 1. Να βρεθεί το δυναµικό που οφείλεται σε δύο ακίνητα ελκτικά κέντρα µε µάζες 1 και. Γράψτε την εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας στο παραπάνω δυναµικό. Υπάρχουν σηµεία ισορροπίας; Έστω R 1 και R τα διανύσµατα θέσης των δύο ελκτικών κέντρων, ως προς σταθερό σηµείο αναφοράς Ο, και το διάνυσµα θέσης του υλικού σηµείου. Σύµφωνα µε το σχήµα, το δυναµικό που οφείλεται στο ελκτικό κέντρο 1 και στο ελκτικό κέντρο θα είναι, αντίστοιχα, G1 G V1, V, µε R και R, και το 1 1 συνολικό δυναµικό θα είναι V V1+ V. 1 Η συνολική δύναµη που ασκείται στο 1 υλικό σηµείο θα είναι G1 G F 1 (1) 1 R 1 R και η εξίσωση της κίνησης του υλικού σηµείου θα είναι η O G1 G 1 1 Σηµεία ισορροπίας υπάρχουν εκεί που µηδενίζεται η δύναµη (1). Για να συµβεί αυτό πρέπει τα 1 και να είναι συνγραµµικά, αντίρροπα και µε µέτρο τέτοιο ώστε G1 G Στο πρόβληµα των δυο σωµάτων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες 1, που βρίσκονται αντίστοιχα σε θέσεις R 1, R ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή το σηµείο Ο. Τα δυο υλικά σηµεία ασκούν το ένα στο άλλο δυνάµεις οι οποίες υπακούουν στο τρίτο αξίωµα του Νεύτωνα. Αν R το διάνυσµα θέσης του κέντρου µάζας των δυο σωµάτων ως προς το Ο, το διάνυσµα θέσης της µάζας ως προς την 1, και 1, αντίστοιχα τα διανύσµατα θέσης των µαζών 1, ως προς το κέντρο µάζας τους, να δείξετε αναλυτικά ότι η στροφορµή του συστήµατος: L R1 u 1 1+ R u όπου u1 R 1, u R, µπορεί να γραφτεί ως L R u + µ u

2 όπου 1+, u R, µ και u (α) Από τον ορισµό του κέντρου µάζας (ΚΜ) και το σχήµα της εκφώνησης έχουµε: R 1 1+ R R, R R 1. (1) 1+ Λύνοντας τη σχέση (1) ως προς R 1, R 1 R R παίρνουµε: 1 R1 R, R R+ R 1 () από όπου συµπεραίνουµε ότι: 1 1, O. () Παραγωγίζοντας τις () και () έχουµε: u u + u, u u + u, (4) 1 1 u u, u 1 u Από τις () και (5) έχουµε: 11+, u 1 1+ u. Οπότε για τη στροφορµή έχουµε: (),(),(4) L R1 u 1 1+ R u ( R+ 1) 1( u + u1) + ( R+ ) ( u + u) R u 1 + R u u u R u + R u + u + u R + u + R u + u + + u + u + u ( ) ( ) ( ) R u u+ u () R u + ( 1) µ u R u + µ u (5),(6) (5) (6). ύο υλικά σηµεία µε µάζες 1 και βρίσκονται αρχικά σε απόσταση και ηρεµούν. Αφήνονται ελεύθερα και έλκονται µε τη δύναµη βαρύτητας που ασκεί το ένα στο άλλο. Να βρεθεί η σχετική ταχύτητα των δύο σωµάτων όταν θα βρεθούν σε απόσταση /. Πόση είναι η απόλυτη ταχύτητα των δύο σωµάτων σ αυτή την απόσταση;

3 Έστω Ο το κέντρο µάζας των δύο x -x 1 σωµάτων το οποίο είναι ακίνητο, x x αφού δεν επιδρούν εξωτερικές 1 Ο x δυνάµεις στο σύστηµα. Τα δύο σώµατα θα κινηθούν πάνω στην ευθεία που τα ενώνει (πχ ο άξονας Οx) και η σχετική τους κίνηση θα περιγράφεται από την εξίσωση G1 1 µ F1 µ, µ ( 1) 1+ Το σύστηµα (1) µπορεί να περιγράφει τη κίνηση ενός σώµατος µάζας µ, µε ταχύτητα G1 υσχ, στο δυναµικό V. Συνεπώς έχουµε το ολοκλήρωµα της ενέργειας 1 G1 G1 E ( E ) µυ σχ α ρχ Από την παραπάνω σχέση βρίσκουµε 1 1 G ( 1+ ) υσχ G ( 1+ ) ( για /) υσχ όπου το µείον οφείλεται στο ότι < (µειώνεται η απόσταση των σωµάτων) Η απόλυτη ταχύτητα, υ 1 x 1και υ x, των σωµάτων προκύπτει από τις σχέσεις x x υ G ( 1+ ) x x υ G ( 1+ ) 4. Σε ένα σύστηµα δύο αστέρων βρέθηκε φασµατοσκοπικά ότι οι αστέρες έχουν ίσες µάζες 1 και κινούνται σε κυκλική τροχιά γύρω από το ακίνητο κέντρο µάζας τους Ο µε περίοδο Τ και ταχύτητα υ. Να βρεθεί η µάζα των αστέρων έχοντας ως δεδοµένα τα Τ και υ. Έστω R η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς των δύο αστέρων γύρω από το Ο. Οι δύο αστέρες κινούνται αντι-διαµετρικά και η σχετική κίνηση θα είναι επίσης κυκλική τροχιά µε σχετική ακτίνα και ταχύτητα R, υσχ υ Η εξίσωση της σχετικής κίνησης θα είναι 1 G 1 µ F1, µ, F1 1+ Άρα έχουµε κίνηση που ισοδυναµεί µε κίνηση σώµατος µάζας µ σε πεδίο κεντρικών G δυνάµεων F (). Η σχέση που συνδέει την ταχύτητα µε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς θα είναι F G G G υσχ () µ / υ υ σχ

4 Επίσης για την οµαλή κυκλική κίνηση π υ υσχ υ T () T π υ T Εξισώνοντας τις () και (), και λύνοντας ως προς το βρίσκουµε G π 5. ύο οµογενείς και οµογενώς φορτισµένες σφαίρες, η Α, µε φορτίο + και µάζα, και η σφαίρα Β, µε φορτίο -1 και µάζα Α 1, µπορούν να κινούνται στο χώρο και δεν επιδρούν σε αυτές άλλες δυνάµεις πλην των ηλεκτροστατικών ( ηλ 1 ). Β Θεωρούµε ότι αρχικά τα σώµατα βρίσκονται σε απόσταση 1 µε ταχύτητες υ Α -1 και υ Β, κάθετες στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ του κέντρου µάζας. β) Να γραφεί η διαφορική εξίσωση της σχετικής κίνησης. γ) Να γραφεί η εξίσωση της σχετικής τροχιάς δ) Να γραφούν οι εξισώσεις της τροχιάς της απόλυτης κίνησης της κάθε σφαίρας και να σχεδιαστούν πρόχειρα οι τροχιές. Τα αριθµητικά µεγέθη δίνονται σε κανονικοποιηµένες µονάδες. ίνεται ότι σε πεδίο k κεντρικών δυνάµεων F ±, k >η τροχιά ενός υλικού σηµείου µάζας είναι της p µορφής, p / 1+ ecosθ L k. α) Έχουµε µόνο εσωτερικές δυνάµεις, άρα υ() t υ() σταθ.. Έτσι υ 1 1 ( B B) (( 1 ) υ + υ j + j) + B β) Το διάνυσµα της σχετικής θέσης είναι το B. Αφού δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάµεις η εξίσωση της κίνησης θα είναι η µ F 1, όπου B qq B µ, F1 ηλ e e + B Άρα e η e (4) γ) Η (4) εκφράζει κίνηση υλικού σηµείου µάζας 1 σε πεδίο ελκτικών κεντρικών k δυνάµεων F µε k. Η στροφορµή και η ενέργεια του συστήµατος θα είναι σταθερές και ίσες µε τις αρχικές τιµές, όπου σηµειώνουµε ότι 1, υ υ υ και υ : B

5 L L υ υk k p k 1 1 k 1 EL E υ 1 > e 1+ 1 k Άρα η σχετική τροχιά είναι η υπερβολή (5) 1 + cosθ δ) Η απόλυτη κίνηση για το κάθε σώµα θα δίνεται από τις σχέσεις B 1 e + B 1+ cosθ (6) B B e + 1+ cosθ B Κ 6. Ένα διαστηµόπλοιο µάζας βρίσκεται σε απόσταση α από το κέντρο ενός πολύ µικρού και σφαιρικά οµογενούς αστεροειδούς µάζας. Θεωρούµε ότι αρχικά και τα δύο σώµατα ηρεµούν. (α) Με πόση ταχύτητα πρέπει εκτοξεύσουµε το διαστηµόπλοιο, ώστε η σχετική κίνησή του (ως προς τον αστεροειδή) να είναι κυκλική; (β) Πόση θα είναι τότε η ταχύτητα του κέντρου µάζας των δύο σωµάτων; (γ) Ποια θα είναι η τροχιά του κάθε σώµατος ως προς το κέντρο µάζας; Αρχικά (t) έχουµε υ, υ () υ () υ j, σχ σχ και υκυκλ υσχ Α Κ U () α) Η εξίσωση της σχετικής κίνησης του διαστηµόπλοιου ως προς τον αστεροειδή θα είναι G a µ F1 + G ( + ) 4G e e δηλαδή κεντρικές δυνάµεις µε F () 4 G / που κινούν ένα σώµα µάζας 1. Η ταχύτητα της κυκλικής τροχιάς µε ακτίνα aθα είναι κάθετη στο και µε µέτρο af 4G υκυκλ a β) Μετά την εκτόξευση του δορυφόρου η ταχύτητα του κέντρου µάζας του συστήµατος θα είναι G ( + ) υk υ() + υ() υ() υk υ() υσχ j j 4 4 a

6 γ) Η σχετική κίνηση του αστεροειδή και του διαστηµόπλοιου ως προς το κέντρο µάζας θα είναι αντίστοιχα Α, + + Επειδή η σχετική κίνηση () t εκφράζει κυκλική τροχιά µε ακτίνα a, και η σχετική κίνηση του αστεροειδή και του διαστηµόπλοιου θα είναι κυκλική κίνηση µε ακτίνες a Α a a, a

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται