και Φαινόμενα Μεταφοράς εισαγωγή

Κεφ. 9. Κίνηση των Ηλεκτρονίων και Φαινόμενα Μεταφοράς 1 εισαγωγή Στα στερεά η ηλεκτρική και η θερμική αγωγιμότητα βασίζονται στη κίνηση των ηλεκτρονίων η οποία περιγράφεται από την χρονικώς εξαρτώμενη εξίσωση του Schrödinger. Εδώ θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των ηλεκτρονίων υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, δηλ. υπό συνθήκες διαταραχής της θερμοδυναμικής ισορροπίας. Ποια είναι η απλούστερη περίπτωση? όταν η εξωτερική διαταραχή (το ηλεκτρικό πεδίο ή βαθμίδα θερμοκρασίας) είναι ανεξάρτητη του χρόνου. 2 1

Βασικές έννοιες Θα συζητήσουμε/ορίσουμε τις εξής έννοιες: Την ενεργό μάζα Τα σημαντικά κέντρα σκέδασης των ηλεκτρονίων Τη σκέδαση e e και την αμελητέα συμβολή της στην σκέδαση φορέων Τον χρόνο αφηρέμησης Το μοντέλο Drude για την ηλεκτρική αγωγιμότητα των μετάλλων Τον ορισμό της ηλεκτρικής αγωγιμότητος (σ) και της ευκινησίας (μ) Τον κανόνα Matthiessen για την ειδική αντίσταση Τον νόμο Wiedemann Franz 3 9.1 Κίνηση των Ηλεκτρονίων στις Ταινίες και η Ενεργός Μάζα Γνωρίζουμε ότι η κίνηση ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου με καθορισμένη ορμή p μπορεί να περιγραφεί από ένα επίπεδο κύμα άπειρης έκτασης. Όταν το k είναι ακριβώς καθορισμένο η θέση του ηλεκτρονίου στο πραγματικό είναι αβέβαιη. Αντίθετα, αν το ηλεκτρόνιο εντοπίζεται εντός διαστήματος Δx, τότε η ορμή, δηλαδή το k, καθίστανται αβέβαια. Η αρχή της απροσδιοριστίας: Ο εντοπισμός του ηλεκτρονίου μπορεί να περιγραφεί με ένα κυματοπακέτο, δηλαδή, σαν γραμμική υπέρθεση κυμάτων με κυματοδιανύσματα στο διάστημα {k Δk/2, k+δk/2}: 4 2

Η ταχύτητα ομάδας (group velocity) είναι η ταχύτητα του κέντρου βάρους του χωρικώς εντοπισμένου κυματοπακέτου & περιγράφει τη μεταφορική κίνηση του κυματοπακέτου (ωείναιησχέσηδιασποράς). k Η ταχύτητα φάσης/ (phase velocity) δηλ. η ταχύτητα με την οποία κινείται η φάση κάθε μίας από τις συνιστώσες του κυματοπακέτου) ορίζεται ως: c Όταν ωk υ=c δεν εμφανίζεται διασπορά, Διαφορετικά κατά τη διάδοση εμφανίζεται διασπορά, δηλ. η περιβάλλουσα του κυματοπακέτου παραμορφώνεται. Σχήμα 9.1. Η κίνηση του κυματοπακέτου που περιγράφει ργρ ένα χωρικώς εντοπισμένο ελεύθερο e σε πραγματικό χώρο. Το κέντρο του κυματοπακέτου, δηλ. το e, κινείται με την ταχύτητα ομάδας υ = ω/ k. Το ημιεύρος της περιβάλλουσας μεγαλώνει με τον χρόνο και καθώς το κυματοπακέτο διευρύνεται, το μήκος κύματος των ταλαντώσεων του Re{ψ} μικραίνει (μεγαλώνει) προς μεγαλύτερες (μικρότερες) τιμές του x. k 5 «Κρυσταλλικά» ηλεκτρόνια: κυματοπακέτα κυμάτων Bloch Τα ηλεκτρόνια σε ένα κρύσταλλο περιγράφονται από κύματα Bloch, δηλ. χωρικώς διαμορφωμένα επίπεδα κύματα που εκτείνονται στο άπειρο με κυματοδιάνυσμα k. rrrki ( ) u k ( )e Για να περιγράψουμε εντοπισμένα «κρυσταλλικά» ηλεκτρόνια πρέπει να εισάγουμε κυματοπακέτα κυμάτων Bloch (γνωστά και σαν «συναρτήσεις Wannier»). Ο εντοπισμός στον πραγματικό χώρο μία σχετική απροσδιοριστία της ορμής ή του διανύσματος k. Ηταχύτηταενός«κρυσταλλικού» ηλεκτρονίου δίνεται από την ταχύτητα ταχύτηταkομάδας του κυματοπακέτου Bloch: όπου E= (9.4) Για ελεύθερο ηλεκτρόνιο, για το οποίο Ε=ħ 2 k 2 /2m (9.4) 6 3

«Κρυσταλλικό» ηλεκτρόνιο οι ημικλασσικές εξισώσεις κίνησης ή η ενεργός μάζα Ένα κρυσταλλικό ηλεκτρόνιο, που περιγράφεται από ένα κυματοπακέτο με μέσο κυματοδιάνυσμα k, παρουσία ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, αποκτά σε χρόνο δt, την πρόσθετη ενέργεια (9.5) όπου (9.4) όπου υ η ταχύτητα ομάδας. Αντικαθιστώντας την ταχύτητα υ από την (9.4) : dk ee Όμως από την (9.4) και (9.5) dt Αυτή η εξίσωση κίνησης δείχνει την μεταβολή του κυματοδιανύσματος k ενός ηλεκτρονίου στον κρύσταλλο παρουσία ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. 7 Επομένως ο ρυθμός μεταβολής της συνιστώσας υ i της ταχύτητας ομάδας ενός «κρυσταλλικού» ηλεκτρονίου παρουσία ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου που επιδρά μόνο στη μορφή της δομής των ταινιών E(k) είναι: (9,7 α) όπου dk ee dt (9,7 β) Η εξίσωση αυτή είναι ανάλογη προς την κλασσική εξίσωση κίνησης ενός σημειακού φορτίου ( e) σε πεδίο Ε αν η μάζα m αντικατασταθεί από τον τανυστή ενεργής μάζας m* ij. d ee dt m Το αντίστροφο του τανυστή μάζας δίνεται από τη καμπυλότητα της E(k). 8 4

Σχηματική συμπεριφορά της m* για μονοδιάστατη E(k). Όταν η καμπυλότητα των ταινιών είναι μεγάλη (μικρή) η m* είναι μικρή (μεγάλη). Οι στα σημεία καμπής της E(k) Στην απλούστερη περίπτωση οι τρεις ενεργές μάζες στους κύριους άξονες είναι ίσες με m* Η προσέγγιση ισχύει σε περιοχές τιμών του k όπου η E δίνεται από την παραβολική προσέγγιση: 9 Στη γειτονία ενός παραβολικού σημείου η ενεργός μάζα m* είναι ιδιαίτερα χρήσιμη επειδή είναι σταθερά και αντικαθιστά την σταθερή μάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου m. Αν μετακινηθούμε κατά μήκος της ταινίας, ηαπόκλιση της επιφάνειας E(k) από την παραβολική μορφή ότι η m* εξαρτάται από το k. 10 5

9.3 Σκέδαση των Ηλεκτρονίων στις Ταινίες Θα απαντήσουμε στο ερώτημα: γιατί τα υλικά εμφανίζουν ηλεκτρική αντίσταση? Εάν δεν υπήρχε αντίσταση το ρεύμα που θα εμφανιζόταν υπό την προσωρινή εφαρμογή ηλεκτρικού πεδίου θα συνέχιζε να ρέει αδιάκοπα (υπεραγωγιμότητα). Όμως οι συνήθεις αγωγοί έχουν μία πεπερασμένη, συνήθως υψηλή ηλεκτρική αντίσταση Η ηλεκτρική αντίσταση οφείλεται στο γεγονός ότι τα ηλεκτρόνια που κινούνται σε κρύσταλλο υπό την επίδραση εξωτερικού πεδίου υπόκεινται σε σκεδάσεις/συγκρούσεις που περιορίζουν την κίνηση τους. Ποιες είναι οι σημαντικές διαδικασίες σκέδασης ηλεκτρονίων όταν αυτά επιταχύνονται σε εξωτερικά πεδία; 11 Ο Drude (1900) υπέθεσε ότι τα ηλεκτρόνια υφίστανται σκέδαση από τους θετικούς πυρήνες που σχηματίζουν το περιοδικό πλέγμα. Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο η μέση ελεύθερη διαδρομή μεταξύ σκεδάσεων είναι 1 5 Ǻ. Όμως στα περισσότερα μέταλλα η μέση ελεύθερη διαδρομή στη θερμοκρασία δωματίου είναι περίπου δύο τάξεις μεγέθους υψηλότερη. Γιατί? Επειδή ένα τελείως περιοδικό πλέγμα θετικών πυρήνων δεν προκαλεί σκέδαση. ikr Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι τα κύματα Bloch ( r ) u ( r ) e k k που διατρέχουν το πλέγμα είναι σταθεροποιημένες λύσεις της εξίσωσης του Schrödinger. Επομένως η πυκνότητα πιθανότητας 2 x 2 x * cos ή sin a a είναι ανεξάρτητη χρονικά αυτές οι λύσεις περιγράφουν την αδιατάρακτη διάδοση των ηλεκτρονικών κυμάτων. Αυτά τα αποτελέσματα εφαρμόζονται και σε κυματοπακέτα Bloch που περιγράφουν εντοπισμένα ηλεκτρόνια. 12 6

Διαταραχές των καταστάσεων Bloch, όταν αγνοούνται οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ ηλεκτρονίων, μπορούν να συμβούν μόνον λόγω αποκλίσεων από την αυστηρή περιοδικότητα του πλέγματος. Αυτές οι αποκλίσεις οφείλονται: Σε ατέλειες του πλέγματος (σταθερές χωρικά και χρονικά, π.χ. πλεγματικά κενά, εξαρμώσεις, προσμίξεις, κλπ.) Σε πλεγματικές ταλαντώσεις δηλ. αποκλίσεις από την περιοδικότητα που μεταβάλλονται με το χρόνο. Ελαστική σκέδαση των κυμάτων Bloch συμβαίνει όταν το δυναμικό της διαταραχής Η (r) είναι σταθερό με το χρόνο, π.χ. λόγω στατικής ατέλειας. Στην ελαστική σκέδαση διατηρείται η ενέργεια (Ε πριν kin =E μετά kin ) και η ορμή. Ανελαστική σκέδαση των κυμάτων Bloch συμβαίνει όταν το δυναμικό διαταραχής Η (r,t) μεταβάλλεται με το χρόνο, π.χ. λόγω φωνονίων της 13 Η διατήρηση της ενέργειας ισχύει στη σκέδαση ηλεκτρονίων αγωγιμότητας από φωνόνια: Επίσης ισχύει η σχέση που είναι ανάλογη της αρχής διατήρησης της ορμής (όπου το k είναι κυματοδιάνυσμα μίας κατάστασηςbloch Από τη διατήρηση της ενέργειας και του k, βλέπουμε ότι η σκέδαση ηλεκτρονίων που περιγράφονται από συναρτήσεις Bloch μπορεί να περιγραφεί ικανοποιητικά στο πλαίσιο της σωματιδιακής εικόνας 14 7

Γιατί η σκέδαση ηλεκτρονίου ηλεκτρονίου είναι αμελητέα? Σε μια σύγκρουση μεταξύ δύο ηλεκτρονίων (1) & (2) σε τελικές καταστάσεις (3) & (4), πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις Τεταρτημόριο της επιφάνειας Fermi Θα περιμέναμε η πιθανότητα σκέδασης να είναι υψηλή λόγω της υψηλής πυκνότητας των e (1 e ανά κυψελίδα) και λόγω της ισχύος της άπωσης Coulomb. Όμως η απαγορευτική αρχή του Pauli μειώνει την πιθανότητα σκέδασης e e όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω. 15 Έστω e σε μία διεγερμένη κατάσταση E 1 >E F, δηλ. λίγο επάνω από την Ε F. Το δεύτερο e που συμμετέχει στη κρούση βρίσκεται μέσα στη σφαίρα Fermi με E 2 <E F. Για σκέδαση στις τελικές καταστάσεις Ε 3 και Ε 4, ηαρχήτουpauli απαιτεί ότι τα Ε 3 και Ε 4 πρέπει να είναι μη κατειλημμένα. Έτσι, οι απαραίτητες συνθήκες για σκέδαση είναι και Σχήμα 9. 3. Παράσταση στον χώρο k μιας κρούσης δύο ηλεκτρονίων: Τα ηλεκτρόνια (1) και (2) αλληλοσκεδάζονται στις τελικές καταστάσεις k 3 και k 4. Η ολική ενέργεια και ολική ορμή διατηρούνται. Επιπλέον, ηαρχήτου Pauli επιβάλλει ότι τα ηλεκτρόνια σκεδάζονται σε τελικές καταστάσεις k 3,k 4 που ήταν αρχικά άδειες (E 3 >E F, E 4 >E F,) 16 8

Η διατήρηση της ενέργειας (9.28b) γιατί?? (9.28c) Η διατήρηση της ενέργειας ότι αν η E 1 ευρίσκεται λίγο έξω από την επιφάνεια Fermi, τότε η E 2 θα πρέπει να βρίσκεται μόνο λίγο (~ε 1 ) κάτω από την E F. Για τον λόγο αυτό μόνο το κλάσμα ~(ε 1 / E F ) όλων των ηλεκτρονίων μπορεί να σκεδαστεί με το ηλεκτρόνιο στη κατάσταση E 1. Αν οι E 1 και E 2 βρίσκονται σε ένα κέλυφος ± ε 1 γύρω από την E F, τότε λόγω της διατήρησης του k και οι E 3, E 4 θα πρέπει επίσης να βρίσκονται στο κέλυφος ± ε 1 γύρω από την E F. Επειδή μόνο ένα κλάσμα ~ε 1 /E F όλων των κατειλημμένων καταστάσεων είναι επιτρεπτές τελικές καταστάσεις, ηαρχήτουpauli μειώνει πρόσθετα την πιθανότητα σκέδασης κατά ένα παράγοντα (ε 1 / E F ) μείωση κατά παράγοντα (ε 1 / E F ) 2. 17 Η θερμική διεύρυνση της συνάρτησης Fermi (δηλ το ε 1 ) είναι της τάξης του kt η τελική κατάσταση E 1 πρέπει να βρίσκεται απέχει από την E F ~ kt. Επομένως η ενεργός διατομή για σκέδαση ηλεκτρονίου ηλεκτρονίου, που : εξαρτάται από τη θερμοκρασία, και που οφείλεται στην αρχή του Pauli περιγράφεται ργρ από την σχέση: όπου Σ 0 είναι η διατομή αν δεν λάβουμε υπ όψιν την αρχή του Pauli. Δηλαδή η Σ είναι μικρότερη της Σ ο κατά τον παράγονται (kt/e F ) 2 όπου kt<<e F 18 9

Αν υποθέσουμε ότι η διατομή για την σκέδαση ενός e από μία ατέλεια (π.χ. πρόσμειξη) είναι της τάξης του Σ 0 τότε η πιθανότητα σκέδασης e e σε θερμοκρασία 1 Κ είναι μικρότερη από εκείνη της σκέδασης ηλεκτρονίου πλεγματικήςατέλειας περίπου κατά παράγοντα ~10 10 (το E F /k B 10 5 Κ) Συμπερασματικά: η αρχή του Pauli επιτρέπει να χειριστούμε τα ηλεκτρόνια στα στερεά σαν σωμάτια που δεν αλληλεπιδρούν, παρά την υψηλή πυκνότητα τους. Επομένως στην συζήτηση της ηλεκτρικής αγωγιμότητας στα στερεά θα λάβουμε υπόψη μας μόνο τη σκέδαση των ηλεκτρονίων από ατέλειες και φωνόνια. 19 9.4 Η Εξίσωση Boltzmann και ο Χρόνος Αφηρέμησης Τα φαινόμενα μεταφοράς, π.χ. η ροή ηλεκτρικού ρεύματος στα στερεά, περιλαμβάνουν δύο ανταγωνιστικά φαινόμενα: την οδηγό δύναμη, δηλ. τα εξωτερικά πεδία και το φαινόμενο της σκέδασης των φορέων από φωνόνια και ατέλειες. Η εξίσωση Boltzmann περιγράφει τις αλλαγές στην κατανομή των φορέων, υπό συνθήκες θερμοδυναμικής ισορροπίας, λόγω της παρουσίας εξωτερικών δυνάμεων και γεγονότων σκέδασης ηλεκτρονίων. Σε θερμική ισορροπία, δηλαδή δή σε ομογενείς συνθήκες θερμοκρασίας και χωρίς εξωτερικά πεδία, η κατανομή των φορέων περιγράφεται από την κατανομή Fermi που είναι ανεξάρτητη του της θέσης r του e : (9.30) 20 10

Μακριά από την ισορροπία η κατανομή f(r, k, t) μπορεί να εξαρτάται τόσο από το χώρο όσο και τον χρόνο, δηλ. η θέση r και το k ενός ηλεκτρονίου μεταβάλλονται από τα εξωτερικά πεδία και τις κρούσεις. Για την εύρεση της f, πρώτα θεωρούμε την επίδραση των εξωτερικών πεδίων, και μετά εισάγουμε τη σκέδαση σαν διόρθωση. Θεωρούμε τη μεταβολή της f μεταξύ των χρόνων (t dt) και t. Με την εφαρμογή ενός εξωτερικού πεδίου Ε, οι συντεταγμένες ενός ηλεκτρονίου που σε χρόνο t βρισκόταν στα r και k, θα γίνουν (e θετικό): (9.31) Ότανδενυπάρχουνσκεδάσεις, κάθε ηλεκτρόνιο με τις συντεταγμένες (9.31) κατά τη χρονική στιγμή t dt, θα πρέπει να φθάνει στα r και k, σε χρόνο t, δηλαδή δή (9.32) Όταν υπάρχουν σκεδάσεις στην (9.32) πρέπει να περιλάβουμε και τον όρο λόγω σκέδασης f t s 21 Δηλ. η μεταβολή της συνάρτησης κατανομής f μεταξύ των χρόνων (t dt) και t υπό την επίδραση ενός εξωτερικού πεδίου Ε και παρουσία σκεδάσεων είναι:, (9.33) Αναπτύσσοντας μέχρι σε γραμμικούς όρους στο dt έχουμε την εξίσωση Boltzmann που περιγράφει τα φαινόμενα μεταφοράς στα στερεά: (9.34) εξίσωση Boltzmann Όροι ολίσθησης Όρος σκέδασης Για να περιγράψουμε τον όρο της σκέδασης χρησιμοποιούμε τον χρόνο αφηρέμησης (ansatz educated d guess υπόθεση που επιβεβαιώνεται ββ αργότερα) Δηλ. γίνεται η υπόθεση ότι ο ρυθμός με τον οποίο η f επιστρέφει στην κατανομή ισορροπίας f 0 λόγω των σκεδάσεων είναι ανάλογος της απόκλισης του f από το f 0 : όπου ο χρόνος αφηρέμησης τ(k) εξαρτάται μόνο (9.36) από το k 22 11

Δηλαδή η σκέδαση είναι ο μηχανισμός που οδηγεί μια κατανομή από τη κατάσταση μη ισορροπίας στην θερμική ισορροπία. Τι θα συμβεί εάν το εξωτερικό πεδίο ξαφνικά μηδενιστεί? Η χρονική μεταβολή της f είναι: (9.37) Με την αρχική συνθήκη f(t=0,k)=f stationary,(δείκτης stat stationary σταθερή κατάσταση) η εξίσωση Boltzmann (9.37) έχει την λύση Δηλαδή, η απόκλιση της κατανομής f από την κατανομή ισορροπίας f 0 (k) φθίνει εκθετικά με σταθερά τον χρόνο αφηρέμησης τ. Επομένως ο χρόνος αφηρέμησης τ είναι η σταθερά χρόνου με την οποία η κατανομή μη ισορροπίας αφηρεμεί μέσω σκέδασης στη κατάσταση ισορροπίας όταν μηδενιστεί η εξωτερική διαταραχή. 23 H εξίσωση Boltzmann επιτρέπει τον προσεγγιστικό υπολογισμό της σταθεροποιημένης κατανομής όταν αυτή διαταράσσεται υπό την επίδραση ενός εξωτερικού πεδίου (π.χ. ηλεκτρικού πεδίου Ε) παρουσία σκεδάσεων. Εξάρτηση από το r, το k και σκεδάσεις Όροι ολίσθησης Όρος σκέδασης Ο χρόνος αφηρέμησης τ είναι η σταθερά χρόνου με την οποία η κατανομή μηισορροπίας αφηρεμεί μέσω σκέδασης στη κατάσταση ισορροπίας όταν μηδενιστεί η 24 εξωτερική διαταραχή. 12

Μετά από προσεγγίσεις/απλοποιήσεις θα καταλήξουμε στο εξής συμπέρασμα: Η σταθεροποιημένη κατανομή που προκύπτει από ένα εξωτερικό πεδίο Ε και περιλαμβάνει φαινόμενα της σκέδασης (που περιγράφονται από το τ) μπορεί να παρασταθεί από μία κατανομή Fermi μετατοπισμένη κατά ee από τη θέση ισορροπίας. δk x = eτε x /ħ 25 1 η Προσέγγιση : Αν η συνάρτηση κατανομής f δεν εξαρτάται από την θέση (δηλαδή, r f =0), τότε η σταθεροποιημένη κατάσταση, δηλαδή όταν ισχύει f t s 0, δίδεται από τις σχέσεις: όπου (9.40) 26 13

2 η Προσέγγιση : Αν ενδιαφερόμαστε μόνο για φαινόμενα που εξαρτώνται γραμμικά από το εξωτερικό πεδίο (π.χ. η ωμική αγωγιμότητα των στερεών) τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η f εξαρτάται γραμμικά από το Ε, δηλ. στην k f θεωρούμε μόνο την κατανομή ισορροπίας f 0. Αυτήηπροσέγγισηδίνειτην την γραμμικοποιημένη εξίσωση Boltzmann για το προσδιορισμό της κατανομής μη ισορροπίας: (9.40) (9.41a) 27 3 η Προσέγγιση : Για μικρά ηλεκτρικά πεδία για μικρές αποκλίσεις από τη θερμική ισορροπία, η (9.41a) μπορεί να θεωρηθεί θ σαν ανάπτυγμα της f 0 (k) γύρω από το σημείο k: Δηλαδή η σταθεροποιημένη κατανομή που προκύπτει από ένα εξωτερικό πεδίο Ε και περιλαμβάνει φαινόμενα της σκέδασης (που περιγράφονται από το τ) μπορεί να παρασταθεί από μία κατανομή Fermi μετατοπισμένη κατά από τη θέση ισορροπίας. ee 28 14

Σχήμα 9. 4a, b. Η επίδραση ενός σταθερού ηλεκτρικού πεδίου Ε x στην κατανομή ηλεκτρονίων στο χώρο των k: (α) Η σφαίρα Fermi της κατανομής ισορροπίας [, με κέντρο στην αρχή των αξόνων] μετατοπίζεται στη σταθεροποιημένη κατάσταση κατά την ποσότητα δk x = eτε x /ħ. (β) Η νέα κατανομή Fermi f(e(k)) διαφέρει σημαντικά από την κατανομή ισορροπίας f 0 ( ) μόνο στη γειτονία της ενέργειας Fermi (ακτίνα Fermi) (αφαιρούμε την f o από την f παρουσιάζεται έλλειμα ή περίσσεια e) δk x = eτε x /ħ 29 9.5 Η Ηλεκτρική Αγωγιμότητα των Μετάλλων: μοντέλο Drude (όχι όλους τους υπολογισμούς) Το 1900 ο Drude περιέγραψε την αγωγιμότητα των μετάλλων θεωρώντας ότι τα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται σαν ιδανικό αέριο (μοντέλο Drude ήαέριοτων ελευθέρων e) σε εξωτερικό πεδίο E η κίνηση των ηλεκτρονίων περιγράφεται από την κλασσική εξίσωση : (9.42) Οι υποθέσεις του μοντέλου Drude: Tα θετικά μεταλλικά ιόντα κατανέμονται ομοιόμορφα στο στερεό δημιουργώντας ένα θετικά φορτισμένο υπόβαθρο που συμβάλλει στην ηλεκτρική ουδετερότητα. Τα e συγκρούονται με τους πυρήνες & αλλάζουν διεύθυνση αλλά δεν τους «βλέπουν» κατά τη μέση ελεύθερη διαδρομή. Τα e υπόκεινται μόνον στο φράγμα δυναμικού της επιφάνειας στην οποία ενίοτε υφίστανται ανακλάσεις Το αέριο των e είναι φορτισμένο και έχει μεγάλη πυκνότητα 10 29 e/m 3 30 συμπεριφέρεται σαν πυκνό plasma 15

Στην εξίσωση κίνησης ηλεκτρονίου υπό την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου E σύμφωνα με το μοντέλο Drude υπεισέρχονται οι έννοιες της ταχύτητας ολίσθησης υ D και του χρόνου αφηρέμησης τ Ο όρος mυ D /τ περιγράφει την απώλεια ενέργειας λόγω της σκέδασης (όρος τριβής) Η ταχύτητα ολίσθησης υ D =υ υ therm, είναι η τελική ταχύτητα που οφείλεται στο πεδίο και την θερμική ταχύτητα υ therm. Ο χρόνος αφηρέμησης τ είναι μία σταθερά χρόνου: μετά τον μηδενισμό του πεδίου η υ D αφηρεμεί εκθετικά στη υ therm με σταθερά χρόνου τον χρόνο αφηρέμησης d Για την σταθεροποιημένη κατάσταση 0 dt και συνεπώς η πυκνότητα ρεύματος j στη διεύθυνση του πεδίου είναι: 2 e n j end E m 31 Όπως είδαμε η πυκνότητα ρεύματος j στη διεύθυνση του πεδίου είναι 2 e n e j end E και E m D m όπου n είναι η πυκνότητα όγκου των ελευθέρων ηλεκτρονίων Η ευκινησία των φορέων μ ορίζεται ως η σταθερά αναλογίας μεταξύ της ταχύτητας ολίσθησης και του εξωτερικού πεδίου: Συνεπώς στο πρότυπο Drude, η ηλεκτρική αγωγιμότητα σ και ηευκινησίαμτου ηλεκτρονίου δίνονται από τις σχέσεις: και 32 16

Στο μοντέλο Drude όλαταελεύθεραηλεκτρόνιασυνεισφέρουνστορεύμα. Αυτό όμως απαγορεύεται από την αρχή του Pauli αφού μόνον ένα μικρό ποσοστό των ηλεκτρονίων που βρίσκονται κοντά στην E F μπορούν να συμβάλλουν στην αγωγιμότητα. Επομένως στη μικροσκοπική περιγραφή της σ υπεισέρχονται μόνο τα μεγέθη υ(ε F ) και τ(ε F ) των ηλεκτρονίων στη επιφάνεια Fermi, δηλ. μόνο ηλεκτρόνια στη γειτονία της E F συμβάλλουν στη μεταφορά ρεύματος, όπως αναμένεται από την αρχή του Pauli. Αρα στην μικροσκοπική περιγραφή της ταινίας αγωγιμότητας ενός μετάλλου (για kt Ε F ) που περιέχει ηλεκτρόνια μόνο στην παραβολική περιοχή με σταθερή m* η αγωγιμότητα γ και η ευκινησία δίνονται από τις σχέσεις: και 33 Οι σχέσεις και είναι ισοδύναμες με εκείνες του προτύπου Drude. Ο χρόνος αφηρέμησης ηλεκτρόνια στη στάθμη Fermi, και η ενεργός μάζα m* αντικαθιστάτην την μάζα m των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Η συνολική συγκέντρωση ηλεκτρονίων στη ταινία αγωγιμότητας εμφανίζεται στους σωστούς υπολογισμούς λόγω της ολοκλήρωσης στον χώρο των k Για να κατανοήσουμε τη θερμοκρασιακή εξάρτηση της αντίστασης των μετάλλων αρκεί να θεωρήσουμε τη θερμοκρασιακή εξάρτηση του τ(ε F ) ήτου μ (E F ). Υποθέτουμε ότι η συγκέντρωση φορέων n είναι ανεξάρτητη της Τ. Προσοχή: αυτή η υπόθεση δεν ισχύει για τους ημιαγωγούς. 34 17

Σκέδαση από φωνόνια και από ατέλειες. Υποθέτουμε ότι οι δύο μηχανισμοί σκέδασης από φωνόνια και ατέλειες είναι ανεξάρτητοι η συνολική πιθανότητα σκέδασης είναι το άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων σκέδασης. Η πιθανότητα σκέδασης είναι 1 1 όπου τ TF είναι ο μέσος ελεύθερος χρόνος κίνησης ενός φορέα και τ ο χρόνος αφηρέμησης TF όπου τ ph και τ def είναι οι μέσοι χρόνοι μεταξύ σκεδάσεων από φωνόνια και από ατέλειες, αντίστοιχα. Το πλήθος των κρούσεων στη μονάδα του χρόνου είναι ανάλογο της διατομής σκέδασης Σ και της ταχύτητας υ του σωματίου 1 35 Στα μέταλλα η υ=υ(ε F ) είναι ανεξάρτητη της Τ. Σκέδαση από ατέλειες: η διατομή Σ είναι θερμοκρασιακά ανεξάρτητη οδηγεί σε μία θερμοκρασιακά ανεξάρτητη συνιστώσα της ειδικής αντίστασης την ρ def. Σκέδαση από φωνόνια, η διατομή σκέδασης μπορεί να θεωρηθεί ανάλογη του μέσου τετραγωνικού πλάτους ταλάντωσης u 2 (q) του κατάλληλου φωνονίου (με κυματοδιάνυσμα q και συχνότητα ω q ). Στην οριακή περίπτωση υψηλών θερμοκρασιών, από το θεώρημα ισοκατανομής προκύπτει ότι, (9.60) όπου Μ είναι η μάζα των πυρήνων και Θ η θερμοκρασία Debye. Επομένως: 1 T (9.61a) 36 18

Μπορούμε να προσεγγίσουμε την τ ph αντικαθιστώντας την ω q με τη συχνότητα αποκοπής Debye ω D =kθ/ħ (Παραγρ.5.3) Σε θερμοκρασίες Τ<Θ, η πιθανότητα διέγερσης φωνονίων μειώνεται ταχύτατα ενώ ταυτόχρονα μειώνεται και η ενέργεια των φωνονίων Ο Gruneisen ανέπτυξε την ακριβή περιγραφή για Τ<Θ και έδωσε την ακόλουθη γενική ήέκφραση για τη συνεισφορά των φωνονίων ρ ph (Τ)1/σ ph στην ειδική αντίσταση των μετάλλων: (9.62) από την οποία σε χαμηλές θερμοκρασίες η ρ ph (Τ)Τ 5. 37 Κανόνας του Matthiesen (9.63) Η ειδική αντίσταση ρ (ρ = 1/σ ~ 1/τ) ενός μετάλλου ισούται με το άθροισμα 2 συνιστωσών: της ρ def που οφείλεται στις ατέλειες και είναι ανεξάρτητη της Τ και της ρ ph (Τ) που οφείλεται στα φωνόνια και είναι γραμμική συνάρτηση της θερμοκρασίας σε υψηλές θερμοκρασίες Για την ειδική αντίσταση (ρ) ενός μετάλλου ισχύει: Η ρ ισούται με το άθροισμα 2 συνιστωσών που έχουν διαφορετική θερμοκρασιακή εξάρτηση: 1 1 της ρ def που οφείλεται στις ατέλειες και είναι ανεξάρτητη της Τ και της ρ ph (Τ) που οφείλεται στα φωνόνια και είναι γραμμική συνάρτηση της θερμοκρασίας σε υψηλές θερμοκρασίες 38 19

Gruneisen Σχ.9.6: Η ειδική ηλεκτρική αντίσταση του Na συναρτήσει της Τ για 3 δείγματα με διαφορετική συγκέντρωση ατελειών. Ποιο δείγμα έχει τη μικρότερη συγκέντρωση ατελειών? Για Τ<8 Κ παρατηρείται μία θερμοκρασιακά ανεξάρτητη εναπομένουσα αντίσταση, που εξαρτάται από την συγκέντρωση ατελειών. Σε υψηλότερες θερμοκρασίες, κυριαρχεί η συνιστώσα που περιγράφεται από τον Gruneisen (ρ ph (Τ)Τ 5 ), και για Τ>18 Κ, η ρ ph εξαρτάται γραμμικά από την Τ ( ρ ph ~ Τ). Σχήμα 9.7. Ειδική ηλεκτρική αντίσταση ρ του καθαρού χαλκού και δειγμάτων Cu με διαφορετικές συγκεντρώσεις προσμείξεων Ni. Τι συμπεραίνουμε? 39 Σχήμα 9. 8. Προσμείωση πειραματικών δεδομένων από διάφορα μέταλλα με την σχέση του Gruneisen για την ανηγμένη αντίσταση (R/R Θ ) σαν συνάρτηση της ανηγμένης θερμοκρασίας (Τ/Θ, όπου Θ η θερμοκρασία Db Debye). Στις υψηλότερες θερμοκρασίες παρατηρείται γραμμική αύξηση της αντίστασης με την Τ. 40 20

9.7 Ο Νόμος των Wiedemann Franz Ο νόμος Wiedemann Franz δίνει τησχέση ανάμεσα στην ηλεκτρική αγωγιμότητα σ και τη συνεισφορά των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας στη θερμική αγωγιμότητα λ Ε : (9.80) Απόδειξη: Για σφαιρική επιφάνεια Fermi και με την υπόθεση ότι το τ εξαρτάται μόνο από την ενέργεια, η θερμική αγωγιμότητα λ Ε που οφείλεται στα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας δίνεται από την σχέση:. (9.78) Για ένα αέριο ελεύθερων ηλεκτρονίων είδαμε ότι (6.50) Αντικαθιστούμε στην (9.78) 41 η λ Ε γράφεται: (9.79) Γνωρίζουμε ότι η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα είναι σ = e 2 τ(e F )n/m Νόμος των Wiedemann Franz (9.80) δηλ. ολόγοςτηςηλεκτρονικήςθερμικήςαγωγιμότητοςλ Ε και της ηλεκτρικής αγωγιμότητος σ εξαρτάται γραμμικά από τη θερμοκρασία. Στα μέταλλα η θερμική και η ηλεκτρική αγωγιμότητα έχουν κοινή αρχή: τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητος. Ο παράγοντας π 2 k 2 /3e 2 ονομάζεται αριθμός Lorentz L και παίρνει την θεωρητική τιμή 2.45x108 WΩΚ 2 42 21