Τεχνολογιό Πανεπιστήµιο Κύπρου Σχολή Μηχανιής αι Τεχνολογίας Τμήμα Πολιτιών Μηχανιών αι Μηχανιών Γεωπληροφοριής ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Διδάσων/ Συντονιστής μαθήματος Εξάμηνο Δρ Ευάγγελος Αύλας 1ο Ημερομηνία 1-1-11 Διάρεια Εξέτασης Οδηγίες 3 ώρες Απαντάτε με ευρίνεια αι διαιολογείτε τις απαντήσεις σας Επιτρέπεται η χρήση σημειώσεων Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστιών μηχανών μόνο για αριθμητιούς υπολογισμούς Όλες οι ερωτήσεις είναι ισόβαθμες (5 μονάδες) Μη χρησιμοποιείτε όινο μελάνι ή μολύβι Ερωτήσεις επιτρέπονται μόνο ατά τα 1 πρώτα λεπτά της εξέτασης
Θέματα (1) Υλιό σημείο άνει υλιή ίνηση ατίνας R. Κάθε χρονιή στιγμή το μέτρο της εντρομόλου επιτάχυνσης είναι ίσο με το μέτρο της επιτρόχιας. Αν στο χρόνο t = είναι v() = v αι s()=, ζητούνται: (α) η γωνιαή ταχύτητα ω(t) συναρτήσει του χρόνου, (1) (β) το διανυθέν τόξο s(t) συναρτήσει του χρόνου, (1) (γ) η γωνιαή ταχύτητα ω(φ) συναρτήσει της διαγραφείσας γωνίας. (5) () Μία δοός άγνωστης μάζας Μ, στηρίζεται πάνω σε τρεις όμοιους υλίνδρους με γνωστή τη μάζα τους m αι την ατίνα τους R, αι ατεβαίνει πάνω σε ελιμένο επίπεδο γωνίας φ, όπως φαίνεται στο αόλουθο σχήμα. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει ολίσθηση, να βρεθούν η ελάχιστη αι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει η επιτάχυνση α της δοού. Να θεωρήσετε γνωστό ότι η ροπή αδράνειας άθε υλίνδρου ως προς τον άξονα που περνάει από το έντρο του είναι I Κ = mr /. (5) (3) Ομογενής αλυσίδα μήους lμε γραμμιή πυνότητα λ, βρίσεται ολόληρη στην ανώτερη επιφάνεια ελιμένου επιπέδου γωνίας θ, όπως φαίνεται στο αόλουθο σχήμα (αριστερά). Αρχιά της προσδίδεται ταχύτητα v αι όταν φτάσει αι ο τελευταίος ρίος της στην ορυφή του επιπέδου (δεξιά) η ταχύτητα της είναι αι πάλι v. Αν υπάρχει τριβή ολίσθησης μόνο στην οριζόντια επιφάνεια να υπολογίσετε: (α) το συντελεστή τριβής ολίσθησης με την οριζόντια επιφάνεια (1) (β) την ταχύτητα της αλυσίδας σε οποιαδήποτε θέση (5) (γ) τη θέση στην οποία η αλυσίδα είχε ελάχιστη ταχύτητα (1) l θ θ
(4) Κύλινδρος μάζας m αι ατίνας R μπορεί να υλίεται χωρίς ολίσθηση στο οριζόντιο έδαφος. Ο άξονας του υλίνδρου, Ο, που παραμένει άθετος στη διεύθυνση της ίνησης, έχει προσδεθεί στα σταθερά σημεία Α αι Β με τη βοήθεια δύο αβαρών ελατηρίων σταθεράς k Α αι k Β, αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η ροπή αδράνειας του υλίνδρου ως προς τον άξονα Ο είναι mr /, (α) Nα αποδείξετε ότι το σημείο Ο θα άνει ταλάντωση αι να βρείτε την περίοδο της, Τ. (1) (β) Αν m/k Α =1 s, να βρεθεί η σχέση των δύο σταθερών των ελατηρίων ώστε η περίοδος της ταλάντωσης να είναι π s. (5) (γ) Τη σχέση που συνδέει τον ελάχιστο συντελεστή οριαής τριβής με το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης, ώστε να διατηρείται η παραπάνω ταλάντωση (1) k A O R k Οδηγίες *Σε άθε περίπτωση θεωρείστε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι γνωστή. Καλή επιτυχία!
(1) v( t) v dv dt dv dv v Λύσεις των θεμάτων t vr =± =± =± ( ) = ω v R dt v t ( t) = R dt R v v Rm v t Rm v t s( t) t vr ds dt dt ( ) = &( ) = = = ( ) = ln 1 / / m m Rm v t R R v m t R / v m t s mϕ ve ϕ( t) = m ln( 1 m vt / R) Re = Rm vt ω( t) = R ± ϕ ( ) v t s t ds R s t s R v t R mr m () Mg sinϕ 3 f = Maδ (1), mg sin ϕ+ f f = ma (), Rf + Rf = & ω f + f = & ωr (3), a= & ωr (4), a = a (5). Με συνδυασμό των προηγούμενων εξισώσεων προύπτει εύολα ότι: δ 3 9 δ sin ϕ M / M a = g + + m 8 m αι επομένως 4 g sinϕ< aδ < g sinϕ. Οι οριαές τιμές επιτυγχάνονται 3 για m/m αι M/m, αντίστοιχα. (3) Η τριβή με την οριζόντια επιφάνεια είναι ( l x) λ g µ, όπου x το τρέχον μήος της αλυσίδας που βρίσεται στην ελιμένη επιφάνεια. Επομένως το έργο της τριβής για τη συνολιή μετατόπιση x, είναι x T ( ) = ( ) λ µ = λ µ + λ µ / W x l x g dx g l x g x. Εφράζοντας τη μεταβολή της μηχανιής ενέργειας μεταξύ της αρχιής αι τελιής ατάστασης λοιπόν έχουμε: MEA + WT ( l) = ME 1 1 1 1 λlv λ l gµ = λlv λl g sinθ µ = sin θ. Επομένως, για την τυχαία θέση της αλυσίδας 1 1 1 1 θα πρέπει αντίστοιχα να ισχύει ότι λlv λg sinθlx+ λg sin θ x = λlv( x) λx g sin θ v( x ) = sinθ sin θ / αυτό συμβαίνει στο x που προσδιορίζεται από το g sinθ + 4g sin θ x / l= x / l= 1/ x = l /. Το τελευταίο αποτέλεσμα μπορεί να προύψει αι από τη φυσιή ανάλυση ως προς το πότε η παράλληλη στην ελιμένη επιφάνεια συνιστώσα του βάρους ξεπερνά την οριζόντια τριβή. v xg + x g l η οποία γίνεται ελάχιστη όταν η παράγωγος της ως προς x μηδενίζεται: (4) Θα θεωρήσουμε (για απλότητα, χωρίς αυτό να αλλάζει το γενιό αποτέλεσμα) ότι τα ελατήρια στη θέση ισορροπίας βρίσονται στο φυσιό τους μήος. Ισχύει Σ F = k x k x T = mx &&, Σ M = TR= & ωmr / T = & ωmr /, && x= R & ω, αι επομένως μπορούμε να δούμε ότι ( ) ( ) k x k x && xm / = mx && k + k x+ && x3 m/ = && x+ x k + k /= αι άρα το σώμα άνει A A A ταλάντωση με υλιή συχνότητα που ιανοποιεί τη σχέση ( ) ( ) ω= k + k / π / T = k + k / T = π A A ( k + k ) m k k 3 k 1 = = + = = = A 1 s s s s k ka /. ( ka+ k) ( ka+ k) 3 m m m απομάρυνση το σώμα θα έχει επιτάχυνση μέτρου ( A ) ( + ) ( + ) ( + ) A A ( ka+ k) ω =. Προφανώς πρέπει να ισχύει Επιπλέον στη μέγιστη x + / 3 = & ω max k k m R αι επομένως θα πρέπει να ka k ka k x ka k xmax ka ισχύει ότι Tmax = xmax mgµ xmax µ = = ( x / max g) s 3 3 g mg max