ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης και αγνοώντας κάθε είδους αντιστάσεις. Η οριζόντια βολή είναι μια σύνθετη κίνηση, η οποία αποτελείται από τις δύο πιο κάτω κινήσεις: Την Ευθύγραμμη Ομαλή κίνηση, λόγω της U 0, στον άξονα xx Την Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη (ελεύθερη πτώση) λόγω της βαρυτικής δύναμης, στον άξονα yy Οι εξισώσεις που περιγράφουν την οριζόντια βολή για κάθε άξονα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Εξισώσεις κίνησης Οριζόντιας Βολής xx yy Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (ΣF x = 0) Ελεύθερη πτώση (ΣF y = m g) U x = U 0 U y = g t

x = U 0 t y = ½ g t 2 Ασκήσεις 1. h Από ένα σημείο που βρίσκεται σε ύψος h = 80m από το έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια ένα σώμα Α, με αρχική ταχύτητα U 0 = 30m/s, ενώ ταυτόχρονα αφήνεται να πέσει (από το ίδιο σημείο) ένα δεύτερο σώμα Β με m = 2kg. α) Πού βρίσκονται τα δύο σώματα μετά από t = 2s; β) Σε πόσο χρόνο κάθε σώμα θα φτάσει στο έδαφος; γ) Σε ποιο σημείο το σώμα Α θα πέσει στο έδαφος και ποια η ταχύτητά του, την στιγμή εκείνη; δ) Πόση είναι η ορμή p του σώματος Β τη στιγμή που συναντάει το έδαφος; Δίδεται: g = 10m/s 2 2. Σώμα μάζας 4kg, εκτελεί οριζόντια βολή από ύψος h με αρχική ταχύτητα U 0 = 9m/s και φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα U εδ = 15m/s. Αν g = 10 m/s 2 να υπολογίσετε: α) το χρόνο κίνησης μέχρι το έδαφος β) το ύψος h γ) το βεληνεκές της βολής δ) τη μηχανική ενέργεια του σώματος στο σημείο βολής 3. Σώμα εκτοξεύεται από ύψος h = 45m πάνω από το έδαφος με οριζόντια ταχύτητα U 0 = 30m/s. Αν g = 10 m/s 2 να υπολογίσετε: α) το χρόνο που χρειάζεται ώστε το σώμα να φτάσει στο έδαφος, καθώς και το βεληνεκές της οριζόντιας βολής β) το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το σώμα φτάνει στο έδαφος γ) τις τιμές της οριζόντιας και κατακόρυφης μετατόπισης του σώματος ύστερα από χρόνο ύστερα από χρόνο t = 2s

δ) τη δυναμική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t = 1s, αν η μάζα του είναι 2kg ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ομαλή κυκλική κίνηση: Είναι η κίνηση σε κυκλική τροχιά της οποίας το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. Τα χαρακτηριστικά μεγέθη της κίνησης δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Περίοδος (Τ) Συχνότητα (f) Γραμμική ταχύτητα (U) Γωνιακή ταχύτητα (ω) Χαρακτηριστικά ομαλής κυκλικής κίνησης Είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να κάνει το κινητό μια πλήρη περιφορά Είναι το πηλίκο του αριθμού, Ν, των περιφορών που κάνει το κινητό σε χρονικό διάστημα Δt προς το χρονικό διάστημα Δt Είναι η ταχύτητα που είναι εφαπτομένη στην τροχιά και ορίζεται σαν το πηλίκο του μήκους του τόξου που διαγράφει σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό Είναι διανυσματικό μέγεθος με σημείο εφαρμογής το κέντρο της τροχιάς, κατεύθυνση που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και μέτρο που ισούται με το πηλίκο της γωνίας του τόξου, Δθ, που διαγράφει σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό Τ = 1/f f = Ν/Δt = 1/T υ = Δs/Δt = 2πR/T = 2πf R ω = Δθ/Δt = 2π/T = 2πf

Κεντρομόλος επιτάχυνση (α κ ) Κεντρομόλος δύναμη (F κ ) Οφείλεται στην αδιάκοπη μεταβολή της διεύθυνσης της γραμμικής ταχύτητας και όχι στη μεταβολή του μέτρου, που είναι μηδέν στην ομαλή κυκλική κίνηση. Έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς Είναι η δύναμη που αναγκάζει το σώμα να κάνει κυκλική κίνηση. Ισούται με τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα και έχουν ακτινική κατεύθυνση. Έχει σημείο εφαρμογής το σώμα, κατεύθυνση προς το κέντρο του κύκλου α κ = υ 2 /R F κ = m ακ = m υ 2 /R Ασκήσεις 1. Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση (ΟΚΚ) με ταχύτητα 8π m/s, διαγράφοντας 12 περιστροφές σε χρόνο 3s. Να βρεθούν: α. η συχνότητα και η περίοδος της ΟΚΚ. β. η ακτίνα της ΟΚΚ. γ. η γωνία περιστροφής σε χρόνο t = 2,5s. δ. ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί σε χρόνο 1min 2. Σώμα κινείται σε περιφέρεια κύκλου με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα υ = 12m/s, για χρόνο t = 4s. Αν η συχνότητα περιστροφής του είναι f = 2/π Hz, να υπολογιστούν: α. η περίοδος της κίνησης β. η ακτίνα της κίνησης γ. η γωνία περιστροφής και το μήκος τόξου που διάνυσε το σώμα στο χρόνο των 4s 3. Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με ω= 10 π rad/sec, και ακτίνα R = 0,5m. Να υπολογίσετε: α) Την γραμμική ταχύτητα υ β) Την συχνότητα f και την περίοδο T γ) Την γωνία Δθ που θα διαγράψει η επιβατική ακτίνα και τον αριθμό των περιστροφών Ν που θα εκτελέσει το σώμα σε χρονική διάρκεια Δt = 4s δ) Την γωνιακή επιτάχυνση α κ (θεωρείστε π 2 =10) 4. Σφαίρα μάζας m=1kg δεμένη από το άκρο νήματος μήκους λ διαγράφει κατακόρυφο κύκλο ακτίνας λ=1m με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=6m/s. Να υπολογιστεί η τάση του νήματος: α. Στο κατώτερο σημείο της τροχιάς

β. Στο ανώτερο σημείο της τροχιάς γ. Όταν το νήμα είναι οριζόντιο. Δίνεται g=10m/s 2 5. Δύο κινητά Α και Β κινούνται ομαλά και αντίρροπα πάνω σε περιφέρεια κύκλου. Το κινητό Α κάνει 6 στροφές το λεπτό ενώ το κινητό Β κάνει 1 στροφή κάθε 20sec. Κάποια στιγμή τα κινητά διέρχονται από τις θέσεις Α και Β όπως φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν: α) Για πρώτη φορά β) Για δεύτερη φορά ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ 1. Τι ονομάζουμε ορμή ενός σώματος; Ορμή ( P) ενός σώματος μάζας m που κινείται με ταχύτητα U ονομάζεται το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που έχει κατεύθυνση την κατεύθυνση της ταχύτητας και μέτρο ίσο με το γινόμενο της μάζας του επί την ταχύτητα δηλαδή: Ρ = m υ Μονάδα μέτρησης της ορμής στο S.I. είναι το 1Kg m/s 2. Απόδειξη της σχέσης ΣF = Δp/Δt Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ορμής του ΣF = mα = m Δυ/Δt = m (υ 2 υ 1 )/Δt = (mυ 2 mυ 1 )/Δt = (p 2 p 1 )/Δt ΣF = Δp/Δt Αν είναι ΣF=0 τότε p = σταθερή 3. Τι λέμε σύστημα σωμάτων; Τι είναι εσωτερικές και τι εξωτερικές δυνάμεις; Σύστημα σωμάτων ονομάζουμε κάθε σύνολο σωμάτων, τα οποία απομονώνουμε νοητικά από τον υπόλοιπο κόσμο που αποτελεί το περιβάλλον του συστήματος. Εσωτερικές δυνάμεις ενός συστήματος σωμάτων λέμε τις δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων του συστήματος ενώ εξωτερικές λέμε τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα του συστήματος από τα σώματα του περιβάλλοντος 4. Πότε ένα σύστημα λέγεται μονωμένο;

Μονωμένο λέγεται το σύστημα σωμάτων στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις ή αν ασκούνται έχουν συνισταμένη μηδέν 5. Διατύπωση και απόδειξη της αρχής της διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) Η συνολική ορμή ενός μονωμένου συστήματος σωμάτων διατηρείται σταθερή. Αν κατά τη διάρκεια ενός φαινομένου το σύστημα των υλικών σημείων είναι μονωμένο, δηλαδή οι εξωτερικές δυνάμεις έχουν συνισταμένη μηδέν, τότε η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. Αν ΣF εξ = 0 Δp ολ /Δt = 0 Δp ολ =0 p 2 p 1 = 0 p 1 = p 2 p = σταθερό Κάθε μια από τις ορμές των υλικών σημείων του απομονωμένου συστήματος μπορεί να μεταβάλλεται, αλλά η συνολική ορμή του μένει σταθερή κατά μέτρο και κατεύθυνση. 6. Κρούση δύο σωμάτων Σε κάθε κρούση ενός απομονωμένου συστήματος σωμάτων η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή, πριν και μετά την κρούση: p ολ,πριν = p ολ,μετα Ασκήσεις 1. Βλήμα μάζας m=10kg βάλλεται από σημείο του εδάφους κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα 20m/s. Όταν φτάνει στο μέγιστο ύψος h διασπάται σε δύο τμήματα με μάζες m 1 και m 2. Αμέσως μετά τη διάσπαση τα δύο τμήματα αποκτούν οριζόντιες ταχύτητες ίσου μέτρου υ 1 =υ 2 =20m/s, αντίθετης φοράς. Να υπολογιστούν: α. Οι μάζες των δύο τμημάτων. β. Το ύψος που έγινε η διάσπαση. γ. Η απόσταση μεταξύ των σημείων στα οποία τα δύο τμήματα συνάντησαν το έδαφος. Δίνεται g=10m/s 2. Οι τριβές με τον αέρα να θεωρηθούν αμελητέες

2. Σώμα μάζας m = 2kg, πέφτει ελεύθερα από ύψος h 1 = 20m και φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα υ 1. Αν το σώμα αναπηδά με ταχύτητα υ 2 και στη συνέχεια σταματά στιγμιαία σε ύψος h 2 = 5m, να βρεθούν α. η ταχύτητα υ 1. β. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος, κατά τη διάρκεια της επαφής του με έδαφος. γ. η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας κατά τη διάρκεια της επαφής του με το έδαφος. δ. η μέση δύναμη που δέχτηκε από το έδαφος, αν ο χρόνος επαφής του με το έδαφος είναι 0,5s. Δίνεται g= 10m/s 2. 3. Ένα σώμα Α μάζας 1kg κινείται με ταχύτητα υ 0 = 10m/s σε λείο οριζόντιο επίπεδο και για t = 0 συγκρούεται με ακίνητο σώμα Β μάζας 4kg. Τη χρονική στιγμή t 1 = 2s το σώμα Α περνά από ένα σημείο Κ, το οποίο απέχει 12m από το σημείο Ο της σύγκρουσης κινούμενο προς τα αριστερά. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. i) Πόσο απέχουν τα δύο σώματα τη στιγμή t 1 ; ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του Β τη στιγμή αυτή; iii) Αν η διάρκεια της κρούσης ήταν Δt = 0,01s, πόση είναι η μέση δύναμη που ασκήθηκε στο Α σώμα στη διάρκεια της κρούσης; 4. Δύο σώματα μάζας m 1 = 2Kg και m 2 = 3Kg, κινούνται αντίθετα με ταχύτητες υ 1 =30m/s και υ 2 οπότε συγκρούονται πλαστικά. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κινείται προς την κατεύθυνση που κινούνταν αρχικά το m 1 με ταχύτητα υ Σ = 6m/s. Αν η διάρκεια της κρούσης είναι Δt = 0,5s, να υπολογίσετε: α) Την ταχύτητα του σώματος m 2 πριν την κρούση. β) Την δύναμη που άσκησε το σώμα m 1 στο m 2 κατά την κρούση 5. Σώμα μάζας m 1 κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με κινητική ενέργεια Κ 1 και συγκρούεται μετωπικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 = 4 m 1, χωρίς να δημιουργηθεί συσσωμάτωμα. Το σώμα μάζας m 1 εξ αιτίας της κρούσης ακινητοποιείται. Η απώλεια της Κινητικής Ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων εξ αιτίας της κρούσης ισούται με α) 0 β) 0,75Κ 1

γ) 0,25Κ 1 Συνδυαστικές ασκήσεις 1. Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος μήκους l=1,25m (θέση Α), το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται σε ύψους Η=2,5m από το έδαφος. Φέρνουμε τη σφαίρα στη θέση Β, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο κόβεται, οπότε τελικά η σφαίρα φτάνει στο έδαφος στο σημείο Δ. i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας και η τάση του νήματος αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί (θέση Β). ii) Σε μια στιγμή το νήμα σχηματίζει γωνία φ=30 με την οριζόντια διεύθυνση. Πόση είναι η τάση του νήματος στην θέση αυτή; iii) Να βρεθεί η απόσταση (ΚΔ) του σημείου πρόσδεσης του νήματος και του σημείου πρόσπτωσης της σφαίρας στο έδαφος. Δίνεται g=10m/s 2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέαα 2. Ένα παιδί μάζας 50kg είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κρατώντας στο χέρι του μια σφαίρα μάζας 1kg. Σε μια στιγμή εκτοξεύει τη σφαίρα οριζόντια με αρχική ταχύτητα U 0 = 10m/s, από ύψος h = 1,8m. i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος ii) Πόσο απέχει η σφαίρα από το παιδί, τη στιγμή που αγγίζει το έδαφος iii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F 1 που άσκησε το παιδί στη μπάλα κατά την εκτόξευσή της και το έργο της αντίδρασης F 2 Δίνεται g = 10m/s 2 3. Ένα ξύλινο σώμα Σ μάζας 950g κρέμεται από νήμα μήκους 2,5m. Ένα βλήμα μάζας m = 50g που κινείται οριζόντια με ταχύτητα U 1 = 100m/s σφηνώνεται στο Σ.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση ii) Ποια η ελάχιστη τιμή του ορίου θραύσης του νήματος, ώστε αυτό να μη σπάσει? iii) Ποια η ελάχιστη τιμή της τάσης του νήματος? 4. Ένα σώμα Σ 1 μάζας m 1 = 4kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος και αφήνεται να κινηθεί από ύψος h = 0,2m. Μόλις το νήμα γίνει κατακόρυφο, το Σ 1 συγκρούεται μετωπικά με ένα δεύτερο ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 1kg. Αν g = 10m/s 2 : i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ 1 πριν την κρούση Αν μετά την κρούση το σώμα Σ 1 έχει ταχύτητα ίδιας κατεύθυνσης και μέτρου U 1 = 1,2m/s, να βρεθούν: ii) iii) Το έργο της δύναμης που ασκήθηκε στο Σ 2 κατά τη διάρκεια της κρούσης Η μέση δύναμη που ασκήθηκε στο σώμα Σ 1 στη διάρκεια της κρούσης αν η διάρκειά της είναι Δt = 0,2s 5. Σώμα μάζας m=100g βάλλεται οριζόντια από ύψος Η=1,8 m από το έδαφος με ταχύτητα υ= 20m/s. Όταν φτάνει στο έδαφος συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο κύβο μάζας 0,9 Κg χωρίς το σύστημα να αναπηδήσει. Αν ο χρόνος κρούσης θεωρηθεί αμελητέος και ο συντελεστής τριβής του συσσωματώματος με το δάπεδο είναι μ= 0,4 ζητούνται: i) η χρονική διάρκεια της οριζόντιας βολής ii) η ταχύτητα με την οποία έφτασε στο έδαφος το σώμα μάζας m iii) το μέτρο της μεταβολής ορμής του κύβου και η απώλεια ενέργειας κατά την κρούση iv) το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει 6. Βλήμα μάζας m = 200g κινείται με ταχύτητα U 0 = 100m/s και σφηνώνεται σε κομμάτι ξύλου Μ = 1,8kg, το οποίο κρέμεται από νήμα μήκους l=20m. Δίνεται g = 10 m/s 2. Να βρεθούν:

i. η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση ii. Η τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση iii. Το μέγιστο ύψος το οποίο φτάνει το συσσωμάτωμα iv. Η μέγιστη γωνία εκτροπής του νήματος v. Η απώλεια ενέργειας κατά την κρούση; Τι ποσοστό της αρχικής ενέργειας έγινε θερμότητα?