ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ η ΕΚΑ Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής; Ποιο σχήµα ονοµάζουµε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ ; Στον παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε αριθµό της πρώτης στήλης µε ένα γράµµα της δεύτερης στήλης, ώστε να προκύπτουν αληθινές προτάσεις. Στήλη Α Στήλη Β. Η ορθή γωνία έχει µέτρο α. 360 ο 2. Η ευθεία γωνία έχει µέτρο β. 90 ο 3. Η πλήρης γωνία έχει µέτρο γ. 80 ο 4. Οι συµπληρωµατικές γωνίες έχουν άθροισµα δ. 70 ο 5. Οι παραπληρωµατικές γωνίες έχουν άθροισµα Εφεξής λέγονται δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, µια πλευρά τους είναι κοινή και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σηµείο. Ονοµάζουµε κύκλο µε κέντρο το σηµείο Ο και ακτίνα ρ το σύνολο των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Ο απόσταση ίση µε ρ. Από τους σχετικούς ορισµούς προκύπτουν οι αντιστοιχίες β, 2 γ, 3 α, 4 β, 5 γ 2. Τα µηνιαία έσοδα µιας οικογένειας είναι 2800 και οι µηνιαίες δαπάνες κατανέµονται ως εξής : Το 40% ξοδεύεται για φαγητό, το % για νοίκι, το 28 για ρουχισµό, το για διασκέδαση και τα υπόλοιπα αποταµιεύονται. 25 Να βρείτε πόσα χρήµατα ξοδεύει η οικογένεια για κάθε κατηγορία δαπανών. Να βρείτε ποιό ποσοστό των µηνιαίων εσόδων αποταµιεύεται. Αν τα µηνιαία έσοδα µειώθηκαν κατά 2%, να βρείτε το νέο ποσό των µηνιαίων εσόδων. Έξοδα για φαγητό : Έξοδα για νοίκι : Έξοδα για ρούχα : Έξοδα για διασκέδαση : 40 = 00 2800 = 560 00 2800 = 00 28 2800 = 2 25 2800
2 Σύνολο εξόδων : + 560 + 00 + 2 = 892 Το ποσό που αποταµιεύεται είναι 2800 892 = 908 Το ποσό που αποταµιεύεται αποτελεί τα Οπότε 908 32, 4 0, 324 = 2800 00 = 32,4% 908 2800 των µηνιαίων εσόδων. 2 Το ποσό της µείωσης είναι : = 336 00 2800 Εποµένως το ποσό των νέων εσόδων είναι ίσο µε 2800 336 = 2464 3. Έστω ότι Α = 2 3 3 5 + 4: 2 5 + (32 + 2 4 ) 4 5 και Β = 25 3 2 : 7 3 + 3 4 5 3 Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων Α και Β. Αν Α = 5 και Β = 4, να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των Α και Β. Να δικαιολογήσετε γιατί οι αριθµοί Α και Β είναι πρώτοι µεταξύ τους. δ) Να λύσετε τις εξισώσεις Α x = B και x : Α = Β. Α = 2 3 3 5 +4: 2 5 +(32 + 2 4 ) 4 25 = 6 3 3 3 5 + 4: 2 4 +(9 + 6) 5 25 = = 5 3 3 5 + 4: 2 5 + 25 4 25 = = + 4 5 + 4 = + 0 + 4 = 5 2 Β = 5 3 2 : 7 3 + 3 4 5 3 = 22 5 6 6 : 7 3 + 3 4 5 3 3 = = 7 6 : 7 3 + 3 4 4 3 = = 7 6 3 7 + 3 4 4 3 = 2 + 7 2 = 8 2 = 4 Είναι Α = 5 = 3 5 και Β = 4 = 2 2 οπότε ΕΚΠ(5, 4) = 3 5 2 2 = 60 ΜΚ (5, 4 ) = οπότε οι αριθµοί Α και Β είναι πρώτοι µεταξύ τους. δ) Α x = B άρα 5 x = 4 οπότε x = 5 4 = x : Α = Β άρα x : 5 = 4 οπότε x = 5 4 = 60
3 4. Πότε δύο κλάσµατα λέγονται ισοδύναµα ; Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις. i) Αν πολλαπλασιάσουµε τους όρους ενός κλάσµατος µε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό, τότε προκύπτει κλάσµα.µε το αρχικό ii) Ένα κλάσµα που δεν απλοποιείται ονοµάζεται iii) ύο κλάσµατα µε τον ίδιο παρονοµαστή ονοµάζονται.. iν) Ετερώνυµα ονοµάζονται δύο κλάσµατα που έχουν.παρονοµαστές ύο κλάσµατα λέγονται ισοδύναµα όταν εκφράζουν το ίδιο τµήµα ενός µεγέθους ή ίσων µεγεθών Με βάση τους σχετικούς ορισµούς συµπληρωµένα τα κενά φαίνονται παρακάτω i) Αν πολλαπλασιάσουµε τους όρους ενός κλάσµατος µε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό, τότε προκύπτει κλάσµα ισοδύναµο µε το αρχικό ii) Ένα κλάσµα που δεν απλοποιείται ονοµάζεται ανάγωγο iii) ύο κλάσµατα µε τον ίδιο παρονοµαστή ονοµάζονται οµώνυµα iν) Ετερώνυµα ονοµάζονται δύο κλάσµατα που έχουν διαφορετικούς παρονοµαστές 5. Στο διπλανό σχήµα η γραµµή ΧΟΨ είναι ευθεία και η ΟΓ είναι διχοτόµος της γωνίας Α ΟΨ. Να υπολογίσετε τις γωνίες ɵ α, β ɵ και γ ɵ Αφού η γραµµή ΧΟΨ είναι ευθεία, η γωνία των 60 ο µε την ɵ α είναι παραπληρωµατικές. Άρα ɵ α = 80 ο 60 ο = ο Για τον ίδιο λόγο Α ΟΨ = 80 ο 80 = 00 ο, και επειδή η ΟΓ είναι διχοτόµος της Α ΟΨ, θα είναι β ɵ = γ ɵ = 00:2 = 50 ο Χ A 80 ο Ο α γ β 60 ο B Γ Ψ
4 6. Έστω ότι Α = 5 3 + 4 3 (23 2) 3 2, Β = 7 2 +( 6 2 2 ) 6 και Γ = 4 3 : 4 5 6 5 Να υπολογίσετε τις τιµές των Α, Β και Γ Αν Α = 2 6, Β = και Γ =, να διατάξετε τους αριθµούς Α, Β και Γ από 3 5 τον µικρότερο στον µεγαλύτερο. Α = 5 3 + 4 3 (23 2) 3 2 = 5 3 + 4 3 (8 2) 9 = = 5 3 + 4 3 6 9 = 5 3 + 8 9 = = 5 3 = 5 3 3 3 = 2 3 Β = 7 2 + ( 6 2 2 ) 6 = 7 2 + ( 6 4) 6 = = 7 2 + 2 6 = 9 8 = Γ = 4 3 : 4 5 6 5 = 4 3 5 4 5 6 5 5 = = 5 3 9 5 = 25 5 9 5 =6 5 Επειδή 2 < 3, είναι 2 < και 6 >5. 3 Άρα 6 5 > οπότε 2 3 < < 6 5
5 7. Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε και ε 2 είναι παράλληλες και ΑΒ = ΑΓ. Να υπολογίσετε τις γωνίες δ ɵ και β ɵ Να υπολογίσετε τις γωνίες γ ɵ και ɵ α Αν η ηµιευθεία Αx είναι παράλληλη στις ε και ε 2, να δικαιολογήσετε γιατί η ηµιευθεία Αx είναι διχοτόµος. της γωνίας ΒΑ δ ɵ = 53 ο ως κατακορυφήν και β ɵ =δ ɵ ως εντός εναλλάξ. Άρα β ɵ = 53 ο () Επειδή ΑΒ = ΑΓ, στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι β ɵ = Γ ΒΑ. Οπότε, λόγω της (), Γ ΒΑ = 53 ο (2) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι β ɵ + Γ ΒΑ + γ ɵ = 80 ο άρα 53 ο + 53 ο +γ ɵ = 80 ο οπότε γ ɵ = 74 ο Ακόµα ɵ α = Γ ΒΑ ως εντός εναλλάξ. Οπότε λόγω της (2) είναι και ɵ α = 53 ο x Α = δ ɵ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων Αx και ε 2 µε τέµνουσα την Α. Και αφού δ ɵ = 53 ο θα είναι και x Α = 53 ο Αφού ε // Αx, είναι x ΑΒ = Γ ΒΑ = 53 ο λόγω της (2) Αφού λοιπόν είναι x ΑΒ = 53 ο = x Α, η Αx είναι διχοτόµος της γωνίας Β Α ε ε 2 Γ α Ε β γ Α Β δ 53 ο x 8. Πότε ένας αριθµός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος; Αναφέρατε τα κριτήρια διαιρετότητας i) µε το 5 και ii) µε το 3 Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά : i) α =. ii) α + = α iii) α (β + = + Ένας αριθµός λέγεται πρώτος όταν διαιρείται µόνο από τον εαυτό του και την µονάδα, και σύνθετος όταν δεν είναι πρώτος. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 5 όταν τελειώνει σε 0 ή 5 και διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3. Συµπληρωµένα τα κενά : i) α = α ii) α + 0 = α iii) α (β + = α β + α γ
6 9. Σε ένα σχολείο τα 4 5 των µαθητών της Α τάξης προβιβάστηκαν τον Ιούνιο στην Β 3 τάξη, τα παραπέµφθηκαν για τον Σεπτέµβρη και οι υπόλοιποι έµειναν στην ίδια τάξη. Να βρείτε ποιο µέρος των µαθητών έµεινε στην ίδια τάξη τον Ιούνιο. Αν οι µαθητές που έµειναν στην ίδια τάξη τον Ιούνιο είναι 0, να βρείτε : i) To πλήθος των µαθητών της Α τάξης ii) Το πλήθος των µαθητών που προβιβάστηκαν τον Ιούνιο και το πλήθος των µαθητών που παραπέµφθηκαν τον Σεπτέµβριο Αν από τους µαθητές που παραπέµφθηκαν τον Σεπτέµβριο τα 3 5 προβιβάστηκαν, να βρείτε : i) Το συνολικό ποσοστό των µαθητών που προβιβάστηκαν στην Β τάξη ii) Το συνολικό ποσοστό των µαθητών που έµειναν στην ίδια τάξη Το µέρος των µαθητών που προβιβάστηκαν τον Ιούνιο ή παραπέµφθηκαν για τον 4 Σεπτέµβριο είναι 5 + 3 = 6 + 3 = 9 Εποµένως το µέρος των µαθητών που έµειναν στην ίδια τάξη τον Ιούνιο είναι το υπόλοιπο. i) Γνωρίζουµε ότι αυτό το είναι ίσο µε 0 µαθητές. Εποµένως τα, δηλαδή το σύνολο των µαθητών της Α τάξης θα είναι 0 = 0 µαθητές ii) Τον Ιούνιο προβιβάστηκαν 4 0 = 60 µαθητές 5 και παραπέµφθηκαν για τον Σεπτέµβριο 3 0 = 30 µαθητές i) Από τους 30 µαθητές που παραπέµφθηκαν για τον Σεπτέµβρη προβιβάστηκαν οι 3 = 26 µαθητές. Οπότε συνολικά προβιβάστηκαν 60 + 26 = 86 µαθητές 5 30 Αυτοί αντιπροσωπεύουν τα 86 0 = 93 = 93% του συνόλου των µαθητών 00 ii) Είναι φανερό τώρα ότι το συνολικό ποσοστό των µαθητών που έµειναν στην ίδια τάξη είναι το υπόλοιπο 7%
7 0. Τι ονοµάζουµε απόσταση ενός σηµείου Α από µία ευθεία ε ; Ποιες ευθείες λέµε τεµνόµενες και ποιες παράλληλες ; Να γίνουν τα σχετικά σχήµατα Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών ; Να γίνει το σχετικό σχήµα Ονοµάζουµε απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία ε το µήκος του καθέτου ευθυγράµµου τµήµατος που φέρνουµε από το σηµείο Α στην ευθεία ε. Τεµνόµενες λέµε τις ευθείες που έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο και παράλληλες αυτές που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο. Στο σχήµα βλέπουµε δύο τεµνόµενες ευθείες και στο σχήµα 2 δύο παράλληλες Σχήµα Σχήµα 2 Ονοµάζουµε απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών το µήκος οποιουδήποτε ευθυγράµµου τµήµατος που είναι κάθετο στις δύο παράλληλες και έχει τα άκρα του πάνω σ αυτές. Α Στο διπλανό σχήµα, η απόσταση των παραλλήλων ε ευθειών ε και ε 2 είναι το µήκος του τµήµατος ΑΒ ε 2 Β