Υπολογιστικές εκτιμήσεις και η διδασκαλία τους: επιδόσεις, στρατηγικές και στάσεις υποψήφιων εκπαιδευτικών

Υπολογιστικές εκτιμήσεις και η διδασκαλία τους: επιδόσεις, στρατηγικές και στάσεις υποψήφιων εκπαιδευτικών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Δεσλή Δέσποινα & Ανεστάκης Πέτρος Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Α.Π.Θ. ddesli@eled.auth.gr & petrosan@hotmail.gr Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να μελετήσει τις επιδόσεις και τις στρατηγικές 113 υποψηφίων εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης κατά την επίλυση προβλημάτων υπολογιστικής εκτίμησης, καθώς και τις απόψεις τους για τη διδασκαλία τέτοιων προβλημάτων στο δημοτικό σχολείο. Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιήθηκε ερωτηματολόγιο στο οποίο παρουσιάστηκαν για επίλυση τέσσερις κατηγορίες προβλημάτων - σχετικό μέγεθος των αριθμών, χρήση σημείων αναφοράς, αριθμητικές πράξεις και λογική κρίση - με και χωρίς. Οι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί παρουσίασαν αρκετά υψηλές επιδόσεις σε όλα τα προβλήματα, ενώ οι στρατηγικές τους βασίστηκαν περισσότερο σε ευέλικτες προσεγγίσεις και λιγότερο σε κανόνες και τυποποιημένους αλγόριθμους. Τέλος, θεωρούν πολύ σημαντική τη διδασκαλία της υπολογιστικής εκτίμησης στο δημοτικό σχολείο. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια η εκτίμηση του αποτελέσματος ενός υπολογισμού αποτελεί σημαντικό μέρος του Αναλυτικού Προγράμματος των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο στην Ελλάδα και το εξωτερικό καθώς τα οφέλη από την έκθεση των παιδιών σε δραστηριότητες υπολογιστικής εκτίμησης έχουν επισημανθεί με αναφορές, κυρίως, στην πρακτική χρησιμότητα της εκτίμησης ( Segovia & Castro, 2009). Συχνά, ωστόσο, η ικανότητα υπολογιστικής εκτίμησης συγχέεται με την ικανότητα για νοερούς υπολογισμούς (Λεμονίδης, 2013), ενδεχομένως επειδή πραγματοποιούνται και οι δύο νοερά: σε αντίθεση με τους νοερούς υπολογισμούς που καταλήγουν σε ακριβές αποτέλεσμα, οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί προσεγγίζουν το αποτέλεσμα του υπολογισμού με ακρίβεια. Τόσο οι νοεροί όσο και οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί συνεπικουρούν στην ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού ( McIntosh, 2004) και γι αυτό προτείνονται για διδασκαλία από τις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείου. Οι έρευνες σχετικά με την υπολογιστική εκτίμηση έχουν κυρίως επικεντρωθεί στις δεξιότητες που απαιτούνται και τις στρατηγικές που

χρησιμοποιούν τα παιδιά και οι ενήλικες, συνδέοντας την ικανότητα υπολογιστικής εκτίμησης με διαδικασίες όπως, για παράδειγμα, αυτές που αναπτύσσουν τη σημασία των αριθμητικών πράξεων. Η Dowker (2003), εξετάζοντας την ικανότητα υπολογιστικής εκτίμησης των παιδιών σε προσθετικά προβλήματα, βρήκε ότι όσο βελτιώνεται το επίπεδο της μαθηματικής επίδοσης των παιδιών τόσο περισσότερο σύνθετες δεξιότητες εκτίμησης αυτά παρουσιάζουν. Αντίθετα, ο Alsawaie (2011) και ο Yang, (2005) σε έρευνές τους με μαθητές Στ τάξης σε Ηνωμένα Αραβικά Εμιράτα και Ταϊβάν αντίστοιχα, βρήκαν ότι η μεγάλη στήριξη που παρουσιάζουν τα παιδιά σε κανόνες και τυπικούς αλγορίθμους λειτουργεί ανασταλτικά και τους εμποδίζει να αναπτύξουν εναλλακτικούς τρόπους υπολογιστικής εκτίμησης. Επιπρόσθετα, όπως συμβαίνει και σε άλλα γνωστικά πεδία, οι στρατηγικές των παιδιών παρουσιάζουν ποικιλία ( Lemaire & Lecacheur, 2002), η οποία βελτιώνεται με την ηλικία. Για την πρόσθεση, για παράδειγμα, τα μικρά παιδιά συχνά στρογγυλοποιούν τις μονάδες ή τις δεκάδες στην πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα και μετά προσθέτουν (30+50=80 για να υπολογίσουν το 32+53 ή 200+300=500 για να υπολογίσουν το 234+315). Τα μεγαλύτερα παιδιά παρουσιάζουν τις στρατηγικές υπολογιστικής εκτίμησης με διαφορετική συχνότητα και συχνά συνδυαστικά για μεγαλύτερη αποτελεσματικότητα (για το 234+315, προσθέτουν 30+10=40 πάνω στο αρχικό 500). Οι περισσότερες από αυτές τις έρευνες συγκλίνουν στο γεγονός ότι η ικανότητα υπολογιστικής εκτίμησης του αποτελέσματος στις αριθμητικές πράξεις κατακτάται δύσκολα και ότι επιτυγχάνεται μόνο με συστηματική διδασκαλία. Η ικανότητα υπολογιστικής εκτίμησης έχει, επίσης, εξεταστεί σε ενήλικες διαφόρων επιπέδων υπολογιστικών επιδόσεων ( π.χ., Lemaire, Arnaud & Lecacheur, 2004. Opfer & DeVries, 2008. Hanson & Hogan, 2000) δείχνοντας ότι οι πολύ καλές επιδόσεις των ενηλίκων σε προβλήματα που απαιτούσαν ακριβείς υπολογισμούς δεν συμβάδιζαν με τις επιδόσεις τους σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Παρόμοια είναι και τα αποτελέσματα για τους εκπαιδευτικούς που συμμετείχαν σε έρευνες σχετικά με τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν σε προβλήματα αίσθησης του αριθμού. Συγκεκριμένα, οι υποψήφιοι εκπαιδευτικοί, στην έρευνα των Yang, Reys και Reys (2009), είχαν χαμηλές επιδόσεις σε προβλήματα που απαιτούν αίσθηση του αριθμού και βασίζονταν κυρίως σε γραπτούς υπολογισμούς με αλγόριθμους και κανόνες. Στην έρευνα του Tsao (2005) μάλιστα οι υποψήφιοι εκπαιδευτικοί -ακόμα και εκείνοι υψηλής ικανότητας - δήλωσαν ότι δεν είναι έτοιμοι για ένα αναλυτικό πρόγραμμα που δίνει λιγότερη έμφαση σε γραπτούς υπολογισμούς. Την αναστολή τους να

διδάξουν την υπολογιστική εκτίμηση στο δημοτικό σχολείο εξέφρασαν οι περισσότεροι από τους μισούς εν ενεργεία εκπαιδευτικούς που πήραν μέρος στην έρευνα του Alajmi (2009), φοβούμενοι ότι η έμφαση σε υπολογιστικές εκτιμήσεις θα προκαλούσε προβλήματα στους μαθητές στην ανάπτυξη των τυπικών αλγορίθμων. Με δεδομένο ότι η γνώση συγκεκριμένου μαθηματικού περιεχομένου από τους εκπαιδευτικούς αλλά και οι στάσεις τους επηρεάζουν τον τρόπο και το περιεχόμενο της διδασκαλίας τους ( Pajares, 1992), έχει ενδιαφέρον η διερεύνηση της υπολογιστικής εκτίμησης από τους εκπαιδευτικούς. Όπως υποστηρίζουν οι Tsao και Lin (2011), τα παιδιά αναπτύσσουν την αίσθηση του αριθμού όταν οι εκπαιδευτικοί τους έχουν οι ίδιοι καλή σχετική γνώση της αίσθησης του αριθμού. Παρόμοια, οι Alajmi και Reys (2007) προτείνουν ότι οι εκπαιδευτικοί που βλέπουν θετικά τη σημασία των λογικών απαντήσεων των μαθητών τους, επιμένουν στη διδασκαλία των μαθηματικών με έμφαση στην αναγνώριση της ορθότητας ή τις λογικότητας ενός αποτελέσματος. Παρόλο που πληθώρα ερευνών επισημαίνουν το σημαντικό ρόλο που οι εκπαιδευτικοί διαδραματίζουν στο να βοηθήσουν τα παιδιά να κατακτήσουν την αίσθηση του αριθμού, πολύ πιο περιορισμένη είναι η έρευνα αναφορικά με την επίδοση των εκπαιδευτικών σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να μελετήσει τόσο τις επιδόσεις και τις στρατηγικές υποψηφίων εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης όσο και τις απόψεις τους για τη διδασκαλία τέτοιων προβλημάτων στο δημοτικό σχολείο, καθώς οι υποψήφιοι εκπαιδευτικοί θα είναι εκείνοι που θα αποδώσουν την έμφαση στις υπολογιστικές εκτιμήσεις όπως ορίζουν οι αλλαγές στα αναλυτικά προγράμματα των μαθηματικών. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Συμμετέχοντες. Στην έρευνα συμμετείχαν συνολικά 113 προπτυχιακοί φοιτητές και φοιτήτριες (86,7% γυναίκες και 13,3% άντρες) του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, οι οποίοι φοιτούσαν στο τρίτο (64%) και το τέταρτο έτος (36%) των σπουδών τους και είχαν ασχοληθεί στα πλαίσια των μαθημάτων τους με ζητήματα της διδακτικής των μαθηματικών. Οι περισσότεροι συμμετέχοντες εισήχθησαν στο τμήμα από τη θεωρητική κατεύθυνση (63,4%), ενώ πολύ λιγότεροι από την τεχνολογική (22,3%) και τη θετική κατεύθυνση (14,3%). Η επιλογή του δείγματος έγινε με τη μέθοδο της τυχαίας δειγματοληψίας.

Σχεδιασμός Εργαλείο μέτρησης. Για τη διεξαγωγή της έρευνας σχεδιάστηκε ερωτηματολόγιο αποτελούμενο από δύο άξονες. Ο πρώτος άξονας εξετάζει τις επιδόσεις και τις στρατηγικές των συμμετεχόντων στις εξής τέσσερις κατηγορίες προβλημάτων υπολογιστικής εκτίμησης που ευρύτερα αναφέρονται σε διαφορετικά στοιχεία της αίσθησης του αριθμού (Tsao, 2005. Yang, Reys & Reys, 2009): i) σχετικό μέγεθος των αριθμών (π.χ., Χωρίς να κάνετε υπολογισμούς με ακρίβεια, επιλέξτε ποιο από τα δύο 30 36 κλάσματα είναι πιο κοντά στο 1: α) το, β) το ), ii) χρήση σημείων 31 37 αναφοράς (π.χ., Χωρίς να κάνετε υπολογισμούς με ακρίβεια, εκτιμήστε περίπου πόσο κάνει το γινόμενο 72x0,46: α) Λιγότερο από 36, β) Περισσότερο από 36 ), iii) αριθμητικές πράξεις (π.χ., Χωρίς να κάνετε υπολογισμούς με ακρίβεια, εκτιμήστε ποιο από τα παρακάτω γινόμενα είναι μεγαλύτερο: α) 14x17x21x12, β) 12x17x7x42 ) και iv) λογική κρίση (π.χ., Χωρίς να κάνετε υπολογισμούς με ακρίβεια, εκτιμήστε το πηλίκο της διαίρεσης 61.027: 33.275 ). Για κάθε κατηγορία χρησιμοποιήθηκαν έργα χωρίς όπως αυτά στα παραδείγματα - και έργα με ρεαλιστικό προερχόμενο από την καθημερινή ζωή (π.χ., Ένα σχολικό λεωφορείο χωρά 50 παιδιά. Για τη μετακίνηση 915 παιδιών σε ένα μουσείο, πόσα λεωφορεία θα χρειαστούν; πρόβλημα λογικής κρίσης με ). Στα μισά έργα δινόταν η απάντηση ανάμεσα σε επιλογές και υπήρχε σε όλα γραπτώς η έμφαση για αποφυγή υπολογισμών με ακρίβεια προκειμένου οι συμμετέχοντες να ενθαρρυνθούν στην αναζήτηση εναλλακτικών τρόπων επίλυσης. Οι συμμετέχοντες, τέλος, καλούνταν να αιτιολογήσουν τις απαντήσεις τους. Ο δείκτης αξιοπιστίας cronbach s alpha εκτιμήθηκε στο 0.857. Στο δεύτερο άξονα οι απόψεις των συμμετεχόντων για τη σπουδαιότητα των υπολογιστικών εκτιμήσεων και της διδασκαλίας τους διερευνώνται μέσα από τέσσερις κλειστού τύπου ερωτήσεις που επιδέχονταν επεξήγηση. Διαδικασία. Το ερωτηματολόγιο διανεμήθηκε στους συμμετέχοντες στο χώρο του Πανεπιστημίου οι οποίοι το συμπλήρωσαν ατομικά και το επέστρεψαν στους ερευνητές. Η συμμετοχή στην έρευνα ήταν ανώνυμη και προαιρετική, διήρκεσε περίπου 25, ενώ το ποσοστό επιστροφής των συμπληρωμένων ερωτηματολογίων ξεπέρασε το 85%. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ α. Οι επιδόσεις των υποψήφιων εκπαιδευτικών. Η γενική επίδοση των συμμετεχόντων κυμάνθηκε στο 68%. Οι συμμετέχοντες που φοιτούσαν στο τέταρτο έτος σπουδών τους παρουσίασαν οριακά καλύτερη επίδοση από

τους συναδέλφους τους στο τρίτο έτος σπουδών ( F(1,113)= 4,043, p<.05). Επίσης, όσοι είχαν εισαχθεί από τη τεχνολογική κατεύθυνση είχαν στατιστικά μεγαλύτερα ποσοστά σωστών απαντήσεων σε σχέση με τους συμμετέχοντες από τις άλλες δύο κατευθύνσεις ( F(2,112)= 8,410, p<.001). Στατιστικά σημαντικές διαφορές βρέθηκαν, επίσης, στον αριθμό των σωστών απαντήσεων των συμμετεχόντων ως προς την κατηγορία προβλημάτων ( F(1,109)= 20,442, p<.001), με τα προβλήματα λογικής κρίσης (ποσοστό επιτυχίας 86 %) να είναι πιο εύκολα από τις άλλες κατηγορίες προβλημάτων και τα προβλήματα αριθμητικών πράξεων (ποσοστό επιτυχίας 52%) τα πιο δύσκολα. Η επίδραση της κατηγορίας των προβλημάτων ήταν ίδια για τους συμμετέχοντες και των δύο εξαμήνων (F(1,109)=,065, p=.799). Τα στοιχεία αυτά παρουσιάζονται αναλυτικά στο Σχήμα 1 που ακολουθεί. 100 80 60 59,33 64,33 70,66 71 57,33 48,33 85 87 40 20 0 Σχετικό μέγεθος αριθμών Σημεία αναφοράς Αριθμητικές πράξεις Λογική κρίση 6ο εξάμηνο 8ο εξάμηνο Σχήμα 1: Ποσοστό σωστών απαντήσεων ως προς την κατηγορία προβλημάτων και το εξάμηνο φοίτησης Η παρουσία πλαισίου επηρέασε τους συμμετέχοντες (βλ. Σχήμα 2) οι οποίοι παρουσίασαν στατιστικά σημαντικά καλύτερη επίδοση στα προβλήματα αριθμητικών πράξεων και λογικής κρίσης με σε σύγκριση με τα αντίστοιχα χωρίς ( t=20,369, df=104, p<.001 και t=3,334, df=98, p<.01), Το αντίθετο, ωστόσο, ίσχυε για τα προβλήματα της κατηγορίας των σημείων αναφοράς ( t=-8,995, df=103, p<.001), ενώ δεν βρέθηκε διαφοροποίηση ως προς το στα προβλήματα σχετικού μεγέθους των αριθμών (t=-,310, df=98, p=.757). β. Οι στρατηγικές των υποψήφιων εκπαιδευτικών. Οι γραπτές επεξηγήσεις των συμμετεχόντων που απάντησαν στα προβλήματα αναδείκνυαν τις στρατηγικές που ακολούθησαν και ταξινομήθηκαν σε τέσσερις κατηγορίες: α) «χωρίς εξήγηση» (απαντήσεις στις οποίες δεν δόθηκαν επεξηγήσεις),

100 80 60 40 58,15 64 86,2 41 30 99,5 83 91,5 20 0 Σχετικό μέγεθος αριθμών Σημεία αναφοράς Αριθμητικές πράξεις Λογική κρίση Χωρίς Με Σχήμα 2: Ποσοστό σωστών απαντήσεων στα προβλήματα με και χωρίς ως προς την κατηγορία προβλημάτων β) «ασαφής εξήγηση» (στρατηγικές που δεν οδηγούν σε λογικό τρόπο επίλυσης και είναι ασαφείς), γ) «εφαρμογή κανόνα» (εργαλειακές στρατηγικές που βασίζονται στη χρήση κανόνα ή σε γραπτούς τυποποιημένους αλγόριθμους) και δ) «αίσθηση του αριθμού» (στρατηγικές που δείχνουν εννοιολογική κατανόηση, ευελιξία και άνεση στο χειρισμό και την ερμηνεία αριθμών και πράξεων ή αυτοσχέδιες στρατηγικές επίλυσης με νόημα). Σε όλα τα έργα οι στρατηγικές της αίσθησης του αριθμού παρουσιάζουν μεγαλύτερα ποσοστά σε σύγκριση με τις στρατηγικές εφαρμογής κανόνα, που κυμαίνονται από 2,8% έως και 6,75%, με εξαίρεση το πρόβλημα με που αφορούσε τη χρήση των σημείων αναφοράς (35,2%). Αυτό σημαίνει ότι οι περισσότεροι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί αφενός προέβησαν στη χρήση εκτιμήσεων και όχι γραπτών υπολογισμών - και αφετέρου διαθέτουν νοερές στρατηγικές επίλυσης, ακόμα και αν δεν τις χρησιμοποιούν συστηματικά (βλ. Πίνακα 1). Οι στρατηγικές αυτές ευνοήθηκαν περισσότερο στα προβλήματα λογικής κρίσης (πάνω από 60%) και σχετικού μεγέθους των αριθμών : εμφανίζονται παρόμοια υψηλά ποσοστά ανεξάρτητα από την ύπαρξη πλαισίου. Σε δύο έργα λογικής κρίσης, επίσης, διαπιστώθηκε συσχέτιση ανάμεσα στην επίδοση και τη χρήση στρατηγικής (ρ=0,333, p<.01): οι στρατηγικές που δείχνουν εννοιολογική κατανόηση, ευελιξία και άνεση και έχουν νόημα για τους υποψήφιους συσχετίζονται θετικά με την επιτυχία στην επίλυση του προβλήματος. Ωστόσο, η παρουσία πλαισίου επηρέασε αρνητικά τη συχνότητα εμφάνισης των στρατηγικών της αίσθησης του αριθμού στα προβλήματα που αφορούσαν τη χρήση των σημείων αναφοράς (μόλις

28,7%) και θετικά στα προβλήματα που αφορούσαν τις αριθμητικές πράξεις (78,9%). Τέλος, το γεγονός ότι αρκετοί συμμετέχοντες δεν έδωσαν εξηγήσεις ( οι χωρίς εξήγηση απαντήσεις κυμαίνονται από 20,2% έως και 49,5%, ιδιαίτερα υψηλά στα προβλήματα σχετικού μεγέθους των αριθμών) σημαίνει ενδεχομένως ότι απάντησαν στην τύχη ή ότι δεν ήθελαν, ή δεν μπόρεσαν να δώσουν εξηγήσεις. Στρατηγικές Χωρίς εξήγηση Σχετικό μέγεθος των αριθμών Με Χωρίς Χρήση σημείων αναφοράς Με Χωρίς Αριθμητικές πράξεις Με Χωρίς Λογική κρίση Με Χωρίς 49,5 39,65 26,8 21,95 20,2 22,95 26,9 29,1 Ασαφής 8,6 17 9,3 9,35 0,9 51,35 0,9 3,8 Εφαρμογή κανόνα Αίσθηση αριθμού 6,9 5,55 35,2 6,75-4,55 2,8 5,2 35 37,8 28,7 61,95 78,9 21,15 69,4 61,9 Πίνακας 1: Κατανομή συχνότητας των στρατηγικών στα προβλήματα με και χωρίς ρεαλιστικό γ. Πολύ θετικές ήταν οι στάσεις των υποψηφίων εκπαιδευτικών απέναντι στις υπολογιστικές εκτιμήσεις αναδεικνύοντας τη σπουδαιότητά τους τόσο στην καθημερινή ζωή όσο και για τη διδασκαλία τους στο δημοτικό σχολείο (ρ=.603, p<.001 με μέσους όρους 1,38 και 1,49, αντίστοιχα, σε πεντάβαθμη κλίμακα με 1=πάρα πολύ σημαντικό,, 5= καθόλου σημαντικό). Οι περισσότεροι συμμετέχοντες πρότειναν την ανάπτυξη συγκεκριμένων ικανοτήτων στα παιδιά, κυρίως με αναφορές στην αίσθηση του αριθμού. ΣΥΖΗΤΗΣΗ Οι επιδόσεις των υποψήφιων εκπαιδευτικών στην παρούσα έρευνα ήταν σε γενικές γραμμές πολύ καλές και συμφωνούν με τα ποσοστά επιτυχίας που βρέθηκαν στην έρευνα του Tsao (2005) για τους υποψήφιους εκπαιδευτικούς υψηλής ικανότητας. Ωστόσο, οι επιδόσεις τους δεν ήταν ίδιες σε όλες τις κατηγορίες προβλημάτων. Στα προβλήματα λογικής κρίσης, για παράδειγμα, τα ποσοστά επιτυχίας είναι ιδιαίτερα υψηλά, δείχνοντας αφενός το υψηλό επίπεδο υπολογιστικής εκτίμησης και αφετέρου την αδυναμία τους σε άλλες καταστάσεις εκτιμήσεων. Το τελευταίο επιβεβαιώνει τα ευρήματα των Yang, Reys και Reys (2009), οι οποίοι

ανέδειξαν στην έρευνά τους την αδυναμία των εκπαιδευτικών να χρησιμοποιήσουν με επιτυχία τα σημεία αναφοράς στα προβλήματα υπολογιστικών εκτιμήσεων. Παρόμοιες δυσκολίες στη χρήση υπολογιστικών εκτιμήσεων έχουν αναφερθεί και στην έρευνα των Hanson και Hogan (2000) με μαθητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Επιπρόσθετα, το γεγονός ότι στα προβλήματα λογικής κρίσης σημειώθηκαν τα υψηλότερα ποσοστά επιτυχών υπολογιστικών εκτιμήσεων δείχνει ακόμα περισσότερο την ανάγκη να συνειδητοποιήσουμε ότι υπάρχουν καταστάσεις που οι ακριβείς υπολογισμοί δεν βοηθούν τόσο όσο οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί. Η ύπαρξη συγκεκριμένου πλαισίου στην παρουσίαση των προβλημάτων, επίσης, φαίνεται να επηρεάζει τις υπολογιστικές εκτιμήσεις των υποψηφίων εκπαιδευτικών. Γενικά, στα προβλήματα με εμφανίστηκαν περισσότερες επιτυχείς υπολογιστικές εκτιμήσεις σε σύγκριση με αυτά χωρίς. Η χρήση των σημείων αναφοράς, ωστόσο, ήταν λιγότερο αποτελεσματική στα προβλήματα που παρουσιάστηκαν με σε σχέση με αυτά που παρουσιάστηκαν χωρίς. Σε κάθε περίπτωση, η αξία της υπολογιστικής εκτίμησης ως διαδικασίας που οδηγεί κοντά στο ακριβές αποτέλεσμα προσδιορίζεται μέσα από καταστάσεις που μας επιτρέπουν να σκεφτόμαστε αν κάτι είναι περισσότερο ή λιγότερο λογικό (Alajmi & Reys, 2007). Συνεπώς, οι υπολογιστικές εκτιμήσεις έχουν νόημα όταν αναφέρονται σε συγκεκριμένη κατάσταση και καλό είναι να πραγματοποιούνται με αναφορές σε συγκεκριμένα πλαίσια. Οι υποψήφιοι εκπαιδευτικοί χρησιμοποίησαν ευέλικτες στρατηγικές στηριζόμενοι πολύ συχνά σε συνδυασμό στοιχείων που παραπέμπουν στην αίσθηση του αριθμού. Η τάση τους για αποδέσμευση από την αποκλειστική χρήση κανόνων και τυποποιημένων αλγορίθμων φάνηκε σε όλες τις κατηγορίες προβλημάτων, ιδιαίτερα στα προβλήματα λογικής κρίσης και αριθμητικών πράξεων. Ωστόσο, προβληματισμό δημιουργεί το γεγονός ότι στα προβλήματα που αναφέρονται στο σχετικό μέγεθος των αριθμών το συνολικό ποσοστό απαντήσεων χωρίς εξήγηση και ασαφών απαντήσεων ήταν υψηλό ( πάνω από 55%): τόσο η ικανότητα συστηματικής χρήσης στρατηγικών σύγκρισης από τους εκπαιδευτικούς όσο και η ικανότητα προσδιορισμού και περιγραφής των στρατηγικών που χρησιμοποιούν δεν είναι δεδομένες. Η σημασία της υπολογιστικής εκτίμησης αναδείχθηκε έντονα μέσα από τις απαντήσεις των υποψήφιων εκπαιδευτικών, οι οποίοι δηλώνουν ότι αναγνωρίζουν εξίσου την αξία της υπολογιστικής εκτίμησης τόσο στην καθημερινή ζωή όσο και στη διδασκαλία των μαθηματικών. Τα αποτελέσματα αυτά βρίσκονται σε αντίθεση με τα ευρήματα του Alajmi

(2009), σύμφωνα με τα οποία η πλειοψηφία των εκπαιδευτικών θεωρούν περισσότερο σημαντική την υπολογιστική εκτίμηση στην καθημερινή ζωή και λιγότερο σημαντική στην τάξη. Στην παρούσα έρευνα η σημασία που αποδίδουν οι υποψήφιοι εκπαιδευτικοί στην υπολογιστική εκτίμηση επιβεβαιώνει και την τάση των μελλοντικών εκπαιδευτικών να προσβλέπουν στη σύνδεση ανάμεσα στην καθημερινή ζωή και τη διδασκαλία των μαθηματικών. Η καλλιέργεια θετικής στάσης απέναντι στις εκτιμήσεις προτείνεται από τους μελλοντικούς εκπαιδευτικούς που υποστηρίζουν την ανάπτυξη ικανοτήτων υπολογιστικής εκτίμησης στο σχολείο. Συγκεκριμένα, η ικανότητα στρογγυλοποίησης, ανάλυσης και σύνθεσης των αριθμών, χρήσης σημείων αναφοράς μεταξύ άλλων - θεωρούνται από τους μελλοντικούς εκπαιδευτικούς σημαντικές προϋποθέσεις για τη διδασκαλία της υπολογιστικής εκτίμησης, και συνδέονται με διαδικασίες που ενισχύουν την αίσθηση του αριθμού ( McIntosh, 2004) και αναπτύσσουν τη σημασία των αριθμητικών πράξεων (Dowker, 2003). Καθώς οι εκπαιδευτικοί, μελλοντικοί και εν ενεργεία, αναγνωρίζουν τη σπουδαιότητα της υπολογιστικής εκτίμησης και τις διαφορετικές χρήσεις της και αντιλαμβάνονται την εκτίμηση ως μέρος της διαδικασίας υπολογισμών, είναι πολύ πιθανόν αυτή η τάση τους να μεταφέρεται και στη σχολική τάξη. Κάτι τέτοιο θα ενισχύει τις ικανότητες υπολογιστικής εκτίμησης των παιδιών και κατ επέκταση την εφαρμογή μαθηματικής γνώσης με ευέλικτους τρόπους (Λεμονίδης, 2013), που αποτελεί και έναν από τους βασικούς στόχους στη σύγχρονη διδασκαλία των μαθηματικών. Συνεπώς, αναδεικνύεται η ανάγκη αφενός για μεγαλύτερη ένταξη των υπολογιστικών εκτιμήσεων στο σχολικό πρόγραμμα των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου και αφετέρου για ενίσχυση της εκπαίδευσης των εκπαιδευτικών σε ζητήματα εκτιμήσεων. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Alajmi, A. (2009). Addressing computational estimation in the Kuwaiti curriculum: teachers views. Journal of Mathematics Teacher Education, 12(4), 263-283. Alajmi, A., & Reys, R. (2007). Reasonable and reasonableness of answers: Kuwaiti middle school teachers perspectives. Educational Studies in Mathematics, 65, 77-94. Alsawaie, O.N. (2011). Number -sense based strategies used by highachieving sixth grade students who experienced reform textbooks. International Journal of Science and Mathematics Education, 10(5), 1071-1097.

Dowker, A. ( 2003). Young children s estimates for addition: The zone for practical knowledge and understanding. In A. Baroody & A. Dowker (Eds.), The development of arithmetic concepts and skills (pp.243-265). Mahwah, NJ: LEA. Hanson, S.A. & Hogan, T.P. (2000). Computational estimation skill of college students. Journal for Research in Mathematics Education, 31(4), 483-499. Lemaire, P., Arnaud, L. & Lecacheur, M. (200 4). Adults age-related differences in adaptivity of strategy choices : evidence from computational estimation. Psychology and Aging, 19(3), 467-481. Lemaire, P. & Lecacheur, M. (2002). Children s strategies in computational estimation. Journal of Experimental Child Psychology, 82, 281-304. Λεμονίδης, Χ. (2013). Μαθηματικά της φύσης και της ζωής: νοεροί υπολογισμοί. Θεσσαλονίκη: Ζυγός. McIntosh, A. (2004). Where we are today. In A. McIntosh & L. Sparrow (Eds.), Beyond written computation (pp.3-14). Perth: MASTEC. Opfer, J.E. & DeVries, J.M. (2008). Representational change and magnitude estimation: Why young children can make more accurate salary comparison than adults. Cognition, 108, 843-849. Pajares, M.F. (1992). Teachers beliefs and educational research: cleaning up a messy construct. Review of Educational Research, 62(3), 307-332. Segovia, I. & Castro, E. (2009). Computational and measurement estimation: curriculum foundations and research carried out at the University of Granada. Electronic Journal of Research in Educational Psychology, 17, Vol 7(1), 499-539. Tsao, Y.L. & Lin, Y.C. (2011). The study of number sense and teaching practice. Journal of Case Studies in Education, 2, 1-14. Tsao, Y.L. (2005). The number sense of preservice elementary school teachers. College Student Journal, 39(4), 647-679. Yang, D.C., Reys, R. & Reys, B. (2009). Number sense strategies used by pre-service teachers in Taiwan. International Journal of Science and Mathematics Education, 7, 383-403. Yang, D.C. (2005). Number -sense strategies used by 6 th grade students in Taiwan. Educational Studies, 31(3), 317-333.