Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β 2συνΒ 2 0. Ι14. Στ παρακάτω σχήμα δίνεται ότι τ σημεί Δ είναι τ μέσ της πλευράς ΑΓ β τυ τριγώνυ ΑΒΓ, ΔΑΕ ˆ 90, η ΔΕ είναι κάθετη πρς τη ΒΓ, ΑΔΕ ˆ ΓΔΖ ˆ θ και ΓΖΔ ˆ 30. α. Να βρείτε τη γωνία ˆθ. β. Να υπλγίσετε τ μήκς τυ ευθύγραμμυ τμήματς ΕΖ συναρτήσει τυ β. (ΕΜΕ, 2010) I15. Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και Αˆ 30. Εξωτερικά τυ τριγώνυ κατασκευάζυμε ρθγώνι ισσκελές τρίγων ΑΓΔ με ΑΔΓ ˆ 90. Η μεσκά- θετς της πλευράς ΑΓ τέμνει την ΑΓ στ μέσ Κ, την ΑΒ στ σημεί Λ και την πρέκταση της πλευράς ΒΓ στ σημεί Μ. Αν ΑΔ α, να υπλγίσετε συναρτήσει τυ α: α. Τ μήκς τυ ευθύγραμμυ τμήματς ΚΛ. β. Τ μήκς τυ ευθύγραμμυ τμήματς ΑΜ και τ μήκς της πλευράς ΒΓ. (ΕΜΕ, 2014) Κ. Μέτρηση Κύκλυ Κ1. Αν α είναι ι άξνες συμμετρίας ενός καννικύ πενταγώνυ, β είναι ι άξνες συμμετρίας ενός καννικύ εξαγώνυ, γ είναι ι άξνες συμμετρίας ενός καννικύ κταγώνυ και δ είναι ι άξνες συμμετρίας ενός καννικύ επταγώνυ και ισχύει η σχέση αβ 2 p γδ, να απδείξετε ότι αριθμός p είναι πρώτς. Κ2. Ένα πάτωμα έχει στρωθεί με πλακάκια πυ έχυν τ σχήμα καννικύ πλυγώνυ. Αν τ πλακάκι βγει από τ πάτωμα και περιστραφεί κατά 50, τότε μπρεί να τπθετη- θεί ακριβώς ξανά στην αρχική τυ θέση στ πάτωμα. Να υπλγίσετε τ ελάχιστ πλήθς πλευρών πυ μπρεί να έχει τ πλύγων. Κ3. Αν τ άθρισμα όλων των γωνιών εκτός από μία ενός καννικύ πλυγώνυ είναι 1650, πόσ είναι τ πλήθς των πλευρών τυ πλυγώνυ; 364
Διαγωνιστικά Mαθηματικά Κ4. Ο Ευκλείδης κρατά μερικά καννικά πεντάγωνα, τα πία είναι όλα ίδια μεταξύ τυς. Τα τπθετεί τ ένα δίπλα στ άλλ για να φτιάξει ένα κυκλικό σχήμα. Η παρακάτω εικόνα δείχνει μέρς της κατασκευής τυ. Πόσα πεντάγωνα θα χρειαστεί για την κατασκευή; Κ7. Έχυμε ένα καννικό κτάγων πλευράς 12 cm, όπως φαίνεται στ παρακάτω σχήμα. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν τυ χωρίυ πυ βρίσκεται μεταξύ τυ κύκλυ πίς είναι εγγεγραμμένς στ μικρό εσωτερικό κτάγων, και τυ τετραγώνυ πυ είναι περιγεγραμμέν στν κύκλ. (Διαγωνισμός Καγκυρό, 2013) Κ5. Έχυμε δύ ίσα ισόπλευρα τρίγωνα με τ ίδι κέντρ, πυ σχηματίζυν ένα αστέρι, όπως φαίνεται στ παρακάτω σχήμα. Αν η τμή τυς είναι ένα καννικό εξάγων με εμβαδόν 60 cm 2, να υπλγίσετε τ εμβαδόν τυ ενός από τα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. K8. Δίνεται ένα καννικό εξάγων με πλευρά 6 cm. Με κέντρ τις κρυφές τυ εξαγώνυ σχεδιάζυμε τόξα με ακτίνα 3, δημιυργώντας κυκλικύς τμείς, όπως φαίνεται στ σχήμα. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν τυ γραμμσκιασμένυ χωρίυ. (American Mathematics Contest, 2014) (Υπόδειξη: Κέντρ τριγώνυ θεωρείται τ κέντρ συμμετρίας τυ.) Κ6. Ένα ισόπλευρ τρίγων και ένα καννικό εξάγων έχυν ίσες περιμέτρυς. Αν τ εμβαδόν τυ τριγώνυ είναι 5, να υπλγίσετε τ εμβαδόν τυ καννικύ εξαγώνυ. εγγράφυμε έξι ίσυς μικρότερυς κύκλυς έτσι ώστε να εφάπτνται στην περιφέρεια τυ αρχικύ κύκλυ. Κάθε μικρός κύκλς εφάπτεται εξωτερικά με δύ άλλυς. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν της επιφάνειας των έξι μικρών κύκλων. Κ9. Σε έναν κύκλ Ο,12 365
Κ10. Ένας κύκλς με ακτίνα 4 cm είναι εγγεγραμμένς στ εσωτερικό ενός ισόπλευρυ τριγώνυ. Τ εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ τυ κύκλυ και τυ τριγώνυ είναι 3 α πβ cm 2. Να υπλγίσετε την τιμή τυ αθρίσματς α β. Κ11. Δίνεται κύκλς με κέντρ Ο και διάμετρ 10 cm και ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν της γραμμσκιασμένης επιφάνειας. κύκλια στ εσωτερικό τυ με κέντρα τις κρυφές τυ και ίσες ακτίνες ρ 1. Θεωρύμε τν κύκλ Οα,, όπυ Ο είναι τ κέντρ τυ τετραγώνυ, πίς εφάπτεται στα τεταρτκύκλια. Να συγκρίνετε τα μήκη τυ μεικτόγραμμυ σχήματς και τυ κύκλυ. Κ12. Δύ κύκλι (Ο, R) και (Κ, r) εφάπτνται εσωτερικά στ σημεί Η, όπως φαίνεται στ παρακάτω σχήμα, με ΑΒ 6, ΕΖ 8 και ΓΔ 6. Αν ΒΔ είναι η διάμετρς τυ μεγάλυ κύκλυ, να υπλγίσετε τ μήκς τυ καμπυλόγραμμυ σχήματς ΗΒΕΔΗΓΖΑΗ. Κ14. Δίνεται τετράγων ΑΒΓΔ πλευράς 2 cm. Τα τεταρτκύκλια ΑΓ και ΒΔ έχυν κέντρα τις κρυφές Δ και Γ αντίστιχα και ακτίνα τ ευθύγραμμ τμήμα ΓΔ, τ πί είναι επίσης διάμετρς τυ ημικυκλίυ ΓΔ. Να βρείτε πια από τις επιφάνειες Ε και Ζ έχει τ μεγαλύτερ εμβαδόν. Κ13. Στ παρακάτω σχήμα έχυμε ένα τετράγων ΑΒΓΔ με πλευρά 4 και τα τεταρτ- Κ15. Δίνεται τετράγων ΑΒΓΔ και μέσα σε αυτό εγγεγραμμέν άλλ τετράγων ΕΖΗΘ πλευράς 5 cm. Αν γνωρίζετε ότι ΑΕ ΒΖ ΓΗ ΔΘ ΘΕ 2, να υπλγίσετε τν λόγ τυ εμβαδύ τυ τριγώνυ 366
Διαγωνιστικά Mαθηματικά ΔΘΗ πρς τ εμβαδόν τυ εγγεγραμμένυ κύκλυ Κ, ρ. Κ16. α. Ένας τετραγωνικός κήπς έχει πλευρά 40 2 μέτρα. Στις τέσσερις κρυφές των γωνιών τυ τπθετύνται περιστρεφόμενι μηχανισμί πτίσματς πυ έχυν τη δυνατότητα να πτίζυν κυκλικές περιχές (κυκλικύς δίσκυς) ακτίνας 25 μέτρων. Να βρείτε τ εμβαδόν τυ κήπυ πυ δεν πτίζεται, όταν λειτυργύν και ι τέσσερις μηχανισμί ταυτόχρνα. β. Ένας πέμπτς μηχανισμός, πυ τπθετείται στ κέντρ τυ κήπυ και πτίζει μια κυκλική περιχή τυ, λειτυργεί ταυτόχρνα με τυς άλλυς τέσσερις. Πια είναι η ακτίνα της μεγαλύτερης κυκλικής περιχής πυ πρέπει να πτίζει κεντρικός μηχανισμός έτσι ώστε καμία περιχή τυ κήπυ να μην πτίζεται από δύ ή περισσότερυς μηχανισμύς; γ. Πόσ είναι τ εμβαδόν τυ κήπυ πυ παραμένει απότιστ στην περίπτωση τυ ερωτήματς β; δ. Πια είναι η ακτίνα της μικρότερης κυκλικής περιχής πυ πρέπει να πτίζει κεντρικός μηχανισμός έτσι ώστε καμία περιχή τυ κήπυ να μη μένει απότιστη, όταν λειτυργύν και ι πέντε μηχανισμί ταυτόχρνα; (Πανελλήνιες Εξετάσεις, 1999) K17. Έχυμε τρεις μόκεντρυς κύκλυς Ορ1 Ορ2 Ορ3,,,,, με ρ ρ ρ 3 2 1 0. Αν ισχύει ότι ρ3 ρ2 ρ1 ρ2 ρ1 και 2ρ2 3 ρ1, να βρείτε τν λόγ των εμβαδών τυ μεγαλύτερυ δακτύλιυ πυ σχηματίζεται πρς τν μικρότερ δακτύλι. Κ18. Στ παρακάτω σχήμα έχυμε ένα ημικύκλι και μέσα σε αυτό ένα ρθγώνι με μήκς α και πλάτς 2 α, ένα ημικύκλι και 2 δύ τεταρτκύκλια εξωτερικά τυ ρθγωνίυ. Να υπλγίσετε συναρτήσει τυ α τ εμβαδόν τυ γραμμσκιασμένυ χωρίυ. Κ19. Στ παρακάτω σχήμα έχυμε ένα ημικύκλι διαμέτρυ 2 cm. Με κέντρα τα άκρα 367
τυ ημικυκλίυ ΑΒ, και ακτίνες ίσες με 1 cm γράφυμε τόξα στ εσωτερικό τυ ημικυκλίυ. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν τυ κυκλικύ δίσκυ στ εσωτερικό τυ ημικυκλίυ πυ εφάπτεται στ ημικύκλι και στα δύ τόξα. K20. Στ παρακάτω σχήμα έχυμε έναν κύκλ ακτίνας 5 cm. Οι διάμετρι ΑΒ, ΓΔ είναι κάθετες. Με κέντρ τ Β γράφυμε τόξ ΓΔ. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν τυ γραμμσκιασμένυ τμήματς. Λ. Γεωμετρικά Στερεά Μέτρηση Στερεών Λ1. Πι από τα παρακάτω αναπτύγματα αντιστιχεί σε μια τετραγωνική πυραμίδα; Λ4. Ο Γιάννης και Δημήτρης είχαν από έναν λόιδι κύβ. Ο Γιάννης έβαψε τ εξωτερικό μέρς τυ δικύ τυ κύβυ. Ο Δημήτρης πρώτα έκψε με τρεις κψιές τν δικό τυ κύβ για να φτιάξει κτώ μικρότερα κυβάκια, και μετά έβαψε τ εξωτερικό μέρς των κτώ μικρών κύβων. Πόσες φρές περισσότερη μπγιά χρειάστηκε Δημήτρης από τν Γιάννη; Λ2. Στ παρακάτω σχήμα φαίννται τρεις όψεις τυ ίδιυ κύβυ. Πι γράμμα βρίσκεται στην απέναντι έδρα από αυτήν πυ βρίσκεται τ γράμμα Α; (Διαγωνισμός Καγκυρό, 2009) Λ3. Ένα πρίσμα έχει 2015 έδρες. Πόσες ακμές έχει τ πρίσμα αυτό; Λ5. Στ σχήμα φαίνεται ένα ρθγώνι παραλληλεπίπεδ με διαστάσεις 8, 4, 4. Τ σημεί Α είναι τ σημεί τμής των διαγωνίων μιας από τις μη τετράγωνες έδρες. Τ ση- 368
Διαγωνιστικά Mαθηματικά μεί Β είναι μία από τις κρυφές της έδρας πυ βρίσκεται απέναντι από αυτήν πυ ανήκει τ σημεί Α. Να υπλγίσετε τ μήκς τυ ευθύγραμμυ τμήματς ΑΒ. Λ8. Να υπλγίσετε τν όγκ μιας πυραμίδας πυ η παράπλευρη επιφάνειά της απτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρά 2 cm. Λ9. Στν παρακάτω κύβ ακμής 2 cm έχυμε κόψει τις γωνίες τυ κατά ένα ισόπλευρ τρίγων. Στ σχήμα πυ δημιυργείται ι μεγάλες έδρες τυ είναι καννικά κτάγωνα. Λ6. Ένα ζευγάρι από απέναντι κρυφές και ένα ζευγάρι μέσων των ακμών ενός κύβυ ενώννται, όπως φαίνεται στ σχήμα, και σχηματίζυν ένα παραλληλόγραμμ. Αν κύβς έχει ακμή α, να υπλγίσετε τ εμβαδόν τυ παραλληλγράμμυ. α. Να υπλγίσετε τ μήκς των πλευρών τυ καννικύ κταγώνυ. β. Να υπλγίσετε τν όγκ τυ σχήματς συναρτήσει τυ ύψυς υ κάθε τριγωνικής πυραμίδας. Λ7. Στν παρακάτω κύβ τα σημεία Α, Β, Γ, Δείναι μέσα των αντίστιχων ακμών τυ κύβυ. Ένα επίπεδ διέρχεται από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ και χωρίζει τν κύβ σε ένα τμήμα τυ πίυ η επιφάνεια είναι 6 cm 2. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν της επιφάνειας λόκληρυ τυ κύβυ. Λ10. Ένα ημικύκλι διαμέτρυ 12 cm χρησιμπιείται για τη δημιυργία ενός κώνυ έτσι ώστε τα άκρα τυ ημικυκλίυ να ενωθύν κατά τη δίπλωση. Να υπλγίσετε τν όγκ τυ κώνυ. Λ11. Να υπλγίσετε τν όγκ τυ παρακάτω στερεύ. 369
Λ12. Δύ ξεχωριστά καννικά τετράεδρα έχυν τις κρυφές τυς πάνω στις κρυφές ενός κύβυ με ακμή 1. Να υπλγίσετε τν όγκ τυ σχήματς πυ δημιυργείται από την τμή των τετράεδρων. Λ14. Ένας κύλινδρς με διάμετρ βάσης ίση με τ ύψς τυ είναι εγγεγραμμένς μέσα σε έναν κών. Ο κώνς έχει διάμετρ βάσης 10 cm και ύψς 12 cm. Ο άξνας των δύ στερεών συμπίπτει. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν της λικής επιφάνειας τυ κυλίνδρυ. (American Mathematics Contest, 2011) Λ13. Στ παρακάτω σχήμα έχυμε τέσσερις σφαίρες. Οι τρεις σφαίρες της βάσης εφάπτνται ανά δύ και έχυν ακτίνα 1 cm. Αν τ ύψς της πυραμίδας πυ δημιυργεί- 69 ται εσωτερικά είναι cm, να υπλγίσετε τν όγκ της μεγάλης 3 σφαίρας. Λ15. Μια σφαίρα είναι εγγεγραμμένη σε έναν κόλυρ κών, όπως φαίνεται στ σχήμα. Ο όγκς τυ κόλυρυ κώνυ είναι διπλάσις από τν όγκ της σφαίρας. Πις είναι λόγς της ακτίνας της κάτω βάσης τυ κόλυρυ κώνυ πρς την ακτίνα της πάνω βάσης τυ κόλυρυ κώνυ; (Δίνεται 1.) 3 2 2 ότι Οκόλυρυ κώνυ π υ R r Rr (American Mathematics Contest, 2014) 370