L C. Στη συνέχεια διαιρούμε τα αρχικά

4.8 Εποχική διόρθωση Με την παρακολούθηση των μεταβολών των οικονομικών μεγεθών, π.χ. σε μηνιαία βάση, επιτυγχάνεται η έγκαιρη διάγνωση των υφιστάμενων τάσεων και έτσι καθίσταται δυνατή η ενδεχόμενη λήψη κατάλληλων μέτρων. Εν τούτοις η σύμφωνα με τα ανωτέρω απαραίτητη παρακολούθηση της βραχυχρόνιας εξέλιξης των οικονομικών μεγεθών καθίσταται δυσχερής λόγω ρυθμικών κυμάνσεων εποχικής φύσεως δηλαδή κυμάνσεων με περίοδο ενός έτους. Αυτή η εποχική κύμανση είναι το αποτέλεσμα της επίδρασης συστηματικών παραγόντων οι οποίοι είναι κλιματικής ή άλλης (π.χ εθιμικής) φύσεως. Ως παραδείγματα δύνανται να αναφερθούν οι εισπράξεις από τουριστικές υπηρεσίες (επίδραση κλίματος) και οι δαπάνες για αγορές δώρων σε εορταστικές περιόδους (εθιμική επίδραση). Η εποχική διόρθωση, δηλαδή η απαλοιφή της εποχικής συνιστώσας από μία χρονική σειρά, αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για τη μελέτη του συνόλου σχεδόν των οικονομικών και νομισματικών μεγεθών, τουλάχιστον όσον αφορά τις βραχυχρόνιες αναλύσεις και προβλέψεις. Για το σκοπό αυτό έχουν επινοηθεί πολλές μέθοδοι - από τις πλέον απλές, όπως για παράδειγμα ο υπολογισμός δωδεκάμηνων ρυθμών μεταβολής για τη μελέτη μεγεθών που παρατηρούνται σε μηναία βάση, μέχρι τις πιο σύνθετες, όπως τα εξειδικευμένα στατιστικά υποδείγματα για την ανάλυση χρονικών σειρών- κάθε μια με τα δικά της πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα, που σε κάποιο βαθμό αντανακλώνται και στην ποιότητα των εποχικά διορθωμένων στοιχείων που προκύπτουν από την εφαρμογή τους. Όμως, παρά τη μεγάλη αυτή σημασία των εποχικά διορθωμένων στοιχείων, δεν έχει μέχρι σήμερα συμφωνηθεί σε κοινοτικό ή άλλο επίπεδο μια κοινά αποδεκτή μέθοδος και διαδικασία εποχικής διόρθωσης. Οι σύγχρονες μέθοδοι εποχικής διόρθωσης, είναι αρκετά περίπλοκες και απαιτούν τη χρήση εξειδικευμένου λογισμικού. Γενικά η επίδραση της εποχικότητας σε μία χρονική σειρά δύναται να διακριθεί σε δύο κατηγορίες: (α) σταθερού εποχικού προτύπου, και (β) μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου οι οποίες και εξετάζονται παρακάτω. Το σταθερό εποχικό πρότυπο Η μέθοδος εποχικής διόρθωσης που θα διαπραγματευτούμε εδώ είναι βασικά ένας ad hoc τρόπος υπολογισμού εποχικών δεικτών (οι οποίοι προσπαθούν να μετρήσουν τη εποχική μεταβλητότητα στη σειρά). Χρησιμοποιώντας αυτούς τους δείκτες είναι δυνατό να 1

διορθωθεί εποχικά μια χρονική σειρά απαλείφοντας την εποχική συνιστώσα. Το σταθερό εποχικό πρότυπο στηρίζεται στην υπόθεση ότι η εποχική κύμανση επαναλαμβάνεται πανομοιότυπα σε όλα τα έτη. Στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής εποχικότητας κάθε μήνα αν και εν γένει διαφέρει από τους αντίστοιχους συντελεστές των υπολοίπων μηνών, παραμένει σταθερός για όλα τα έτη. Οι τεχνικές της εποχικής διόρθωσης σταθερών συντελεστών βασίζονται στην ιδέα ότι μία χρονική σειρά y μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα γινόμενο τεσσάρων συνιστωσών: y L S C I όπου L η τιμή της μακροχρόνιας τάσης στην σειρά S η τιμή της εποχικής συνιστώσας C (μακροχρόνια) κυκλική συνιστώσα I άρρυθμη συνιστώσα (συνιστώσα θορύβου) Ο σκοπός είναι να απαλειφθεί η εποχική συνιστώσα S. Για να γίνει αυτό πρώτα προσπαθούμε να απομονώσουμε το συνδυασμό της μακροχρόνιας τάσης και της κυκλικής συνιστώσας L C. Αυτό γίνεται με μια διαδικασία εξομάλυνσης ώστε να απαλειφθούν η εποχική συνιστώσα και η συνιστώσα θορύβου S I από την πραγματική σειρά y. Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι η y αποτελείται από μηνιαία δεδομένα, ένας 12-μηνος κινητός μέσος ~ y 1 12 y 6 y~ υπολογίζεται ως: y y 1 y 5 Με αυτό τον τρόπο η y~ εξομαλύνεται ώστε να μην περιέχει την εποχική και την άρρυθμη συνιστώσα και άρα είναι μια εκτίμηση του δεδομένα με την εκτίμηση του L C συνιστώσας θορύβου και εποχικότητας L C. Στη συνέχεια διαιρούμε τα αρχικά για να πάρουμε μια εκτίμηση της συνδυασμένης S I : L C S I L C S I y ~ y z Το επόμενο βήμα είναι να απαλειφθεί η συνιστώσα θορύβου I όσο πληρέστερα γίνεται έτσι ώστε να έχουμε τον εποχικό δείκτη. Για να γίνει αυτό λαμβάνουμε το μέσο όρο των 2

τιμών της S I για τον ίδιο μήνα. Με άλλα λόγια έστω η τιμή y 1 (και επομένως z 1) αναφέρεται στον Ιανουάριο, y2 στον Φεβρουάριο, κ.λ.π, και έστω ότι υπάρχουν δεδομένα 48 μηνών. Επομένως υπολογίζουμε: ~ 1 z1 z1 z13 z25 z 4 ~ 1 z2 z2 z14 z26 z 4... ~ z 12 1 z 4 12 z 24 z 36 37 38 z 48 Η λογική εδώ είναι ότι όταν τα z σταθμίζονται για κάθε μήνα οι ακανόνιστες διαταραχές εξομαλύνονται σε μεγάλο βαθμό. Οι δώδεκα μέσοι ~ z1, ~ z2,, ~ z 12 θα είναι επομένως οι εκτιμήσεις των εποχικών δεικτών και θα πρέπει να αθροίζουν σε 12 αλλά δεν θα κάνουν τόσο ακριβώς αν υπάρχει κάποια μακροχρόνια τάση στα δεδομένα. Οι τελικοί εποχικοί δείκτες υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τους δείκτες με ένα παράγοντα που φέρνει το άθροισμά τους στο 12 ~ z, ~ z, ~ z θα έχουμε: και έτσι για τους τελικούς δείκτες 1 2 12 ~ z ~ z i i 12 ~ z 12 i 1 i Η απαλοιφή της εποχικότητας από την αρχική σειρά είναι τώρα άμεση: αρκεί να διαιρεθεί κάθε τιμή στη σειρά με τον αντίστοιχο δείκτη εποχικότητας, αφήνοντας έτσι τις άλλες τρεις συνιστώσες ανεπηρέαστες. Επομένως η εποχικά διορθωμένη σειρά a a a από τις σχέσεις: y y / z, y y / z,, y y / z. 1 1 1 2 2 2 48 48 12 a y λαμβάνεται Παράδειγμα 4.3: Άδειες ανέγερσης νέων κατοικιών - εποχική διόρθωση (βλ. παρακάτω). Το μεταβαλλόμενο εποχικό πρότυπο. Στη γενική περίπτωση η εποχικότητα, δεδομένης της συν τω χρόνω μεταβολής των κοινωνικοοικονομικών συνθηκών, σταδιακά μεταβάλλει τη μορφή της με αποτέλεσμα ο εποχικός δείκτης ενός συγκεκριμένου μήνα να μην είναι σταθερός αλλά να μεταβάλλεται από έτος σε έτος. Στην περίπτωση αυτή σε κάθε μήνα κάθε έτους αντιστοιχεί και διαφορετικός εποχικός δείκτης. Η στατιστική επεξεργασία για την απαλοιφή της εποχικής 3

συνιστώσας για την περίπτωση αυτή είναι σαφώς συνθετότερη από αυτήν που περιγράψαμε για την περίπτωση του σταθερού εποχικού προτύπου και γίνεται με τη βοήθεια εξειδικευμένου στατιστικού λογισμικού. Τα κυριότερα εν χρήσει στατιστικά προγράμματα που χρησιμοποιούνται για το σκοπό σχολιάζονται στο Παράρτημα 1. Η πλήρης ανάπτυξη του χρονικά μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου ξεφεύγει των ορίων του παρόντος. Μία σκιαγράφηση του θέματος γίνεται στο Παράρτημα 2. Τονίζεται με έμφαση ότι η εποχική συνιστώσα, όπως και όλες οι υπόλοιπες συνιστώσες, μιας χρονικής σειράς δεν είναι απευθείας παρατηρήσιμη/μετρήσιμη, και για την περίπτωση του μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου δεν υπάρχει μονοσήμαντα ένας και μόνο τρόπος ανάλυσης (αποσύνθεσης) μίας χρονικής σειράς σε συνιστώσες. Έτσι, για την ανάλυση μιας χρονικής σειράς στις συνιστώσες της γίνονται ορισμένες παραδοχές, οι οποίες όμως δεν είναι κοινές σε όλα τα λογισμικά προγράμματα, με αποτέλεσμα να δημιουργούνται προβλήματα στην ερμηνεία και συγκρισιμότητα των εποχικά διορθωμένων σειρών που προκύπτουν από διαφορετικά προγράμματα. 4.9 Παραδείγματα Κεφαλαίου 4 Παράδειγμα 4.1. Σύγκριση προβλέψεων πωλήσεων πολυκαταστημάτων με απλά υποδείγματα προέκτασης ( 1 ) Σε αυτό το παράδειγμα απλά υποδείγματα προέκτασης χρησιμοποιούνται για να προβλεφθούν προσεγγιστικά μηνιαίες λιανικές πωλήσεις πολυκαταστημάτων. Η χρονοσειρά παρατίθεται παρακάτω, όπου οι μηνιαίες παρατηρήσεις είναι εποχικώς διορθωμένες και καλύπτουν την περίοδο από τον Ιανουάριο του 1968 έως τον Μάρτιο του 1974, οι μονάδες μέτρησης είναι εκατομμύρια δολάρια, και η πηγή των δεδομένων είναι το Υπουργείο Εμπορίου των Ηνωμένων Πολιτειών. 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 Ιανουάριος 2.582 2.839 3.034 3.287 3.578 4.121 4.456 Φεβρουάριος 2.621 2.876 3.029 3.342 3.650 4.233 4.436 1 Τα παραδείγματα του Κεφαλαίου 4 είναι από το σύγγραμμα των Pindyck and Rubinfeld «Economeric Models and Economic Forecass», 3 rd Ediion, McGraw Hill 4

Μάρτιος 2.690 2.881 3.045 3.336 3.664 4.439 4.699 Απρίλιος 2.635 2.967 3.066 3.427 3.643 4.167 Μάιος 2.676 2.944 3.077 3.413 3.838 4.326 Ιούνιος 2.714 2.939 3.046 3.503 3.792 4.329 Ιούλιος 2.834 3.014 3.094 3.472 3.899 4.423 Αύγουστος 2.789 3.031 3.053 3.511 3.845 4.351 Σεπτέμβριος 2.768 2.995 3.071 3.618 4.007 4.406 Οκτώβριος 2.785 2.998 3.186 3.554 4.092 4.357 Νοέμβριος 2.886 3.012 3.167 3.641 3.937 4.485 Δεκέμβριος 2.842 3.031 3.230 3.607 4.008 4.445 Κάποιος μπορεί να θελήσει να προεκτείνει τις μηνιαίες πωλήσεις για τον Απρίλιο, το Μάιο και τους επόμενους μήνες του 1974. Γι αυτό το παράδειγμα, προεκτείνουμε τις πωλήσεις για τον Απρίλιο του 1974. Τα αποτελέσματα από τέσσερις παλινδρομήσεις που σχετίζονται με τέσσερα από τα υποδείγματα τάσης που περιγράφονται στη θεωρία παρατίθενται παρακάτω (Το στατιστικό σε παρένθεση) : Γραμμικό υπόδειγμα τάσης : = 2,463.1 + 26.70 (84.9) (39.5) R = 0,955 F(1/73) = 1,557 DW = 0,38 (το DW συμβολίζει το στατιστικό των Durbin Wason που στην περίπτωση αυτή υποδηλώνει έντονη θετική αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα του υποδείγματος, συνεπώς και η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R 2, πρέπει να αξιολογηθεί με σοβαρή επιφύλαξη. Λόγω του εντελώς προσεγγιστικού χαρακτήρα της προέκτασης δε θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το θέμα). Λογαριθμικό γραμμικό υπόδειγμα τάσης (εκθετική αύξηση) : log = 7,849 + 0,0077 (1,000) (52,6) R = 0,974 F(1/73) = 2,750 DW = 0,56 Αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα τάσης : = 4.918 + 1,007 (0,09) (65,05) 5

R = 0,983 F(1/72) = 3,829 Λογαριθμικό αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα τάσης: log = 0,0188 + 0,9987 log (0,6) (70,37) R = 0,985 F(1/72) = 4,524 Στην πρώτη παλινδρόμηση, μια χρονική μεταβλητή που κυμαίνεται από το 0 έως το 74 έχει καταστευαστεί και μετά χρησιμοποιήθηκε ως ανεξάρτητη μεταβλητή. Όταν =75 τοποθετείται στο δεξί μέρος της εξίσωσης ΠΩΛΗΣΕΙΣ = 2.463,1 + 26,70 η πρόβλεψη που προκύπτει είναι 4.465,8. Η χρήση της δεύτερης λογαριθμικής-γραμμικής εξίσωσης αποφέρει μια πρόβλεψη ίση με 4.551,5. Η τρίτη παλινδρόμηση, που βασίζεται σε μια διαδικασία 6

αυτοπαλινδρόμησης, αποφέρει μια προεκτεινόμενη τιμή για τον Απρίλιο του 1974 ίση με 4.736,8 : 4.736,8 4,92 + 1,007 x 4.699 Το αποτέλεσμα της τέταρτης παλινδρόμησης είναι βασισμένο στο λογαριθμικό υπόδειγμα αυτοπαλινδρόμησης. Η προεκτεινόμενη τιμή σε αυτή την περίπτωση είναι 4.735,6. Εάν κάποιος ήθελε να υπολογίσει ένα σύνθετο ρυθμό ανάπτυξης για τις σειρές και να προεκτείνει στη βάση όπου ο ρυθμός ανάπτυξης παραμένει αμετάβλητος, η προεκτεινόμενη τιμή θα ήταν 4.739,3. 7

Οι εκτιμηθείσες και οι πραγματικές σειρές απεικονίζονται γραφικά για κάθε ένα από τα τέσσερα υποδείγματα προέκτασης στο παραπάνω σχήμα. Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι τα δύο υποδείγματα αυτοπαλινδρόμησης είναι πιο κοντά στην πραγματική σειρά στο τέλος της περιόδου. Φυσικά, θα μπορούσαν να είχαν χρησιμοποιηθεί άλλα υποδείγματα τάσης για να επεκτείνουμε τα δεδομένα. Για παράδειγμα ο αναγνώστης μπορεί να δοκιμάσει να υπολογίσει μια πρόβλεψη βασισμένη σε ένα τετραγωνικό υπόδειγμα τάσης. Επισημαίνεται και πάλι, ότι παρά το γεγονός ότι η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού υποδηλώνει πολύ καλή προσαρμογή σε όλα τα υποδείγματα, η τιμή του στατιστικού DW είναι ιδιαίτερα χαμηλή πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει έντονη αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα των δύο πρώτων υποδειγμάτων. Εξάλλου και στα άλλα δύο υποδείγματα υπάρχει έντονη αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα. Για το λόγο αυτό τα αποτελέσματα πρέπει να ερμηνευτούν με επιφύλαξη. Παράδειγμα 4.2 Μηνιαίες ενάρξεις ανέγερσης νέων κατοικιών στις ΗΠΑ Η χρονοσειρά για μηνιαίες άδειες ανέγερσης κατοικιών στις Ηνωμένες Πολιτείες αποτελεί ένα καλό παράδειγμα για την εφαρμογή των μεθόδων εξομάλυνσης και εποχικής διόρθωσης. Η σειρά παρουσιάζει σημαντικές διακυμάνσεις και επίσης παρουσιάζει σημαντική εποχική μεταβολή. Σ αυτό το παράδειγμα εξομαλύνουμε τη σειρά χρησιμοποιώντας τον απλό κινητό μέσο και εκθετικές μεθόδους εξομάλυνσης. Ξεκινάμε χρησιμοποιώντας κεντρικούς μέσους όρους τριών - και επτά περιόδων για να εξομαλύνουμε τις σειρά δηλ. παράγουμε την εξομαλυμένη σειρά y από την αρχική σειρά χρησιμοποιώντας τη σχέση y = 1 n y ( ) όταν το n=3 ή 7. Επισημαίνεται ότι αφού ο κινητός μέσος είναι κεντρικός, δεν χρειάζεται να απαλείψουμε την τάση των σειρών πριν την εξομάλυνση. Η αρχική σειρά, μαζί με τις δύο σειρές που έχουν εξομαλυνθεί, φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Παρατηρείστε ότι 8

η χρήση του κινητού μέσου όρου 7-περιόδων εξομαλύνει σε μεγάλο βαθμό τη σειρά και ακόμη εξαλείφει κάποια από την εποχική μεταβολή. Τώρα χρησιμοποιούμε την εκθετική μέθοδο εξομάλυνσης. Αφού η αρχική σειρά αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου και ο εκθετικά σταθμισμένος κινητός μέσος δεν είναι κεντρικός, όπως είδαμε στη θεωρία οι σειρές μετά την εξομάλυνση θα υποεκτιμούν την αρχική σειρά εκτός κι αν πρώτα απαλείψουμε την τάση της σειράς. Για να απαλείψουμε την τάση της αρχικής σειράς υποθέτουμε μια γραμμική τάση (θα μπορούσαμε φυσικά να εξετάσουμε εναλλακτικές χρονικές τάσεις), και προκύπτει το παρακάτω υπόδειγμα παλινδρόμησης για την τάση: = 156,81 + 1,2083 = 0,360 (-3,36) (5,37) Τα κατάλοιπα από αυτή την παλινδρόμηση, που είναι, = + 156,81 1,2083 μας παρέχουν τη σειρά στην οποία έχει γίνει απαλοιφή της τάσης. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε εκθετική εξομάλυνση σε αυτή τη σειρά που της έχει αφαιρεθεί η τάση. Χρησιμοποιούμε δύο εναλλακτικές τιμές της παραμέτρου εξομάλυνσης, α = 0,8 (ελαφρά εξομάλυνση) και α = 0,2 (έντονη εξομάλυνση). Τελικά παίρνουμε τις 9

«λειασμένες» σειρές που τους έχει αφαιρεθεί η τάση νέου δηλ. υπολογίζουμε και προσθέτουμε την τάση εκ = 156,81 + 1,2083 Η αρχική σειρά και οι εξομαλυμένες (λειασμένες) σειρές φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί: 10

Παρατηρούμε ότι οι εποχικές μεταβολές, ενώ μειώνονται, ωθούνται προς τα εμπρός λόγω της έντονης εκθετικής εξομάλυνσης. Αυτό συμβαίνει, επειδή ο εκθετικά σταθμισμένος κινητός μέσος όρος δεν είναι κεντρικός. Έτσι, αν μια σειρά δείχνει μεγάλες εποχικές μεταβολές, η εκθετική εξομάλυνση θα πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο αφού η σειρά έχει διορθωθεί εποχικά. Παράδειγμα 4.3 Μηνιαίες ανεγέρσεις νέων κατοικιών στις ΗΠΑ: Εποχική διόρθωση Ας εφαρμόσουμε τώρα την τεχνική της εποχικής διόρθωσης με το σταθερό εποχικό πρότυπο στη σειρά μας για μηνιαίες άδειες ανέγερσης κατοικιών (βλέπε Παράδειγμα 4.2). Για να το κάνουμε αυτό πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε ένα 12-μηνο κινητό μέσο της αρχικής σειράς και μετά να διαιρέσουμε το με το, το οποίο είναι ο υπολογισμός =. Παρατηρείστε ότι το περιέχει (χονδρικά) την εποχική και άρρυθμη (ακανόνιστη) συνιστώσα της αρχικής σειράς. Απομακρύνουμε την άρρυθμη συνιστώσα υπολογίζοντας κατά μέσο όρο τις τιμές του που αντιστοιχούν στον ίδιο μήνα δηλ. υπολογίζουμε,,, Τέλος υπολογίζουμε τους τελικούς εποχικούς δείκτες z, z, z, z πολλαπλασιάζοντας τα,,, με έναν παράγοντα που κάνει το ' ' ' ' 1 2 3 4 άθροισμά τους ίσο με 12. Οι τελικοί εποχικοί δείκτες είναι ως εξής : Εποχικοί Δείκτες Μήνας Δείκτης Μήνας Δείκτης Ιανουάριος 0,5552 Ιούλιος 1,1900 Φεβρουάριος 0,7229 Αύγουστος 1,1454 Μάρτιος 0,9996 Σεπτέμβριος 1,0675 Απρίλιος 1,1951 Οκτώβριος 1,0823 Μάιος 1,2562 Νοέμβριος 0,8643 Ιούνιος 1,2609 Δεκέμβριος 0,6584 Αυτοί οι εποχικοί δείκτες απεικονίζονται στο σχήμα που ακολουθεί: 11

Για να απαλείψουμε την εποχικότητα από τη σειρά αρκεί να διαιρέσουμε κάθε τιμή στη σειρά με τον αντίστοιχό της παράγοντα (εποχικό δείκτη). Η αρχική σειρά μαζί με την εποχικά διορθωμένη σειρά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα: 12

Παρατηρείστε ότι η εποχική μεταβολή έχει ελαττωθεί στην διορθωμένη σειρά, ενώ παραμένουν η μακροχρόνια τάση και οι βραχυπρόθεσμες ακανόνιστες διακυμάνσεις. 13

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Σύντομη περιγραφή των κυριότερων λογισμικών προγραμμάτων για εποχική διόρθωση. Τα κυριότερα λογισμικά προγράμματα εποχικής διόρθωσης είναι τα ακόλουθα: Χ-12 REG-ΑRΙΜΑ. 2 Αποτελεί βελτιωμένη έκδοση των προγραμμάτων Χ-11, Χ-12 και Χ-12 ΑΡΙΜΑ. Χρησιμοποιεί πολλούς διαγνωστικούς ελέγχους για την εξάλειψη τυχόν προβλημάτων, αλλά στηρίζεται σε εμπειρικά φίλτρα για την εποχική διόρθωση. Για την πλήρη λειτουργία απαιτείται περιβάλλον SAS. TRAMO-SEATS. 3 Χρησιμοποιεί και αυτό πολλούς διαγνωστικούς ελέγχους, ενώ για την εποχική διόρθωση χρησιμοποιούνται ειδικά φίλτρα (φίλτρα Wiener- Kolmogorov), τα οποία προσαρμόζονται ανάλογα με τις στοχαστικές ιδιότητες της εξεταζόμενης σειράς. Η τελευταία έκδοση λειτουργεί και σε περιβάλλον WINDOWS με το όνομα TSW, αλλά είναι λιγότερο «φιλικό με το χρήστη» από ότι το προηγούμενο. STAMP. 4 Στο πρόγραμμα αυτό η ανάλυση και η εποχική διόρθωση στηρίζεται σε διαρθρωτικά υποδείγματα χρονικών σειρών (υποδείγματα Harvey). Με το πρόγραμμα αυτό είναι δυνατό να γίνει ταυτόχρονη εποχική διόρθωση σε όλες τις μεταβλητές που υπεισέρχονται σε ένα συγκεκριμένο οικονομετρικό υπόδειγμα. Η τελευταία έκδοσή του λειτουργεί σε περιβάλλον MS-DOS και WINDOWS. DEMETRA. To πρόγραμμα αυτό δημιουργήθηκε από την EUROSTAT ως «συγκερασμός» των προγραμμάτων TRAMO-SEATS και X-12-REG ARIMA. Ωστόσο, δεν περιέχει μερικά βασικά χαρακτηριστικά των TRAMO-SEATS και X- 12-REG ARIMA και για τους λόγους αυτούς τείνει να εγκαταλειφθεί. Λοιπά προγράμματα. Εκτός από τα προαναφερόμενα υπάρχουν και άλλα λογισμικά προγράμματα εποχικής διόρθωσης (SABL, BV4, GLAS), τα οποία όμως σιγά-σιγά εγκαταλείπονται από τους χρήστες τους, λόγω των περιορισμένων δυνατοτήτων τους. 2 Έχει αναπτυχθεί από το Γραφείο Στατιστικής (Census) των ΗΠΑ και τη Στατιστική Υπηρεσία του Καναδά. 3 Από τα αρχικά Time series Regression wih ARIMA noise Missing observaions and Ouliers και Signal Exracion in ARIMA Time Series. Το πρόγραμμα αυτό δημιουργήθηκε από τους Maravall και Gomez, Τράπεζα της Ισπανίας, με την υποστήριξη και της EUROSTAT. 4 Από τα αρχικά Srucural Time Series Analysis Modeller and Predicor. Δημιουργήθηκε από τους Harvey (ΜΒ) και Coopman (Ολλανδία). 14

Σημειώνεται ότι ενώ τα φίλτρα του TRAMO-SEATS υπερέχουν θεωρητικά λόγω της ευελιξίας τους από τα ad-hoc φίλτρα του X-12-ARIMA, εν τούτοις στην πράξη παρατηρούνται ορισμένα προβλήματα με τις σταθμίσεις τους. Μάλιστα, οι σχετικές συγκρίσεις που έγιναν κατά συστηματικό τρόπο μεταξύ των δύο προγραμμάτων από ειδικές επιτροπές που συστάθηκαν από την ΕΚΤ και την EUROSTAT δεν έδειξαν υπεροχή του ενός προγράμματος έναντι του άλλου και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τόσο το TRAMO-SEATS όσο και το X-12-REG -ARIMA είναι εξίσου αποδεκτά για εποχική διόρθωση. Ως αποτέλεσμα, η ΕΚΤ χρησιμοποιεί το X-12-ARIMA για να διορθώσει εποχικά τα νομισματικά μεγέθη και τα μεγέθη του ισοζυγίου πληρωμών που δημοσιεύονται στο Μηνιαίο Δελτίο της ΕΚΤ, ενώ, όπως τουλάχιστον έχει αναφερθεί, το TRAMO-SEATS εφαρμόζεται για την εποχική διόρθωση σειρών που χρησιμοποιούνται για ανάλυση εντός της ΕΚΤ. Οι περισσότερες από τις πιο παλαιές χώρες-μέλη της ΕΕ εφαρμόζουν το X-12 REG ARIMA, μερικές από τις οποίες μάλιστα υιοθέτησαν το πρόγραμμα αυτό σε αντικατάσταση άλλων προγραμμάτων (πχ. η Τράπεζα της Αγγλίας αντικατάστησε στις αρχές του 2003 με το X-12 ARIMA το GLAS που χρησιμοποιούσε μέχρι τότε και, ενωρίτερα, το 2001 η Ομοσπονδιακή Τράπεζα της Γερμανίας αντικατάστησε επίσης με το X-12 ARIMA το Χ-11), ενώ ένας μικρός αριθμός παλαιών χωρών της ΕΕ χρησιμοποιεί το TRAMO-SEATS. Αντίθετα, στις νέες χώρες-μέλη της ΕΕ επικρατεί η χρήση του TRAMO-SEATS. 15

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Σύντομη σκιαγράφηση του μεταβαλλόμενου εποχικού προτύπου. Γραμμικοποίηση χρονοσειρών Στο μάθημα των «Χρονοσειρών» έχουμε γνωρίσει τα αυτοπαλινδρομικά ολοκληρωμένα κινητού μέσου υποδείγματα (ARIMA, auoregressive inegraed moving average) ως ένα πρακτικό τρόπο αντιμετώπισης των κινούμενων χαρακτηριστικών των χρονοσειρών. Παρ όλα αυτά, προτού προχωρήσουμε στη δημιουργία ενός υποδείγματος ARIMA μπορεί να απαιτούνται προηγούμενες διορθώσεις ή προρυθμίσεις. Αυτές τις ταξινομούμε σε τρεις ομάδες: 1) Ακραίες τιμές (ouliers) Οι σειρές μπορεί να υπόκεινται σε απότομες αλλαγές (ακραίες τιμές) που δεν μπορούν να εξηγηθούν με την υποκείμενη στοχαστική διαδικασία που περιγράφεται με ένα υπόδειγμα ARIMA. Διακρίνονται τρείς κύριοι τύποι της επίδρασης των ακραίων τιμών: α) Προσθετική ακραία τιμή (Addiive Oulier, AO) που επιδρά μόνο σε μια μεμονωμένη παρατήρηση. β) Αλλαγή επιπέδου (Level Shif, LS) που συνεπάγεται μια αλλαγή στο μέσο επίπεδο των σειρών. γ) Παροδικής Επίδρασης ακραία τιμή (Transiory Change, TC) που μοιάζει με την προσθετική ακραία τιμή, αλλά η επίδρασή της δεν αποσβήνει άμεσα αλλά σε μερικές περιόδους. Οι Chen και Liu (1993) πρότειναν μια προσέγγιση για την αυτόματη ανίχνευση και διόρθωση των ακραίων τιμών. 2) Ημερολογιακές επιδράσεις (calendar effec) Με αυτόν τον όρο εννοούμε την επίδραση των ημερολογιακών ημερομηνιών, όπως ο αριθμός των εργάσιμων ημερών για μια περίοδο (π.χ. ένα μήνα), την περίοδο του Πάσχα ή των διακοπών. Αυτές οι επιδράσεις συνήθως είναι ενσωματωμένες στο υπόδειγμα μέσω μεταβλητών παλινδρόμησης. 16

3) Μεταβλητές παρέμβασης (inervenion variables) Συχνά, ιδιαίτερα ή ασυνήθιστα γεγονότα επιδρούν στην εξέλιξη των σειρών και δεν μπορούν να συμπεριληφθούν στο υπόδειγμα ARIMA. Επομένως, υπάρχει η ανάγκη να «παρέμβουμε» στις σειρές για να διορθωθούν ως προς την επίδραση των εκτάκτων γεγονότων. Ως παραδείγματα μπορούμε να αναφέρουμε απεργίες, υποτιμήσεις, αλλαγή του βασικού δείκτη ή του τρόπου δόμησης των σειρών, φυσικές καταστροφές, πολιτικά γεγονότα, σημαντικές φορολογικές αλλαγές ή νέοι κανονισμοί, κ.λπ. Αυτές οι ειδικές επιδράσεις μπορούν να εισαχθούν στο υπόδειγμα ως μεταβλητές παλινδρόμησης (που συχνά ονομάζονται κατά τους Box and Tiao, 1975, μεταβλητές παρέμβασης). Πλήρες στοχαστικό υπόδειγμα για την αρχική σειρά Το πλήρες υπόδειγμα για την αρχική σειρά μπορεί να γραφεί ως = + + ( ) + (*) όπου, β= (β 1,..,β n ), είναι ένα διάνυσμα των συντελεστών παλινδρόμησης, το =(w 1,..,w n ) υποδηλώνει n μεταβλητές παλινδρόμησης ή μεταβλητές παρέμβασης, το υποδηλώνει τον πίνακα με τις στήλες των μεταβλητών ημερολογιακών επιδράσεων (επίδραση Πάσχα, επίδραση δίσεκτου έτους, διακοπές) και το n είναι το διάνυσμα των συναφών συντελεστών, το Ι ( j ) είναι μία δείκτρια μεταβλητή για την πιθανή παρουσία ακραίων τιμών σε περίοδο j, το λ j (Β) σκιαγραφεί τη μεταφορά της j-οστής επίδρασης ακραίων τιμών (για προσθετικές ακραίες τιμές, το λ j (Β) = 1, για αλλαγές επιπέδου, το ( ) = 1, για περιόδικες αλλαγές, το λ j (Β) = 1/(1-δΒ), με 0<δ<1) και το α j υποδηλώνει το συντελεστή της ακραίας τιμής στο υπόδειγμα πολλαπλής παλινδρόμησης με k ακραίες τιμές. Τέλος, το x SARIMA. ακολουθεί το γενικό πολλαπλασιαστικό υπόδειγμα Εκτίμηση παραμέτρων Υπάρχουν αρκετές διαδικασίες εκτίμησης των παραμέτρων υποδειγμάτων του τύπου (*) και διαθέσιμα προγράμματα που εφαρμόζουν τις διαδικασίες (σαν παραδείγματα αναφέρουμε το REGARIMA, Findley κ.α., 1998, και το TRAMO, Gómez and Maravall, 17

1996). Παρατηρώντας ότι οι μεταβλητές παρέμβασης, ακραίων τιμών και ημερολογιακών επιδράσεων είναι μεταβλητές παλινδρόμησης, το πλήρες υπόδειγμα μπορεί να εκφρασθεί ως ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης - ARIMA. Συνήθως ο υπολογισμός γίνεται επαναλαμβάνοντας τα εξής: βρίσκουμε τον ακριβή εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας του υποδείγματος ARIMA με δέσμευση των παραμέτρων παλινδρόμησης (β,η,α). Μετά, με δέσμευση του υποδείγματος ARIMA, βρίσκονται οι εκτιμητές GLS των παραμέτρων παλινδρόμησης (και τα δύο βήματα γίνονται με τα φίλτρα Kalman). Έχοντας υπόψη ότι η προρύθμιση θα πρέπει να είναι απαραίτητη όταν θέλουμε να εφαρμόσουμε το χρονικά μεταβαλλόμενο εποχικό πρότυπο θα προϋποθέτουμε ότι οι σειρές δεν απαιτούν προρύθμιση ή ότι αυτή έχει ήδη γίνει. Τότε, οι σειρές μπορούν να φανούν άμεσα ως το αποτέλεσμα μιας διαδικασίας SARIMA. Τα σχήματα Π2.1 και Π2.2 απεικονίζουν μια προρύθμιση σε χρονοσειρά με τριμηνιαία (προσομοιωμένα) δεδομένα. Η αρχική σειρά απεικονίζεται στο σχήμα Π2.1a. Μετά την αφαίρεση (μέσω παλινδρόμησης) των ακραίων τιμών που προσδιορίζονται αυτόματα (2 προσθετικές ακραίες τιμές, 1 μεταβολή επιπέδου, και μία παροδική μεταβολή) των οποίων η επίδραση απεικονίζεται στο σχήμα Π2.2a, της επίδρασης του αριθμού των εργάσιμων ημερών) που παρουσιάζεται στο σχήμα Π2.2b, της επίδρασης του Πάσχα, που παρουσιάζεται στο σχήμα Π2.2c και μιας μεταβλητής παρέμβασης, που συσχετίζεται με την εισαγωγή μίας ρύθμισης που επηρεάζει την εποχική επίδραση των δύο τελευταίων τριμήνων κάθε έτους, η γραμμικοποιημένη χρονοσειρά παρουσιάζονται στο σχήμα Π2.1b. Εποχική διόρθωση Στη συνέχεια δημιουργούμε ένα εποχικό SARIMA υπόδειγμα για τη γραμμικοποιημένη χρονοσειρά και κάνοντας κάποιες υποθέσεις, από τη μορφή αυτού του SARIMA υποδείγματος εκτιμάται ένα στοχαστικό υπόδειγμα για κάθε μία από τις συνιστώσες σειρές (μακροχρόνια τάση κύκλοι, εποχική συνιστώσα, άρρυθμη συνιστώσα). Έχοντας εκτιμήσει τις παραμέτρους του στοχαστικού υποδείγματος για την εποχική συνιστώσα, πλέον η απαλοιφή της γίνεται όπως και στην περίπτωση του σταθερού εποχικού προτύπου. Στην τελική ανάλυση της αρχικής σειράς οι διαφορετικές επιδράσεις παλινδρόμησης (ακραίες τιμές, ημερολογιακές επιδράσεις και μεταβλητές παρέμβασης) μπορούν να 18

συσχετιστούν με διαφορετικές συνιστώσα. Έτσι, συνήθως, οι ημερολογιακές επιδράσεις συσχετίζονται με την εποχική συνιστώσα, οι προσθετικές και παροδικές ακραίες τιμές θα αποδοθούν στην άρρυθμη συνιστώσα και οι αλλαγές επιπέδου στην τάση-κυκλική συνιστώσα. Ωστόσο, χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή όταν υπολογίζεται μία ξεχωριστή συνιστώσα ενός επιχειρηματικού κύκλου, γιατί μπορεί να απαιτεί μία διαφορετική κατανομή των προσδιοριστικών επιδράσεων. Για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιούνται ετήσια δεδομένα, μια περιοδική αλλαγή που χρειάζεται 5 ή 6 περιόδους για να γίνει αμελητέα θα πρέπει πιθανόν να περιλαμβάνεται στην κυκλική συνιστώσα, και όχι στην άρρυθμη. Παρόμοια, η διόρθωση που παράγεται από δύο αλλαγές επιπέδου αντίθετου πρόσημου και παρόμοιου μεγέθους πιθανόν να πρέπει να αποδοθούν στην κυκλική συνιστώσα και όχι στη μακροπρόθεσμη τάση. 19

Σχήμα Π2.1: Προρύθμιση (Γραμμικοποίηση) 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0 10 20 30 40 50 60 70 80 a) Αρχική χρονοσειρά 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) Γραμμικοποιημένη (προρυθμισμένη) χρονοσειρά 20

Σχήμα Π2.2: Προσδιοριστικές επιδράσεις 8 6 4 2 0 X 10-3 4 2 0 2 X 10-5 2 4 0 20 40 60 8 0 20 40 60 a) b)επίδραση 80 επίδραση ακραίων τιμών αριθμού εργασίμων ημερών X 10-5 4 2 0 4 2 X 10-3 2 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 c)επίδρασ η d)μεταβλητή Πάσχα παρέμβασης 21

22

23